高等数学第十一讲幂级数

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高数幂级数知识点

高数幂级数是高等数学中一个重要的概念，通过幂级数可以对一些函数进行近似展开，并得到它们的一些性质以及在某个点附近的近似值。

一、高数幂级数的定义高数幂级数由一列项数不同的幂函数相加而成，通常形式如下： f(x) = a0 + a1(x -

x0) + a2(x - x0)^2 + a3(x - x0)^3 + ... 其中，a0，

a1，a2，a3等为常数，称为系数；x0为展开点，x为自变量。

二、高数幂级数的收敛域幂级数并不在所有点都收敛，而是在一定范围内收敛。收敛域由展开点x0和幂级数的收敛半径r决定。收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式计算得到： R = 1 / lim sup |an|^(1/n) 其中，an为系数，n为项数。当n趋向于无穷大时，计算结果即为收敛半径。

三、高数幂级数的求和公式当幂级数收敛时，我们可以通过求和公式计算幂级数的和。常见的求和公式有以下几种： 1. 几何级数：当|q| < 1时，幂级数a + aq +

aq^2 + aq^3 + ...收敛，且和为A = a / (1 - q)。 2. 指数级数：e^x = 1 + x / 1! + x^2 / 2! + x^3 / 3!

+ ...，这是由指数函数的泰勒级数展开得到的幂级数。3. 三角函数级数：sin(x) = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! -

x^7 / 7! + ...，cos(x) = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - x^6 / 6! + ...，这是由三角函数的泰勒级数展开得到的幂级数。

高等数学--幂级数

(1) 1 n n (1 x ) n 1
n
un 1 ( x) un ( x )
1 ( n ) 1 x
3）当
|1 x | 1, x 0或x 2,

(1)n , 当 x 0 时，级数为 n n 1
显然收敛;
显然发散.
1 当 x 2 时，级数为 , n 1 n 故级数的收敛域为：
x x n 1 1 x n 1 2 n 2 n 1 2x n 2 n 1 x xn 1 xn 2 n 1 n 2x n 3 n
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例10 解令
求极限
其中
作幂级数
易知其收敛半径为 1, 设其和为
则
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当4 x 1
2
当4 x 1
2
( 2 n 1)(2 n 2) 2 lim x 4 x2 n ( n 1 )2 时级数收敛 1 故收敛半径为 R . 2 时级数发散
目录上页下页返回结束
例5 解令级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2n n n a n n 1

S (x)
一阶常系数齐次线性微分方程！
S ( x) S ( x) 0
S ( x) C e x

幂级数概念

§ 11. 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数: 给定一个定义在区间I上的函数列{u n(x)}, 由这函数列构成的表达式

u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +u n(x)+ × × ×

称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为∑∞

) (

收敛点与发散点:

对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数∑∞

) (

u收敛, 则称

点x0是级数∑∞

) (

u的收敛点. 若常数项级数∑∞

)

(

u发散, 则称

点x0是级数∑∞

) (

u的发散点.

收敛域与发散域:

函数项级数∑∞

) (

u的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所

有发散点的全体称为它的发散域.

和函数:

在收敛域上, 函数项级数∑∞

) (

u的和是x的函数s(x),

s(x)称为函数项级数∑∞

) (

u的和函数, 并写成∑∞

)

(

)

(

∑u n(x)是∑∞

) (

u的简便记法, 以下不再重述.

在收敛域上, 函数项级数∑u n(x)的和是x的函数s(x),

s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).

这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:

函数项级数∑∞

=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),

函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞

幂级数的知识点总结

一、幂级数的定义与基本概念

1. 幂级数定义

幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。

2. 幂级数的收敛半径

幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。收敛半径 $R$ 的计算公式为

\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]

当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。

3. 幂级数的收敛域

幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。

二、幂级数的性质

1. 幂级数的加法性与乘法性

若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛

性与原幂级数相同。

2. 幂级数的导数与积分

幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。具

幂级数的知识点

幂级数是数学中非常重要的概念之一，它在许多领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和计算机科学等。本文将通过逐步思考的方式介绍幂级数的基本概念、性质

