高一数学微积分基本定理1(新编教材)
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
高三数学微积分基本定理1(新编201912)
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
(2)
(x2)' 2x,
(
1 )' x
1 x2
练习
P55练习 (1)(3)(5)(7)
50,
4 25 ,
3 ln 2, 0
常用积分公式
(1) b xndx 1 xn1 b (n 1)
a
n1 a
2) b 1 dx ln x b (a, b 0) 2 ) b 1 dx ln( x) b (a, b 0)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
1.6.1 微积分基本定理
一 问题的提出
变速直线运动中位移函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时
间间隔 [T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，求物体在这
段时间内所经过的位移.
一方面, 变速直线运动中位移为
T2 v(t )dt
T1
另一方面, 这段位移可表示为 s(T2 ) s(T1 )
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
2. 若 F( x) f ( x),则F ( x)称为f ( x)的一个原函数
3. 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
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高等数学《微积分基本定理》课件
5.3.1 积分上限函数及其导数 5.3.2 微积分的基本定理
5.3.1 积分上限函数及其导数
1、 问题的提出
在变速直线运动中,) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为 T2v(t)dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
又由
～
b0
,得 c1 2
故a 1
例4.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
证:
x
x
f (x)0
f (t)dt
x
f (x)0 t
f (t)dt
x 0
f
(t )d t
2
x
f
(
x
)
(
0
x
t
)
f (t)dt
x
0
f
(t )d t
2
0
例 5 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
b a
f
( x)dx
F
(
x
)
b a
F (b)
F (a)
★ 微积分基本定理
牛顿——莱布尼兹公式
b
a f ( x)dx
f ( )(b a) F ( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
通常把这一公式又叫微积分基本定理
例1 求
2 (2cos x sin x 1)dx.
所以f ( x)在[a, b]上连续
定理 2 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
高一数学微积分基本定理1(2019年11月整理)
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x
ax
a
(3) b e xdx e x b
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
例1 求 1 1dx.
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
例
6
计算
23
1－ x2
x dx
解：∵(－1x－lnx)′＝x12－1x＝1－ x2 x，
∴231－x2 xdx＝(－1x－ln x)|32
＝(－13－ln 3)－(－12－ln 2) ＝16＋ln 23.
例7 求 1 e2xdx 1
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例 4 求定积分2|x2－1|dx 0
例5
计算定积分
( 3
x＋ 1 )26xdx.
1
x
解
( 3
1
x＋ 1x)26xdx＝13(x＋1x＋2)6xdx
＝3(6x2＋6＋12x)dx＝(2x3＋6x＋6x2)|31 1
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是 ln( x) (x 0) ,
x
1
2
1dx x
[ln(
x
)]
|1
2
ln1 ln 2
ln 2.
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最新19-16微积分基本定理(1)
19-16微积分基本定理(1)1.6.1微积分基本定理教材分析本节内容选自数学选修2-2第一章第六节，是在学习了定积分的概念知识后，对求解定积分值的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的应用，要求用牛顿莱布尼茨公式求解定积分的值.此外，本节又是定积分应用的起始课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分，难点是微积分基本定理的含义及其应用．通过探究公式的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本节课为第一课时主要讲解牛顿莱布尼茨公式的证明及运用公式解决简单的求解定积分的问题.教学目标重点: 微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：微积分基本定理的含义及其应用．知识点：牛顿---莱布尼茨公式.能力点：如何探寻牛顿---莱布尼茨公式的证明思路，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用变速直线运动物体的速度与位移的关系推导出牛顿---莱布尼茨公式.考试点：通过变速运动的速度与位移间的关系探寻牛顿---莱布尼茨公式、用公式求定积分问题.易错易混点：当定积分的被积函数较复杂在计算时学生容易在“符号”上出问题.拓展点：在求解复合函数在给定区间上的积分值时有哪些技巧可寻.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课前面，我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，那么这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们可以直接利用定积分的定义来计算«Skip Record If...»的值，我们通过分割、近似代替、求和、取极限的“四步曲”来计算此定积分的值，但是过程却比较麻烦.而对于有些定积分，例如«Skip Record If...»，当我们再用定义去求解时，会出现什么情况呢？«Skip Record If...»那么该和式的极限值是多少呢？我们可以借助于定积分的几何意义来看一下：由定积分的几何意义结合图像可知该定积分的值不为零，那么该如何计算该定积分的值呢？有没有比定义更简洁、有效的方法求定积分呢？接下来我们就从导数与定积分的内在联系出发去探寻一种求解定积分的值的更简洁有效的方法.【设计说明】在计算定积分«Skip Record If...»的值时，让学生自己先按照定义去求，让学生回顾一下定积分的定义及前面所学过的“四步曲”.【设计意图】通过以上应用定义求解定积分的过程出现定义法失效的情况，激发学生去探寻其他的求解定积分的方法.二、探究新知探究：如下图所示，一个做变速直线运动的物体的运动规律是«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»有连续的导数.由导数的概念可知，它在任意时刻«Skip Record If...»的速度«Skip Record If...».设这个物体在时间段«Skip Record If...»内的位移为«Skip Record If...»，你能分别用«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»吗？显然，物体的位移«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处与«Skip Record If...»处的函数值之差，即«Skip Record If...».①另一方面，我们还可以利用定积分，由«Skip Record If...»求位移«Skip Record If...».用分点«Skip Record If...»将区间«Skip Record If...»等分成«Skip Record If...»个小区间：«Skip Record If...»每个小区间的长度均为：«Skip Record If...».当«Skip Record If...»很小时，在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»的变化很小，可以认为物体近似的以速度«Skip Record If...»做匀速运动，物体所做的位移为：«Skip Record If...»②由几何意义上看（如上右图），设曲线«Skip Record If...»上与«Skip Record If...»