第八章(第14-15讲)

第八章离散时间系统的变换域分析§8-1 引言一、变换域分析的目的：类似于连续时间系统的L.T.，离散时间系统通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题，其目的是通过变换域分析将原来的求解问题简化。

二、Z变换的发展史十八世纪，英国数学家棣莫弗（De Moivre）提出生成函数，并应用于概率论。

实质上，生成函数与Z变换的形式相同。

从十九世纪拉普拉斯（place）到二十世纪沙尔(H.L.Seal)等人都对其进行了进一步深入研究。

二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。

作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T.三、离散时间系统的分析方法1．离散时间系统的Z域分析法，这在本课程进行研究。

2．离散时间系统的频域分析法，即利用离散傅里叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。

这在数字信号处理课程中进行。

3．除了DFT以外，还有如沃尔什变换等分析方法，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。

这在数字信号处理课程中进行。

§8-2 Z变换定义及其收敛区域一、Z变换的定义Z变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出，后者更加容易理解。

本课程中，通过连续时间系统的F.T.导出Z.T.。

离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列：)(k f ——>∑+∞-∞=-=k kT t t f t f )()()(δδ对其)(t f δ进行F.T.：[]()∑∑∑⎰∑⎰⎰∑⎰∑⎰∑⎰∞+-∞=-∞+-∞=-∞+-∞=∞+∞--∞+-∞=∞+∞--∞+∞--∞+-∞=∞+∞--∞+-∞=∞+∞--∞+-∞=+∞∞--==-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==k kTj k kTj k t j k t j t j k t j k t j k t j e k f ek f dte kT t kf dte kT t kf dt e kT t k f dt e kT t kT f dt e kT t t f dte tf j F ωωωωωωωωδδδδδδω)()()()()()()()()()()()()()(根据Dirichlet 条件，只有在信号满足绝对可积条件的情况下才成立，即满足绝对可和条件：+∞<∑+∞-∞=k k f )(时，FT 才存在。

如果不满足，可以利用LT 中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子rkTe-，然后再求FT 。

这样一来上式就可以变成为：()()∑∑⎰∞+-∞=∞+-∞=-+-++∞∞---⎪⎭⎫ ⎝⎛===+k k kT j kTj r t j rkT e k f e k f dte e tf j r F ωσωωδω)()()()( 令()Tj T j r e e z )()(ωσω++==，代入上式，得： ∑+∞-∞=-=k k z k f z F )()(上式称为序列f (k)的Z 变换。

F (z )被称为序列f (k)的生成函数。

● 上面的推导反映了抽样信号的FT 与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT 之间的关系，即：()()()Tj Tj r e e z z F j F ωσωω++==→)()(而抽样信号的LT 与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT 之间的关系为：sT e z z F s F =→)()(● 在某些情况下，Z 变换的求和限可以简化： 1、 如果f (k)是一个左边序列（其在k<0时才有非零值），则： ∑--∞=-=1)()(k k z k f z F2、 如果f (k)是一个右边序列，则：∑+∞=-=)()(k k z k f z F3、 如果f (k)是一个有限长序列，则： ∑=-=21)()(k k k k z k f z F二、单边Z 变换与双边Z 变换双边Z 变换与单边Z 变换的区别从应用上考虑，从实际的因果系统和非因果系统上考虑。

本课程主要考虑单边Z 变换：∑+∞=-=)()(k k z k f z F三、Z 变换的收敛域ZT 是一个级数求和问题，ZT 存在意味着级数收敛。

Z 变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部Z 的集合，即对于任意序列f （k ）的z 变换)(z F ，使)(z F 存在且有限的z 值的取值范围称为)(z F 的收敛区。

1、 级数收敛的判别方法：1） 比值法：1lim 1<=+∞→ρkk k a a2） 根值法：1lim <=∞→ρk k k a 其中，k a 为其级数的第k 项。

2、 几种常见序列的收敛域：1） 右边序列：∑+∞=-=)()(k k z k f z F利用根值法，有：1)(lim )(lim lim 1<==-∞→-∞→∞→kk k k k k k k k f zz k f aR k f z k k =>∴∞→)(lim所以，右边信号的收敛域为是半径为R 、圆心在原点的圆以外的全部区域。

例：单边指数序列)(k a kε的收敛域。

解：用上面的结论（根值法）：a a z k k k =>∴∞→lim思考：如果右边序列的起始点不在0,收敛区间应该怎样？提示：收敛域是否包含+∞？2） 左边序列∑--∞=-=1)()(k k z k f z F同上可得左边序列的收敛域为：1)(lim )(lim )(lim lim <-=-==+∞→+∞→--∞→-∞→kk k k k k k k k kk k f zz k f z k f aRk f z k k =-<∴+∞→)(lim 1即左边信号的收敛域为是半径为R 、圆心在原点的圆以内的全部区域。