和应用。

1. 幂级数的定义

幂级数是一种形式为∑(an⋅x^n)的级数，其中an是一系列常数，x是变量。幂

级数可以看作是多项式的无穷级数形式，每一项的系数an和变量的幂次n可能会

随着n的增大而变化。

2. 幂级数的收敛性

为了讨论幂级数的性质和应用，我们首先需要了解收敛性的概念。对于给定的

幂级数，如果存在一个实数r，使得当|x| < r时级数收敛，而当|x| > r时级数发散，那么我们称r为幂级数的收敛半径。收敛半径是幂级数的一个重要性质，决定了级数的收敛范围。

3. 幂级数的求和

幂级数的求和是一个重要的问题。对于给定的幂级数，我们可以使用不同的方

法来计算它的和，例如直接求和、利用级数的性质进行变换和利用数值计算方法等。其中，直接求和方法常用于某些特殊的幂级数，而其他方法则更多地用于一般情况下的求和问题。

4. 幂级数的性质

幂级数具有许多重要的性质，这些性质对于理解幂级数的行为和应用非常有帮助。其中一些重要的性质包括线性性质、微分性质和积分性质。这些性质可以简化对幂级数的操作和计算，使得我们能够更加灵活地应用幂级数解决问题。

5. 幂级数的应用

幂级数在数学和其他领域中有广泛的应用。其中一些应用包括： - 在数学分析中，幂级数可以用于表示和逼近函数。 - 在物理学中，幂级数可以用于描述物体的

运动和力学性质。 - 在工程学中，幂级数可以用于建模和解决差分方程和微分方程。- 在计算机科学中，幂级数可以用于设计算法和优化问题求解过程。

高等数学第十一节微分方程的幂级数解法

求浮筒的质量 .
y
o y(t )
解 . 设 y = y ( t ) 为浮筒高出平衡位置的高度 ( c m ) , m 为浮筒的质量 (克 ) .
则
′′ = − π ⋅ 252 y g my
2
(水度 1, g 为力速 ) 密为重加度
25 π g y′′ + y=0 m
2 25 πg = 0 ⇒ r = ±25 π g/ m i r + m 2
m =0
∑
∞
m 1 ∏ k =1 (3k + 1) ⋅ 3k
3m +1 x .
> P10
5
例3
求勒让德 ( Legendre) 方程的通解 .
(1 − x ) y′′ − 2 x y′ + n (n + 1) y = 0
2
n−常数
k −1
解
a 设 y = ∑ kx ,
E
A B K C
L
已 E = 20V , C = 0.5×10 F , 知
−6
R
L= 0.1 H , R = 2000 Ω.
解. 记 Uc = u ( t ) ,
则
qc ( t ) = C u ( t ) , i ( t ) = C u′
→ 0.5 × 10
−7 −3 u′′ + 10 u′ + u = 0

高等数学-幂级数PPT课件

例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x) ,
(2) 如果 0, x 0,
有 an1 xn1
an xn
0 (n ),
级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn绝对收敛. 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 ,
x 0, 级数 an xn必发散.
n0
(否则由定理1知将有点x 0使| an xn | 收敛)
n0
收敛半径 R 0.
2
当 1 x2 1, 即 x 2时, 级数发散,
2
当x
2时, 级数为
1,
级数发散,
n1 2
当x
2时,
级数为
1,
级数发散,
n1 2
原级数的收敛区间为
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2

大一高等数学第十一章第三节幂级数

n1
1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n 1 2
原级数的收敛区间为 ( 2 , 2 ).

三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为R1和R2 ,
n n

R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
n 0

(3) 除法
an x n bn x n
n 0 n 0

(收敛域内 bn x 0)
n n 0

cn x . (相除后的收敛区间比原来
n n 0

两级数的收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数
a n x n 的和函数s( x ) 在收敛区间
n
( n 0,1,2,)
n n
x x x n a n x a n x 0 n a n x0 M x0 x0 x0
n n
n
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0