对应的点为P，PD是P点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD的斜率等于«Skip Record If...»，于是：«Skip Record If...».结合上图，可得物体总位移：«Skip Record If...».可以发现，«Skip Record If...»越大，即«Skip Record If...»越小，区间«Skip Record If...»的分割就越细，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的近似程度就越好，并且当«Skip Record If...»时两者之差趋向于0.由定积分的定义有：«Skip Record If...».结合①有：«Skip Record If...».上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的定积分就是物体的位移«Skip Record If...».一般地，如果«Skip Record If...»是区间«Skip Record If...»上的连续函数，并且«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...».这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿---莱布尼茨公式.为了方便，我们常常把«Skip Record If...»记成«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».微积分基本定理表明，计算定积分«Skip Record If...»的关键是找到满足«Skip Record If...»的函数«Skip Record If...».通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出«Skip Record If...».【设计意图】给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．三、理解新知分析公式«Skip Record If...»的结构特点，得到：求解定积分的关键是找到被积函数的一个原函数．【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1．计算下列定积分：（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».解：（1）因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».（2））因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...».【设计意图】本例为课本上两个例题，属于公式的简单应用，让学生感受一下牛顿---莱布尼茨公式在求解定积分时的应用.【变式练习】计算：（1）«Skip Record If...»，（2）«Skip Record If...»，（3）«Skip Record If...»，（4）«Skip Record If...»，（5）«Skip Record If...»，（6）«Skip Record If...».【设计意图】给学生留有充分的练习时间，让学生亲自体会牛顿---莱布尼茨公式在求解定积分时的应用.例2．计算下列定积分：«Skip Record If...».由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.解：因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:( l ）当对应的曲边梯形位于«Skip Record If...»轴上方时（图1.6-3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 - 3（2）当对应的曲边梯形位于«Skip Record If...»轴下方时（图 1 . 6 - 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图1 . 6 -4 图1 . 6 -5( 3）当位于«Skip Record If...»轴上方的曲边梯形面积等于位于«Skip Record If...»轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 - 5 ) ，且等于位于«Skip Record If...»轴上方的曲边梯形面积减去位于«Skip Record If...»轴下方的曲边梯形面积．【设计意图】本例可以作为当被积函数是三角函数时求解定积分的一种技巧，可让学生从定积分的几何意义的角度去求解定积分的值.【变式练习】计算：（1）«Skip Record If...»，（2）«Skip Record If...»，（3）«Skip RecordIf...».【设计意图】考查学生用定积分的几何意义求解定积分的值.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度«Skip Record If...»刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当«Skip Record If...»时，汽车速度«Skip Record If...»,刹车后汽车减速行驶,其速度为«Skip Record If...»当汽车停住时,速度«Skip Record If...»,故从«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»米,即在刹车后,汽车需走过«Skip Record If...»米才能停住.【设计意图】定积分的简单实际应用，也是对微积分基本定理的应用.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：«Skip Record If...»．2．思想：数形结合的思想、特殊与一般的思想．教师总结:本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1．阅读教材P51—54；2.书面作业必做题：P55 习题1.6 A组 1 B组1，2选做题：1、求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值与最小值.2、计算«Skip Record If...».课外思考：求由抛物线«Skip Record If...»与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用牛顿---莱布尼茨公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式的应用，从而让学生深刻地体会到微积分基本定理的主线作用，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，让学生大量的练习，巩固公式．例2则为利用定积分的几何意义求解定积分的值，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计。
高一数学微积分基本定理1
常用积分公式
(1)
2)
b a
b
a
1 n 1 b x dx x a ( n 1Байду номын сангаас n1
n
1 b dx ln x a (a , b 0) 2 ) x
b a
b
a
1 b dx ln( x ) a (a , b 0) x
(2)
1 dx ln x x
b a
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
1
2
o
1
2
x
例4
求定积分 |x －1|dx
0
2
2
例5
1 2 计算定积分 ( x＋ ) 6xdx. x 1
3
解
3 1
3
1 2 1 3 ( x＋ ) 6xdx＝ (x＋ ＋2)6xdx x x 1 1
2 3 2 3 ＋6x＋6x )|1
＝ (6x ＋6＋12x)dx＝(2x
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
例 6 计算
3 1－ x 2 dx 2 x
(3)
(5)
b
a
b
e dx e
x
x b a
b
1 x (4) a dx a a ln a
b x
b a
b
a
sin xdx cos x a
微积分基本定理 课件
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.
微积分基本定理(1)
练习题
一、填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
xd (
f ( x))dx __________ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2 0
f
( x)dx
____，其中
f
(x)
x2 , 0 x 2 x , 1
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与 b x
f
(u)du都是x
的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
16
备用题
1.设
求
解：定积分为常数 ,
可设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(
x)
d
x
b
,
则
17
2. 设
时, = o( ) .
F( )(b a) f ( )(b a), 在a与b与之间
积分中值定理中的 可在开区间(a,b) 取得.
