北师大版数学必修二课件：2.1.3两条直线的位置关系
北师大版高中数学必修二第二章1.3两条直线的位置关系.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.3 两条直线的位置关系问题导学1．由两条直线平行求参数值活动与探究1已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．迁移与应用已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，求a 的值．1．已知两直线平行，求方程中的参数值时，通常有两种方法：一是对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况分别求解；二是直接根据条件A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1进行求解．2．求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除它们重合的情况．2．利用两直线平行求直线方程活动与探究2求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程．迁移与应用求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程．(1)A (1,2)，y ＝23x ＋53；(2)B (2，－3),2x ＋y －5＝0.平行直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．3．由两条直线垂直求参数值活动与探究3已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，求a 的值．迁移与应用1．已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．22．过点P (6，m )和点Q (m,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m 的值为( )． A ．5 B ．4 C ．9 D ．01．判断两直线是否垂直的方法：(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0判断； (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1判断； (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．2．已知两直线垂直求方程中的参数值时，通常也有两种方法，一是根据k 1k 2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情况；二是直接利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解．4．利用两直线垂直求直线方程活动与探究4直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，求直线l 的方程．迁移与应用如图，在平行四边形OABC 中，点A (3,0)，点C (1,3)．(1)求AB 所在直线的方程；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．垂直直线的求法：(1)求与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可巧设为y ＝－1kx ＋m ，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx －Ay ＋m ＝0，然后用待定系数法，求出m .当堂检测1．若直线2ay －1＝0与直线(3a －1)x ＋y －1＝0平行，则实数a 等于( )．A ．12B ．－12C ．13D ．－132．下列各选项中，两条直线互相平行的是( )． A ．2x ＋y －1＝0与x ＋2y －2＝0 B ．x ＋3y －2＝0与3x ＋9y －6＝0 C ．x ＋2＝0与y －3＝0D ．3x ＋y ＝0与6x ＋2y －1＝03．若两条直线ax ＋2y ＝0和2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为( )．A ．－12B ．12C ．0D ．－24．过点(2,1)且与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为__________．5．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，求满足下列条件的a 的值： (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 预习导引1．(1)k 1＝k 2 k 1＝k 2 (2)90°预习交流1 提示：不一定，有可能两直线的斜率不存在．预习交流2 提示：当B 1，B 2均不为0时，两直线斜率都存在，分别是－A 1B 1和－A 2B 2，因此－A 1B 1＝－A 2B 2，所以A 1B 2＝A 2B 1.若B 1，B 2中有0，两直线平行，也满足A 1B 2＝A 2B 1，又两直线不能重合，截距不相等，因此－C 1B 1≠－C 2B 2，即B 1C 2≠B 2C 1，故两条直线平行的条件是A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1.2．－1 －1 l 1⊥l 2预习交流3 提示：(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；(2)使用时应注意l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1的前提条件是：l 1与l 2都有斜率且不等于零．若忽略此前提条件，容易导致错误结论．预习交流4 提示：当B 1，B 2均不为0时，由两直线垂直可得－A 1B 1·⎝⎛⎭⎫－A 2B 2＝－1，即A 1A 2＋B 1B 2＝0；当B 1＝0，A 2＝0或A 1＝0，B 2＝0时，两直线也垂直，并满足A 1A 2＋B 1B 2＝0.