【人教版】诱导公式优秀课件

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人教版必修四1.3 三角函数的诱导公式公开课一等奖优秀课件

.
解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α )] ＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α )]
＝cos(180°＋α)＝－cos α，
所以，原式＝－cos α· sin α sin α· (－cos α) ＝1.
π 1 1 例如，sin(－390° )＝－2，cos－3＝2， 5 tan－4π＝－1.
诱导公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.
思考3 答函数.
诱导公式四有何作用？
将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角
3 3 例如，sin 480° ＝ 2 ，cos 150° ＝－ 2 ，tan 135° ＝－1.
公式（二） sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα
公式（三） sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为 0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～ 360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是本节学习的内容.
用公式一
任意角的三角函数或公式三公式一用公式二锐角三角函数或公式四任意正角的三角函数

【人教版】诱导公式ppt完美课件

sinα.
成锐角时原函数值的符号。
【人教版】诱导公式ppt完美课件
【人教版】诱导公式ppt完美课件
总结： 1.公式五，六口诀：函数名改变，符号看象限；
【人教版】诱导公式ppt完美课件
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11
公式五 :
公式七 :
sin(π 2
【人教版】诱导公式ppt完美课件
探究1
形如的三角函数值与的三角函数值之间
的关系
r 1
sin y
c o s x
tan y x
sin ()y co s() x
tan()yy
x x
【人教版】诱导公式ppt完美课件
公式二
s in ( ) s in c o s ( ) c o s ta n ( ) ta n
公式五 :
-1
P(x,y) 1
sin(π 2
α)
cosα,
0
x
cos
(
π 2
α
)
s
inα
.
-1
公式六 :
sin(π 2
α)
cosα,
π2 α 的正弦（余弦）函数值，分别等于 α 的余弦（正弦）
函数值，前面加上一个把 α 看
cos(π 2
α)
cos() cos
tan( ) tan
【人教版】诱导公式ppt完美课件
s in( ) s in cos ( ) cos tan( ) tan
【人教版】诱导公式ppt完美课件
三.发现规律：
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式．

5.3诱导公式：诱导公式公式五和公式六课件(人教版)

)
A．－23 2
B．－13
C．2 3 2
D．13
C 解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋3si8n2α 2 ＝1，
整理可得 9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得 sin2α＝89 或 sin2α＝－8(舍去). 又∵α 是第四象限角，∴sinα＝－2 3 2 ， ∴cos α＋2 0221π ＝cos α＋1 010π＋2π ＝cos α＋π2 ＝－sin α＝2 3 2 .
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
右边＝tanta（n 8（ππ＋＋πθ＋）θ－）1＋1
＝tan tan
（π＋θ）＋1 （π＋θ）－1
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
左边＝右边，所以等式成立．
经典例题
题型三给值求值
例 3 已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值．
解：cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α ＝－cos6π－α·sin3π＋α ＝－cos6π－α·sin2π－π6－α ＝－cos6π－α·cosπ6－α ＝－13×13＝－19.
经典例题
题型三给值求值
跟踪训练3
(2)已知 cosα＝－45，且
α
为第三象限角．求
f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
解：(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角，
所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35.
所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα
小试牛刀
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

诱导公式第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

解析 (1)sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12； cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)
＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.
答案
1 (1)2
－21
6
求任意角三角函数值：(1)“负化正”； (2)“大化小”； (3)“小化锐”； (4)“锐求值”
课堂精讲
【训练 1】求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos－316π；(3)tan(－945°).
解 (2)法一 cos－316π＝cos316π＝cos4π＋76π
＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－
3 2.
法二 cos－316π＝cos－6π＋56π
＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－
16
课堂精炼
【训练 2】化简下列各式： (1)tan(2π－coαs)(sαi－n(－π)s2iπn－(5πα－)coαs)(6π－α)；
解 (1)原式＝－tcaons(απ·－sinα()－sinα()πc－os(α－) α) ＝－cossinαα（（－－cosisnαα））scinosαα
＝－csions
题型三给值(或式)求值问题
数学
19
知识梳理
诱导公式二、三、四
sin(π＋α)＝－sinα， cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα，
sin(－α)＝－sinα， cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tan α sin(π－α)＝sinα， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tanα
3 2.

