安徽省马鞍山市2013届高三毕业班第二次教学质量检测(数学理)【2013马鞍山二模】扫描版
【数学】安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测试题(理)(解析版)
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学试题（理）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】故本题选A.2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，因此集合=，，因此集合B＝故本题选D.3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设，显然是指数函数，是增函数.本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得的最大值为，故本题选C.4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；,故本题选D.5.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故本题选B.6.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 20B. 22C. 24D.【答案】B【解析】通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。
所以表面积S=.故本题选B.7.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（）A. 直线对称B. 直线对称C. 原点对称D. 轴对称【答案】B【解析】设函数, 所以有定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线对称.而的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的。
因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.8.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为所以的最小值为，此时，故本题选A.9.如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如已知图，设球的球心为，体积为，上面圆锥的高为,体积为，下面圆锥的高为,体积为；圆锥的底面的圆心为，半径为.由球和圆锥的对称性可知，,，由题意可知：而由于垂直于圆锥的底面，所以垂直于底面的半径，由勾股定理可知：，,可知，这两个圆锥高之差的绝对值为，故本题选D.10.已知抛物线：上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设点的坐标，抛物线的焦点准线方程为：，,直线方程为：，令，所以点的坐标为，由抛物线的定义和已知可知：，故本题选B.11.已知圆，，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：,又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以, ,在中,根据，可知，是AB的中点，根据向量加法的几何意义得代入上式得，故本题选C.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，,设，，问题就转化为在内，，且中恰有两个整数.先研究函数的单调性，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，注意到，当时，。
2013届安徽省马鞍山高三三模理科
绝密★启用前 2013届安徽省马鞍山高三三模理科 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．设集合2{|40}A x x =->，{|21}x B x =<，则A B =（ ） （A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x < （D ）{|22}x x x <->或 2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（ ）（A ）0.6 （B ）0.4 （C ）0.3 （D ）0.2 4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（ ） （A ）22cos sin y x x =- （B ）lg ||y x = （C ）2x x e e y --= （D ）3y x = 5．在极坐标系中，直线2sin(4πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）无法确定 6．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）．（A）12π（B）13π（C）15π（D）17π7．已知12,F F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的两焦点，以线段12F F为边作正12MF F△，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）（A）4+（B1（C（D18．从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）（A）24（B）18（C）12（D）69．数列{}na的前n项和为nS，若11a=，*14()n na S n+=∈N，则6a=（）（A）445⨯（B）4451⨯+（C）55（D）551+10．已知函数2342013()12342013x x x xf x x=-+-+-⋅⋅⋅-，则下列结论正确的是（）（A）()f x在(0,1)上恰有一个零点（B）()f x在(0,1)上恰有两个零点（C）()f x在(1,2)上恰有一个零点（D）()f x在(1,2)上恰有两个零点正（主）视图侧（左）视图俯视图第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）11．若21()nxx-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．12．设平面区域D是由双曲线2214xy-=的两条渐近线和抛物线28y x=-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D∈，则目标函数z x y=+的最大值为．13．执行下边的程序框图，输出的T=．14．ABC△中，向量AB与BC的夹角为56π，||2AC=，则||AB的取值范围是．15．如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从顶点A出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a；⑤体积为356a．其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号．．）．三、解答题（题型注释）16．已知函数2()cos cos(0)f x x x xωωωω⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x的解析式；A域． 17．（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6）． （Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望． 18．如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．19．数列{}n a 满足13a =，125n n a a n ++=+．（Ⅰ）求2a 、3a 、4a ； （Ⅱ）求n a 的表达式；（Ⅲ）令12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-，求n T ．20．（本小题满分13分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．21．已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．① 求证：MN AB ⊥；② 若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN的方程．A BC DE B3(1,)2D参考答案1．B【解析】试题分析：{|2A x x =>或2x <-，{|0}B x x =<，所以{|2}A B x x =<-.考点：集合运算、解不等式.2．A【解析】试题分析：1a =⇒z 为纯虚数，z 为纯虚数1a ⇒=±，所以“1a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件.考点：复数的概念、充要条件.3．C【解析】试题分析：3X Y σ-=，则Y 服从正态分布(0,1)N ，2(5)()0.8P X P Y σ<=<=，212(13)(0)[1()]0.32P X P Y P Y σσ<<=-<<=--<=. 考点：正态分布.4．B【解析】试题分析：函数是偶函数，所以可以排除C 和D ；在(1,2)内是增函数，所以可以排除A ； 很明显，B 中的函数既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数.考点：函数的奇偶性与单调性.5．C【解析】试题分析：直线方程为1y x -=，圆的方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)，半径为1r =，圆心到直线的距离为d r ==，所以直线与圆相离.考点：极坐标方程、直线与圆的位置关系.6．D【解析】试题分析：从三视图可以看出：几何体是一个圆台，上底面是一个直径为4的圆，下底面是一个直径为2的圆，侧棱长为4．上底面积14S π=，下底面积2S π=，侧面是一个扇环形，面积为31(42)4122S πππ=+⋅=，所以表面积为12341217S S S ππππ++=++=． 考点：空间几何体的三视图、表面积的计算．7．D【解析】试题分析：因线段1MF 的中点P 在双曲线上，故P 点与2F 的连线垂直于1MF ，又因为123PF F π∠=，所以在12Rt PF F ∆中，12,PF c PF ==根据双曲线的定义212PF PF a -=，21c c a e a-=∴==. 考点：双曲线的性质.8．B【解析】试题分析：分两种情况讨论：选8：11232212C C A ⋅⋅=；选0：11326C C ⋅=. 所以奇数的个数是12618+=.考点：排列组合.9．A【解析】试题分析：111445n n n n n n n a S S S S S S +++=⇒-=⇒=，{}n S ∴是以1为首项，5为公比的等比数列，15n n S -∴=，5446655545a S S ∴=-=-=⋅.考点：递推数列通项公式的求法.10．C【解析】试题分析：当(1,2)x ∈，20132342012(1)()10,1x f x x x x x xx-+'=-+-+-+⋅⋅⋅-=<+ 故函数在区间(1,2)上单调递减， 又20131111(1)110,2342013f =-+-+-⋅⋅⋅->23420132222(2)120,2342013f =-+-+-⋅⋅⋅-< 故()f x 在(1,2)上恰有一个零点，答案为C. 考点：导数的应用、函数零点.11．84【解析】试题分析：所有二项式系数和为512，所以9n =，设展开式的通项为1r T +，则1821831991()(1)rr r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅-=-⋅，对于常数项18306r r -=⇒=，所以常数项为6679(1)84T C =-=.考点：二项式定理.12．3【解析】试题分析：约束条件为2020,2x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩画出可行域，z x y =+的最大值在点（2,1）处取得最大值为3..考点：双曲线和抛物线的基础知识、线性规划.13．30【解析】试题分析：列表分析如下：步数S n T T S > 0 0 0 0否 1 5 2 2否 2 10 4 6否 3 15 6 12否 4 20 8 20否 5 25 10 30是 所以输出的30T =．考点：程序框图．14．(0,4]【解析】 试题分析：2252cos AC AB BC AB BC AB BC π=+=++， 2234AB BC AB BC ∴+-=，把BC 看做未知数，得到一个一元二次方程：223(4)0BC AB BC AB -+-=，这个方程的判别式222)4(4)160AB AB AB ∆=--=-≥，得到44AB -≤≤,根据实际意义，04AB <≤.考点：向量的计算、一元二次方程.15．①②⑤【解析】试题分析：根据几何体的特点可知，有12个顶点，24条棱，16个面，所以①、②都对，③错； 表面积为221685,222a a a a -⨯⨯⨯=故④错；其体积为331158.322226a a a a a -⨯⨯⨯⨯⨯=故⑤成立.考点：几何体的体积和表面积.16．（Ⅰ）1()sin(4)62f x x π=--；（Ⅱ）()f x 的值域为1[1,]2-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先化简()f x ，根据周期，即可确定ω，即得到()f x 的解析式；（Ⅱ）根据余弦定理，可以求出(0,]3x π∈，然后根据三角函数的图像和性质，可以求出()f x 的值域. 试题解析：（Ⅰ）111()2cos 2sin(2)2262f x x x x πωωω=--=--， 4分 由题，222T ππω==及0ω>，得：2ω=， 所以1()sin(4)62f x x π=--． 6分 （Ⅱ）由22221cos 222a c b ac ac x ac ac +--=≥=，知：(0,]3x π∈，9分 从而74(,]666x πππ-∈-，所以函数()f x 的值域为1[1,]2-． 12分. 考点：三角函数、解三角形、基本不等式.17．（Ⅰ）45；（Ⅱ）分布列是： ξ0 1 2 3 4 P 13415 15 215 115 43E ξ=. 【解析】试题分析：（Ⅰ）用组合计算基本事件数，由等可能性事件的概率计算公式即可求解；（Ⅱ）利用组合也可以求出随机变量ξ的分布列，然后根据期望的定义求出E ξ.（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A 表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得： 2434664()1()15A A P A P A A =-=-= 甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. 6分 （另解2411434334666624()5A A A A A P A A A =+=） （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4， 且2651(0)3P C ξ===,2644(1)15P C ξ===,2631(2)5P C ξ===,2622(3)15P C ξ===,2611(4)15P C ξ=== [另解：2525661(0)3A A P A ξ===，214244664(1)15A A A P A ξ===，223243661(2)5A A A P A ξ===， 232242662(3)15A A A P A ξ===2424661(3)15A A P A ξ=== 10分 所以随机变量ξ的分布列是：ξ0 1 2 3 4P13415 15215 115所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ， 即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. 12分. 考点：概率知识，分布列和期望的求法. 18．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)45【解析】试题分析：(Ⅰ)根据两个平面垂直的条件，在平面ADE 内找到一条垂直于平面ABE 的直线即可，取AE 的中点F ，可证明FD ⊥平面ABE ；(Ⅱ) 二面角A EB D --与二面角F EB D --相等，二面角F EB D --的平面角为FOD ∠，求出FOD ∠即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面ADE 、ABE 的法向量，即可证明平面ADE ⊥平面ABE ；求出平面BDE 、ABE 的法向量，即可求出二面角A EB D --.）(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF ，DF ，则2//OF BAAB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2//CD BA ，//OF CD ∴ OFDC ∴是平行四边形，//OC FD ∴. BC CE =，OC BE ∴⊥，又AB ⊥平面BCE . OC ∴⊥平面ABE .FD ∴⊥平面ABE .从而平面ABE ⊥平面ABE . 6分 (Ⅱ)二面角A EB D --与二面角F EB D --相等， 由(Ⅰ)知二面角F EB D --的平面角为FOD ∠.2BC CE ==，120BCE ∠=，OC BE ∴⊥得BO OE ==1OC =，ABCEFDOOFDC ∴为正方形，45FOD ∴∠=，∴二面角A EB D --的大小为45． 12分 解法2：取BE 的中点O ，连OC .BC CE =，OC BE ∴⊥，又AB ⊥平面BCE .以O 为原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，则由已知条件有: ()A ，()B ，()1,0,0,C ()1,0,1,D ()0,,E 设平面ADE 的法向量为()111,,n x y z =，则由()()11111,,20.n EA x y z z ⋅=⋅=+= 及()()111111,,0.n EA x y z x z ⋅=⋅-=-+= 可取(0,1,n =又AB ⊥平面BCE ，AB OC ∴⊥，OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为()1,0,0m =.(()0,1,1,0,00n m ⋅=⋅=， ∴n m ⊥，∴平面ADE ⊥平面ABE . 6分（Ⅱ）设平面BDE 的法向量为()222,,p x y z =， 则由()()222222,,0.p ED x y z x z ⋅=⋅=+= 及()()2222,,0.p EB x y z ⋅=⋅== 可取()1,0,1p =-∵平面ABE 的法向量可取为()1,0,0m =， ∴锐二面角A EB D --的余弦值为||2||||m p m p ⋅=⋅， ∴二面角A EB D --的大小为45． 12分. 考点：空间位置关系、二面角、平面向量. 19．（Ⅰ）24a =、35a =、46a =； （Ⅱ）*2()n a n n N =+∈ （Ⅲ）n T =226n n --【解析】 试题分析：（Ⅰ）由递推公式即可求出2a 、3a 、4a ；（Ⅱ）方法一：猜想出通项公式，然后用数学归纳法证明；方法二：由递推公式可以构造等比数列，借助等比数列可以求出通项公式；方法二：由递推公式可以构造等差数列，借助等差数列可以求出通项公式；. （Ⅰ）由递推公式：24a =、35a =、46a =； 3分 （Ⅱ）方法一：猜想：2n a n =+，下面用数学归纳法证明： ① 13a =，猜想成立；② 假设*()n k k N =∈时，2k a k =+，则125(2)25(1)2k k a a k k k k +=-++=-+++=++，即1n k =+时猜想成立， 综合①②，由数学归纳法原理知：*2()n a n n N =+∈． 8分方法二：由125n n a a n ++=+得111[(1)2][(2)][(1)2](1)[(12)]0n n n n a n a n a n a +--++=--+=--+==--+=，所以：*2()n a n n N =+∈．8分方法三：由125n n a a n ++=+得：2127n n a a n +++=+，两式作差得：22n n a a +-=， 于是135,,,a a a 是首项13a =，公差为2的等差数列，那么*2121()k a k k N -=+∈， 且246,,,a a a 是首项24a =，公差为2的等差数列，那么*222()k a k k N =+∈，综上可知：*2()n a n n N =+∈．8分（Ⅲ）12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-2422()n a a a =-+++10分22()22n n a a +=-⋅2(422)26n n n n =-++=--． 12分. 考点：归纳推理、数学归纳法、数列求和.20．（Ⅰ）1(0,)2和(1,)+∞；（Ⅱ）min 221[()](ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e -≤⎧⎪=--<<⎨⎪-++≥⎩【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数，列表分析即可确定()f x 的单调增区间；（Ⅱ）()0f x x a '=⇒=或12x =，所以分成1a ≤、1a e <<、a e ≥三种情况，利用导数，列表分析每一种情况下()f x 的最小值即可.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x a x =-+，定义域为(0,)+∞． 21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x-+--'=-+==． 令()0f x '=，得1x =或12x =． 3分 列表如下x1(0,)21(,1)2(1,)+∞()f x ' ＋ － ＋ ()f x↗↘↗所以函数()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞． 6分 （Ⅱ）22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=-++==． 令()0f x '=，得x a =或12x =． ^ 7分 当1a ≤时，不论12a <还是112a <≤，在区间[1,]e 上，()f x 均为增函数。
2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）A．B．C．D．3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|＜﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1θ=（ρ∈R）和ρcosθ=18．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．则，解得．所以z=1+i．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当是不等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：规律型．分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义，比较简单．4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：先看当“a≤0”时，去掉绝对值，结合二次函数的图象求出函数f（x）=|（ax﹣1）x|是否在在区间（0，+∞）内单调递增；再反过来当函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增时，a≤0是否成立即可．解答：解：当“a≤0”时，x∈（0，+∞）f（x）=|（ax﹣1）x|=﹣a（x﹣）x，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，如取a=1，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|=|（x﹣1）x|，当x∈（0，+∞）时f（x）=，如图所示，它在区间（0，+∞）内有增有减，从而得到函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增得出a≤0．”a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选C．点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数的单调性及单调区间，单调性是函数的重要性质，属于基础题．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求解即可．解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选C．点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|＜﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．解答：解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选D点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：变化的快慢与变化率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：∵表示（x，f（x））点与原点连线的斜率若=…=，则n可以是2，如图所示：n可以是3，如图所示：n可以是4，如图所示：但n不可能大于4故选B点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理的通项公式即可得出．解答：解：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．解答：解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．解答：解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n．解答：解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答：解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．解答：解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．故椭圆E的方程为．（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．故直线F2P的方程为．令x=0，解得．即点Q．因此直线F1Q的斜率=．∵F1Q⊥F1P，∴=．化为．联立，及x0＞0，y0＞0，解得.．即点P在定直线x+y=1上．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．解答：（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：题干错误：n∈N+，应该是对每个n∈N+，（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，故x n﹣x n+p＞0．用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）的解析式，变形可得x n﹣x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．解答：证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（0）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n（x n）=0．（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x）=﹣1+x n+++…+=0 ①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．考点：概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．专题：综合题；分类讨论；转化思想；概率与统计．分析：（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．解答：解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=M）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。
2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）．C D．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）（（8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）．C D．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．222013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，代入，，解得．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）．C D．++S=++++．﹣，如图所示，它在区间（5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，[）﹣﹣[[6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）＜＜，可化为，即（（（8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）表示（表示（9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）．C D．满足==（，解得①等价于或或．．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．=，解得故答案为12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．=C=故答案为：13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．A B，m14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．，利用已知可得的中位线，得到==似比的平方可得：，，，可得}，∵=，，，∴，{=1+．的通项公式是．故答案为15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．时，即=＜时，如图，，连接R=可知当为菱形，故其面积为=三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．，]的范围，然后通过正弦函数的单调性求出x+=2x+2=2sin），T=2x++≤，所以≤≤，2x+≤≤2x+≤时，即≤时，][，]17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．，利用导数可判断＞）；，则==＜上取得最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得的斜率，的方程为．Q．的斜率=，可得，∴的方程为，其中．的斜率，直线的斜率=的方程为．，解得Q=，∴．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．OPF==COF==20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．（+=1++＞=+＞）+[﹣+•×=•＜n++=0+++[+++≤＜=＜21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．件，所以相互独立，由于=，故（）﹣）所包含的基本事件总数为（事件数为=＜﹣﹣[＜﹣=﹣﹣﹣。
理综卷.2013届安徽省马鞍山二中(马鞍山市)高三第三次教学质量检测(2013.05)
2013年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第5页，第Ⅱ卷第5页至第12页。
全卷满分300分。
考生注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题共120分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量： H-1 C-12 0-16 S-32 V-51 Na-23 Mn-557.三氟化氮（NF3）在微电子工业中有重要用途，它在潮湿的空气中与水蒸气反应的产物有：HF、NO和HNO3。
则下列说法正确的是A．NF3分子中含有非极性共价键B．NF3在空气中泄漏时不易被察觉C．一旦NF3泄漏，可以用石灰水溶液喷淋的方法减少污染D．反应过程中，被氧化与被还原的元素的物质的量之比为2:18．关于下列各装置的叙述中，错误．．的是A．装置①可用于探究NH4HCO3的热稳定性B．装置②可用于收集H2、CO2C．装置③中X若为CCl4，可用于吸收氨气或氯化氢，并能防倒吸D．装置④可用于干燥、收集NH3，并吸收多余的氨气9.常温下列各组离子在指定溶液中可能大量共存的是A．含有大量ClO-的溶液：Na+、OH-、I-、SO32-B．澄清透明的溶液：Cu2+、Fe3+、NO3-、Cl-C．使pH试纸变蓝的溶液：NH4+、K+、S2-、CO32-D．c( )=0.1mol/L的溶液：Na+、Cl-、CO32-、NO3-10.如下图所示，甲池的总反应式为：N2H4＋O2＝N2＋2H2O下列关于该电池工作时说法正确的是A．甲池中负极反应为：N2H4－4e-＝N2＋4H+B．甲池溶液pH不变，乙池溶液pH减小C．甲池中消耗2.24L O2，此时乙池中理论上最多产生12.8g固体D．反应一段时间后，向乙池中加一定量CuO固体，能使CuSO4溶液恢复到原浓度11．在一密闭恒容容器中发生如下反应：aX(g)+bY(g)cZ(g) ΔH＞0，达平衡后，当其他条件不变时，下列说法正确的是A．升高温度，正反应速率增大，逆反应速率减小, 平衡常数增大B．若通入稀有气体平衡不移动，则a+b=cC．若加入催化剂，反应速率改变，但平衡不移动D．若增加X的量，平衡正向移动，X的转化率增大12．常温下，向100 mL 0.01 mol·L－1HA溶液中逐滴加入0.02 mol·L-1MOH溶液，图中所示曲线表示混合溶液的pH变化情况(体积变化忽略不计)。
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在4．已知函数 ，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）A. B. C. D.6．若，则的值不可能为（ ）A. B. C. D.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）A. B. 2 C. D.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A. 3B. 5C. 6D. 710．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -【答案】A【解析】根据题意化简得12z i =+， 12z i =-，选A. 2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,,当时，所以，故选B.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在 【答案】B【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点C(0，1)时，直线的纵截距z 最小，所以的最小值为，故选B.4．已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于函数f(x),当x≥0时，-x≤0,所以，同理当x<0时，，所以函数f(x)是偶函数.令，所以，所以函数h(x)是偶函数，所以排除B,D.当时，，故选A.点睛：遇到函数的问题，大家都要联想到用函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等来帮助我们分析解答问题，所以本题要先研究函数f(x)、g(x)、h(x)的奇偶性，通过奇偶性排除选项.再利用其它性质分析求解.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得总的基本事件个数为,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得，故选D.6．若，则的值不可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，所以，把代入，, 显然不成立，故选B.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，d表示的就是上半圆上的点到直线x-y-2=0的距离，画图由数形结合可以得到，故选C.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】先作出经过三点所在的平面，可以取的中点F ，则平行四边形就是过三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A ，故选A.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7 【答案】D【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为)42020203212020rrrr rr r T C C x ---+==，由题得4203r -为整数，所以0,3,6,9,12,15,18.r =故选D.10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设,由题得，所以，故选C.点睛：本题的难点在于计算出要观察变形,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652【答案】B【解析】由题得，.故选B.点睛：本题的难点在于通过递推找到数列的周期. 可以先通过列举找到数列的周期，再想办法证明. 由于问题中含有的项数较多，且有规律性，所以要通过分析递推找到数列的周期.二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．【答案】【解析】由题得, 因为,所以故填.14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题得所以所以（舍去负根），所以，故填.15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】∵，∴即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为，故答案为.点睛：考查四棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题得有三个零点，所以有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点. 所以由题得.所以所以a的取值范围为.点睛：本题的难点在作函数的图像. 要作函数的图像，由于含有绝对值，所以要分类讨论，写出它的表达式.如果把f(x)代进去求x的范围，那就复杂了，可以不需要求x 的范围，直接得到，再画出函数的图像，这样就简洁了很多.三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用正弦定理得到，解答. (2)第（2）问，先在直角△ADC中，求出，再在△ABD中利用余弦定理求解BD的长.试题解析：（1）在中，由正弦定理得，，解得，又为钝角，则，故.(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）（2）设，则.∵，∴，∴.在中由余弦定理得，，∴，解得，故.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先对，两边取自然对数得，再换元将非线性转化成线性问题，求线性回归方程，再利用最小二乘法公式和参考数据求解. (2)第（2）问，先写出随机变量的值，再写出随机变量的分布列和期望.试题解析：（1）对，两边取自然对数得，令，得，由，，故所求回归方程为.（2）由，即优等品有 3 件，的可能取值是0，1，2, 3，且,,.其分布列为∴.点睛：本题的难点在于将非线性转化成线性后如何求最小二乘法公式中的各基本量，所以这里要理解公式中各字母的含义，再利用参考数据解答.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，把面转化成证明线线垂直和.(2)第（2）问，直接利用空间向量的方法求二面角的大小.试题解析：（1）证明：分别取和的中点，连接.由平面几何知识易知共线，且.由得，从而，∴，又，∴.∴面，∴.在中，，∴，在等腰梯形中，，∴，∴，又，面，∴面.（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.则，.由（1）知面的法向量为.设面的法向量为，则由，得，令，得，∴.所以，二面角大小为.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用韦达定理和数量积公式把转化成p的方程，再解方程得解. (2)第（2）问，分别计算出与的面积，再计算出它们的面积比.试题解析：（1）设，将代入，得.其中，.所以，.由已知，.所以抛物线的方程.（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，所以，，所以与的面积比为2.点睛：本题的技巧在第（2）问，计算与的面积时，要注意灵活.,.计算准了，后面的面积比就容易求解了.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，方法一，构造函数，再分析f(x)的最大值和零的关系得到a的取值范围.方法二，分离参数得到恒成立，即a大于F(x)的最大值.(2)第（2）问，先要把证明的不等式转化，再由第（1）问，恒成立，得到恒成立，把数列的通项放缩，对数列求和，再化简证明不等式.试题解析：（1）法一：记，则，，①当时，∵，∴，∴在上单减，又，∴，即在上单减，此时，，即,所以a≥1.②当时，考虑时，，∴在上单增，又，∴，即在上单増，,不满足题意.综上所述，.法二：当时，等价于，，记，则，∴在上单减，∴，∴，即在上单减，，故.（2）由（1）知：取，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，即对于恒成立，由此，，，于是，故.点睛：本题的难点在第（2）问，先要把证明的不等式化简，由于的左边无法化简，所以要对左边进行化简，对不等式进行转化，不等式两边要取对数.再利用第（1）问的结论对数列的通项进行放缩，再求和，再证明不等式.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，根据即可得圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数方程的几何意义结合韦达定理可得结果.试题解析：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程代入圆的方程可得：整理得：∴根据参数方程的几何意义，由题可得：.23．已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.试题解析：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为 1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，∴，即且且.。
安徽省马鞍山市2013届高三数学上学期期末素质测试 理
2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学试题本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，第1卷第1至第2页，第2卷第3至第4页。
全卷总分为150分，考试时间120分钟. 考生须知事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号〔四位数字〕.2.答第1卷时，每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第2卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草．稿纸上答题无效．．．．．．．. 4.考试完毕，务必将试题卷和答题卡一并上交.第1卷〔选择题，共50分〕一、选择题：本大题共10个小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑.〔1〕集合{}2|20A x x x =->，{}|1B x x =>，R 为实数集，如此()R B A =A.[]0,1B.(]0,1C.(],0-∞D.以上都不对〔2〕复数12ii-〔i 为虚数单位〕的虚部是 A.15 B.15- C.15i D.15i - 〔3〕平面上不共线的四点,,,O A B C ，假设430OA OB OC -+=，如此AB BC ||=||A.3B.4C.5D.6〔4〕设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，如此如下结论错误的．．．答案是．．．A.0d <B.70a =C.95S S >D.6S 和7S 均为n S 的最大值〔5〕在平面直角坐标系中，假设不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，如此a 的值为A.-5B.1C.2D.3〔6〕设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如下左图所示，如此导函数()y f x '=的图象可能是〔7〕斜率为3的直线与双曲线22221x y a b-=〔a>0，b>0〕恒有两个公共点，如此双曲线离心率的取值范围是A.[)2,+∞B.(3,)+∞C.(1,3)D.(2,)+∞〔8〕一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下列图，如此该几何体的体积是A.8B.203C.173D.143〔9〕袋中有大小一样的4个红球和6个白球，随机从袋中取1个球，取后不放回，那么恰好在第5次取完红球的概率是A ．B ．C ．D ．A.1210B.2105C.221D.821〔10〕函数()f x 是以2为周期的偶函数，当[1,0]x ∈-时，()f x x =-．假设关于x 的方程()1f x kx k =-+〔1k R k ∈≠且〕在区间[3,1]-内有四个不同的实根，如此k 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)2C.1(0,)3D.1(0,)4第2卷〔非选择题，共100分〕二、填空题：本大题共5个小题，每一小题5分，共25分．请在答题卡上答题． 〔11〕运行如下列图的程序框图，假设输入4n =，如此输出S 的值为 .〔12〕总体的各个个体的值由小到大依次为3 7 12 20a b ，，，，，，且总体的中位数为12，假设要使该总体的标准差最小，如此a =． 〔13〕2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，如此展开式中常数项是______． 〔141ny +=〔,m n 是实数〕与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆〔O 是坐标原点〕是直角三角形，如此点(,)P m n 与点(0,1)Q 之间距离的最小值是.〔15〕函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的答案是〔写出所有正确结论的编号〕．①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 的所有对称中心都可以表示为( 0)()6k k Z ππ+∈，；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由3cos2y x =-的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C ． ⑤函数()f x 在[0,]2π上的最小值是3-.三、解答题：本大题共6个小题，总分为75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.〔16〕(此题总分为12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =. 〔Ⅰ〕求cos ,cos B C 的值； 〔Ⅱ〕假设272BA BC ⋅=，求边AC 的长.〔17〕(此题总分为12分)一厂家向用户提供的一箱产品共12件，其中有2件次品，用户先对产品进展抽检以决定是否接收．抽检规如此是这样的：一次取一件产品检查〔取出的产品不放回箱子〕，假设前三次没有抽查到次品，如此用户接收这箱产品；假设前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.〔Ⅰ〕求这箱产品被用户接收的概率；〔Ⅱ〕记抽检的产品件数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．〔18〕(此题总分为12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,AD EF //，EF BC //，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：AB //平面DEG ；(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.〔19〕〔此题总分为12分〕数列{}n a 满足11121,(*)2n n n nn a a a n N a ++==∈+. 〔Ⅰ〕证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔Ⅱ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅲ〕设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .〔20〕〔此题总分为13分〕椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为G12, F F ，且126F P F P ⋅=-.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)假设,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，如此以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．〔21〕〔此题总分为14分〕设函数21()ln 2f x c x x bx =++(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点．(Ⅰ) 假设1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间〔用c 表示〕； (Ⅱ) 假设()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围． 2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测 理科数学参考答案〔1〕B.【命题意图】此题考查不等式的解法和集合的运算，容易题. 〔2〕A.【命题意图】此题考查复数的概念与运算，容易题. 〔3〕A.【命题意图】此题考查向量的运算，容易题.〔4〕C.【命题意图】此题考查等差数列的根本运算与性质，容易题.〔5〕D.【命题意图】此题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等根底知识，考查数形结合思想，容易题.〔6〕A.【命题意图】此题考查导数的概念与几何意义，中等题. 〔7〕D.【命题意图】此题考查双曲线的性质，中等题.〔8〕C.【命题意图】此题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题.〔9〕B.【命题意图】此题考查排列组合、古典概型等根底知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题.〔10〕C.【命题意图】此题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题.二、填空题：每一小题5分，共25分〔11〕运行如下列图的程序框图，假设输入4n =，如此输出S 的值为 .【答案】11.【命题意图】此题考查程序框图，容易题.〔12〕总体的各个个体的值由小到大依次为3 7 12 20a b ，，，，，，且总体的中位数为12，假设要使该总体的标准差最小，如此a =．【答案】12.【命题意图】此题考查统计知识，重要不等式，容易题.〔13〕2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，如此展开式中常数项是______．【答案】45.【命题意图】此题考查二项式定理，考查运算能力，中等题.〔141ny +=〔,m n 是实数〕与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆〔O 是坐标原点〕是直角三角形，如此点(,)P m n 与点(0,1)Q 之间距离的最小值是.1.【命题意图】此题考查直线与圆的方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.〔15〕函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的答案是〔写出所有正确结论的编号〕．①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 的所有对称中心都可以表示为( 0)()6k k Z ππ+∈，；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由3cos2y x =-的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C ． ⑤函数()f x 在[0,]2π上的最小值是3-.【答案】①③④. 【命题意图】此题考查三角函数的图象与性质，较难题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔16〕(此题总分为12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =. 〔Ⅰ〕求cos ,cos B C 的值； 〔Ⅱ〕假设272BA BC ⋅=，求边AC 的长. 〔16〕【命题意图】此题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等根底知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．解：〔Ⅰ〕∵2C A =，3cos 4A =，∴2231cos cos22cos 12()148C A A ==-=⨯-=.∴sin C =sin A =，∴cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-=3194816⨯=.….……….….………6分〔Ⅱ〕∵927cos 162BA BC ca B ac ⋅===，∴24ac =；又由正弦定理sin sin a cA C=，得32c a =，解得4a =，6c =，∴2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =，即边AC 的长为5.…………………………………12分〔17〕(此题总分为12分)一厂家向用户提供的一箱产品共12件，其中有2件次品，用户先对产品进展抽检以决定是否接收．抽检规如此是这样的：一次取一件产品检查〔取出的产品不放回箱子〕，假设前三次没有抽查到次品，如此用户接收这箱产品；假设前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.〔Ⅰ〕求这箱产品被用户接收的概率；〔Ⅱ〕记抽检的产品件数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．〔17〕【命题意图】此题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.解：〔Ⅰ〕设“这箱产品被用户接收〞为事件A ，如此3109!10986()1212111011A P A ⋅⨯⨯===⨯⨯！.即这箱产品被用户接收的概率为611．………………………………………………………4分〔Ⅱ〕X 的可能取值为1，2，3． ……5分 ∵()211126P X ===，()10252121133P X ==⨯=， ()109153121122P X ==⨯=，…… ………………8分∴X 的概率分布列为： (1)0分∴151583()1236332233E X =⨯+⨯+⨯=． (12)分〔18〕(此题总分为12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,AD EF //，EF BC //，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：AB //平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.〔18〕【命题意图】此题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC ； 又∵2BC AD =，G 是BC 的中点，∴AD BG //，且AD BG =，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG . ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………4分(Ⅱ) 解法1：证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥；又,AE EB EB EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . 过D 作//DH AE 交EF 于H ，如此DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥，又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD . ∵BD ⊂平面BHD ，∴BD EG ⊥. ………………8分解法2：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直. 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如下列图的空间直角坐标系. 由得，(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(0,2,2)D ，(2,2,0)G ；∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=，∴BD EG ⊥.