综上，l 1⊥l 2的条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：一种方法是对直线斜率是否存在进行讨论，分两种情况进行求解；另一种方法是直接利用一般式方程表示直线的前提下，由两直线平行的条件建立参数的方程求解．解：(方法1)(1)当l 1，l 2斜率都存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，4(m －3)≠0，所以m ≠0且m ≠3.由l 1∥l 2，得－m ＋2m 2－3m ＝－24(m －3)，解得m ＝－4.此时l 1：x －14y －2＝0，l 2：x －14y －12＝0，显然，l 1与l 2不重合，满足条件．(2)当l 1，l 2斜率不存在时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，4(m －3)＝0，解得m ＝3.此时l 1：x ＝－45，l 2：x ＝12，满足条件．综上所述，m ＝－4或m ＝3.(方法2)由于l 1∥l 2，所以(m ＋2)×4(m －3)＝(m 2－3m )×2， 整理得m 2＋m －12＝0，解得m ＝－4或m ＝3.当m ＝－4时，两直线为：x －14y －2＝0和x －14y －12＝0，满足条件；当m ＝3时，两直线为：x ＝－45和x ＝12，满足条件．故m 的值是－4或3.迁移与应用 解：当a ＝0时，显然两直线不平行．当a ≠0时，由－a －2a ＝－23，得a ＝6.活动与探究2 思路分析：根据条件，求出已知直线的斜率，再由两直线平行，斜率相等，可求出所求直线的方程，也可以用平行直线系的知识，设出直线方程，用待定系数法求解．解：方法一：已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－23.根据点斜式，得到所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)， ∵所求直线经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.迁移与应用 解：(1)设所求直线方程为y ＝23x ＋b ⎝⎛⎭⎫b ≠53， 由于所求直线过点A (1,2)，代入方程，得b ＝43，故所求直线方程为y ＝23x ＋43，即2x －3y ＋4＝0.(2)设所求直线方程为2x ＋y ＋λ＝0(λ≠－5)． 将点(2，－3)代入上式，得λ＝－1. 因此所求直线方程为2x ＋y －1＝0.活动与探究3 思路分析：已知两直线垂直，可利用k 1·k 2＝－1，但要注意分类讨论；也可利用以下结论：设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.解：方法一：(1)当a ≠0时，l 1的斜率k 1＝a ，l 2的斜率k 2＝－2a －1a.∵l 1⊥l 2，∴a ·⎝⎛⎭⎫－2a －1a ＝－1， 即a ＝1.(2)当a ＝0时，直线l 1的斜率为0，l 2的斜率不存在，两直线垂直． 综上所述，a ＝0或a ＝1.方法二：∵A 1＝a ，B 1＝－1，A 2＝2a －1，B 2＝a ， ∴由A 1A 2＋B 1B 2＝0， 得a (2a －1)－a ＝0， 即a ＝0或a ＝1.迁移与应用 1．A 解析：依题意得a (a ＋2)＋1＝0，解得a ＝－1.2．B 解析：由已知得k PQ ＝3－m m －6，所以3－mm －6×(－2)＝－1，解得m ＝4.活动与探究4 思路分析：求出l 的斜率，再利用点斜式求直线方程，也可以用待定系数法求解．解：方法一：直线2x －3y ＋4＝0的斜率k ′＝23，由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直可得其斜率k ＝－32.由直线的点斜式方程可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二：设直线l 的方程为－3x －2y ＋D ＝0，因为直线l 过点(－1,2)，代入方程，得D ＝1.所以直线l 的方程为－3x －2y ＋1＝0，即3x ＋2y －1＝0.迁移与应用 解：(1)由题意知B 点坐标为(4,3)，k AB ＝3－04－3＝3，∴AB 所在直线的方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)∵CD ⊥AB ，∴k CD ＝－13，∴CD 所在直线的方程为y －3＝－13(x －1)，即x ＋3y －10＝0.当堂检测1．C 2．D 3．A 4．x －2y ＝05．解：(1)对于l 1：y ＝－a 3x －13，若l 1∥l 2，则kl 2存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，13≠aa －2，解得a ＝3.(2)若l 1⊥l 2，则kl 2也存在．∴y ＝－1a －2x －aa －2.∴－a 3×⎝⎛⎭⎫－1a －2＝－1，解得a ＝32.。
2-1-3两条直线的位置关系课件(北师大版必修二)
【题后反思】 由 C、 两点的横坐标， D 可知 l2 的斜率一定存在， 由 A、B 两点的横坐标，可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在， 因此应注意对 a 的取值的讨论． ①由 l1∥l2 比较 k1，k2 时，应首先考虑斜率是否存在，当 k1＝ k2 时，还应排除两直线重合的情况． ②由 l1⊥l2 比较 k1，k2 时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑 斜率是否为 0.
想一想：为什么斜率相等的两条直线不一定平行呢？ 提示 我们知道确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要 素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．斜率相等，说明它 们的倾斜角相等，而倾斜角相等的直线不一定平行，还有可能 重合，这是由于还需要确定它们是否经过一个不同的定点．通 常验证这两条直线与 y 轴的交点，即在 y 轴上的截距是否相等 即可．
即
A B －A B ＝0， 1 2 2 1 B1C2－B2C1≠0.