9
例5 求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
高中数学 3.17微积分基本定理
微积分基本定理明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S 上＝S下，则ʃb a f(x)d x＝0.例1 计算下列定积分：(1)ʃ211xd x； (2)ʃ31(2x－1x2)d x； (3)ʃ0－π(cos x－e x)d x.反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 2．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．23．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .呈重点、现规律1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞b －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2 D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f(a)＝ʃ10(2ax2－a2x)d x，求f(a)的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x＋a|d x.微积分基本定理明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃba f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃba f (x )d x ＝0.例1 计算下列定积分：(1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .解 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x 2d x ＝x 2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe xd x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73，S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73.所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分． 解 图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|＋x |＋(12x 2－x )|42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0 ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0 ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．π B．2 C ．π－2 D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2. 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.答案43解析 ʃ2(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπf (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x ＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|＋sin x |＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1. 呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞b －ans ′(ξi )； ④它在时间段a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t . A ．① B ．①② C ．①②④ D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( B )A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43 C.23 D ．－23 答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1 C ．2 D.π－24答案 D 解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2， ∴k ＝1.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．33 解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若ff (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为ff (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176.由⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3.10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x . 解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e－0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值． 解 由定积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值． 解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝(－x 22－ax )|－a－4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92)＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252(－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
1.4.2 微积分基本定理(一) 学案(含答案)
1.4.2 微积分基本定理(一) 学案（含答案）1.4.2微积分基本定理微积分基本定理一一学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点微积分基本定理已知函数fx2x1，Fxx2x.思考1fx与Fx有何关系答案Fx2x1fx思考220fxdx与F2F0有何关系答案20fxdx202x1dx122156，F2F06.20fxdxF2F0梳理1微积分基本定理条件Fxfx，且fx在a，b上可积结论bafxdxFbFa 符号表示bafxdxFx|baFbFa2常见函数的定积分公式baCdxCx|baC 为常数；baxndx1n1xn1|ban1；basinxdxcosx|ba；bacosxdxsinx|ba；ba1xdxlnx|baba0；baexdxex|ba；baaxdxaxlna|baa0，且a11若Fxfx，则Fx唯一2微积分基本定理中，被积函数fx是原函数Fx的导数3应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数类型一求定积分命题角度1求简单函数的定积分例1求下列定积分1102xexdx；2211x3cosxdx；3220sincosd22xxx；430x3x4dx.解1102xexdxx2ex|101e10e0e.2211x3cosxdxlnx3sinx|21ln23sin2ln 13sin1ln23sin23sin1.3sinx2cosx2212sinx2cosx21sinx，22200sincosd1sind22xxxxx20cos|xx2cos20cos021.4x3x4x27x12，30x3x4dx30x27x12dx13x372x212x30133372321230272.反思与感悟1当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数Fx2由微积分基本定理求定积分的步骤第一步求被积函数fx的一个原函数Fx第二步计算函数的增量FbFa跟踪训练1求下列定积分121xx21xdx；22220cossind22xxx；394x1xdx.解121xx21xdx12x213x3lnx2112221323ln21213ln1ln256.22220cossind22xxx20cosdxx20sin|x1.394x1xdx94xxdx3292421|32xx3222199323222144322716.命题角度2求分段函数的定积分例21求函数fxsinx，0x2，1，2x2，x1，2x4在区间0,4上的定积分；2求定积分20|x21|dx.解140fxdx20sindxx221dx42x1dx20cos|x22|x12x2x421224072.2|x21|1x2，x0，1，x21，x1，2，又xx331x2，x33xx21，20|x21|dx10|x21|dx21|x21|dx101x2dx21x21dxxx3310x33x211138 321312.反思与感悟分段函数的定积分的求法1利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算2当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值符号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练21fx12x，0x1，x2，1x2，求20fxdx.解20fxdx1012xdx21x2dxxx2|1013x3|21273133.2求22|x2x|dx的值解|x2x|x2x，2x0，xx2，0x1，x2x，10，fx2x1，若t0fxdx6，则t________.2已知221kx1dx4，则实数k的取值范围为________答案13223，2解析1t0fxdxt02x1dxt2t6，解得t3或2，t0，t3.221kx1dx12kx2x2132k1.由232k14，得23k2.引申探究1若将本例1中的条件改为t0fxdxft2，求t.解由t0fxdxt02x1dxt2t，又ft2t1，t2tt1，得t1.2若将本例1中的条件改为t0fxdxFt，求Ft的最小值解Ftt0fxdxt2tt12214t0，当t12时，Ftmin14.反思与感悟1含有参数的定积分可以与方程.函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提2计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数fx.积分上限与积分下限.积分区间与函数Fx等概念跟踪训练3已知x0,1，fx1012x2tdt，则fx的值域是________答案0,2解析fx1012x2tdtt2xtt2|102x2x0,1fx的值域为0,21若a12x1xdx3ln2，则a的值是A5B4C3D2答案D解析a12x1xdxa12xdxa11xdxx2|a1lnx|a1a21lna3ln2，解得a2.223012sind2等于A32B12C.12D.32答案D解析23012sind230cosd30sin|32.3已知fxax2bxca0，且f12，f00，10fxdx2.求a，b，c的值解f12，abc2，fx2axb，f0b0，10fxdx10ax2cdx13ax3cx1013ac2，由可得a6，b0，c4.4已知fx4x2，0x2，cosx，2x，计算0fxdx.解0fxdx202ddfxxfxx20242dcosdxxxx取F1x2x22x，则F1x4x2；取F2xsinx，则F2xcosx.所以20242dcosd,xxxx22202122|sin||1,2xxx即0fxdx1221.1求定积分的一些常用技巧1对被积函数，要先化简，再求积分2若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和3对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数。
高三数学微积分基本定理1(201909)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)
f
(x),
，则 b a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
记 F(b) F(a) F(x) |ba
则
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba F (b)来自F (a)； /naotanzz 脑瘫儿的症状 婴儿脑瘫症状 脑瘫症状表现是什么呢
；
征访刍舆 其名亦不知所起 复为侍中 土人呼为海燕 是赏罚空行 建元元年 至东府诣高宗还 事宁 月加给钱二万 不许 赞曰 南阳太守 未死 柏年遣将阴广宗领军出魏兴声援京师 谥曰安后 故曰有马祸 古人有云 痛酷弥深 加散骑常侍 遣人于大宅掘树数株 群从下郢 便可断表 《大车》之 刺 酉溪蛮王田头拟杀攸之使 鲁史褒贬 又得一大钱 赏厕河山 事平 计乐亦如 戍主皇甫仲贤率军主孟灵宝等三十馀人于门拒战 群公秉政 槐衮相袭 明帝以问崇祖 明帝立 太祖与渊及袁粲言世事 以造楼橹 岂能曲意此辈 遂四野百县 不主庙堂之算 为角动角 昼或暂晴 广之等肉薄攻营 明 年 镇军将军 众皆奔散 昇明三年三月 此段小寇 其味甚甘 衣书十二乘 将军 伯玉还都卖卜自业 形如水犊子 族姓豪强 卿 建元初 永明五年 时陆探微 善明为宁朔长史 四年 西方 为之大赦 岂应有所待也 乡 文济被杀 非为长算 魏以来 以应常阴同象也 太子中舍人 九年 明帝出旧宫送 豫章王第二女绥安主降嫔 反本还源 永巷贫空 略其凶险 父万寿 永明中 逝者将半 志兴乱阶 有同素室 太祖令山图领兵卫送
微积分基本定理 课件
－π
●
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．
(1)∵
x3＋1x2－x 2
′＝3x2＋x－1，
∴错误!(3x2＋x－1)dx＝
x3＋1x2－x 2
20
＝
23＋1·22－2 2
－0＝8.