………8分(Ⅲ)由得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. 设平面DCF 的法向量为(,,)n x y z =， ∵(0,3,0)F ，(2,4,0)CGFEDCBA∴(0,1,2),(2,1,0) FD FC=-=，∴FD nFC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y zx y-+=⎧⎨+=⎩，令1z=,得(1,2,1)n=-.设二面角C DF E--的大小为θ，由法向量n与EB的方向可知，,n EBθ=<>，∴cos cos,n EBθ=<>==，即二面角C DF E--的余弦值为.………12分〔19〕〔此题总分为12分〕数列{}na满足11121,(*)2nnn nnaa a n Na++==∈+.〔Ⅰ〕证明数列2nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔Ⅱ〕求数列{}na的通项公式；〔Ⅲ〕设(1)n nb n n a=+，求数列{}nb的前n项和nS.〔19〕【命题意图】此题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等根底知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.解：〔Ⅰ〕由可得1122n nn nna aa++=+，所以11221n nn na a++=+，即11221n nn na a++-=，∴数列2nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列. ……………………………….……………4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得122(1)11nnn na a=+-⨯=+，∴21nnan=+.….…………………7分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，2nnb n=⋅，所以231222322nnS n=⋅+⋅+⋅++⋅，234121222322nnS n+=⋅+⋅+⋅++⋅，相减得23122222n nnS n+-=++++-⋅11222n nn++=--⋅，∴1(1)22nnS n+=-⋅+.….……….………….…………….…………………………12分〔20〕〔此题总分为13分〕椭圆E：22221x ya b+=(0a b>>)过点(3, 1)P，其左、右焦点分别为12,F F，且126F P F P⋅=-.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)假设,M N是直线5x=上的两个动点，且12F M F N⊥，如此以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．〔20〕【命题意图】此题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以与分析问题、解决问题的能力，较难题.解：〔Ⅰ〕设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，如此12(3,1),(3,1)F P c F P c =+=-， 故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =，………………………………………2分所以122||||a PF PF =+=a =……………………………4分∴22218162b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为221182x y +=． (6)分〔Ⅱ〕设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，如此1(9,)F M m =，2(1,)F N n =. 由12F M F N ⊥， 可得1290F M F N mn ⋅=+=，即9mn =-， ……………………………………………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -，故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=， 即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=，令0y =， 可得8x =或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………………………………13分〔21〕〔此题总分为14分〕设函数21()ln 2f x c x x bx =++(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点．(Ⅰ) 假设1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间〔用c 表示〕； (Ⅱ) 假设()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围．〔21〕【命题意图】此题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，较难题.解：2'()c x bx cf x x b x x++=++=，又'(1)0f =，如此10b c ++=，所以(1)()'()x x c f x x--=且1c ≠， (3)word- 11 - / 11 分〔Ⅰ〕因为1x =为()f x 的极大值点，所以1c >.令'()0f x >，得01x <<或x c >；令'()0f x <，得1x c <<. 所以()f x 的递增区间为(0,1)，(,)c +∞；递减区间为(1,)c ．………………………………6分〔Ⅱ〕①假设0c <，如此()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增.假设()0f x =恰有两解，如此(1)0f <，即102b +<，所以102c -<<. ………………8分 ②假设01c <<，如此21()()ln 2f x f c c c c bc ==++极大值，1()(1)2f x f b ==+极小值. 因为1b c =--，如此22()ln (1)ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极大值， 1()2f x c =--极小值，从而()0f x =只有一解；…………………………………10分③假设1c >，如此1()02f x c =--<极大值， 从而22()ln (1)ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极小值， 如此()0f x =只有一解. ………………………………………………………………12分综上，使()0f x =恰有两解的c 的范围为102c -<<…………………………………14分。
安徽省马鞍山市高三数学毕业班第二次教学质量检查试题
2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是宇合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．（1）己知集合M＝｛x｜1+x1-x＞0}，则RCM＝（▲）A.｛x｜－1≤x＜1}B. {x｜－1≤x≤1}C. {x｜x≤－1} 或x＞1}D. {x｜x≤－1} 或x≥1}（2)设i为虚数单位，则复数212ii+-的共扼复数是（▲）A、iB、－iC、35i D、－35i(3)设{an}是公比为q的等比数列，则"0＜q<1”是“{an}为递减数列”的（▲）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(4）(3)(6)(63)a a a-+-≤≤的最大值为（▲）A、92B、9C、32D、3（5）已知A,B,C是圆O上的三点，若1()2AO AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则ABu u u r与ACu u u r的夹角为（）A. 300B. 600C. 900D. 1200(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示lcm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6m的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（▲）A、1027B、1727C、23D、49(7)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（▲）A. 6B. 11C. 16D. 21（8）定义运，已知则(9)己知F1、F2分别是双曲线()22221x y a b a b -=>0,>0学科网的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率 的取值范围是（▲）A ．(3，＋∞) B. (2，＋∞) C. (3，2) D. (1,2)（10）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是O ，O1，O2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动（其中 A, O ，O1，O2,B 五点共线），记点P 运动的路程为x ，设21||y O P =，y 与x 的函数关系为y= f (x)则y =.f (x)的大致图象是（▲）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．（11)已知f (x)是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0, 2]时，f(x)＝33log x x-，则f (2015)= .(12)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线7cos (7sin x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，ϕ∈ R ）上的点到曲线(cos sin )4(,)R ρθθρθ+=∈的最短距离是 ． （13）已知则（14）己知实数x, y 满足，则x －2y 的取值范围是 ．（15）甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有一人掷得的结果与其他·二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．己知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是12，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①第一局甲就出局的概率是13； ②第一局有人出局的概率是12； ③第三局才有人出局的概率是364；④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是13； ⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于11000·三、解答题：（16）(本题满分12分) 设函数()f x a b=⋅r r ，其中向量(2cos 3)a x x =r，(cos ,2sin )b x x =r．(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和在[0,]π上的单调递增区间；学科网(Ⅱ)ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c ab +-≥，求()f C 的取值范围．（17）(本题满分12分)某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数字中，11a =，且(2,3,4,5)k a k =为0和1的概率分别是14和34．记51ii a ξ==∑，当程序运行一次时：（Ⅰ）求3ξ=的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．（18）（本小题满分12分）如图，三棱锥O ABC -中，三条侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且长度均为4，,E F 分别是,AB AC 的中点，过EF 作平面α，平面α与侧棱OA 相交于1A ，与侧棱,OB OC 的延长线分别交于点11,B C ，且13OA =．(Ⅰ)求证：11BC B C ∥；(Ⅱ)求二面角111O A B C --的余弦值．（19）（本题满分13分） 已知函数()f x ax =，()ln g x x =．（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1-，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =-+在区间(0,1)上为增函数，求实数a 的取值范围．1A 1B 1C ABCOF E（20）（本小题满分13分）如图，椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>与抛物线22:4C x y =有公共的焦点F ．点A 为椭圆1C 与抛物线2C 准线的交点之一，过A 向抛物线2C 引切线AB ，切点为B ，且点,A B 都在y 轴的右侧． （Ⅰ）证明：FA FB ⊥；（Ⅱ）证明：直线AB 是椭圆1C 的切线．（21）（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，11a =，且*1()2n nn a kn bk n a ++=+∈N ．（Ⅰ）若0k =，1b =，求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1k =，0b =，求证：当3n ≥时，1132n n n a -+>-．2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学答案 一、选择题：题号1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案D B D A C B C A D A二、填空题： （11）【答案】3-.（12）【答案】（13）【答案】33.（14）【答案】[]32ππ.（15）【答案】③④. 三、解答题：（16）(本题满分12分)解： (Ⅰ)2()2cos 22sin(2)1,6f x x x x π==++Q2()2f x T ππ∴==函数的最小正周期由222()262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z 及[0,]x π∈得()f x 在[0，π]上单调递增区间为2[0,],[,]63πππ． ………………6分(Ⅱ) 222a b c ab +-≥，1cos 2C ≥03C π∴<≤………………9分()2sin(2)1,6f C C π=++由52666C πππ<+≤，max C ()36f C π==当时， 当C=3π时，min ()2f C =()[2,3]f C ∴∈………………………12分（17）(本题满分12分)【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，容易题.解：（Ⅰ）已知11a =，要使3ξ=， 只须后四位数字中出现2个0和2个122243154(3)()()44256P C ξ∴===………… 5分（Ⅱ）ξ的取值可以是1，2，3，4，5，…………… 6分04411(1)()4256P C ξ===，1343112(2)()()44256P C ξ===，22243154(3)()()44256P C ξ===， 33431108(4)()()44256P C ξ===，444381(5)()4256P C ξ===，ξ∴的分布列是………… 10分1125410881123454256256256256256E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分（另解：记2345a a a a η=+++，则1ηξ=-，3~(4,)4B η，314144E E ξη=+=⨯+=）（18）（本小题满分12分）【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，中等题． (Ⅰ) 证明：111111111,,E F AB AC BC EF BC A B C BC A B C EF A B C ⇒⎫⎪⇒⊄⎬⎪⊂⎭为中点∥∥面面面，1111111111=BC A B C BC B C BC OBC OBC A B C B C ⎫⎪⇒⊂⎬⎪⎭I ∥面∥面面面；… 6分(Ⅱ)以O 为坐标原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 正半轴，建立空间直角坐标系， 则(4,0,0)B ,(0,4,0)C ,(0,0,4)A ,1(0,0,3)A ,(2,0,2)E ,(0,2,2)F ， 二面角111O A B C --即为二面角1O A E F --，由,,OA OB OC 垂直知1OC OA E ⊥面，故1OA E 面的法向量可以取(0,1,0)m =u r，设1FA E 面的法向量(,,)n x y z =r ，则有 1(,,)(2,0,1)20(,,)(2,2,0)220n A E x y z x z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩r u u u u rr u u u r ，令1x =得(1,1,2)n =r，cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅u r ru r r u r r ， 所以二面角111O A B C --的余弦值为．……………12分注：若学生第（Ⅱ）问给出正确的几何解法，请给分．（19）（本题满分13分）【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，中等题.（Ⅰ）()ln F x ax x =-，1'()(0)F x a x x =->， 当0a ≤时，'()0F x <，()F x 在(0,)+∞上单减，无极值， 当0a >时，()F x 在1(0,)a 上单减，在1(,)a +∞上单增， 由题，11()1ln 1F a a =-=-，故2a e -=；……………6分（Ⅱ）()sin(1)ln G x a x x =-+，1'()cos(1)G x a x x =--+，由题，1'()cos(1)0G x a x x =--+≥对(0,1)x ∈恒成立， ……………8分(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，故1cos(1)a x x ≤-对(0,1)x ∈恒成立，记1()(01)cos(1)h x x x x =<<-，则2cos(1)sin(1)'()0[cos(1)]x x x h x x x -+-=-<-，故()h x 在(0,1)上单减，又(1)1h =，所以1a ≤．……………13分（20）（本小题满分13分）【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题. （Ⅰ）由题，抛物线2C 的准线为1y =-， 代入椭圆22122:1(1)1y x C a a a +=>-得点21(,1)a A a --，抛物线22:4C x y =即24x y =，'2x y =， 设点200(,)4x B x ，则切线2000:()42x x AB y x x -=-，将点21(,1)a A a --代入上式，得：2200011()42x x a x a ---=-，即22002(1)40ax a x a ---=，即00(2)(2)0ax x a +-=，由于点,A B 在y 轴的右侧，所以点2(2,)B a a ，从而222211(,11)(2,1)2(2)(1)0a a FA FB a a a a a a --⋅=--⋅-=⋅+-⋅-=u u u r u u u r ，故FA FB ⊥；……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线2:(2)AB y a a x a -=-，即2y ax a =-，22222222222222()11(1)()111y x ax a x a x a x a a a a a y ax a ⎧-⎪+=⇒+=⇒--+=-⎨--⎪=-⎩，整理得：222222(1)(1)0a x a a x a --+-=，即22[(1)]0ax a --=，该方程有两个等根21a a -，故直线AB 是椭圆1C 的切线．……………13分注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分．（21）（本小题满分13分）【命题意图】本题考查数列与不等式的综合运用，考查数学归纳法证明数列不等式，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题.（Ⅰ）当0k =，1b =时，*n ∀∈N ，112n nn a a +=， 由累乘法得：(1)[12(1)]3221121121111122222n n n n n n n a a a a a a a a ---+++---=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L ； (5)分（Ⅱ）法一：当1k =，0b =时，*11()2n n n a n n a +=+∈N ，21113(1)22a a =+=，32229(1)42a a =+=，当3n =时，由31193242n n a -+-=<=知不等式成立； 假设(3)n k k =≥时，1132k k k a -+>-，那么：11211(1)2(1)(1)(3)322222k k k k k k k k k k k k k a a +--++-=+>+-=-+， 要证21(1)2233222k k k k k k k -+-+-+>-，只需证12122(1)2222k k k k k k k k k ---+++=>， 即证21kk >+，而010121k k k k k k k C C C C C k =+++>+=+L ，故1n k =+时不等式仍然成立， 综上，当3n ≥时，1132n n n a -+>-．……………13分（Ⅱ）法二：当1k =，0b =时，*11()2n n n a nn a +=+∈N ，由于11a =，所以*11()n na n a +>∈N ，且21111322a a a =+=，32222942a a a =+=， 于是2n ≥时有：11n n a a +>>， 当3n ≥时，111111122n n n n n n n n a a a a -------=+>+，即1112n n n n a a ---->， 于是：343541()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L 3341341222n n a -->++++L ，令341341222n n S --=+++L ，2323412222n n S --=+++L ，相减得：34234211111(1)3111131122()114222222212n n n n n n n n S --------+=++++-=+-=--L ，- 11 - 所以31113113422n n n n n a a S --++>+=->-． ……………13分。
安徽省马鞍山市高三数学毕业班第二次教学质量检测试题(马鞍山二模)文(含解析)(扫描版)新人教A版
安徽省马鞍山市2013届高三数学毕业班第二次教学质量检测试题（马鞍山二模）文（含解析）（扫描版）新人教A版文科数学参考解答和评分标准二、填空题（11） 1.2log 0.8（12）（13）1y x =-（14（15）①④⑤三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：cos 2cos 22cos()cos()a b a b a b +=+-（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A π=，求22sin sin B C +的最大值.（Ⅰ）证明：()()()()cos2cos2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b[cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b 所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C ()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=--B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p 时，22max 3sin sin 2+=B C （） ………12分解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B B B B （p p 11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p 解法3 ∵3=A p 由余弦定理可得 22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+?b c a由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A ……类似解法参照给分（17）(本小题满分12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：（Ⅰ）从这606的样本，问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名？解:（Ⅰ）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有640460⨯=名…………… 2分不看营养说明的男生有620260⨯=名.……………………………………… 4分（Ⅱ）从（Ⅰ）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说明的男生各1名的概率；解:（Ⅱ）记样本中看营养说明的4名男生为1234a a a a ，，， 不看营养说明的2名男生为12b b ，，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件：12a a (，),13()a a ，，14()a a ，，11()a b ，，12a b (，),23()a a ，，24()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，34()a a ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42a b (，)，12b b (，)； (6)分其中符合要求的是11()a b ，，12a b (，)，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42a b (，).故所求的概率为815P =.…………………………………………………………………8分 （Ⅲ）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考值表：解:（Ⅲ）假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2K 应该很小.由题设条件得：222110(40204010)110(4241)1116 2.44480605030865372K ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ……10分 因为由2.444 2.072>可知，所以有85%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. ………………………………………………………………………………… 12分 【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型，中等题. B第18题图（18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形A C E F 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，//EF AC,AB =1EF FA ==.（Ⅰ）求证：//CE BDF 平面；（Ⅱ）求证：BE DEF ⊥平面【证明】（Ⅰ）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，连接FO .由题知1EF O C ==， ∵//EF AC ，∴四边形CEFO 为平行四边形……2分∴////CE OF CE BDF CE BDF OF BDF ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面 ……………6分（Ⅱ）ABCD ACEF ABCD ACEF AC ABCD FA AC FA ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥=⊥⊥平面平面平面平面平面…8分连EO ，易知四边形AOEF 为边长为1的正方形∴EO ABCD EO BD ⊥⇒⊥平面 ∴BDE △为等腰三角形，22BD BO ==BE DE ==∵222BD BE DE =+∴BE DE ⊥同理在BEF △中，BE EF ⊥……………10分BE DE BE EF BE DEF DE EF E ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面 ………12分【命题意图】本题考查空间几何体的线、面位置关系的证明，中等题 .（19）（本小题满分13分） 已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为，且过点（1．斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；【命题意图】本题考查直线与椭圆的相关知识，位置关系.考查运算能力、分析问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）依题意，c a =2222222222,,,2a c a b c b c a b ==+∴=∴=又 可设椭圆方程222212y x b b+=，又过点（1，∴222,4b a == 所以椭圆方程为22142y x +=．………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为椭圆的上焦点为（0，设直线l的方程为y kx =B 第18题图由221,42y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)30k x ++-=．……………………………………8分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12x x +=12232x x k =-+．可得1212()y y k x x +=++． ……………………………………………10分 设线段PQ 中点为N ，则点N的坐标为， 由题意有1-=⋅k k MN，可得1m k =-．得m =，………………12分又0k ≠，所以0m <<． ………………………………………………………13分【命题意图】本题考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，中等题 .（20）（本题满分13分）已知数列{}n a 中，140n a a =>，，前n 项和为n S ，若2)n a n ≥.. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列11{}n n a a +前n 项和为n T ，求n T 取值范围. . 解：（Ⅰ）∵1n n n a S S -=-，∴1n n n a S S -=-……………………2分2)n ⇒=≥∵0n a >1(2)n ≥…………………4分数列{}n S2=，公差为1的等差数列，2211(1)n n n S n =+-=+⇒=+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+………………………6分 当1n =时，14a =∴41212n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，……………………………………………………7分 （Ⅱ）12233411111n n n T a a a a a a a a -=++++ 1111455779(21)(23)n n =++++⨯⨯⨯++ 11111111[()()()]45257792123n n =+-+-++-⨯++ 111131()2025232046n n =+-=-++； ……………………………………10分∵114610n ≤+ ∴13[,)2020n T ∈……………………………………………………………13分 【命题意图】.本题考查递推关系，等差数列、裂项求和、函数单调性，中等题.（21）(本小题满分13分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=． （Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的极值点；（Ⅱ）若存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立，求实数a 的取值范围．【解】(Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f , 2()363(2)f x x x x x '=-=-………………………… 1分由()0f x '=，解得0=x 或2x =;当0x < 或2x >时，()f x 单调递增，当02x <<时，()f x 单调递减， …… 3分 所以，0=x 是极大值点， 2x =是极小值…………………………………………4分 (Ⅱ) 存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立等价于()f x 在[]1,2上的最小值小于1-. 设此最小值为m ，而/22()323(),[1,2],3f x x ax x x a x =-=-∈ （1）当0≤a 时，/()0,[1,2],f x x >∈则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; ……………………………………6分（2）当0>a 时， 在320a x x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞> 在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/<…………………… 8分 ① 当232≥a ，即3≥a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递减，∴a f m 48)2(-==; ② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，()f x 在2[1,]3a x ∈上单调递减，在2[2]3a x ∈，上单调递增， ∴.274)32(3a a f m -== ③ 当2013a <<即230<<a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递增，∴a f m -==1)1(. 综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m (10)分令1m <-，解上述三个不等式得：a ……………………………………13分【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，中等题.。
2013年马鞍山三模理科数学答案
马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测理科数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）【答案】选（A）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）【答案】选（C）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）【答案】选（C）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．（6）【答案】（D）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．（7）【答案】（D）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）【答案】（B）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）【答案】（A）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）【答案】（C）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域． 【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题． 【答案】（Ⅰ）111()2cos 2sin(2)2262f x x x x πωωω=--=--， ……4分由题，222T ππω==及0ω>，得：2ω=， 所以1()sin(4)62f x x π=--．……6分 （Ⅱ）由22221cos 222a c b ac acx ac ac +--=≥=，知：(0,]3x π∈， ……9分 从而74-(-,]666p p px ∈，所以函数()f x 的值域为1[1,]2-．…12分（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6 ）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求ξ的分布列与期望．【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题． 【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A 表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”， 由等可能性事件的概率计算公式得： 2434664()1()15A A P A P A A =-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624()5A AA A A P A A A=+=）（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4， 且2651(0)3P C ξ===,2644(1)15P C ξ===,2631(2)5P C ξ===,2622(3)15P C ξ===,2611(4)15P C ξ===[另解：2525661(0)3A A P A ξ===，214244664(1)15A A A P A ξ===，223243661(2)5A A A P A ξ===，232242662(3)15A A A P A ξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：4所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF，DF ，则2OF //BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ， ∴OF //CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等，由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。
安徽省马鞍山市高三数学毕业班第二次教学质量检测试题
安徽省马鞍山市2013届高三数学毕业班第二次教学质量检测试题（马鞍山二模）文（含解析）（扫描版）新人教A版123456文科数学参考解答和评分标准二、填空题 （11） 1.2log 0.8 （12） （13）1y x =-（14（15）①④⑤三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：cos2cos22cos()cos()a b a b a b +=+-（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A π=，求22sin sin B C +的最大值.（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b[cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分 （Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C ()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=--B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p时，22max 3sin sin 2+=B C （） ………12分解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B BB B （pp 11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫Bp 解法3 ∵3=A p由余弦定理可得 22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+?b c a由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A ……类似解法参照给分（17）(本小题满分12分)通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：（Ⅰ）从这606的样本，问样本中看与不看营养说明的男生各有多少名？解:（Ⅰ）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的男生有640460⨯=名……………2分不看营养说明的男生有620260⨯=名.………………………………………4分（Ⅱ）从（Ⅰ）中的6名男生样本中随机选取2名作深度采访，求选到看与不看营养说明的男生各1名的概率；解:（Ⅱ）记样本中看营养说明的4名男生为1234a a a a ，，， 不看营养说明的2名男生为12b b ，，从这6名男生中随机选取2名，共有15个等可能的基本事件： 12a a (，),13()a a ，，14()a a ，，11()a b ，，12a b (，), 23()a a ，，24()a a ，，21()a b ，，22()a b ，， 34()a a ，，31()a b ，，32()a b ，， 41()a b ，，42a b (，)，12b b (，)；……………………………………………………………………………… 6分其中符合要求的是11()a b ，，12a b (，)，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42a b (，). 故所求的概率为815P =.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）根据以上列联表，是否有85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考值表：解:（Ⅲ）假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2K 应该很小.由题设条件得：222110(40204010)110(4241)1116 2.44480605030865372K ⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ……10分因为由2.444 2.072>可知，所以有85%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关. ………………………………………………………………………………… 12分 【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型，中等题.B第18题图8 （18）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，//EF AC,AB =1EF FA ==.（Ⅰ）求证：//CE BDF 平面； （Ⅱ）求证：BE DEF ⊥平面 【证明】（Ⅰ）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，连接FO .由题知1EF OC ==， ∵//EF AC ，∴四边形CEFO 为平行四边形……2分∴////CE OFCE BDF CE BDF OF BDF ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面 ……………6分（Ⅱ）ABCD ACEFABCD ACEF AC ABCD FA AC FA ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥=⊥⊥I 平面平面平面平面平面…8分连EO ，易知四边形AOEF 为边长为1的正方形 ∴EO ABCD EO BD ⊥⇒⊥平面 ∴BDE △为等腰三角形，22BD BO ==BE DE ==∵222BD BE DE =+ ∴BE DE ⊥同理在BEF △中，BE EF ⊥……………10分 BE DE BE EF BE DEF DE EF E ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭I 平面 ………12分 【命题意图】本题考查空间几何体的线、面位置关系的证明，中等题 .（19）（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为，且过点（1．斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；【命题意图】本题考查直线与椭圆的相关知识，位置关系.考查运算能力、分析问题的能力，中等题.解：（Ⅰ）依题意，c a =，可得2222222222,,,2a c a b c b c a b ==+∴=∴=又可设椭圆方程222212y x b b +=，又过点（1，∴222,4b a ==所以椭圆方程为22142y x +=．………………………………………………………6分（Ⅱ）因为椭圆的上焦点为（0，设直线l的方程为y kx =B第18题图9由221,42y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)30k x ++-=． (8)分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12x x +=，12232x x k =-+．可得1212()y y k x x +=++． ……………………………………………10分设线段PQ 中点为N ，则点N的坐标为， 由题意有1-=⋅k k MN，可得1m k =-．得m =，………………12分又0k ≠，所以0m <<． ………………………………………………………13分【命题意图】本题考查椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系，中等题 . （20）（本题满分13分）已知数列{}n a 中，140n a a =>，，前n 项和为n S ，若2)n a n =≥..（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列11{}n n a a +前n 项和为n T ，求n T 取值范围. . 解：（Ⅰ）∵1n n n a S S -=-，∴1n n n a S S -=-=……………………2分2)n ⇒=≥∵0n a >1(2)n ≥…………………4分 数列{}n S2，公差为1的等差数列，2211(1)n n n S n =+-=+⇒=+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+………………………6分当1n =时，14a = ∴41212n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，……………………………………………………7分（Ⅱ）12233411111n n nT a a a a a a a a -=++++L 1111455779(21)(23)n n =++++⨯⨯⨯++L 11111111[()()()]45257792123n n =+-+-++-⨯++L 111131()2025232046n n =+-=-++； ……………………………………10分10 ∵114610n ≤+ ∴13[,)2020n T ∈……………………………………………………………13分【命题意图】.本题考查递推关系，等差数列、裂项求和、函数单调性，中等题.（21）(本小题满分13分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=．（Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的极值点；（Ⅱ）若存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立，求实数a 的取值范围． 【解】(Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f , 2()363(2)f x x x x x '=-=-………………………… 1分由()0f x '=，解得0=x 或2x =;当0x < 或2x >时，()f x 单调递增，当02x <<时，()f x 单调递减， …… 3分 所以，0=x 是极大值点， 2x =是极小值…………………………………………4分 (Ⅱ) 存在[]01,2,x ∈时，使得不等式0()1f x <-成立等价于()f x 在[]1,2上的最小值小于1-. 设此最小值为m ，而/22()323(),[1,2],3f x x ax x x a x =-=-∈（1）当0≤a 时，/()0,[1,2],f x x >∈则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; ……………………………………6分（2）当0>a 时，在320ax x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞>在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/<…………………… 8分① 当232≥a ，即3≥a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递减，∴a f m 48)2(-==;② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，()f x 在2[1,]3a x ∈上单调递减，在2[2]3a x ∈，上单调递增，∴.274)32(3aa f m -==③ 当2013a <<即230<<a 时，()f x 在[1,2]x ∈上单调递增，∴a f m -==1)1(.综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m .…………………………10分令1m <-，解上述三个不等式得：a > (13)分【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值，考查分类讨论思想，中等题.11。
安徽省马鞍山市2013届高三毕业班第二次教学质量检测(数学理)【2013马鞍山二模】扫描版
马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学参考解答及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑. 1．【答案】C 由复数的运算得i z 22-= ，故z =22，选C 【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题 2. 【答案】B【命题意图】本题考查集合运算，简单题. 3. 【答案】C.【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题. 4．【答案】A. 【命题意图】本题考查线性规划，容易题. 5.【答案】B.【命题意图】本题考查二项式定理，中等题. 6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积 【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题. 7. 【答案】A.【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题. 8．【答案】D 由函数性质，得1£a ,解得11-＃x 故选D 【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题. 9．【答案】D,而12613()132n n n n a a A a +++==，又160a =，故当616n +=即10n =时n A 最小.【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题. 10．【答案】 A.简解：由sin cos 0-= a a a sin cos ααα=，知sin y x = ()0,2x π∈的过O 点的切线为l ，易知切线l 的斜率αααsin cos =，数形结合可知选A【命题意图】本题考查三角函数，导数及其应用，不等式，难题.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11. 直线l 的极坐标方程为(cos sin )6+=r q q ，圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 ▲ .【答案】1.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.12．函数sin()y A ωx φ=+的部分图像如图所示，其中0,02>>||<πA ωφ，，则其解析式为 ▲ 【答案】2sin(2)3y x p=- 1112p O6p【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题13. 已知P 是椭圆22162+=x y 和双曲线222-=x y 的一个交点，若21,F F 分别是椭圆的左，右焦点，则=∠21cos PF F ▲ 【答案】0【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题.14．在ABC D 中，若120BAC ? ，1AB AC?-uu u r uuu r，则||-AB AC uu u r uuu r的最小值是 ▲ .【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.15. 如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为正方形11BCC B 的中心，F 为棱11C D 上的动点（包括端点11C D ，）.给出下列命题： ① 存在点F ，使得1^EF AB C 平面； ② 存在点F ，使得EF ABCD 与平面所成角为3p； ③ 对任意的点F ，总有1^EF A D ；④ 对任意的点F ，三棱锥1-A DEF 的体积为定值. 其中正确的命题的序号是 . 【答案】①③④【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本题满分12分)（Ⅰ）证明：cos2cos22cos()cos()a b a b a b +=+-；（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A p=，求22sin sin B C +的最大值. 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos21cos2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=+-B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p时，22max 3sin sin 2+=B C （）………………12分 解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B B B B （pp11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p（以下同解法1） 解法3 ∵3=A p由余弦定理可得：22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c1∴2222+ b c a ，由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A（以下略） 类似解法参照给分 17．(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：甲、乙两校高二年级数学成绩统计表（I ．（II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力. 解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故10,15x y ==估计乙校平均分为 55156530752585159557190⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈.………6分22200(40702070) 4.7141109060140k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯又因为4.714 3.841>故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分18．(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCF ；（Ⅱ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB 长. 【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.（Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF 是正方形，∴截面ACEF ⊥平面ABC, AE ⊥CF又AB 为圆柱的底面直径, ∴AC ⊥BC ∴BC ⊥截面ACEF ∴ BC ⊥AEEF又∵Ç=CF BC C故AE ⊥平面BCF 又ÌAE ABE 平面∴平面ABE ⊥平面BCF …………………………6分（Ⅱ）解：平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，设AE ÇCF =M 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCF ，过E 作^EH BF 于H 连接MH 轣MH BF \ EHM 为60° 设=BC t则BE EH ==在Rt EMH V 中，依题sin ?=EHM解得1=t 故直径AB……………………………12分方法（2）建立空间直角坐标系如图 设=BC t则(0,,0),(1,0,1),(0,0,1)(1,,1),(1,0,0)?-=B t F E BF t EF uu u r uu u r设平面BEF 法向量为(,,)=m x y z u r00(0,1,)00m EF x m t x ty z m BF íïí?=ïï镲揶=眄镲-+=?ï镱ïîu r uu u r u r u r uu u r 又平面BCF 法向量为n r，由^AE 平面BCF ， 故(1,0,1)=-n r1cos ,12=?m n t u r r ，故直径AB12分19．(本题满分13分)已知抛物线21116C y x =-：的顶点为P ，两条互相垂直的直线恒与1C 相切,切点分别为M ，N 两点.（Ⅰ）若3OG OP OM ON =++u u u r u u u r u u u r u u u r,求G 点的轨迹2C 的方程；（Ⅱ）若直线210L mx y -+=：与1C 相交于A,B 两点, 与2C 相交于C,D 两点, 设PAB D ,PCD D 的面积分别是1S ,2S ,求证：不论实数m 取何值，12S S 为定值，并求出这个定值. 【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.解: （Ⅰ）由2116y x =-得13y x ¢= 设2(,1)6m M m -,2(,1)6n N n -,由PM PN L L ^得111933m n mn ?-?-再设(,)G x y ，由(0,1)P -及3OG OP OM ON =++uuu r uu u r uuu r uuu r2231836x m n m n y í=+ïïïÞì+-ï=ïïïî2218()2189y m n mn x ?+--= 故G 点的轨迹2C 的方程为22x y =…………………………………………6分ABCEFHM（Ⅱ）显然12||||S AB S CD =，由22113906210y x x mx mx y íïï=-ï?-=ìïï-+=ïî 记11(,)A x y ,22(,)B x y，∴1221233||(4)92x x m AB m x x í+=ïï?+ìï?-ïî 记33(,)C x y ,44(,)D x y ，2221010y x x mx mx y íï=ï?-=ìï-+=ïî∴342121||(4)12x x mCD m x x í+=ïï?+ìï?-ïî∴123S S ==为常数∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分 解法2：由解法1，记11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)C x y ,44(,)D x y由21116C y x =-：和2C ：22y x =的焦点都是点1(0,)2，且直线210L mx y -+=：过点1(0,)2根据抛物线的定义可知：122112234234()+6+53122==3()+1422m x x S y y m m x x S y y m +++==++++ 20．（本题满分13分）函数2()(1)ln f x x b x =-+，其中b R Î.（Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）设3222,()3467>=-+-+a g x x a x a a .当12b =时，若存在12,[1,2]x x Î ，使得121|()(|<2f xg x -），求实数a 的取值范围． 【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题.解 （Ⅰ）函数2/22f (x)=2(x-1)+(0)b x x b x x x-+=>由题意，f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立，故2220x x b -+ 在(0，＋∞)内恒成立即22112+22(-)22b x x x ?=-+恒成立．显然，2112(-)22x -+在(0，＋∞)内的最大值为12，所以，b ≥12；即b 的取值范围为1,2轹÷ê+ ÷÷êøë.……………………………………………………6分 （Ⅱ）首先研究f (x )，g (x )在[1,2]上的性质．由（Ⅰ），当b ＝12时，21()(1)ln 2f x x x =-+ 在(0，＋∞)内单调递增，从而f (x )在[1,2]上单调递增，因此，f (x )在[1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，最大值f (x )max ＝f (2)＝1＋12ln 2.g ′(x )＝3(x 2－a 2)，由a >2，知当x ∈[1,2]时，g ′(x )＝3(x 2－a 2)<0， 因此，322()34a 67g x x a x a =-+-+在[1,2]上单调递减．g (x )在[1,2]上的最小值g (x )min ＝g (2)＝226150a a --+< 最大值g (x )max ＝g (1)＝268a a -+①若g (x )max ＝268a a -+≥0，即a ≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a ≥4显然满足题设条件， ②若g (x )max ＝268a a -+<0，即2<a <4，f (x )的图象在上，g (x )的图象在下．只需f (x )min －g (x )max <12，即f (1)－g (1)<12，即－(268a a -+)<12，所以，3＋22<a <4.综上，所求实数a的取值范围是(3)++ .…………………………………………13分 21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21+n a 成等差数列，n b ,1+n a ,1+n b成等比数列，且1a，2a .（Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列； （Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设22212111n nS a a a =+++L ，如果对任意正整数n ，不等式2aS n <2－22n n b a 恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题.（Ⅰ）证明 由已知，得22212+=+n n n b a a①a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1 ② 将②代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2112-+=? n n nn n b b b b b即112-+=+n n n b b b ∴{b n }是等差数列．…………………………………………4分（Ⅱ）解 设数列{b n }的公差为d ，由a 1a 2经计算，得21b ＝252，22b ＝18.∴1b ＝522，d ＝2b －1b ＝32－522＝22，b n ＝522＋(n －1)·22＝22(n ＋4)．∴b n ＝22(n ＋4)，a n.…………………………………………………8分（Ⅲ）解 由（Ⅰ）得21na＝23)(4)++n n （ ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4.∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－15＋⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4.不等式2aS n <2－22n nb a 化为4a ⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3.即(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0，设f (n )＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8，则f (n )<0对任意正整数n 恒成立． 当a －1>0，即a >1时，不满足条件； 当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a －1<0，即a <1时，f (n )的对称轴为x ＝－3 a －22 a －1<0，f (n )关于n 递减，因此，只需f (1)＝4a －15<0.解得a <154，∴a <1.综上，a ≤1.………………………………………………………………………………13分。
2013年马鞍山市三模数学试卷(理)
安徽省马鞍山市2013年高中毕业班第三次教学质量检测（数学理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）设集合2{|40}A x x =->，{|21}xB x =<，则A B =（A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x <（D ）{|22}x x x <->或（2）已知复数2(1)(2)i ()z a a a =-+-∈R ，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（A ）0.6（B ）0.4（C ）0.3（D ）0.2（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（A ）22cos sin y x x =-（B ）lg ||y x =（C ）2x xe e y --=（D ）3y x =（5）在极坐标系中，直线2sin()4πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离（D ）无法确定（6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是 （A ）12π（B ）13π（C ）15π（D ）17π（7）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F △，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A ）4+（B 1（C ）（D 1（8）从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）18（C ）12（D ）6（9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*14()n n a S n +=∈N ，则6a =（A ）445⨯（B ）4451⨯+（C ）55（D ）551+（10）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =-+-+-⋅⋅⋅-，则下列结论正确的是 （A ）()f x 在(0,1)上恰有一个零点 （B ）()f x 在(0,1)上恰有两个零点 （C ）()f x 在(1,2)上恰有一个零点（D ）()f x 在(1,2)上恰有两个零点二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ▲ ． （12）设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D ∈，则目标函数z x y=+的最大值为 ▲ ．（13）执行下边的程序框图，输出的T = ▲ ．（14）ABC △中，向量AB与BC 的夹角为56π，||2AC = ，则||AB 的取值范围是 ▲ ． 【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从顶点A 出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论： ① 有12个顶点； ② 有24条棱； ③ 有12个面；④ 表面积为23a ；⑤ 体积为356a ．其中正确的结论是 ▲ （写出所有正确结论的编号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域．（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6 ）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求ξ的分布列与期望．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ； （Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．（19）（本小题满分12分）数列{}n a 满足13a =，125n n a a n ++=+． （Ⅰ）求2a 、3a 、4a ； （Ⅱ）求n a 的表达式；（Ⅲ）令12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++- ，求n T ．（20）（本小题满分13分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．（21）（本小题满分14分）已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．① 求证：MN AB ⊥；② 若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．参考答案一．选择题（1）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）【答案】选（A）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）【答案】选（C）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）【答案】选（C）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．（6）【答案】（D）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．（7）【答案】（D）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）【答案】（B）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）【答案】（A）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）【答案】（C）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：（11）【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）【答案】3．【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．【答案】（Ⅰ）111()2cos2sin(2)2262f x x x xπωωω=--=--，……4分由题，222Tππω==及0ω>，得：2ω=，所以1()sin(4)62f x xπ=--．……6分（Ⅱ）由22221cos222a cb ac acxac ac+--=≥=，知：(0,]3xπ∈，……9分从而74-(-,]666p p px∈，所以函数()f x的值域为1[1,]2-．…12分（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得：2434664 ()1()15A AP A P AA=-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624 ()5A A A A AP AA A=+=）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3，4，且2651(0)3PCξ===,2644(1)15PCξ===,2631(2)5PCξ===,2622(3)15PCξ===,2611(4)15PCξ===[另解：2525661(0)3A APAξ===，214244664(1)15A A APAξ===，223243661(2)5A A APAξ===，232242662(3)15A A APAξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题． 【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF ，DF ，则2OF//BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ，∴OF//CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等， 由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。
安徽马鞍山市高三第二次教学质量检测(理数,word版)
x 2cos则曲线C:y 2 2sin(a为参数)的极坐标方程是A. = —4sin 0B. =4sin 0C. = —2sin 0D. =2sin 0(6) 某程序的框图如下图所示，若执行该程序，则输出的i值为A. 5B. 6C.7D. 8安徽省马鞍山市2012届高三第二次教学质量检测数学理第1卷(选择题，共50分)一、透择月：本大题共符合题目要求的.10个小皿，每小班5分，共so分.在每小月给出的四个选项中，只有一项是(1)在复平面内，复数1i2012(i是虚数单位)对应的点位于1 i2012.4A.第一象限B.第二象限C•第三象限 D.第四象限1(2)己知全集U = R,函数y= 的定义域为集合A，函数y = Iog2(x+1)的定义域为B ,则集合Jx 2Al (C U B)=A. (2,-1)B. (-2,-1]C. ( — a, —2)D. [-1,+ a)⑶己知a、B为两个平面，I为直线.若a±3,aA3= l，则A. 垂直于平面B的平面一定平行于平面aB. 垂直于直线I的直线一定垂直于平面aC. 垂直于平面B的平面一定平行于直线lD. 垂直于直线l的平面一定与平面a,B都垂直⑷为得到函数y=cos(x+ )的图象，只需将函数y= sinx的图象3A.向左平移一个长度单位65C.向左平移个长度单位6(5 )以直角坐标系的原点为极点,B.向右平移一个长度单位6D.向右平移一个长度单位6x轴正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系,(7) 等差数列｛ a n ｝的前 n 项和为 Sn.,且 a i +a 2= 10, 33+34= 26,则过点 P(n , a n )和 Q(n+2, a n 2) (n€ N +)的直线的一个方向向量是A.、(— 2，-2)B.、 (— 1, — 1)C.、 (—1 , — 1)D.、(2, 1)2 2(8)已知椭圆 C i ： 22 £ = 1与双曲线C 2：—nm2—=1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范n围为 A 、注21)B 、(0,2)C 、(0, 1)23(9)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+ ) + f(x) = 0,23 ①函数f (x)的最小正周期是3 ； 2 于y 轴对称.其中真命题的个数是 3且函数y=f (x —)为奇函数，给出下列命题：43②函数y=f(x)的图象关于点(一 ，0)对称：③函数y=f(x)的图象关4的最小值是C 、2D 、33cos x cos3si n y sin]—4 C. 5uuu ( R)，点 N (x,y )满足：(x — 3)2 + (y — 3)2= 1,则 | MN | 第II 卷(非选择题，共100 分)二、填空题：共25分。
安徽省马鞍山市2013届高三理综上学期期末素质测试
2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测理科综合能力测试本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，第1卷第1页至第6页，第2卷第6页至第12页。