当 B1＝0，B2＝0 时，直线 l1、l2 分别可化为： C1 C2 l1：x＝－ ，l2：x＝－ . A1 A2 C1 C2 若 l1∥l2，则－A ≠－A ，即 A2C1≠A1C2. 1 2 综上可知， l1∥l2， A1B2－A2B1＝0 且 B1C1－B2C1≠0 或 A1C2 若 则 －A2C1≠0.
k2 ＝ 7 －0 6
3 ＝4.
k2 ＝
7 0－－8
7 －0 6
3 ＝ . 4
∵k1≠k2，k1·2≠－1， k ∴两直线既不平行，也不垂直． －3 3－2 3 (3)由题意知，k1＝tan 60° 3，k2＝ ＝ ＝ 3. －2－3 因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
3 【变式 3】 已知直线 l1 的斜率 k1＝4，直线 l2 经过点 A(3a，－ 2)，B(0，a2＋1)，且 l1⊥l2，求实数 a 的值．
2.1.3《两条直线的位置关系》课件(北师大版必修2),
6.已知点A（1，5），B（-1，1），C（3，2），则平行四边 形ABCD的两边AD和CD所在直线的方程分别是___、___. 【解析】由题意可知AD∥BC,CD∥AB.
当x=2时，点P与点M重合，点P（2，3）的坐标也满足方程
2x+3y-13=0，所以(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·兰州高一检测）和直线 x+ 3y-1=0 平行的直线的
倾斜角为( （A）30° ) （B）60° （C）120° （D）150°
【解析】选D.将直线 x+ 3y-1=0 化为斜截式得，
【解题提示】设出P点坐标，并表示出A、B点的坐标，利
用MA⊥MB建立等量关系，进而求解.
【解析】如图所示，因为PA⊥x轴， P（x,y），所以A（x,0）.又因为 PB⊥y轴，所以B（0,y）.因为MA⊥MB， 所以kMA·kMB=-1,即 3 3-y =-1(x 2), 2-x 2 化简得2x+3y-13=0.
-3 1 =-1, ∴x=0或x=2,即C为（0，0）或（2，0）. x+1 3-x
②设C（0,y），则由kAC·kBC=-1, 得 3-y 1-y =-1, -1 3 ∴y=0或y=4.即C为（0，0）或（0，4）. 故这样的点C有3个.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2010·营口高一检测）已知过点A（-2,m)和B(m,4)的直
高中数学课件-2.1.3两条直线的位置关系课件( 北师大版必修2 )
4.已知经过两点(3，2)和(m,n)的直线l. (1)若l与x轴平行，则m,n的取值情况是__________; (2)若l与x轴垂直，则m,n的取值情况是__________.
【解析】(1)∵l与x轴平行,由图①可知m∈R且m≠3,n=2. (2)∵l与x轴垂直,由图②可知m=3,n∈R且n≠2.
【例2】如图,在平行四边形OABC中， 点A(3,0),点C(1,3). (1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D， 求CD所在直线的方程. 【审题指导】已知四边形OABC是平行四边形，可以利用 平行四边形的有关性质求AB的斜率，利用两条直线垂直的 条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.
解得h≈14.92(m).
故灯柱高h约为14.92 m.
【典例】(12分)已知A(0，3)、B(-1，0)、C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方 向排列). 【审题指导】解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进 行讨论，然后借助于平行、垂直的关系列方程组求D点的坐 标.
【例3】已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下 列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【审题指导】直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出，要
判断l1∥l2及l1⊥l2时，参数a的取值，求解思路有二：一是把
方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解；二
答案：(1)m∈R且m≠3,n=2 (2)m=3,n∈R且n≠2
5.已知P(2,1),直线l:x-y+4=0. (1)求过点P与直线l平行的直线方程; (2)求过点P与直线l垂直的直线方程. 【解析】(1)设过点P与直线l平行的直线方程为x-y+m=0. 由题意可知2-1+m=0,解得m=-1. 所以过点P与直线l平行的直线方程为x-y-1=0. (2)设过点P与直线l垂直的直线方程为x+y+n=0. 由题意可知2+1+n=0,解得n=-3. 所以过点P与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0.
【数学】2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
用这些公式时，有 要注意的地方吗？
2 m 法一：据 k1k 2 1 有， 1 5 2
得，m=-5.
法二：据
A1 A2 B1 B2 0 有，2m+(-5)(-2)=0
得， m=-5.
例2.
3 求经过直线 l1 ： x 2 y 1 0 和 直线 l 2 ： 5 x 2 y 1 0 的交点，且
解：因为点N在直线2x+y-8=0上，故
可设N(t,8-2t).又A是线段MN的中点，
由中点坐标公式得M(-t,2t-6)，因为 点M在直线x-3y+10=0上，所以 -t-3(2t-6)+10=0，解得t=4,有 M(-4,2),N(4,0)，所求直线方程为 x+4y-4=0.
解：设点A关于l的对称点为 A( x0 , y0 ),则
3
5 斜率为,于是由直线的点斜式方程 5 3
求出l:y-2=-
(x+1),即5x+3y-1=0.
方法二:l是直线系5x+3y+C=0中的一条， 而l过两直线的交点(-1,2)， 故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.