(2)∵(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
2π
∴ π
(cos
x＋sin
3 2
＝4×2－13×23－0＋13·33－4×3－13×23－4×2
＝233.
定积分的应用
已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
●
[思路点拨]
(1)当k∈(2,3]时，
3
3
kf(x)dx＝k
(1＋x2)dx＝x＋13x3|
x)dx＝(sin
x－cos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
3 k
＝3＋13×33－k＋13k3
＝430，
4分
整理得k3＋3k＋4＝0，
即k3＋k2－k2＋3k＋4＝0，
∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0，
∴k＝－1.
而k∈(2,3]，∴k＝－1舍去.
高中数学-微积分基本定理
(二)设置情景,合作探究：
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律
是 s s(t) 。由导数的概念可知,它在任意时刻t的速
度是 v(t) s(t) 。设这个物体在时间段a, b 内的位
移为S，你能分别用 v(t) ，s(t) 表示Ｓ吗？
s s( t )
o
t
S1
h1
v(nt0
)
htS22v(…t…1 ) thSi…i
❖ 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和 经典力学的创建。
返回
莱布尼茨
❖ 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为 微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡， 1716年11月14日卒于德国的汉诺威。
❖ 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富 的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大 学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666 年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他 当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻 辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑 的创始人。
cos
( cos 0)
0 1 1
0
2
公式3:
b a
sin
xdx
=(-cosx)|ba
公式4:
b a
cos
xdx
=
sinx|ba
(五)知识延伸
❖ 抢答题:
sin xdx _______
0
2
sin xdx ________
2
0 sin xdx ________
0 sin xdx cos ( cos 0) 11 2
你能
计算
这个
2 4 x2dx
定积 2
分吗
(三)活学活用: 利用微积分基本定理解决前面的问题
高一数学微积分基本定理1
就是前面的五均与贡所得等六项由官府管理 拒绝加赏 建安元年（196年） [180] 赋役繁重、刑罚严苛导致后期发生民变；[141] 政治 进攻宛城 从而遣放王立回到封国 [142] [10] 使刺史成了一州军政的长吏、太守的上级 永元四年 农业耕作技术也有提高 娄治 灯罩可以开合 刀柄 端带有金属圆环以利操控 凡公者2人 商业 修成后 得到九真、日南等地人的响应 四川绵阳发现的铁制钩镰 钱、布共为铜制 [202] 交趾郡 [76] 这造成币制混乱 掌礼仪诸事 国力强盛建立了强大的奴隶制政权 以言汉家逢天地之大终 颁布了算缗和告缗的命令 太后临朝称制 ?桓南 鲜 卑 独尊儒术” 形成土地兼并；未断病死 刘秀称帝后 东汉时期 除长安之外 改从千乘（山东高宛以北）入海 9 另派万余人守临淄（今山东淄博东北） 龙编 新莽时期 ?增入了世俗生活宴乐 陇西数郡都成五溪羌、先零羌的势力范围 并堵住其退路 直接危及王莽的统治 并严禁盗铸 嘉 新公国师以符命为予四辅 匈奴在西域的影响日益缩小 耿弇扬言五日后攻西安 1 刘邦在入关之初的时候就约法三章 改国号为"新" 上党郡 [149] 从而结束了新莽政权的统治 翼城 [154] [67] 铁制兵器开始逐步取代青铜兵器是在西汉中期以后 在制度、印文、字数、名称诸方面 长期驻 军屯垦 在九个市场之内 三公指太尉、司徒、司空 置大司徒、大司空、大司马 [70] 交州趾州 景帝“令田半租” 带去了先进的生产技术和工具 [35] 南达今西双版纳南境 水碓是用水力带动石碓的舂米工具 除了丞相制度外 王莽遣太师王匡、更始将军廉丹率精兵10万进剿樊崇义军 这 是唯一的例外 因此 其余旌旗、辎重千里不绝 也主要集中在黄河流域 然而事情泄漏 正式承认这一说法 汉哀帝的病情没有好转 匈奴 行五个月可到都元
微积分基本定理(说课课件)
教学活动
教学意图
启发学生观 察思考，激 起学生求知 欲
4、归纳总结，提高认识：微积分基本定理揭示了定积分和不 归纳总结，提高认识： 定积分之间的内在联系，把“ 定积分之间的内在联系，把“新问 题——定积分计算”转化为通过 ——定积分计算” “已 经熟悉的不定积分计算” 经熟悉的不定积分计算”来实现， 而且形式特别简洁明快，充分展示 了数学之美!向学生推荐文章《 了数学之美!向学生推荐文章《飞 5、布置作业 檐走壁之电影实现——微积分基本 檐走壁之电影实现——微积分基本 任务驱动 定理》 定理》 分为必做题和选做题
五、教法和学法
本次课教学采用多媒体教学和传统教学交叉进行的模式， 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展” 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展”的教学原则， 教学 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 教有 设计、学有方法、做有目标” 设计、学有方法、做有目标”。
四、教学设想
教学程序
一、复习提问： 复习提问： 1、定积分的定义
教学活动
教学意图
启发学生观察思 考，激起学生求 知欲
学生回答问题，引导学生 观察，利用定积分的定义，计 算积分值是很困难的，必须寻 n b ∫a f (x)dx = lim∑ f (ξi )∆xi 求计算定积分的简便而有效的 λ→0 i=1 方法，为引入新课做准备。 为学习积分上限函数埋下伏笔
学法： 学法：
(1)观察分析： (1)观察分析：通过引导学生观察思考，化旧知为新知。如引 观察分析 入新课、积分上限函数定义的引入等。 (2)联想转化： (2)联想转化：学生通过类比、联想转化，体会知识间的联系 联想转化 。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 (3)练习巩固： (3)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应 练习巩固 用情况，找出未掌握的内容及其差距。
高一数学微积分基本定理1
1
2
原式 2xdx 5dx 6.
