高考数学单元考点复习等比数列(2)

3.4 等比数列（2）

教学目的：

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.深刻理解等比中项概念.

3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点：等比中项的理解与应用

教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

1

-n n

a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式:

)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n

3．｛n a ｝成等比数列⇔

n

n a a 1+=q （+

∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

二、讲解新课：

1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则

ab G ab G G

b

a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2

=ab ,则

G

b

a G =，即a ,G ,

b 成等比数列 ∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2

=ab （a ·b ≠0）

2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？

由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a

q a a 221-+=⋅n m n m q a a a ，22

1-+=⋅k p k p q a a a

则k p n m a a a a =

3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列; 三、例题讲解

例1 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，

求证：

3

,3

,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得：

2

2333)3

(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++

∴

3

,3

,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 例2 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.

证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：

n n n

n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111211

1

1与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅

.)()(211

2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n

n n n n ==⋅⋅-++

它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.

例3 (1) 已知{n a }是等比数列，且252,

0645342=++>a a a a a a a n , 求3a a +

(2) a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列，2

2

,1,c a 成等比数列，求

2

2c a c

a ++

解：(1) ∵{n a }是等比数列，

∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2

＝25,

又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;

(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,

又a 2

, 1, c 2

成等比数列, ∴a 2

c 2

＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a ≠c 矛盾，

∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴

31

2

2=++c

a c a . 例4 已知无穷数列 ,10,10,10,105

15

25

15

-n ，

求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

10

1

， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1）51

5

2

5

11

101010

==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2）

101

1010

1015

45

15===-+-+n n n n a a ，即：101+=n n a a （3）5

25

15

110

10

10

-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴≥+q p

∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，

∴⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51

n 5

21010

q p ，（第1-+q p 项） 例5 设d c b a ,,,均为非零实数，()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a ，

求证：c b a ,,成等比数列且公比为d

证一：关于d 的二次方程()

()022

2

2

2

2

=+++-+c b d c a b d b a 有实根，

∴()()044222

2≥+-+=∆b a c a b ，∴()

02

2≥--ac

b

则必有：02

=-ac b ，即ac b =2

，∴c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2

aq c =代入

(

)

(

)

024

2222

2

2

22=+++-+q a q a d aq a aq d q a a