全卷总分为300分。
考生须知事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、某某号。
2. 答第1卷时，每一小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 答第2卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4.考试完毕，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第1卷〔选择题共120分〕本卷共20小题，每一小题6分，共120分。
在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量： H-1 C-12 0-16 S-32 I-127 K-39 Mn-551．在生物学实验中，正确选择材料和试剂是实验成功的前提。
请判断如下选择符合生物学实验要求的是A.重铬酸钾在酸性条件下与乙醇发生化学反响呈现灰绿色B.使用层析液是为了提取植物叶绿体中的四种色素C.不含色素且含糖丰富的甘蔗是鉴定复原性糖实验的理想材料D.核移植的供体细胞一般选用传代培养10代以后的细胞2．如下有关细胞结构和功能的表示，正确的答案是A．所有细胞中核糖体的形成都与核仁密切相关B．细胞凋亡时有新蛋白质合成，表现基因选择性表达C．糖被与细胞的保护、识别、免疫和主动运输等有关D．红细胞吸收葡萄糖和神经元释放递质的方式一样3．某种生物的黑色素产生需要如图①所示的3类基因参与控制，三类等位基因的控制均表现为完全显性；图②表示这种生物一个正常个体的体细胞局部基因和染色体的关系；图③表示该个体b基因正常转录过程中的局部图解。
安徽马鞍山2013高三第二次教学质量检测-文综(扫描版)解析
2013年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测文综测试政治试题参考答案及评分标准1.A2.B3.D4.A5.C6. B7.D8. D9.A 10.C 11.C38.（28分）（1）2012年，国家财政支出大幅度向改善民生倾斜，说明政府更加关注民生。
（2分）国家财政是促进社会公平、改善人民生活的物质保障。
民生支出的增加，能提高居民收入预期，促进消费。
（2分）国家财政在民生方面的倾斜是贯彻科学发展观的要求，体现了以人为本，有利于实现经济社会协调发展；（2分）是加强宏观调控的要求，弥补市场调节的不足。
（2分）（2）认真履行职能，努力提高为经济建设和社会发展服务的能力和水平，努力打造服务型政府。
（4分）坚持对人民负责的原则，把工作的着力点放在人民群众关心的最紧迫的问题上。
（4分）坚持依法行政，审慎行使权力，科学民主决策。
（4分）立足整体，统筹全局；搞好局部，用局部发展推动整体发展。
要把个人的命运与国家的命运结合起来，以个人梦想的实现助推中国梦的实现。
（4分）积极做好量的积累，为实现事物的质变创造条件。
只要我们万众一心为梦想而奋斗，中国梦就一定能够实现。
（4分）39．（28分）（1）社会存在决定社会意识，社会意识对社会存在具有反作用，正确的社会意识会促进社会的发展。
D县根据本县实际，实施生态强县战略，制定《规划》，推进生态强县建设。
（3分）价值观对人们的行为具有导向作用。
正确的价值判断和价值选择必须站在最广大人民的立场上，把人民群众的利益最高的价值标准。
进行生态强县建设维护了农民的切身利益。
（3分）人民群众是社会历史的主体。
建设生态强县要紧紧依靠群众，发挥农民的智慧。
（2分）（2）有利于能源资源节约和生态环境保护；（2分）有利于科技进步和农民素质提高；（2分）有利于促进农村经济发展方式的转变；（2分）有利于提高农民生活质量，推进社会主义新农村建设。
（2分）(3) 发展人民大众喜闻乐见的大众文化，积极开展丰富多彩的群众性文化活动。
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马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学参考解答及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑. 1．【答案】C 由复数的运算得i z 22-= ，故z =22，选C【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题 2. 【答案】B【命题意图】本题考查集合运算，简单题. 3. 【答案】C.【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题. 4．【答案】A.【命题意图】本题考查线性规划，容易题. 5.【答案】B.【命题意图】本题考查二项式定理，中等题. 6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题. 7. 【答案】A.【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题. 8．【答案】D 由函数性质，得1£a ,解得11-＃x 故选D 【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题. 9．【答案】D,而12613()132n n n n a a A a +++==，又160a =，故当616n +=即10n =时n A 最小.【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题.10．【答案】 A.简解：由sin cos 0-=?a a a sin cos ααα=，知sin y x = ()0,2x π∈的过O 点的切线为l ，易知切线l 的斜率αααsin cos =，数形结合可知选A第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． 11. 直线l 的极坐标方程为(cos sin )6+=r q q ，圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 ▲ . 【答案】1.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.12．函数sin()y A ωx φ=+的部分图像如图所示，其中0,02>>||<πA ωφ，，则其解析式为 ▲【答案】2sin(2)3y x p=-【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题13. 已知P 是椭圆22162+=x y 和双曲线222-=x y 的一个交点，若1112p O6p21,F F 分别是椭圆的左，右焦点，则=∠21cos PF F ▲【答案】0【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题. 14．在ABC D 中，若120BAC??，1AB AC?-uu u r uuu r，则||-AB AC uu u r uuu r的最小值是 ▲ .【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.15. 如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为正方形11BCC B 的中心，F 为棱11C D 上的动点（包括端点11C D ，）.给出下列命题： ① 存在点F ，使得1^EF AB C 平面；② 存在点F ，使得EF ABCD 与平面所成角为3p；③ 对任意的点F ，总有1^EF A D ；④ 对任意的点F ，三棱锥1-A DEF 的体积为定值. 其中正确的命题的序号是 . 【答案】①③④【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本题满分12分)（Ⅰ）证明：cos2cos22cos()cos()a b a b a b +=+-；（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A p=，求22sin sin B C +的最大值. 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos 21cos 2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C ()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=+-B C ……………………8分∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p∴3==B C p时，22max 3sin sin 2+=B C （）………………12分 解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B B B B （pp 11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p（以下同解法1） 解法3 ∵3=A p由余弦定理可得：22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+?b c a ，由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A （以下略）类似解法参照给分 17．(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：1A第15题图（I．（II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力. 解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故10,15x y ==估计乙校平均分为 55156530752585159557190⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈.………6分2200(40702070) 4.7141109060140k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯又因为4.714 3.841>故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分18．(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCF ；（Ⅱ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB 长.【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题. （Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF 是正方形，∴截面ACEF ⊥平面ABC, AE⊥CF又AB 为圆柱的底面直径, ∴AC ⊥BC∴BC ⊥截面ACEF ∴ BC ⊥AE又∵Ç=CF BC C故AE ⊥平面BCF 又ÌAE ABE 平面∴平面ABE ⊥平面BCF …………………………6分（Ⅱ）解：平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°， 设AE ÇCF =M 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCF ，过E 作^EH BF 于H 连接MH 轣MH BF \?EHM 为60° 设=BC t 则BE EH ==在Rt EMH V 中，ABC E F 第18题图依题sin?EHM解得1=t故直径AB……………………………12分方法（2）建立空间直角坐标系如图设=BC t则(0,,0),(1,0,1),(0,0,1)(1,,1),(1,0,0)?-=B t F E BF t EFuu u r uu u r设平面BEF法向量为(,,)=m x y zu r00(0,1,)m EF xm tx ty zm BFìïì?=ïï镲揶=眄镲-+=?ï镱ïîu r uu u ru ru r uu u r又平面BCF法向量为nr，由^AE平面BCF，故(1,0,1)=-nr1cos,12=?m n tu r r，故直径AB12分19．(本题满分13分)已知抛物线21116C y x=-：的顶点为P，两条互相垂直的直线恒与1C相切,切点分别为M，N两点.（Ⅰ）若3OG OP OM ON=++u u u r u u u r u u u r u u u r,求G点的轨迹2C的方程；（Ⅱ）若直线210L mx y-+=：与1C相交于A,B两点, 与2C相交于C,D两点, 设PABD,PCDD的面积分别是1S,2S,求证：不论实数m取何值，12SS为定值，并求出这个定值.【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.解: （Ⅰ）由2116y x=-得13y x¢=设2(,1)6mM m-,2(,1)6nN n-,由PM PNL L^得111933m n mn?-?-再设(,)G x y，由(0,1)P-及3OG OP OM ON=++uuu r uu u r uuu r uuu r2231836x m nm nyì=+ïïïÞí+-ï=ïïïî2218()2189y m n mn x?+--=故G点的轨迹2C的方程为22x y=…………………………………………6分（Ⅱ）显然12||||S ABS CD=，由22113906210y xx mxmx yìïï=-ï?-=íïï-+=ïî记11(,)A x y,22(,)B x y，∴1221233||(4)92x x mAB mx xì+=ïï?+íï?-ïî记33(,)C x y,44(,)D x y，2221010y xx mxmx yìï=ï?-=íï-+=ïî∴342121||(4)12x x mCD mx xì+=ïï?+íï?-ïî∴123S S ==为常数∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分 解法2：由解法1，记11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)C x y ,44(,)D x y由21116C y x =-：和2C ：22y x =的焦点都是点1(0,)2，且直线210L mx y -+=：过点1(0,)2根据抛物线的定义可知：122112234234()+6+53122==3()+1422m x x S y y m m x x S y y m +++==++++ 20．（本题满分13分）函数2()(1)ln f x x b x =-+，其中b R Î.（Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围； （Ⅱ）设3222,()3467>=-+-+a g x x a x a a .当12b =时，若存在12,[1,2]x x Î ，使得121|()(|<2f xg x -），求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题.解 （Ⅰ）函数2/22f (x)=2(x-1)+(0)b x x b x x x-+=>由题意，f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立，故2220x x b -+?在(0，＋∞)内恒成立即22112+22(-)22b x x x ?=-+恒成立．显然，2112(-)22x -+在(0，＋∞)内的最大值为12，所以，b ≥12；即b 的取值范围为1,2轹÷ê+?÷÷êøë.……………………………………………………6分 （Ⅱ）首先研究f (x )，g (x )在[1,2]上的性质．由（Ⅰ），当b ＝12时，21()(1)ln 2f x x x =-+ 在(0，＋∞)内单调递增，从而f (x )在[1,2]上单调递增，因此，f (x )在[1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，最大值f (x )max ＝f (2)＝1＋12ln 2.g ′(x )＝3(x 2－a 2)，由a >2，知当x ∈[1,2]时，g ′(x )＝3(x 2－a 2)<0， 因此，322()34a 67g x x a x a =-+-+在[1,2]上单调递减．g (x )在[1,2]上的最小值g (x )min ＝g (2)＝226150a a --+< 最大值g (x )max ＝g (1)＝268a a -+①若g (x )max ＝268a a -+≥0，即a ≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a ≥4显然满足题设条件， ②若g (x )max ＝268a a -+<0，即2<a <4，f (x )的图象在上，g (x )的图象在下．只需f (x )min －g (x )max <12，即f (1)－g (1)<12，即－(268a a -+)<12，所以，3＋22<a <4.综上，所求实数a 的取值范围是(3)++?.…………………………………………13分 21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21+n a 成等差数列，n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列，且1a 2=a （Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列； （Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设22212111n nS a a a =+++L ，如果对任意正整数n ，不等式2aS n <2－22n n b a 恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题.（Ⅰ）证明 由已知，得22212+=+n n n b a a①a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1 ② 将②代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2112-+=??n n nn n b b b b b即112-+=+n n n b b b ∴{b n }是等差数列．…………………………………………4分（Ⅱ）解 设数列{b n }的公差为d ，由a 1a 2经计算，得21b ＝252，22b ＝18.∴1b ＝522，d ＝2b －1b ＝32－522＝22，b n ＝522＋(n －1)·22＝22(n ＋4)．∴b n ＝22(n ＋4)，a n.…………………………………………………8分（Ⅲ）解 由（Ⅰ）得21na ＝23)(4)++n n （ ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4. ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－15＋⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4. 不等式2aS n <2－22n n b a 化为4a ⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3.即(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0，设f (n )＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8，则f (n )<0对任意正整数n 恒成立． 当a －1>0，即a >1时，不满足条件； 当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a －1<0，即a <1时，f (n )的对称轴为x ＝－a －a －<0，f (n )关于n 递减，因此，只需f (1)＝4a －15<0.解得a <154，∴a <1.综上，a ≤1.………………………………………………………………………………13分。