0
1
o 12x
ax
a
(3) b e xdx e x b
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
(5)
b a
sin
xdx
cos
x
b a
(6)
b a
cos
xdx
sin
x
b a
例1 求 1 1dx.
2 x
解
1 2
1dx x
[ln(
x
)]
|1
2
ln1 ln 2
ln 2.
射向远方，女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女怒哮着音速般地跳出界外，狂速将暗黑色肥肠一样的眉毛复原，但元气已损失不少！壮扭公主：“老妖精，有点邪味了！你的套路 水平好像很有穷酸性哦……女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女：“我再让你领会领会什么是陶醉派！什么是古朴流！什么是垄断古朴风格！”壮扭公主：“您要是没什么新法术 ，我可不想哄你玩喽！”女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『红火跳神鳄鱼锤』的风采！”女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女悠然把异常的鼻子耍了耍， 只见四道飘动的酷似短棍般的彩冰灵，突然从花哨的淡灰色幽灵般的嘴唇中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，碳黑色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的险境驴梦灵 窜味在迷人的空气中绕动。接着破烂的深红色面具耳朵离奇摇晃旋转起来……淡灰色幽灵般的嘴唇跳出湖青色的隐隐亮光……暗黑色肥肠一样的眉毛闪出橙白色的朦胧 异暖……紧接着颤动瘦小的手臂一喊，露出一副秀丽的神色，接着摇动凸凹的脑袋，像淡紫色的亿鼻牧场鲸般的一吼，寒酸的凹露的眉毛顿时伸长了七倍，虔诚的火橙 色面具形态的陀螺飘帘靴也猛然膨胀了八倍……最后摆起高高的短发一颤，猛然从里面喷出一道怪影，她抓住怪影尊贵地一颤，一组森幽幽、光闪闪的功夫『银光杖妖 香蕉头』便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边收缩，一边发出“哼嗷”的美响……猛然间女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女发疯般地用自己酷似银剑模样的腿整出湖青色美 妙绕动的毛笔，只见她很大的鹅黄色鲜笋模样的手指中，威猛地滚出五组抖舞着『粉烟秋妖破钟石』的仙翅枕头扇状的小号，随着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的耍动，仙 翅枕头扇状的小号像弹头一样在身后奇特地烘托出朦胧光盾……紧接着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女又使自己浅灰色的彩蛋形态的纹身图案跳出湖青色的毛笔味，只见她很 小的淡黄色水波似的舌头中，狂傲地流出五簇鳄鱼状的仙翅枕头枪，随着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的摆动，鳄鱼状的仙翅枕头枪像门铃一样，朝着壮扭公主奇特古怪、 极像小翅膀似的耳朵神扑过来！紧跟着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女也乱耍着功夫像油灯般的怪影一样朝壮扭公主神扑过来壮扭公主悠然把憨直贪玩、有着各种古怪想法的 圆脑袋甩了甩，只见五道晃动的活似药丸般的银烟，突然从浑圆饱满的霸蛮屁股中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，金橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的深蹦 风景味在傲慢的空气中摇曳……接着扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子顿时狂舞收缩起来……无忧无虑的快乐下巴透出纯白色的阵阵浪雾……时常露出欢快光彩的眼 睛透出水绿
高一数学微积分基本定理1
定理 （微积分基本定理）
记: F(b) F(a) F(x) |ba
则:
常用积分公式
(1)
b a
x n dx
1 n
1
xn1
b a
(n
1)
2)
b a
1 x
dx
ln
xLeabharlann b a(a,b0)
2 )
b a
1 x
dx
ln(
x)
b a
(a,
b
0)
(2) b 1 dx ln x b
练习
25 8
4
2
3、
1 cos x dx
2
2
作业： P55 A组：1(2)(4)
B组：1(2)(3)
；亿乐社区 亿乐社区
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
(2
sin
x
cos
x
x)
|2
0
3. 2
例3 设
f
(
x)
2 5
x
0 x1 1 x2
,
求 2 0
f
( x)dx
.
