高考数学讲义含试题答案解析——不等关系与不等

第六章 不等式、推理与证明 第32讲 不等关系与不等式考纲要求考情分析命题趋势1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a __＞__b ，a －b ＝0⇔a __＝__b ，a －b ＜0⇔a __＜__b .(2)作商法：⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a __＞__b (a ∈R ，b ＞0)，ab ＝1⇔a __＝__b (a ∈R ，b ＞0)，a b ＜1⇔a __＜__b (a ∈R ，b ＞0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a __＜__1b .②a ＜0＜b ⇒1a __＜__1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c __＞__bd.④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b __＜__1x __＜__1a .(2)有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则： ①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)． ②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( √ ) (2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × ) (4)同向不等式具有可加和可乘性．( × )(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( √ ) 解析 (1)正确．两个实数a ，b 之间的大小关系只有三种． (2)错误．同乘以一个负数或0时不等号改变． (3)错误．如－2<2，而－12＜12.(4)错误．同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性，如1＜2，－3＜－2，但－3>－4.(5)正确．当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母．2．下列四个结论，正确的是( D ) ①a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d ； ②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ＞bd ； ③a ＞b ＞0⇒3a ＞3b ； ④a ＞b ＞0⇒1a 2＞1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③解析 利用不等式的同向可加性可知①正确；对②根据不等式的性质可知ac ＜bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是单调递增的，所以③正确；对④由a ＞b ＞0可知a 2＞b 2＞0，所以1a 2＜1b2，所以④不正确，故选D ． 3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( D ) A ．a c ＞bdB ．a c ＜b dC ．a d ＞bcD ．a d ＜b c解析 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0.即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0，得a －d ＞b－c，从而有a d ＜bc.4．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( D ) A ．ac ＞bc B ．1a ＜1bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析 y ＝x 3在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a 3＞b 3. 5．下列各组代数式的判断正确的是__①③④__. ①x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9； ② (x －3)2＜(x －2)(x －4)； ③当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．解析 ①2x 2＋5x ＋9－x 2－5x －6＝x 2＋3>0； 所以x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9，故①正确． ②(x －3)2－(x －2)(x －4)＝1，所以(x －3)2＞(x －2)(x －4)，故②错误．③当x ＞1时，x 3－(x 2－x ＋1)＝(x －1)(x 2＋1)＞0， 所以当x ＞1时， x 3＞x 2－x ＋1，故③正确． ④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， 所以x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)，故④正确．一 比较两个数(式)的大小比较大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论．用作差法比较大小的关键是变形，将差式变成乘积的形式，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论．要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小． 【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( B ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝ND ．不确定(2)对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ；③a 1＋a ＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中成立的是( D )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④ (3)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，则a 与b 的大小关系为__a ＞b __.解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1 ＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0. ∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .(2)当0＜a ＜1时，(1＋a )－⎝⎛⎭⎫1＋1a ＝(a ＋1)(a －1)a ＜0， 则1＋a ＜1＋1a ，因此②④成立．(3)∵a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，∴a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＞1，∴a ＞b . 二 不等式的性质及应用(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．【例2】 (1)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a ＞b 且c >d ”是“ac ＋bd ＞bc ＋ad ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②||a ＞||b ；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有( C )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析 (1)因为c ＞d ，所以c －d ＞0.又a ＞b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )＞b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd ＞bc ＋ad ，则a (c －d )＞b (c －d )，所以可能a >b 且c >d ，也可能a ＜b 且c ＜d ，所以“a ＞b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．(2)因为1a ＜1b ＜0，所以b ＜a ＜0，a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，||a ＜||b ，在b ＜a两边同时乘以b ，因为b ＜0，所以ab ＜b 2.因此正确的是①④.三 利用不等式的性质求范围应用不等式性质求范围问题的注意点应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解．【例3】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解析 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.设m (a －b )＋n (a ＋b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.故f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )． ∵3≤3(a －b )≤6,2≤a ＋b ≤4，∴5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10， 即5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围是 [5,10]．1．若a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( C ) A ．a 2＞b 2 B ．ab ＞1C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞0解析 A 项，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2，故错误；B 项，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但a b ＝12，故错误；C 项，由指数函数的单调性可知当a ＞b 时，2a ＞2b ，故正确；D 项，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但lg(a －b )＝lg 1＝0，故错误，故选C ．2．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( B )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析 由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞b a，∴⎩⎨⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0,2)，故选B ．3．下列命题中正确的是( C ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若ac ＞bc ，则a ＞b C ．若a c 2＜bc2，则a ＜bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 由不等式的性质知C 项正确，故选C ．4．已知30°≤α＋β≤45°，－30°≤α－2β≤30°，求5α－4β的取值范围．解析 易求得5α－4β＝2(α＋β)＋3(α－2β)， ∵30°≤α＋β≤45°，－30°≤α－2β≤30°， ∴－30°≤5α－4β≤180°.易错点 不等式的变形不等价错因分析：①乱去分母；②忘掉分母可正、可负、不可以为零．【例1】 若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1x ≤1，则A ∩B ＝________. 解析 A ＝{x |－1≤x ≤1}．由1x ≤1得1－x x≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )≤0，x ≠0，解得x <0或x ≥1，∴B ＝{x |x <0或x ≥1}．因此A ∩B ＝{x |－1≤x <0或x ＝1}．答案 {x |－1≤x <0或x ＝1}【跟踪训练1】 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( C ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a c ＞bc，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析 当c ＝0时，可知A 项不正确；当c ＜0时，可知B 项不正确；对于C 项，由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b 成立，C 项正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 项不正确．课时达标 第32讲[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a ，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析 令a ＝－1，b ＝－2代入选项验证可知D 项错误，故选D ．3．(2018·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析 因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 项均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( C ) A ．1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0C ．⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y＜0D ．ln x ＋ln y ＞0解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故C 项正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A 项错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 项错误；x >y >0⇒xy >1⇔ln(xy )>0⇔ln x ＋ln y >0，故D 项错误．5．(2016·浙江卷)已知a >0，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0解析 讨论a 的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a 与b 的关系，再判断即可．∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ， ∴b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.故选D ．6．(2018·陕西西安检测)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D ) A ．⎝⎛⎭⎫0，5π6 B ．⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π)D ．⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2018·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是__a b 2＋b a 2≥1a ＋1b __.解析a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. 因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，所以a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 8．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是__27__.解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值是27.9．(2018·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中正确的是__①③④__(只填序号即可)．解析 对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0， ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确． 三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析 ∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0， ∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg xy＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y .∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca 的取值范围．解析 ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，即－2＜c a ＜－12，故ca 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，－12.。