考点26 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-(理)考点一遍过

（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.

（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

一、二元一次不等式（组）与平面区域

1．二元一次不等式表示的平面区域

一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线

某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．

2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：

3．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法

（1）对于直线同一侧的所有点(x，y)，使得的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足.

（2）可在直线的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从

的符号就可以判断(或)所表示的区域．

（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线的两侧的充要条件是

；位于直线同侧的充要条件是

.

二、简单的线性规划问题

1．简单线性规划问题的有关概念

（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件．关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件．

（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数．目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.

（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．

2．简单线性规划问题的解法

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线(目标函数为)；

（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；

（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；

（4）答：给出正确答案．

3．线性规划的实际问题的类型

（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题.

4．非线性目标函数类型

（1）对形如型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，

b)间距离的平方的最值问题．

（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，

将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等．

（3）对形如型的目标函数，可先变形为

的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线的距离的

倍的最值．

考向一二元一次不等式（组）表示的平面区域

1．确定平面区域的方法如下：

第一步，“直线定界”，即画出边界，要注意是虚线还是实线；

第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；

第三步，用阴影表示出平面区域.

2．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.

（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.

（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.

典例1 不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为__________．

【答案】

典例2 已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则的值为

A．B．

C．1 D．2

【答案】C

【解析】作出可行域，因为不等式组表示的平面区域为直角三角形，所以

所以.故选C.

1．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是

A．B．

C．D．

考向二线性目标函数的最值问题

1．平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.

2．顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值.

求解时需要注意以下几点：

（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.

（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.

（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.

典例3 已知点x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值与最小值之差为A．5 B．6

C．7 D．8

【答案】C