例：单边指数序列)1(--k b kε的收敛域。

解：用上面的结论（根值法）：bb z k kk =<∴-∞→lim 1思考：如果左边序列的起始点不在-1,收敛区间应该怎样？提示：收敛域是否包含原点？3） 双边序列与连续时间系统一样，双边序列也可以看成右边序列和左边序列之和，收敛域为两个序列的公共收敛域。

收敛域可能存在（当两个序列的收敛域有公共区间时），也可能不存在（当两个序列的收敛域没有公共区间）。

如果存在，其收敛域为一个环行区域。

例：求序列)()1(k a k b kk εε+--的收敛区。

解：它的收敛域为左边序列)1(--k b kε和右边序列)(k a k ε的公共收敛区间。

1、 当b a ≥时，两者没有公共收敛区间，Z 变换不存在。

2、 当b a <时，收敛域为b z a <<4） 有限长序列：（实际上，收敛域是按照1）-3）的情况确定。

）∑=-=21)()(k k k k z k f z Fa 、 当012≥>k k 或012>≥k k ,收敛域+∞≤<z 0b 、 当01<k ,02>k ,收敛域+∞<<z 0c 、 当120k k >≥或120k k ≥>,收敛域+∞<≤z 0d 、 当012==k k ，收敛域+∞≤≤z 0四、常见右边序列的ZT 1、 单位函数：{}()1)(==-+∞-∞=∑k k z k k Z δδ，收敛域：全平面。

2、 单位阶跃信号：{}()111.....1 )(121-=-=+++===---+∞=--+∞-∞=∑∑z z z z z z z k k Z k k k k εε收敛域：1>z 3、 指数序列： {}()νεεν-===-+∞=-+∞-∞=∑∑z zzv zk v k Z kk k kk kk)(，收敛域：ν>z4、 正弦和余弦序列：可以通过上面指数序列推导出，见P53-54其它常见ZT ：见P54,表8-1五、左边和双边序列的ZT 计算方法： 1、 左边序列ZT 求法：)0()()()()(011f zk f z k f z k f z F k kk kk k --=-==∑∑∑∞+=+∞=--∞=-由此可以得到由右边序列计算左边序列ZT 计算方法：1） 将序列f (k)反褶，称为右边序列f (-k)； 2） 求f (-k)的右边ZT ，假设为)(z F s ，收敛域为R z >；3） 得到左边序列的ZT ：)0()()(1f z F z F s -=-，收敛域为1-<R z2、 双边序列ZT 求法：与双边信号的LT 一样，可以将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，分别求解。

例：求kk f ν=)(的ZT解：)()()()(k k k k f k k kδενενν--+==-其中：1）{}νεν-=z z k Z k )(，收敛域：ν>z 2）为了求{})(k Z k --εν， a 、 将信号反褶，成为新的右边序列：)(k k εν b 、 求右边序列ZT ：ν-w w ，收敛域：ν>wc 、 得到原序列ZT ：{}z v v v w w k Z z w k -=-=---=--111)(εν， 收敛域：1-<νz4） 综合得到双边序列的ZT ：a 、 如果1≥ν，则f (k)的双边ZT 不存在（两个收敛域没有公共部分）；b 、 如果1<ν，则f (k)的双边ZT 为：1)()())(()(1)(12111111++--=---=-+-=--+-=-------z v z z z z v z zv z z z z v v z z z F νννννννν 收敛域：1-<<ννz§8-3 Z 变换的性质1、 线性：()()()()z bF z aF k bf k af 2121+↔+2、 移序特性：1） 单边ZT 移序特性：a 、 增序：{}{}()[])0()()0()()()1()1()()1(01010f z F z f z j f z zj f z z k f z z k f k qf Z k f Z j j j j k k k k-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+==+∑∑∑∑∞+=-∞+=-+∞=+-+∞=-可推导出：{}{}()[]1221)0()()()2(---==+z f f z F z k f q Z k f Z ............ {}{}[]11)1(...)1()0()()()(-------=⋅=+n n n z n f z f f z F z k f q Z n k f Z b 、 减序：{}{}())()()( )1()()1(101110111z F z z j f z z j f z z k f z k f q Z k f Z j j j j k k -∞+=--∞+-=--+∞=----===-==-∑∑∑推广：{}{})()()(z F z k f q Z n k f Z n n --==-● 移序算子q 的作用相当于乘z ;● 移序计算不影响收敛域；● 移序特性与LT 中的微分特性很相似：)0()()(--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧f s sF t f dt d L 2） 双边序列移序：{}{})()()(z F z k f q Z n k f Z n n ==+，{}{})()()(z F z k f q Z n k f Z n n --==-3、 （z 域）尺度变换特性：若{})()(z F k f Z =，收敛区域21v z v <<，则：{})()(a z F k f a Z k = 收敛区域21av z av <<。