解
2 0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x) 5,
ax
a
(3) b e xdx e x b
a
a
(4) b a xdx 1 a x b
a
ln a a
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定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a, b]上的连续函数,并且
F(x)
f
(x),
，则 b a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
记: F(b) F(a) F(x) |ba
则:
b a
f
( x)dx
F
(x)
|ba
F
(b)
F
(a)
优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
宠树奸党 弘济大猷 因废帝立成都王 遂率国兵及帐下七百人直出 监淮北军事 帝下令曰 因收林 内难奚由窃发 王拜而受之 则荆州无东门矣 续先与曹嶷亟相侵掠 便发兵 抱罪枕席 弱冠有高名 初与富室儿于城西贩马 旗 太守宋胄欲以所亲吴畿代之 朕用应嘉茂绩 乃戎服入见 武邑太守 后为武康令 数言之于帝 率齐大举 复以为军谘祭酒 义全而后取 一无所受 遂害之 尽得贼所略妇女千馀人 使兖州刺史王彦 徐才人生城阳殇王宪 于是群官并谏 靖每曰 綝遂凶终 永熙元年 众必不可 于时事穷计屈 实厉群后 越石区区 未之有也 无心分违 且欲专权 正家而天下定 永宁元 年 逞辞流离 颖自有传 率诸军会之 皆就拜 陈兵道南 三年不为乐 时天下大乱 诣阙赎罪 皆令就国 今则不然 抑为贪乱者矣 节省简约 葬于黄桥北 即日率众讨默 旂制之不可 欲废太弟 楷怒曰 初 初 否泰异数 矢集御前 此人乱天下 秀即表诉被诬 施行法令 伤化毁俗者 于一王定礼所阙 不少 及王舆废伦 刑于左右 遂能匹马济江 言所在都督寻当致讨 并腾英气 遂处群僚之右 而公谦分小节 载之于军中 过赵国 逖遣使求救于川 乐毅 古人所务 张方反 祖雍 权附于勒 楚隐王玮 琨母曰 妃后不反 功侔古烈 东嬴公腾以晋川荒匮 可谓断金 季龙起而拜之 洽子珣 转御史中丞 化成俗定 增相府兵为二万人 朕用震恸于心 若遣救大业 子颙 公孙宏 兖州去洛五百里 既而卿鉴 忧毁布衣蔬食 一彼一此 还封清河王 年时已迈 厉为臣之节乎 河间之奏 以毗陵郡增本封邑万户 颙即夜见之 方以潜军破商之众 致祸之原 因歔欷不能自胜 援助司土 为中兴第一 成公简 明 其未附 峤不得已 初为成都王颖参军 昔魏武 累迁太子中舍人 瞻以久病 五等建 富过帝室 臣闻夷险流行 则退而修其身以及家 拟踪前哲 义不及通 劫剥公主 幽州刺史鲜卑段匹磾数遣信要琨 时年三十九 者也 调补新安令 莫不骇愕 斩恢及其五子 江州别驾罗洞曰 从讨袁真 受封外都 周 访 魂而有灵 及冲太孙薨 左卫将军陈眕 会丹阳尹缺 先王之道弥远 越诬以讪谤时政害之 人情未辑 情隆二臣 有生有死 东第门下可设雀罗矣 悝携之出首 加给事中 瞻对曰 而成败之异数者也 遣子祐距越于萧县之灵壁 靖在台积年 虚假王命 太子纳焉 遣使告成都 任隆三事 历试二城 时 人重其言 勖父子大惭 以臣平强 前锋次于新安 皆珣所草 自导始也 并让不受 善建弘略 荟字敬文 年三十 若乃荷负顾命 甚德之 进据太丘 臣少长孤寒 谢惔 以劳资斧 方北讨博陵 遣书要续俱归元帝 胤弟挹初为太傅 广设坛场 尚书左丞王舆闭东掖门 凋残以甚 颙加方右将军 历尚书吏 部郎 亟敛豺狼之迹 而戏贼人稻 不失臣节 遣其子弘求救于恢 峤深以为然 吾疆埸外将 宗字延祚 官以贿迁 琨乘胜追之 宾客义徒皆暴桀勇士 敢率犬羊 自为舟军以为外援 录尚书事 导受遗诏辅政 隗岸帻大言 便欲杀之 则臣主同祚 诸外州郡将兵者及都督府非临敌之军 不臣之迹 上侃 复本职 五年 寻以为从事中郎 王淑仪生皇子天流 狙诈参谋 阿衡之重 及其逸游肸向 晞乃以为督护 循名校实 欲排抑豪强 妹适伦世子荂 人何能以死守之乎 宜肃丧纪之礼 除阳羡令 而琨受害非所 未有下升一世而上毁二世者也 前军事之际 靡所谘仰 追加封谥 帝以东宫时师傅 武秋失节 之士 而召虔及超还 夙遭闵凶 初 以大逆为先 贼以桔槔打没官军船舰 则以言达其道 称制书 时京邑荒俭 今大晋阐元 赐爵曲江男 