（2）l ∥l 3 ,故是直线系 3x 5 y c 0 中的一条,而l过两直线的交点(-1,2), 故 3 (1) 5 2 c 0 ， 由此求出 c 13 ，故l的方程为
2. 两直线 l1 ：A1 x B1 y C1 0 和 A2 x B2 y C2 0
l2 ：
（1）l1 ∥ l 2
（2）l1 l 2
A1 B2 A2 B1 0, B1C2 B2C1 0
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
[错因]
两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均
存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这
类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论． [正解] ∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行． ∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
3．若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？ 提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在 时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而
另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积
不是－1.
[研一题]
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平
行或垂直．
(1)直线l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，直线l2经过C(3，－2)， D(8，－7)； (2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，－2)，Q(0，5)； (3)直线l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，直线l2经过G(3，4)，
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[自主解答] (1)法一：利用直线方程的点斜式求解． 3 由 l：3x＋4y－20＝0，得 kl＝－ . 4 设过点 A 且平行于 l 的直线为 l1， 3 则 kl1＝kl＝－ ， 4 3 所以 l1 的方程为 y－2＝－ (x－2)， 4 即 3x＋4y－14＝0.
H(2,3)；
(4)直线l1：5x＋3y＝6，直线l2：3x－5y＝5； (5)直线l1：x＝3，直线l2：y＝1.
5－1 4 [自主解答] (1)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝－ ， 5 －3－2 －7－－2 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝－1， 8－3 显然 k1≠k2，直线 l1 与 l2 不平行； ∵k1·1≠－1，∴l1 与 l2 不垂直． k (2)直线 l2 的斜率不存在，就是 y 轴，所以直线 l1 与 l2 平行；
北师大版七年级数学下册2.1两条直线的位置关系(第二课时)课件
ZYT
探究新知
如图 ，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度 叫做点 A 到直线 l的距离．
ZYT
探究新知
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说 其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求
O P
ZYT
典例精析
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘 能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
探究新知
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直. 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
ZYT
探究新知
知识点 3 点到直线的距离
如图 ，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长 短，你发现了什么？
A
M
B ∴直线MF为所求垂线.
D CNF
ZYT
典例精析
例2 如图,量出 （1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离.
C
8m B
0m 10m 20m 30m
A 25m
ZYT
巩固练习
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若
A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A
ZYT
探究新知
知识点 1 垂线的定义
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么 特殊的位置关系？
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么 称这两条直线互相垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线 的垂线，它们的交点叫做垂足.
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
k2，那么l1⊥l2⇔
k1·2＝－1 k
.
(2)如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一 个是零，那么l 与l 的位置关系是 l1⊥l2 .
1 2
[小问题·大思维] 1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？
提示：(1)两条直线的斜率存在，分别为k1，k2；(2)l1
与l2不重合． 2．若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时， 斜率相等．若两条直线都垂直于x轴，它们平行，但 斜率不存在．
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)， D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[错解] 由斜率公式 4－2 2 kAB＝ ＝ ， －2m－4－－m－3 －m＋1 3m＋2－m 2m＋1 kCD＝ ＝ . 3－－m m＋3 ∵AB⊥CD， ∴kAB·CD＝－1， k 2m＋1 2 即 · ＝－1， －m＋1 m＋3 解得m＝1，∴m的值为1.
l2：2x－12y－1＝0，显然l1与l2不平行．
(2)当m＝3时，l1：5x＋4＝0，l2：2x－1＝0， l1与l2的斜率均不存在， ∴l1∥l2.
(3)当 m≠0 且 m≠3 时， m＋2 4 l1：y＝－ 2 x－ 2 ， m －3m m －3m 2 1 l2：y＝－ x＋ . 4m－3 4m－3 ∵l1∥l2， m＋2 2 ∴－ 2 ＝－ . m －3m 4m－3 1 1 1 1 解得 m＝－4，此时 l1：y＝ x－ ，l2：y＝ x－ ， 14 7 14 28 l1 与 l2 平行但不重合． 综上所述：m＝3 或 m＝－4.
[悟一法]
在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，
若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或
北师大版初中数学一年级下2.1两条直线的位置关系 课件(共34张PPT)
动手实践二
DO
C
12
34
图2-2
AN B 图2-3
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2-2抽象成成图2-3，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
DO
C
12
34
AN B
图2-2
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2-3中
通常用“⊥”表 示两直线垂直。
C
A OB D
记作AB⊥CD， 垂足为点O.
m
O
记作l⊥m， 垂足为点O.
动手画一画1
工具1:你能借助三角尺或者量角器，在一 张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 工具2:如果只有直尺，你能在方格纸上画出 两条互相垂直的直线吗？请说出你的画法和 理由. 工具3:你能用折纸的方法折出互相垂直的 直线吗，试试看吧！请说明理由。
问题1:
①你能借助三角尺， 在一张白纸上画出两 条互相垂直的直线？
②怎样用量角器画出 两条互相垂直的直线
问题2:如果只有直尺，你能在方格纸上 画出两条互相垂直的直线吗？ 说说你的画法和理由.
问题3: 你能用折纸的方法折出互相垂直的 直线吗，试试看吧！请说明理由。
动手画一画2
问题1：请画出直线m和点A，你有几种画 法？ 问题2：过点A画直线m的垂线你能画出多 少条？请用你自己的语言概括你的发现。
E
D
A
O
B
C
2.1─11
你学到了哪些知识？ 一、定义： 1、对顶角 2、互为补角，余角
二、性质： 对顶角相等 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
（二）
问题：
课前导入
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第二章§1.3
＋m＝0，m∈R.
栏目 导引
第二章
解析几何初步
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 两直线平行、垂直的判定 例1 判断下列直线是否平行或垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，
N(2,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10),l2经过点M(5，－2),N(5,5)．
第二章
解析几何初步
1．3 两条直线的位置关系
栏目 导引
第二章
解析几何初步
学习导航
学习目标 实例 ― ― → 两条直线平行 ― ― →
掌握 掌握
两条直线垂直 重点难点 重点：利用斜率之间关系判断两直线平行、 垂直． 难点：含有参数的两直线平行、垂直问题．
栏目 导引
第二章
解析几何初步
新知初探思维启动
栏目 导引
第二章
解析几何初步
题型二 应用直线的平行、垂直求参数
例2 求a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直
线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
【解】 法一：(1)若 1－ a＝0，即 a＝1 时，直线 l1：3x －1＝0 与直线 l2：5y＋ 2＝0 显然垂直； 3 (2)若 2a＋3＝0，即 a＝－ 时，直线 l1：x＋ 5y－2＝0 与 2 直线 l2：5x－4＝0 不垂直；
栏目 导引
第二章
解析几何初步
【名师点评】
(1)两条直线平行的实质是两条直线的倾斜角
相等，那么它们的斜率或相等，或同时不存在．抓住这个本
2018学年高中数学必修2课件：2.1.3 两条直线的平行与垂直 精品
[ 构建·体系]
1．下列说法正确的有________． ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直 线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
【解析】 ①中，当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，错误；②中，斜率不存 在时，错误；④错误．只 再练一题] 1．根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 的位置关系． (1)l1 经过点 A(2,1)，B(－3,5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(3,2 3)，N(－2，－3 3)．
【解】 (1)由题意知 k1＝－5－ 3－12＝－45， k2＝－78－－3－3＝－45. 因为 k1＝k2，且 A，B，C，D 四点不共线，所以 l1∥l2. (2)由题意知 k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－3－32－ －23 3＝ 3. 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
【解】 (1)直线 l1 的斜率 k1＝21－－－－21＝2，直线 l2 的斜率 k2＝12－－－－12＝12， k1k2＝1，故 l1 与 l2 不垂直．
(2)直线 l1 的斜率 k1＝－10，直线 l2 的斜率 k2＝230－－210＝110，k1k2＝－1，故 l1⊥l2.
(3)l1 的倾斜角为 90°，则 l1⊥x 轴． 直线 l2 的斜率 k2＝104－0－－4010＝0，则 l2∥x 轴．故 l1⊥l2.
法二：(1)设与直线 l 平行的直线方程为 3x＋4y＋m＝0， 则 6＋8＋m＝0，∴m＝－14，∴3x＋4y－14＝0 为所求． (2)设与直线 l 垂直的直线方程为 4x－3y＋n＝0， 则 8－6＋n＝0，∴n＝－2，∴4x－3y－2＝0 为所求．
高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
甲
乙
丙
结论3： 如果两ห้องสมุดไป่ตู้线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
与
(a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，求的值
a 1
小结：
两直线平行 两直线垂直
例3.判断下列各组中的两条直线是否垂直 （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y= x+5 3
（3）2x＝7与3y-5=0
例4.求证：直线Ax+By+ C1 直线 C 2 Bx-Ay+ =0垂直. 证明：因为 AB＋B(-A)＝0 所以这两条直线垂直
=0与
结论4：
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
当B 0时，已知 1 C 2，所以 C
BC2 BC1 0,因此两直线平行；