n
a n x n 收敛, 即级数 a n x n收敛;
n 0 n 0

当 x 2时,
( 1) 级数收敛; n n 1 1 级数发散; n1 n
n

高等数学：幂级数

当0 R 时，幂级数 an xn 在 (R, R) 上收敛， n0
在区间端点幂级数 an xn 可能收敛也可能发散. n0
称 (R, R)为幂级数的收敛区间.
幂级数的定义和性质
定理2
对于幂级数 an xn , n0
若
lim an1 n an
,
则
（1）当 0 时，幂级数 anxn n0
所以幂级数的收敛半径为 R 1 ，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数
(1)n
n1 n
收敛；
当 x 1时，级数
1
n1 n
发散.
故所求级数的收敛域为(-1,1].
典型例题讲解
例2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
解
(1)
n1
1 n 2n
(x
1) n ;
(2)
n0
(1)n1 n 2n
n1 n
收敛.
由 t x 1, 得 2 x 1 2, 即 3 x 1,
故所求级数的收敛域为[-3,1).
典型例题讲解
（2）令 t x2,
所求级数变为
n0
(1)n1 n 2n
tn
lim an1
n an
lim
n
(1)n2 (n 2n1
1)
/
(1) n1 n 2n
lim n 1 n 2n

幂级数的讲解纲要

§12.1 幂级数若用表示函数项级数前 n 项的和, 即余项
则在收敛域上有
例如, 等比级数
( x 1)
∴它的收敛域是
有和函数
§12.1 幂级数
二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为(x-x0)的幂级数, 其中
称为幂级数的系数 .
当时,
称为x 的幂级数. 如
§12.1 幂级数定理 1 (Abel定理)若幂级数点收敛, 则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当
知识点复习 3. 定理 ( 级数收敛的必要条件 ) 设收敛级数则必有
反之,不成立!
如, 调和级数
发散 .
若级数的一般项 un 不趋于0 , 则级数必发散 . 4. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
知识点复习 5. 利用正项级数判别法
必要条件 lim un 0
n
不满足
发散
lim
n
满足
n
an an 1
lim
n
n!
1 ( n 1)!

所以收敛域为 ( , ) . (2)
R lim
n
an an 1
lim
n
n! ( n 1) !
0
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .

大学数学微积分第十一章无穷级数将函数展开成幂级数知识点总结

第十一章无穷级数 §11.3将函数展开成幂级数

一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1．基本概念

()00000

()

f(x)x ()!

n n

n f x x x x x n δ∞

=-<-∑

设函数在点的某一领域内具有任意阶导数,则级数0().(:?()f x x f x 称为函数在处的泰勒级数注这里泰勒级数是否收敛是否收敛于都不知0),,0,x =道特别地当则级数

()0

(0)()!

n n

n f x f x n ∞

=∑

称为的麦克劳林级数 2.函数展成幂级数的条件

0(),f x x x R -<设在内有任意阶导数它的泰勒公式

()20000000()

()()()()()()()()2!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+

+-+

(),n R x n 其中为阶余项它的拉格朗日型为

[](1)001

0()()()(01)(1)!

n n n f x x x R x x x n θθ+++-=-<<+

()00000

()

()()lim ()0,!

n n

n n n f x f x x x x x R R x x x R n ∞

→∞

==--<=-<∑

则的充要条件为

0().f x x 而且在处幂级数展开式是唯一的

0,0.x =特别地时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件

二、函数展成幂级数的方法 1．套公式

000()(),

n n n f x a x x x x R ∞

==--<∑

()0()(0,1,2,)!

数学幂级数知识点总结

一、幂级数的基本概念

1. 幂级数的定义

幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。其中$a_n$是

级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。2. 幂级数的收敛半径

幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系

数的极限来确定。具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等

于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也

可以是一个实数。

3. 幂级数的收敛区间

除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令

幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可

能是一个点。

4. 幂级数的性质

幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。

二、幂级数的收敛性

1. 幂级数的收敛域

收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我

们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。

2. 幂级数的收敛测试

在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。为了判断幂级数的收敛性，我们

可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。

3. 幂级数的绝对收敛性

如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。

幂级数的概念和收敛性

幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科

领域都有广泛的应用。本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关

的性质和定理。

一、幂级数的定义

幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为

变量，a为常数，n为正整数。幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。例如：

f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）

其中an为常数系数，可以是实数或复数。

二、幂级数的收敛性

对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上

收敛。根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：

1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对

收敛。对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改

变其和。例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。

2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数

条件收敛。条件收敛级数的和依赖于项的次序。例如幂级数∑(-1)n(x-

1)n就是一个条件收敛的级数。

3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。例如幂级

数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。

三、幂级数的收敛半径

对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数

在该区间内收敛。这个区间被称为收敛区间。而收敛区间的两个端点

分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。

幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：

R = 1/lim sup |an|^(1/n)

其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。

幂级数

定理 1（阿贝尔定理）
（1）如果级数 an xn 在 x x0 (x0 0) 点收敛，则适合不等式 | x || x0 | 的一切 x 使 n0
这幂级数绝对收敛；
（2）如果级数 an xn 在 x x0 (x0 0) 点发散，则适合不等式 | x || x0 | 的一切 x 使 n0
这幂级数发散．
n0
（8-3）
作变换 t x x0 ，幂级数（8-3）就转换成幂级数（8-2），故在以下的讨论中，只研究幂级数（8-2）的敛散性及其在收敛域上的性质．
以下是幂级数的两个例子： 1 x 2 x2 3 x3 n xn ，
1 x 1 x2 1 xn ．
2!
n!
1.2 幂级数及其收敛性
l i man1
n2 lim
，1
a n n
n (n 12)
所以收敛半径为 R 1 1，即收敛区间为 (1，1) ．
当
x 1时，有
(1)n n2
1 n2
，由于级数
n 1
1 n2
收敛，所以级数
n 1
xn n2
在x
1时也
收敛．因此，收敛域为 [1，1] ．
1.2 幂级数及其收敛性
1.2 幂级数及其收敛性
证明（1）设 x0 是幂级数 an xn 的收敛点，即级数 an x0n 收敛．根据级数收敛的必要条

高等数学级数 (11.5.1)--幂级数

ﾥ 1)
ex
1
x

x2 2!

x3 3!
L

xn n!
L

ﾥ n0
xn n!
( x )
2)
sin
x

x

x3 3!

x5 5!
L

(1)n1
x 2 n 1 (2n 1)!

L
( x )
3)
cos
x
1
x2 2!

x4 4!
L

(1)n
x2n (2n)!

1 3

1 4

L
ln 2,
导出

n0
(1)n xn1 n 1

ln(1
x) ,
(1 x 1)
例求下列级数的和
1)
n(n 1) 2n
n1
2)

1
n0 (2n 1)4n
3)
n1
(1)n
n2
n 2n
1
4 )*

1
n2 (n2 1)2n
Chap 11 － 5 幂级数
11.5.1 幂级数及其收敛半径
形如

an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2

人大微积分课件11-5幂级数

收敛性
探讨幂级数在不同情况下的收敛性。
幂级数的收敛半径
幂级数的收敛半径是判断级数收敛的重要参数。我们将介绍如何计算和示例应用。
1 计算方法
了解如何计算幂级数的收敛半径，掌握计算方法和示例。
2 收敛半径的意义
探究收敛半径在幂级数中的重要作用以及具体例子。
3 收敛域的图形表示
使用图形来展示收敛域，进一步理解收敛半径和收敛域的关系。
1 函数展开
利用幂级数展开函数，简化函数的处理和计算。
2 极限计算
通过幂级数的性质，求解极限问题，包括常见的极限计算方法。
3 微分方程
将微分方程转化为幂级数形式，并利用幂级数求解微分方程。
多项式与幂级数的关系
多项式是幂级数的一种特殊形式，它们之间有着紧密的联系和相互转换。
图像对比
通过图形比较多项式和幂级数的特点和区别。
2 工程应用
介绍幂级数在工程问题中的应用，如信号处理和电路分析。
3 实例演示
通过具体的实例和案例，展示幂级数在实际问题中的应用场景。
多项式到幂级数的转换
幂级数到多项式的转换
通过具体的过程和示例，讲解多项式如何转化为幂级数形式。
讲解幂级数如何转化为多项式形式，以及转换的条件和方法。
幂级数的收敛与区间收敛性
幂级数的收敛性与区间收敛性对于级数的求和和函数的定义域有着重要的影响。