诱导公式(一) 课件(42张)

.
(1)化简 f(α)；
(2)若 α 为第三象限角，且 sin (α－5π)＝15 ，求 f(α)的值；
(3)若 α＝－331 π，求 f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝sin
α·cos α（－sin sin α·sin α
α）
＝－cos
α.
(2)因为 sin (α－5π)＝－sin α＝15 ，所以 sin α＝－15 .
＝cos
π5－cos
π 5
＋cos
25π－cos
2π
5
＝0.
若将典例中代数式改为：tan
π 7
＋tan
2π 7
＋tan
3π 7
＋tan
4π 7
＋tan
5π 7
＋
tan
6π 7
，怎么化简？
【解析】原式＝tan
π 7
＋tan
2π 7
＋tan
3π 7
＋tan
π－37π
＋tan
π－27π
＋
tan
π－π7
已知 sin(π＋α)＝45 ，且 α 是第四象限角，则 cos (α－2π)的值是( )
A．－35
B．35
C．±35
D．45
【解析】选 B.由 sin (π＋α)＝45 ，得 sin α＝－45 ，
而 cos (α－2π)＝cos α，且 α 是第四象限角，
所以 cos α＝ 1－sin2α ＝35 .
诱导公式中角 α 只能是锐角吗？提示：诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要求 α≠kπ＋π2 ，k∈Z.
1．诱导公式一～四对任意角 α 都成立吗？
2．sin [π＋(2x－3)] ＝－sin (2x－3) 吗？

高中数学人教版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(共27张PPT)

2
2
cos x
1

1
2

3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=

2 2
;(2) sin 10
=

3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。

人教A版高中数学必修第一册诱导公式课件(1)(共33张PPT)

2k ( -),(k Z)
2
P1( y, x)
y P(x,y)
α
- P1(y,x)
2
O
x
y=x
cos sin( - )
2
sin cos( - )
2
公式五
sin
2
-
cos ,
cos
2
-
sin
.
探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5,又能得到什么 P5
结论？
角与角的终边关于y轴对称
sin(-) - sin cos(-) cos tan(-) -tan
由上面两组公式的推导方法，你能同理推导出
角 - 与的三角函数值之间的关系吗？
公式四
r 1
sin y cos x
sin( - ) y
tan y
x
cos( - ) - x
tan( - ) y - y
-x x
3.角 -α与α的终边有何位置关系?
终边关于y轴对称 4.角 +α与α的终边有何位置关系?
终边关于原点对称
思考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
公式四
-
sin( - ) sin
cos( - ) -cos
tan( - ) - tan
公式一：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：

5.3诱导公式(第一课时)课件(人教版)

cosπ－αsinπ－α
(3)sin2kπ＋23πcoskπ＋43π(k∈Z)．
－sinα－sinα
＝－cosαsinα
＝－csoinsαα
＝－tanα.
例 3 化简下列各式：
(2) 1s＋in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
1＋2sin360°－70°cos360°＋70°
4－tanα
＝－sin(α－55°)＝2
2 3.
－2＋3×3
＝
＝7.
4－3
例 3 化简下列各式：
题型三三角函数式的化简
(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α；
sin2π－α
(2) 1s＋ in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
·sin－αcos－α cos2π－α [解] (1)原式＝
解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30° ＋2×360°)＋tan(135°＋360°)
＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
答案
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－243π.
终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终 y 边
o
x π+α的终边
α的终边
P(x ， y)
y
o x Q(-x，-y) π+α的终边
形如的三角函数值与的三角函数值之间的关系

5.3 诱导公式课件(2)(共29张PPT)

2
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6

π
π

＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3

π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]

.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π

sin ＋α＝
2

cos α
π

cos ＋α＝
2

－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6

7π

(2)tan－＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝－sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝－tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π

(2)cos－＝cos－6π＋＝cosπ－
6
6
6

π
3

5.3三角函数的诱导公式课件(人教版)

2
(2)原式＝cos13＋60c°o＋s1108°0°＋－810－°ssiinn29108°＋0°－801°0° ＝ 1＋－cos80°cos80°＝ 1－cos280°
cos10°＋ 1－sin210° 2cos10° ＝2scions8100°°＝2ccooss1100°°＝12.
题型二三角恒等式的证明例 2：求证：
sin2(α－π)＝sin2[－(π－α)]＝1
6
6
－cos2(π－α)＝1－( 6
3)2＝2， 33
－c∴osc2o(π6s(－56πα＋)＝α1)－－s(in332()α2＝－23π6，)＝－
3－2＝－2＋
33
3
3.
5.3.2 三角函数的诱导公式
（第二课时）
探究点一诱导公式五
思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有
8
【牛刀小试】
例1、求下列各三角函数值：
(1) sin( );
6
(2) cos( );
4
解：
(1) sin( )
6
sin
6
1 2
(2) cos( ) cos
4
4
2 2
(3) tan 210 0.
(3) tan 210 0 tan(180 0 300 ) tan 300 3
3
cos( ) cos, 公式二： sin( ) sin,
tan( ) tan.
7
探究2、角α与角-α的三角函数间的关系. 角α与角-α的三角函数间的关系是：
cos( ) cos , 公式三： sin( ) sin ,
tan( ) tan.
利用公式，我们可以用正角的三角函数表示负角的三角函数.