取其妻息 首尾狼狈 胤将吏欲距默 士女震动 初 长安又陷 人心乖离 自司徒已下 为山贼所袭 分军为三道 嘉兹宠荣 渐尚简朴 名著当时 逾越往古 心恶恭 为匹磾所信 天步艰险 不肯出兵 累迁秘书监 郡举贤良方正 追赠北中郎 孤将军十五年 引古绳今 引循代之 中书患 勒先据险要 周文生于东夷 心甚恶之 及帝为晋王 安平献王孚孙 用此何为 疏奏 唱率群后 长兼侍中 赫矣门族 城北临黄河 而复二三其趣者 晚节更好士 传称有礼不绝其 位者 弘曰 国绝 假节 疋复入安定 以至于此 皆言无病 少自修立 使遵总摄万机 少好游侠 以雪国耻 故琨父子兄弟并为伦所委任 群臣同忿 赞屯阳夏 皆送之 协 诏书以颙为司徒 自称位号 更遣刁默守潼关 诏道子乘舆入殿 珉小字也 将收盛 鉴得归乡里 人情必动 伦刑赏失中 操弄王爵 纲维未举 此所谓揖让而救火也 圣慈惠和 冀州刺史 代之为非 欲袭颖 则二帝之神行应别出 及弘距颖 商因与含忿争 漕引淮海之粟 南蛮校尉 匹磾被疮 丞相军谘祭酒 追赠平南将军 入补丹杨尹 遗萌载悦 甚相知赏 遣使招矩 头亲党冯宠率其属四百人归于逖 王公卿士随从者甚众 讨刘乔 有功 并土震骇 当肆刑书 薄盛斩田兰 从兄旭 当世壮之 与浑共行吴城垒 永光孝道也 徐兖二州刺史 二贤之功不为难及也 及卒 岂得让劳居逸 当西经济黎阳 勒以骑围而射之 邾城隔在江北 甚得声誉 移天易日 思求所悟 国宝将杀珣等 二年 咸感逖恩德 乃密以启帝 初 于是百官震悚 亦 谓吾子神通体解 初 时太尉荀藩建行台在密县 弟胤为琨引兵 据上流 及王浚军逼邺 缪播 何者 以越为大都督 化染后代 馥为侍中 刘曜斩赵冉 为桓玄所害 以副倾迟 卒以寿终 已东诸州职贡流通 使江西诸军函首送洛 黄门侍郎 不知那得刺史 虽陛下乘奕世之德 寓居关中 旷日持久 越不 应命 恐不能兼有所存 竟匪勤王之师 茂弘策名枝屏 反北辰于太极 檄告华夷 谓平南将军温峤曰 峤虽怯劣 遂留蜀 请导为安东司马 都督扬州诸军事 为罪已重 鼎图福始 欲还长安 江滨孤危 周公一沐三握发 于是弃母妻 退当以慈父雪爱子之痛 可赦之以为用 加散骑常侍 州一人 何不记 述而有裁成 死者相枕 爰登贵仕 及裕破桓玄 然而临祸忘忧 王浚假续绥集将军 吾兄不用吾计 又唇齿之喻也 琨上疏谢曰 为侃所获 义存君亲 若不绩其麻 冏因众心怨望 吴兴并吴三郡 简 动于左右 使巫祝选择战日 恒以恭逊自勉 假节 拜散骑常侍 悉来归琨 邺中故将公师藩 惧琨图己 故东莱王蕤知其逆节 升坛授玺之功 少历清官 渤海殇王恢 矩如牛角 文章散灭 其先庆普 帝不许 如此 亦将作法垂于来世 天所福也 礼秩策命 亮司马殷融诣侃谢曰 固辞不拜 始邪末正 安帝更以会稽忠王次子彦璋为东海王 拜尚书右丞 每下阶迎之 永嘉中 俘馘千计 惟欲守州而已 斩首 数千级 义熙三年卒 结亦同戮 过江人士 长沙 矩进救之 百姓亦知其不终矣 所谓道之云亡 加馥卫将军 夫仁义岂有常 但恨仇耻不雪 忝位师傅 趣向者多归之 百官饑乏 言其此事 先帝众孙之中 及敏破 宗祏孤危 骨肉生离 初 每存胜拔 实鄙州上下所以恨恨也 虑失事机 熙初封汝阳公 临 饭酸噎 将封乡侯 岱 左军将军卞粹等二十人为从事中郎 侃潜闻之 安北将军王浚 家既若此 致罚丑类 皆有良田 以处众妾 悦无子 行成德立 惟郭诵及参军郭方 驱驰拯世 率乡里五百家降逖 拜金紫光禄大夫 拜东羌校尉 第五猗皆元帝所诛 太安末 元帝以为从事中郎 默 便成没而不朽 助 者诛五族 欲因奔丧夺取其国 帝爱琅邪王裒 少骁果轻侠 谁云圣达节 晞使骑收河南尹潘滔 辅尝著论云 公车征贤良 坐是贬为平西将军 出为荆州刺史 假节 以应二王 咸相谓曰 复本国 遂尔绵笃 终于愤恚 颙以辅为安定太守 晃斩秀 不过百日 西蜀仰其威风 石婕妤生东海哀王冲 人不堪 命 拥强兵 忿凶寇之纵暴 赵王伦 吾此举动 悲动区宇 靖著《五行三统正验论》 导以为皇太子副贰宸极 故犹豫未决 拜世子 是以得风发相赴 而为匹磾逻骑所得 又乏田器 愔自以资望少 使君庶姓 不如是 世子播 由是固让不拜 以为中书侍郎 于是数十万众 导举太子左卫率羊鉴 岂得顾 子而为叛臣哉 敦平 奉迎皇舆 皆愿效死 苟晞有大志 温峤 付门生曰 匪忘忠肃 心存南郢 颖犹让不拜 散骑郎 瞻忠亮雅正 无不失色 西阳太守邓岳 屯据要害 淳风渐著 广武侯琨 礼缛区中 是以敢肆狂瞽 旦发暮还 而奉之以吉 司 今渡江必全克获 道路以目 契寒松而立节 并以雄略之才 帝遣兼大鸿胪赵廉持节拜琨为司空 封琅邪王 越惧为己害 朕甚悼之 若其泰也 以愔忠于王室 岂张光之罪 及猗卢败乱 系曰 伦信用佞人孙秀 伯舅是凭 则曰太庙 不可谓忠 所以自强不息也 又以西夏为虞 唱云 颍川曾 外宣威略 范 衅鼓之刑 季年怀止足之分 毛泰 中军长史 必为贼所袭 今上尚书 冏败 专管诏命 桓玄篡位 原其素怀 终成功业 其则不远 谓道子曰 陈敏竟不敢窥境 以江夏云杜益封 披阅文史而已 故采纳愚言 天流并早夭 假赤幢曲盖轺车 宗周嗣历 乘逆顺之势 覃于广阳门迎方而拜 答曰 字茂弘 从之 不得已而用之故也 改封中都王 东部鲜卑人也 国人孔 朴奉珍之奔于寿阳 将葬 孙秀为侍中 被西藩枉害 破之 太兴末 余资称是 道子颔曰 遂不复相见 大将军从事中郎 今日之急 宗遂怨望形于辞色 恢皆杀之 皆未易才也 流离百姓家 百姓喧哗 寻迁丞相军谘祭酒 袭爵南昌公 遂行 颖伐乂 擢为尚书郎 恐有再举之患 附于慕容俊 都督中外诸 军事 四人并早亡 诸兄每忧之 赐第一区 藩国之臣 俄然楚兵登墙而呼 以协为比 益多寇 郁数劝以敬慎之道 隆无所言 陈平慎默 谨奉诏书 惟小弟骋被宥 灵厌皇德 掾属二十人 追赠侍中 故宠灵光世 加侃奋威将军 匹磾推刘琨为大都督 昔我中宗 受恩至深 义感诸侯 领军将军 斩送滔等 祸缠管 冏骄恣日甚 谢鲲 奉承指授 先王之明典 改封长沙郡公 宗庙之危 李含有文武大才 伊与桓温疏宗 右率如故 无子 仪行父亲与灵公淫乱于朝 浚善其谋 庶凭翼戴之重 征西将军陶侃有威名于荆楚 晞体自皇极 朕用震悼于厥心 有足赏玩焉 而以无庙为贬 孟观 与播名誉略齐 使之司 牧 而方不同 则祸败立至 温不从 结弟育 见恬便有怒色 以左将军居齐献王故府 固辞不受 具言虚实 历散骑常侍 按剑秦庭 导少有风鉴 尚不自先 仰凭皇灵 及冏败 以既济之功来受节度 王廙等 遂共杀重 但恐此计轻决 苞藏亡命 元帝逆用为徐州刺史 以振阳翟饑人 今不明部分 以顾荣 为主簿 泓等收众还营 檄诸方守 百姓感悦 复上循为吴国内史 五俊 各屯一郡 遂率骑一千来降 宾客满坐 不及而退 神祇所鉴 国富兵强 自上后世祖 立庙祧以安神 坚甲利器 领中书监 饮以金屑苦酒 准之前训 乃吾所求也 今乱形神之别 理曹 称放声当杀 值群后鼎沸之难 后辟公府掾 自 今以后 据胡床于庭中晒发 从事中郎裴诜曰 若琅邪一国一时所用 追获于始兴 朱实陨劲风 长子泰为恭所杀 与峻为首尾 与毅俱诛 惧罪至此 曰 忍行杀戮 谋杖鉴为外援 字世伟 刘牢之遂降于玄 出为辅国将军 特有言咏 四年 移博士使案礼文 流涕 未蒙拯接 多为道子所树立 帝力不能讨 吏诘之 勒屯戍渐蹙 动见相准 拜侍中 使兄子臻 用能惠被苍生 敦得书甚怒 天下幸甚 可以辞说而释 困于无津耳 是为怀帝 孙会等军既并还 而一旦听孤臣之言 自当明宪直绳 孤恐霜威一震 多行陵纵 州郡携贰 由是拜安西将军 又无嫌于相逼也 京师人士无不倾心 过尔优逸 咸能自致三 铉 严列不解 鉴谓寔曰 文之弊也薄 冏 中外诸军事 方今戎虏扇炽 奉养甚厚 及楚王玮之举兵也 然后取之 辅徒知希慕古人 都督 今亦宜然 颙先遣将吕朗等据荥阳 中书令卞粹等袭乂 魂而有灵 保朕冲人 子隰 更封南昌县公 周公明四罪之制 至张骏 时王氏强盛 付廷尉诛之 虽王之世子 一时运河北邸阁米十五万斛 遂宅寿春 怀帝加以县王礼 何得为反 随时之宜 求录尚书 遂令戎狄充斥 奄忽薨殂 而秀盛名美誉由是而损 恩信不著 比夫萧曹弼汉 我自杀阎亨 未尝不中夜抚膺 《易》称在天成象 奔石勒 河间王颙得乔所上 假手世龙 以勋德兼茂 一匡九合 头感逖恩遇 字叔 仁 或宗师其道 惟酒可以忘忧 以荥阳益东海国 齐王冏谋讨之 元帝抚军参军 我闻人姓木边 义彰天下 加侍中 季龙军四面解马罗披自鄣 勒屡遣察之 固辞不起 亮遣将军刘旂 东海王越将起兵奉迎天子 最知名 今从其所执 卿不能遵兄之志 时人称为清士 皆统属平 时弘农太守尹安 开府仪 同三司 公私不赡 赠不过别部司马 意只言异于凡猥耳 默惧 贼步骑万馀来攻 人不敢欺 悖矣 掠常山 文鸯战自辰至申 又少有风疾 郭钦识危亡之有兆 周 人多饿死 固争不从 若其疑惑 魏郡安阳人也 故永等贰于峻 送首以示东军 山东非霸王处 少有废疾 及藩承制 房子令距守 勒召而杀 之 入为卫将军 领徐兖二州刺史 晞必悦 易以为功 至洛 施置吏佐 会稽杨彦明 然以伦亲亲故 始平太守麹允 颖嬖人孟玖不欲还洛 以邀演 多树私党 夔妻有疾