5.3诱导公式(第一课时)-课件(人教版)

第5章三角函数
5.3 诱导公式
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】设P
，由对称关系有Q
＝ 23－－ 22×(－1)＝
3－ 2
2 .
答案：(1)A
(2)①－
3 4
②
3－ 2
2
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
诱导公式的应用【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的三角函数
用公式一或公式三
任意正角的三角函数
用公式一
锐角的三角函数
用公式二或公式四
题型一给角求值问题[经典例题]
例 1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是(
)
A.－34 3
3 B.4 3
C．－
3 4
3 D. 4
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
② 3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
解析：设 β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么 β＋γ＝90°，从而 γ＝90°
－β.于是 sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以 143°<β<323°.
由 sin β＝15>0，得 143°<β<180°.
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－152＝－25 6，

5.3.2诱导公式五、六课件(人教版)

π 2
π 6
2
cos
2
π 6
2 cos2
π 6
1
2
1 9
1
7 9
.
故选 B.
练一练
4.已知
sin(5
)
2
sin
2
，则
tan
等于(
)
√A.-2
B.2
C.2 或-2
D.-1
本题考查利用诱导公式求值.
sin(5
)
2
sin
2
，
sin 2cos ，tan 2 .故选 A.
1. 诱导公式五、六的推导 2. 利用诱导公式求值 3. 利用诱导公式化简、证明 4. 诱导公式的综合应用
cos
2
sin
3 2
sincos
总结
(1)利用诱导公式化简三角函数式的步骤利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
总结
(2)证明三角恒等式的常用方法 ①由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则； ②证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的 A 起着桥梁的作用； ③通过作差或作商证明，即左边－右边＝0 或左右边边＝1 或右左边边＝1.
3
6
3
6
4
4
与，与等互补，
3
3
4
4
遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
探究三利用诱导公式化简、证明
化简
cos
3 2
sin
2
sin
2
.
cos
5 2
sin

人教A版必修第一册5.3诱导公式课件

90
解：因为 sin 37 sin(90 (53 )) cos(53 ),
因为-270 90 , 所以143 53 323 ,
1
由sin(53 )= 0，得143 53 180 ，
5
1
2
所以cos(53 )= 1-sin 2 (53 ) 1 ( )2 6,
同名三角函数间的相互转化.

k （k Z , R）的三角函数求值.
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限.
公 sin π α sin α,
式 cos π α cos α,
四 tan π α tan α.
三
公式剖析
口诀：奇变偶不变，符号看象限
问题1：作关于直线y=x的对称点5 (x5, y5)，以为终边的角与以
5 为终边的角有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？

2k (k Z ), 易证 x y5 , y x5 ,
2
sin y,cos x,

略解：
A
P5 ( x5 , y5 )
一 tan( 2k ) tan
二 tan π α tan α. 三
同名三角函数间的相互转化和化简.
sin α sin α,
cos α cos α,
tan α tan α.
公 sin π α sin α,
2

=
解：原式

cos sin sin sin
2

5.3.1诱导公式(第一课时)课件(人教版)

(
2
+ ) = 6 ,

(
2

=

+

+ ) = 6
= 1 , = 1 ，
公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2

sin( ) sin[ ( )] sin( ) cos
cos( ) cos
cos( ) cos
tan( ) tan 负化正
tan( ) tan
与的终边关于x轴对称
与的终边关于y轴对称
大化小
(锐角)
典例精析
例1.利用公式求下列三角函数值：
8
16
(1) 225°；(2) ；(3) (−
3
从而得： ( − ) = ，
公式四 ( − ) = − ，
( − ) = − .

−

( , )

归纳总结
y
α的终边
P1 ( x, y )
r=1
α
O
x
A(1,0)
归纳总结
α
sin
cos α
3
2
2
2
1
根据三角函数的定义，得：
1
= 1 , = 1 ， = ；
1
2
( + ) = 2 , ( + ) = 2 ，( + ) = .
2
从而得：( + ) = −1 , ( + ) = 1 ，( + ) =

数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共29张ppt)

且角与角的终边关于轴对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（二）− 与的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角与角的三角函数值之间的关系，只要研究− 与的三角
函数值关系即可.
∵ （ , ）是（ , ）关于轴的对称的点，
边相同的角，即 = + ( + ）
且角与角的终边关于原点O对称.
探究新知——诱导公式（互学）
二
（一） + 与的三角函数值关系
2.探究
(2)由(1)可知，研究角与角的三角函数值之间的关系，只要研究 + 与的三
角函数值关系即可.
∵ （ , ）是（ , ）关于原点 O 的对称点，
3.诱导公式四：
单位圆 ⊙ 的半径 =
( − ) =
∴ 满足 = − ， = ��
( − ) = −
∴据三角函数的定义可得
=

= ,
( − ) =

=

= ,
= , ( − ) =
1.问题：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位
圆交于点（ , ）
作（ , ）关于直线 = 的对称点（ , ），
Hale Waihona Puke 从而可得 ( − ) = ;
=

( − ) = −

= , ( − ) =
( − ) = − ;

( − ) = −
探究新知——诱导公式（互学）
二

数学人教A版(2019)必修第一册5.3诱导公式(共30张ppt)

y
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =