微积分复习题2

合集下载

高等数学微积分上复习题及解答

（D）a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
（A）0
（B） 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
（C）－1
（D）1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
（A）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
（B）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
（D）－ 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
（A） k >0
（B） k ≥0
（C） k <0
（D） k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时， esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导，且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ，则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=

x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分复习习题

《微积分II 》练习题一、填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。

2．函数(,)f x y =，则定义域为。

3．。

4.设(,)(f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。

5.设222ln y x e z x +=，则=)1,1(dz 。

6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。

7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。

（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。

8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。

9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是。

10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解。

二、选择题1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。

2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、无关条件 D 、充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim（）(A) 0 (B) ),2(b a f x '),(,),( 22=-=-y x f y x y xy x f 则(C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（）。

（A ）),(y x f z =在P 点可微；（B ）),(y x f z =在P 点连续；（C ）若x z ∂∂，y z ∂∂在P 点连续，则=∂∂∂y x z 2xy z∂∂∂2；（D ）以上结论都不正确 5．交换⎰⎰yadx y x f dy 00),(（a 为常数）的次序后得（）A 、⎰⎰aydy y x f dx 0),( B 、⎰⎰ax a dy y x f dx ),(0C 、⎰⎰xady y x f dx 0),( D 、⎰⎰yaa dy y x f dx),(6．二次积分⎰⎰⎰⎰--+2 12 01 02 0),(),(2xx x dy y x f dx dy y x f dx 可交换积分次序的为（）（A ）⎰⎰-22 0),(x dx y x f dy ；（B ）⎰⎰--+12 11 2),(yy dx y x f dy ；（C ）⎰⎰--1y-2 11 2),(y dx y x f dy ；（D ）⎰⎰-2 02 02),(x x dx y x f dy7. D 是由x x y y =-==-=1111，，，所围成的区域，则2d Dσ⎰⎰=( ) (A) 1； (B) 2 ； (C) 4 ； (D) 88．函数xy=(c+x)e 是方程的2220d y dyy dx dx-+=的（） A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解三、解答题1．求极限 .)sin(lim 22200y x y x y x +→→. 2．求函数2ln(2);u uu x x y x y x∂∂=-∂∂∂的偏导数；。

2019版 2微积分练习题(下) 第二章答案

dx f (x, y)dy
1
1
x
13
33
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
1
1
3
y
1y
12
练习题 7
班级
学号
姓名
1. 把下列二重积分化为累次积分.
(1) f (x, y)d ，其中 D 是由 y x ，
D
x 2 及 x 轴所围成的闭区域；
解：原式＝ 2 x f (x, y)dydx . 00
2. 交换下列二次积分的积分次序(要求画出积分区域的图形)：
1
y
(1) dy f (x, y)dx ；
0
y
1x
解：原式＝ dx f (x, y)dy . 0 x2
1x
2 2x
(3) dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy .
00
1
0
1 2 y
解：原式＝ dy f (x, y)dx .
积函数关于 x 轴、 y 轴不对称，所以该式不
成立.
2．计算二重积分：
(| x | y)dxdy ， D : x y 1；
D
解：积分区域 D 关于 x 轴、 y 轴都对称， y 关于
y 是奇函数， ydxdy 0
D
1 1x
x dxdy 2 xdxdy 2 dx xdy
D
D1
0 x1
2
2
cos
原式=
2
0
f ( cos , sin )dd
2
2．利用极坐标计算下列各题：
(1) e x2 y2 dxdy ， D : x 2 y 2 4 ； D
解：设 x r cos , y r sin .则

微积分综合练习试题和参考答案与解析

(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续，则k =x _ 0•答案：k = 1(1)设函数y 二-xe，则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案：x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案：1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案：CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占一5 且 x = 0答案：D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案：A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案： Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =(）时，函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =(）时，函数f f(x)—w，在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是（)X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 （导数与微分部分）(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案：2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案：y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x，则f (3) =答案： f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案：f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ，贝y f (0)二答案：f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx，贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案：C(2)设y = lg2 x，则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案：B(3)设y二f (x)是可微函数，则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a，其中a 是常数，则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ，求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ，求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12，求讨.x答案：D21 解： / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续，则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(-：：,•：：)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案：B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。

《微积分》期末复习题及答案-推荐下载

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

微积分课后题答案第二章习题详解

解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明：若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.

微积分复习题

复习题一：选择题1：如果322sin 3lim0=→x mx x ;则m=A 32,B 23, c 94, D 49. 2: 当x →∞时, 下列变量中是无穷小量的是A 221)1sin(x x x --,B 221sin )1(xx x --, C xx x 2211sin)1(--, Dx x x221sin 11-- 3: 函数fx=0{11--x e11=≠x x 在点x=1处A 连续B 不连续, 但有右连续.C 不连续, 但有左连续.D 左,右都不连续4: 设fx=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+b x x ax x 1sin sin 1000>=<x x x 在x=0处, 不一定正确的结论是 (A) 当a=1时fx 左连续, B 当a=b 时fx 右连续, C 当b=1时fx 必连续, D 当a=b=1时fx 必连续 5: 若),1()1(2-=-x x x f 则fx=A 2)1(+x x , B 2)1(-x x , C )1(2+x x , D )1(2-x x 6: 函数21)(x x f --= 0<x<1 的反函数)(1x f -A 21x - B-21x - C21x --1<x<0 D -21x --1<x<07: 下列函数y=fu,u=φx 中能构成复合函数y=f φx 的是 A 1)(,11)(2+-==-==x x u u u f y ϕBy=fu=lg1—u, u=φx=12+x Cy=fu=arcsinu, u=φx= 22+x Dy=fu=arccosu, u=φx= 22+-x8: 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=00)(312x xx x x f 则fx 在x=0处A 左导数不存在, 右导数存在B 右导数不存在, 左导数存在C 左, 右导数都存在D 左, 右导数都不存在9: 在曲线y=lnx 与直线x=e 的交点处, 曲线y=lnx 的切线方程是 A 0=-ey x B 02=--ey x C 0=-y ex D 0=--e y ex10: 设fx=⎪⎩⎪⎨⎧01cos 2xx 0=≠x x 则fx 在点x=0处 A 极限不存在, B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 11`:设fx=⎩⎨⎧≥<00x xex xx 在点x=0处, 下列结论错误的是A 连续B 可导C 不可导D 可微12: 函数3123)(x x x f -=在下列区间上不满足垃格朗日定理条件是A0,1 B--1,1 C0,27/8 D--1,0 13: 求下列极限, 能直接使用洛必达法则的是Ax x x sin lim ∞→ B x xx sin lim 0→ C x x x 3sin 5tan lim 2π→D x x x x sin 1sin20lim →14: 设函数fx 在开区间a,b 内有0)('<x f 且,0)("<x f 则y=fx 在a,b 内 A 单调增加, 图形上凹 B 单调增加, 图形下凹 C 单调减少, 图形上凹 D 单调减少, 图形下凹15:fx=||31x , 点x=0是fx 的A 间断点B 极小值点C 极大值点D 拐点16：关于函数231)(xx x f -=的结论错误的是 A 有一个零点 B 有两个极值点 C 有一个拐点 D 有两条渐近线 17下列函数中有一个不是xx f 1)(=的原函数, 它是 AFx=ln|x| BFx=ln|Cx| C 不为零且不为1的常数CFx=Cln|x| C 不为零且不为1的常数 DFx=ln|x|+C C 是不为零的常数 18若C xdx x f +=⎰2)(,则⎰=-dx x xf )1(2A C x +-22)1(2 B C x +--22)1(2 C C x +-22)1(21 D C x +--22)1(2119=+⎰dx x x 10)1(AC x ++10)1(111 B C x x +++112)1(11121 C C x x ++-+1112)1(111)1(121 D C x x ++++1112)1(111)1(121 20: 若sinx 是fx 的一个原函数, 则⎰=dx x xf )('Axcosx---sinx+C Bxsinx+cosx+C Cxcosx+sinx+C Dxsinx---cosx+C 21设x e f x+=1)(', 则fx=A1+lnx+C Bxlnx+C C C x x ++22Dxlnx---x+C 22⎰=-20|sin 21|πdx x A14-π B 4π- C 1123--πD0 23⎰+-=xdt t t y 02)2()1(则==0x dx dyA---2 B2 C---1 D1 24 已知Fx 是fx 的原函数, 则=+⎰xadt a t f )(AFx---Fa BFt —Fa CFx+a —Fx —a DFx+a___F2a 25已知广义积分⎰+∞+01kxdx收敛于1k.>0, 则k= A 2πB 22πC 2πD 42π26对于级数nn n na )1(1∑∞=+ a>0 下列结论中正确的是 Aa>1时, 级数收敛 Ba<1时, 级数发散 Ca=1时, 级数收敛 Da=1时级数发散27幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是A-1,1 B--1,1 C-1,1 D-1,1 28设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R0<R<+∞则n nx a )2(∑的收敛半径为 A2R B2R CR D R229设函数z=fx,y 在点),(00y x 处存在对x,y 的偏导数, 则=)(0,0'y x f xAxy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),2(00000limBxy x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(00000limCxy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(00000limD00),(),(limx x y x f y x f x x --→30设区域D 是单位园122≤+y x 在第一象限的部分, 则二重积分⎰⎰=Dxyd σA⎰⎰--221010x y xydy dx B ⎰⎰-yxydy dx 1010C ⎰⎰-2101y xydx dyD ⎰⎰102202sin 21dr r d θθπ31⎰⎰-=xdy y x f dx 101),(A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB⎰⎰-xdx y x f dy 1010),(C⎰⎰101),(dx y x f dy D⎰⎰-ydx y x f dy 101),(32:⎰⎰-2201),(x x dy y x f dx=A:⎰⎰--211010),(y dx y x f dy. B:⎰⎰-+2111),(y dx y x f dy .C:⎰⎰--11112),(y dx y x f dy. D:⎰⎰-+--2211111),(y y dx y x f dy33:⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dxdy y x f dx 202110),(),(=A:⎰⎰-yydx y x f dy22),(.B:⎰⎰-yydx y x f dy21),(C:⎰⎰⎰⎰-+y y dx y x f dydx y x f dy 20211),(),(. D:⎰⎰-xxdx y x f dy 210),(34关于微分方程xe y dx dy dxy d =++222的下列结论: 1 该方程是齐次微分方程 2 该方程是线性微分方程3 该方程是常系数微分方程 3 该方程是二阶微分方程其中正确的是A 2 3 B1 4 2 C1 3 4 D 2 3435：微分方程0)(22'"=-y yy 的通解是 A x C C y 211-=B xC C y 211-= C x C y -=1D Cxy -=1136. 21sin(1)lim 1x x x →-- =37. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 38. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =39. 下列结论正确的是2. 21sin(1)lim 1x x x →-- =40. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 41. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =42. 下列结论正确的是 43. 设1cos ,00,0(){x x x x f x ≠==,则()f x 在点0x 处()A 极限不存在 ()B 极限存在但不连续()C 连续但不可导 ()D 可导 44. 下列结论错误的是()A 若函数()f x 在 0x x =处连续,则()f x 在0x x =处可导 ()B 若函数()f x 在 0x x =处可导,则()f x 在0x x =处连续()C 若函数()f x 在 0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处不可导()D 若函数()f x 在 0x x =处不可导,则()f x 在0x x =处也可能连续45. “''0()0f x =”是()f x 的图形在点0x 处有拐点的()A 必要非充分条件 ()B 充分非必要条件()C 充分必要条件 ()D 既非必要条件又非充分条件 46. 设'(ln )1f x x =+,则()f x = 47.21|sin |2x dx π-⎰=()C112π- ()D 0二: 计算题1: 确定函数的定义域225151sinxx acr y -+-=2已知函数⎩⎨⎧+=22)(x x x f 4,220≤<≤≤x x 求).1(-x f3xxx f -=1)( 求)]}([{)],([x f f f x f f 4设⎪⎩⎪⎨⎧=101)(x f 000>=<x x x 求).1(,,),1(2-+x f x f5求证: 如果A x f x x =→)(lim 0而且A>0, 则总存在一个正数δ, 使当δ<-<||00xx 时fx>06求证y 以A 为极限的充分必要条件是: 变量y 可以表示为A 与个无穷小量的和. 7: 求x x x )21(lim +∞→ 8设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=241)(22x x x x f 2;10;1≠>≠≤x x x x 求函数的间断点, 并判断其类型.9用定义讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(x x x f00=≠x x 在点x=0处的连续性与可导性 10讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=421121)(2x x xx x f x x x x <≤<≤<≤221100在点x=0, x=1, x=2处的连续性与可导性.11求曲线x x x 223=+在点1,1 处切线方程与法线方程 12求)1(arcsin xf y =,求其导数 13xxx x y +++=3333 求其导数 14xyy x arctan ln22=+确定y 是x 的函数, 求函数y 的导数15设fx=sinx, 20π≤≤x ,求满足垃格朗日公式的ξ值16求)ln 11(lim 1xx x x --→= =+-→)]11ln([2lim x x x x 17求函数3223)(x x x f -=的单调增减区间和极值以及凹向与拐点181作函数2221)(x ex -=πϕ的图形 2 作函数axbe cy -+=1 a, b, c 均为大于0的常数的图形19求下列极限1x arc x x cot )11ln(lim +∞→ 2x x x 10)sin 1(lim +→ 32)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→ 20求下列不定积分 1⎰-dx x x 322⎰+32xx dx 3⎰xdxx arctan 4⎰+--dxx x x 65122211求]sin [2⎰x x tdt dx d 2求极限⎰→x t x dt e xsin 001lim3 设fx ⎩⎨⎧++=2112x x 4,22||≤<≤x x 求k 的值, 使⎰=3340)(k dx x f 4dx x xe 21)(ln 12⎰5⎰+∞∞-+21x dx 6⎰-112x dx 7dx e x xr ⎰+∞--01λ 22求抛物线4, (22)-==x y x y 所围成的图形的面积23求曲线2211,2xy x y +==与直线3,3-==x x 所围成的图形的面积 24求椭园1222=+by a x 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体体积 251求级数∑∞=1n n n n x 的收敛半径和收敛域 2 求级数∑∞=+1)12(n nn x 的收敛半径和收敛域26求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛域及和函数, 并求级数∑∞=12n nn的和271求2223xy y x z -+=的各二阶偏导数 2 求yye x z 2=的各二阶偏导数 28要造一个容量一定的长方体箱子,问选择怎样的尺寸,才能使所用的材料最少 29计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )2(,其中D 是由直线y=1,2x —y+3=0与x+y —3=0围成的图形30计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ22, 其中D 是园y y x 222=+围成的区域,31；计算1x x x x x sin tan lim 20-→ 2 12x 32x lim 1x +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x 3)0(x ＞x y x =4已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd ．5 dx x x ⎰+)ln 21(1 6；)0＞( 22a dx x a ⎰- 7⎰21arcsin xdx 8⎰+∞∞-+231x dx 9 )1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x100)＞(ln lim 0n x x nx +→ 11)0(sin x ＞x y x= 12已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd 13 dx x x x x ⎰+++)1(122 14)0＞( 22a dx x a ⎰- 15 ⎰-π053sin sin dx x x 16 ⎰+∞∞-+21x dx 1721lim[ln(1)]x x x x→∞-+ 18方程2sin()0y xe y π-=确定隐函数()y y x =,求'0,1|x y y ==-;1920cos 2x xdx π⎰ 202ln xdx x ⎰四证明及综合题1指出函数14123223+-+=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点． 2指出函数123+--=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点 3证明方程3520x x --=在区间(,)-∞+∞内只有一个正根;．4设()f x 在[0,]a 上连续(0)a ≠,在(0,)a 内可导,且()0f a =,证明存在一点ξ,使得'()()0f f ξξξ+=5用极限的定义证明211lim21=--→x x x 6如果fx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b , 使等式fb －fa =f •'fξb －a 成立．7.用极限定义证明当0＞0x 时,00limx x x x =→8.如果fx 及Ｆx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,且对于任一x ∈a,b,F ′x ≠0, 则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立．。

微积分复习题

微积分复习题1. 计算下列极限：(a) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)(b) \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)(c) \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)2. 求下列函数的导数：(a) \(f(x) = x^3 - 2x + 1\)(b) \(g(x) = \ln(x)\)(c) \(h(x) = e^x \cdot \sin(x)\)3. 求下列函数的不定积分：(a) \(\int x^2 \, dx\)(b) \(\int \frac{1}{x} \, dx\)(c) \(\int e^x \cos(x) \, dx\)4. 计算下列定积分：(a) \(\int_{0}^{1} x^2 \, dx\)(b) \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\)(c) \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\)5. 求下列微分方程的通解：(a) \(y' + 2y = 0\)(b) \(y'' - y = 0\)(c) \(y'' + 4y' + 4y = 0\)6. 利用微积分知识证明下列不等式：(a) \(\frac{1}{2} < \frac{\sin x}{x} < 1\) 对于 \(0 < x <\pi\)(b) \(e^x > 1 + x\) 对于 \(x > 0\)7. 求下列曲线在给定点的切线方程：(a) \(y = x^3\) 在 \(x = 1\) 处(b) \(y = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处(c) \(y = e^x \sin(x)\) 在 \(x = \pi\) 处8. 计算下列曲线的长度：(a) 曲线 \(y = x^2\) 从 \(x = 0\) 到 \(x = 2\)(b) 曲线 \(y = \sin(x)\) 从 \(x = 0\) 到 \(x = \pi\)9. 求下列曲面的面积：(a) 曲面 \(z = x^2 + y^2\) 在 \(x^2 + y^2 \leq 1\) 内(b) 曲面 \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) 在 \(x^2 + y^2 \leq 4\) 内10. 利用极坐标系解决下列问题：(a) 求极坐标方程 \(r = 2\cos(\theta)\) 表示的曲线的面积(b) 求极坐标方程 \(r = 1 + \sin(\theta)\) 表示的曲线的长度。

微积分课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<Q而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+L而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭L . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…；(2) x 1,x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

微积分第二章习题参考答案

,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;
又
f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )

《微积分》习题2

习题二1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：（1）; )1(1>=a ax nn （2）; 3)1(nn x -=（3）; 11ngx n = （4）; )11()1(nx nn +-=（5）;1)1(3nx nn-+= （6）;1secnx n=（7）;2642)12(531limnn n ++++-++++∞→ （8）. 2121121211lim)1(221--∞→++++++n n n解：1）收敛.因为当∞→n 时,;)1(>∞→a a n所以; 0→nx 所以. 01lim lim ==∞→∞→nx n x ax2)因为⎪⎩⎪⎨⎧==为奇数为偶数n n x x nn313 所以nx 是发散的;3)发散的.因为当∞→n 时,01→n;所以-∞→=ng x n11;4)因为⎩⎨⎧-=为奇数为偶数n n x n1 1 所以nx 是发散的;5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31)1(3→-+=nx nn;即∞→x lim3=n x ;6)收敛的.当∞→n 时,1→n;11sec →n;即∞→x lim1=n x ;7)因为nn n n n n nn +=+-+=++++-+++12)22(2)121(2642)12(531 ;所以∞→x lim11=+nn ;所以是收敛的;8)因为23211)21(121121121211212112121)1(221=----=++++++----n n n n1211-+n所以2321123lim1=+-∞→n x ;所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为; 21, , 21 , 21,11-n 2所以通项为; 211-=n n a 所以∞→x lim=n a ;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）; )0(lim>→μμx x （2）;)0(lim <∞→μμx x（3）; 1) , 0(lim 0≠>→a a xx （4）;1) , 0(lim ≠>∞→a a xx（5）;1) , 0(loglim 1≠>→a x ax （6）;arccos lim 1x x -→（7）; arctan lim 1x x → （8）. cos lim x x ∞→解：1）当0x →时,∞→x lim; 0)0(=>u x u2）∞→x lim∞→=<x uu x lim)0(;0)0u (1=<-ux3）∞→x lim1)1 , 0(=≠>a a a x4） 01<a∞→x lim⎩⎨⎧><=≠>.1 1. 1 0)1 , 0(a a a a a x所以1 ; 1>a 5)0)1 , 0(log lim 1=≠>-→a a a xx6)π=-→x arccoslim 1x 所以;1cos -=π7). 4x arctanlim 1π=-→x8)xcos lim ∞→x 的极限不存在4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1）;0 , )(==x xx x f （2）;0 ,3)(1==x x f x（3）;0 ,1arctan )(==x x x f（4）. 1 , 21 , )1arcsin(1 , )1(11)(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<+=x x x x x g x f解：1)1lim-→x +→≠-=0lim1)x (f x ;1)(f =x 所以该点的极限不存在 2)1lim-→x ≠=0)x (f +→0limx ;)x (f ∞=所以该点的极限不存在 3)1lim-→x ;2f (x)lim 2-f (x)0ππ=≠=+→x 所以该点的极限不存在 4); 0)x (f lim 211)x (f lim 11=≠=+-→→x x g 所以该点的极限不存在5．用δε-或N-ε的方法陈述下列极限：（1）; )(limA x f ax =+→ （2）;)(limA x f ax =-→（3）;)(limA x f x =+∞→ （4）. )(limA x f x =-∞→解：1)当δ<-<a x 0时ξ<-A x f )( 2)当δ<<x -a 0时 ξ<-A x f )(3)当M x >时 ξ<-A x f )( 4)当-M x <时 ξ<-A x f )(6．用极限的严格定义（即δε-或N-ε的方法）证明下列极限：（1）; 01lim 4=∞→nn （2）; 31135lim22-=+-∞→n nn （3）; 01lim1=++-→x x （4）. 010lim =-∞→xx解：1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使ξ14>n即41n ξ>成立所以对于任意给定的ξ,存在41N ξ=当Nn>时恒有ξ<-014n成立,故01lim4=∞→nx2)对于任意给定的ξ,要使ξ<++-3113522n n成立即29316 )(1limξξ->+∞=→n x f ox x 成立所以对于正数ξ,存在293-16N ξξ=成立当Nn>时恒有ξ<++-3113522n n成立所以31135lim22-=+-∞→n nx3)由于10)(+=-x x f 所以对于任意给定的0>ξ,存在2ξδ=当δ<+<10x 时恒有ξ<-0)(x f 成立故1lim1=++-→x x4)对于任意给定的正数ξ要使ξ<-010x 成立即ξ1g x >成立所以存在. 1g Xξ=当X x >时恒有ξ1g x>成立即. 010lim=∞→xx7．求下列极限：（1）; )(lim 33hxh x h -+→ （2）; 11lim1--→x x nx（3）;)2(arctan lim 1x x x ++∞→ （4）; 11lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→x x x x x （5）;11lim 22xxx +-→ （6）;231lim3xx x +--∞→（7）; 22312lim 4---+→x x x （8）. )31(lim 22---++∞→x x x x x解：1）22203322303303)33(lim 33lim)(limxh xh x hxh xh h x x h hh x h h h =++=-+++=-+→→→2)n x x nx =--→11lim 13）12)1(arctan lim 2arctan lim 1+=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→πx x x x x 4)xx x x x x xx x x x x x 1lim)1()1)(1(lim)11(lim 1121+=-+-=---→→→5)2)11(lim )11(lim11lim222222-=++-=-++=+-→→→x xx x xx x x x6))31)(2(91231lim33+-+--=+---∞→x x x x x x)31)(2()42)(2(33323+-++-+=x x x xx2-= 7))312)(22()312)(312(lim22312lim44++--++-+=---+→→x x x x x x x x)312)(22()4(2lim4++---=→x x x x)312()22(2lim4+++-=→x x x322=8))31(lim 22---++∞→x x x x x)3142(lim 22--++++=∞→x x x x x x1)31111142(lim 2=--++++=∞→xx xxx x8．求. 3545lim 211++-∞→+-n n n n n解：51)53(95)54(411lim 3545lim211=+-=+-∞→++-∞→n n n n n n nn9．下列数列}{n x ，当∞→n 时是否是无穷小量？（1）; 31050nn x =（2）[]; 1)1(1nx nn -+=（3）. nn n x =解：1)是无穷小量因为0lim =∞→n n x2)是,因为0lim=∞→n n x (n 为奇数或者偶数)3)不是.10．当0→x 时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）;100 3x y = （2）;1012100xy =（3）; )1(log 2x y += （4）; 4cot x y =（5）; 2sec ⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π （6）. 1sin 1x x y =解：1)是无穷小,因为0lim=→y x2)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim3)是无穷小量,因为0lim 0=→y x 4)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim 5)是无穷大量,因为+∞=→y x 0lim6)非大非小 11．已知)()(limx g x f x x →存在，而)(lim 0=→x g x x ，证明. 0)(lim 0=→x f x x解：因为, 5252lim5arctan 2lim==→→xx xxx x)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f x x x x x x →→→=存在而)(lim 0=→x g x x所以; 0)(lim 0=→x f x x12．设31lim 21=-++→x bax x x ，求a ，b .解：因为3lim 1lim 121=+=-++→→y x x bax x x x所以1)2)(1(12---=-++x x x x bax x所以1a =,2b -=13．设011lim2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求a ，. b解：011lim)11(lim222=+----+=--++∞→∞→x bbx ax ax x b ax x x x x所以即b bx ax ax x ----+221为一常数所以-1b 1a ==14．当0→x 时，下列变量中与423x x +相比为同阶无穷小的是（B ）. A ．x B ．2x C ．3x D ．4x 解：B ．因为3131lim3lim 2422=+=+→→xxx xx x15．求. 28159lim4823+--∞→n n nn n解：3281591lim281593lim4835482=+--=+--∞→∞→nnnn n n n n n16．设a x →时∞→)(x f ，∞→)(x g ，则下列各式中成立的是（D ）.A ．∞→+)()(x g x f B ．0)()(→-x g x fC ．0)()(1→+x g x f D ．0)(1→x f解：D.因为a x →时∞→f (x),∞→g(x)，所以)(1→x f ，)(1→x g .17．求下列极限（1）;)72()43()12(lim 15510--+∞→x x x x （2）. )cos 100(1lim32x xx x x +++∞→解：1)=--+∞→15510)72()43()12(limx x x x 32243232)72()43()12(lim15510151515510==--+∞→xx x x x x2)x)105100(1111lim)105100(1lim2332+++=+++∞→∞→xx xx xx x x x18．求下列极限：（1）; 3sin 2sin lim0xx x → （2）; sin sin limxx x x x +-→（3）; 5arctan 2limx xx → （4）;sin lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n n π （5）;sin lim xxx -→ππ（6）;cos 1limxxx -+→（7）; cos 1cos 1lim 2xx x --→ （8）;sin tan limxxx x -→ （9）;sin tan cos lim 0xx x x x x --→ （10）.65)1sin(lim21-+-→x x x x解：1)3232lim3sin 2sin lim==→→xx xx x x2)sin 1sin 1limsin sin lim=+-=+-→→xx x x xx x x x x3)5252lim5arctan 2lim==→→xx xxx x4)ππππ===∞→∞→∞→nn nn nn n n n 1lim1sinlim)sin(lim5)11cos lim' )()(sin limsin lim'=-=-=-→→→x x x xxx x x πππππ6)2)'2sin2()'(lim2sin2limcos 1lim===-+++→→→x x x xxxx x x7)28)0)cos cos 1(lim ')'sin (tan limsin tan lim2=-=-=-→→→x xx x x x xx x x x9)1cos lim )cos cos 1(sin )cos 1(limsin tan cos lim==--=--→→→x xx x x x xx x x x x x 10)7111lim)6)(1(1lim65)1sin(lim 1121=+=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x19．设3)1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ，. b解：因为3)1)(1(lim)1sin(lim21221=+-++=-++→→x x b ax x x b ax x x x所以)5)(1(2+-=++x x b ax x 所以-5b . 4==a 20．设nnn n x n ++++++=22212111 ，用极限存在的夹逼准则求. limn n x ∞→解：因为nn nx n nn +≤≤+22111而111lim 2=+∞→n nn ，11lim 2=+∞→nn nn所以1lim =∞→n n x21．求下列极限：（1）; 31lim 3xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ （2）;)21(lim 13+∞→-xx x（3）;21lim30xx x +→ （4）; )tan 1(lim cot 210x x x -→+（5）;1232lim 1+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x （6）.1312lim 10xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--→解：1). ])31[(lim )31(lim9933e xxxx xx =+=+∞→∞→2).)21(*])21[(lim )21(lim 3232213---∞→+∞→=--=-exxxx x xx3).323221030])21[(lim 21lime x x x x xx =+=+→→4). e x)tan 1(*]x)tan 1[(lim x)tan 1(lim 2-2tanx 12cotx -10=+++-→=→x x5). 1x )1221(lim )1232(lim 212121x e x x x x x x =+++=++++∞→+∞→6)xx x x x x x x 11)131(lim )1312(lim --=--→→=331)3111(lim +-→-+xx x=. e22．设xx x k x x xx 2sinlim lim 2∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-，求. k解：因为.222sin 2lim2sinlim ==∞→∞→xx xx x x所以.2)1(lim )(lim22*2==-=--∞→-∞→kkkx x xx exk xk x所以. n2121k =23．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=; 0 , 0,0 , 1sin )(2x x xx x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=. 0 , 1, 0 , sin )(x x xxx f解：1)因为0x)(f lim=→x ，而0f (0)=.所以f (x)在定义域上是连续的。

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(10年)若＝1，则a等于【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：则a＝2 知识模块：微积分2．(10年)设f(χ)＝ln10χ，g(χ)＝χ，h(χ)＝，则当χ充分大时有【】A．g(χ)＜h(χ)＜f(χ)．B．h(χ)＜g(χ)＜f(χ)．C．f(χ)＜g(χ)＜h(χ)．D．g(χ)＜f(χ)＜h(χ)．正确答案：C解析：由于则当χ充分大时h(χ)＞g(χ)．则当χ充分大时，g(χ)＞f(χ)，故应选C．知识模块：微积分3．(11年)已知当χ→0时，函数f(χ)＝3sinχ－sin3χ与cχk是等价无穷小，则【】A．k＝1，c＝4．B．k＝1，c＝－4．C．k＝3，c＝4．D．k＝3，c＝－4．正确答案：C解析：则k＝3，＝1，c＝4 知识模块：微积分4．(13年)当χ→0时，用“o(χ)”表示比χ高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】A．χ.o(χ2)＝o(χ3)．B．o(χ).o(χ2)＝o(χ3)．C．o(χ2)＋o(χ2)＝o(χ2)．D．o(χ)＋o(χ2)＝o(χ2)．正确答案：D解析：若取o(χ)＝χ2，则故应选D．知识模块：微积分5．(13年)函数f(χ)＝的可去间断点的个数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：f(χ)＝在χ＝－1，0，1处没定义．则χ＝0和χ＝1为可去间断点，故应选C．知识模块：微积分6．(14年)设an＝a，且a≠0，则当n充分大时有【】A．｜an｜＞B．｜an｜＜C．an＞a－D．an＜a＋正确答案：A解析：由＝a，且a≠0知，｜an｜｜a｜＞0，则当n充分大时有｜an｜＞故应选A．知识模块：微积分7．(14年)设p(χ)＝a＋bχ＋cχ2＋dχ3．当χ→0时，若p(χ)－tanχ是比χ3高阶的无穷小，则下列结论中错误的是【】A．a＝0B．b＝1C．c＝0D．d＝正确答案：D解析：由χ→0时，tanχ－χ～χ3知，tanχ的泰勒公式为tanχ＝χ＋χ3＋o(χ3) 又则a＝0，b＝1，c＝0，d＝，故应选D．知识模块：微积分8．(15年)设{χn}是数列．下列命题中不正确的是【】A．B．C．D．正确答案：D解析：如χ3n＝则从而≠1．知识模块：微积分9．(87年)若f(χ)在(a，b)内可导且a＜χ1＜χ2＜b，则至少存在一点ξ，使得【】A．f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a) (a＜ξ＜b)B．f(b)－f(χ1)＝f′(ξ)(b－χ1) (χ1＜ξ＜b)C．f(χ2)－f(χ1)＝f′(ξ)(χ2－χ1) (χ1＜ξ＜χ2)D．f(χ2)－f(a)＝f′(ξ)(χ2－a) (a＜ξ＜χ2)正确答案：C解析：由f(χ)在(a，b)内可导知，f(χ)在[χ1，χ2]上连续，在(χ1，χ2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ，使f(χ2)－f(χ1)＝f′(ξ)(χ2－χ1) χ1＜ξ＜χ2 所以应选C．选项A、B、D均不正确．因为由f(χ)在(a，b)内可导，不能推得f(χ)在[a，b]，[χ1，b]，[a，χ2]上连续，故选项A、B、D选项均不满足拉格朗日中值定理条件．知识模块：微积分10．(90年)设函数f(χ)对任意的χ均满足等式f(1＋χ)＝af(χ)，且有f′(0)＝b，其中a、b为非零常数，则【】A．f(χ)在χ＝1处不可导．B．f(χ)在χ＝1处可导，且f′(1)＝a．C．f(χ)在χ＝1处可导，且f′(1)＝b．D．f(χ)在χ＝1处可导，且f′(1)＝ab．正确答案：D解析：在f(1＋χ)＝af(χ)中，令χ＝0得f(1)＝af(0) 所以，应选D．知识模块：微积分填空题11．(12年)＝_______．正确答案：解析：这是“1∞”型极限，由于知识模块：微积分12．(15年)＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分13．(16年)已知函数f(χ)满足＝2，则f(χ)＝_______．正确答案：6解析：由＝2，及(e3χ－1)＝0，知故f(χ)＝6 知识模块：微积分14．(89年)曲线y＝χ＋sin2χ在点()处的切线方程是_______．正确答案：y＝χ＋1解析：y′＝1＋2sinχcosχ，＝1．该曲线在点()处的切线方程是，即y＝χ＋1 知识模块：微积分15．(90年)设f(χ)有连续的导数，f(0)＝0且f′(0)＝b，若函数在χ＝0处连续，则常数A＝_______．正确答案：a＋b解析：由于F(χ)在χ＝0连续，则A＝F(0)＝＝b＋a 知识模块：微积分16．(91年)设曲线f(χ)＝χ3＋aχ与g(χ)＝bχ2＋c都通过点(－1，0)，且在点(－1，0)有公共切线，则a＝_______，b＝_______，c＝_______．正确答案：－1；－1；1．解析：由于曲线f(χ)和g(χ)都通过点(－1，0)，则0＝－1－a，0＝b＋c 又曲线f(χ)和g(χ)在点(－1，0)有公共切线，则f′(－1)＝3χ2＋a｜χ＝－1＝3＋a＝g′(－1)＝2bχ｜χ＝－1＝－2b 即3＋a＝－2b，又0＝－1－a，0＝b＋c 则a＝－1，b＝－1，c＝1 知识模块：微积分17．(91年)设f(χ)＝χeχ，则f(n)(χ)在点χ＝_______处取极小值＝_______．正确答案：－(n＋1)；－．解析：由高阶导数的莱不尼兹公式(UV)n＝可知，f(n)(χ)＝(n＋χ)eχ，f(n+1)(χ)＝(n＋1＋χ)eχ，f(n+2)(χ)＝(n＋2＋χ)eχ令f(n-1)(χ)＝0，解得f(n)(χ)的驻点χ＝－(n＋1)．又f(n+2)[－(n＋1)]＝e-(n+1)＞0，则χ＝(n ＋1)为f(n)(χ)的极小值点，极小值为f(n)[－(n＋1)]＝－知识模块：微积分18．(92年)设商品的需求函数Q＝100－5p，其中Q、p分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是_______．正确答案：(10，20]解析：由Q＝100－5p，得Q′(p)＝－5，需求弹性为令｜ε｜＝＞1，得p＞20或10＜p＜20．又由Q(p)＝100－5p＝0，得最高价格为P＝20．所以商品价格的取值范围是(10，20]．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

专升本微积分复习题

专升本微积分复习题一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数是（）A. 2x + 3B. 2x^2 + 3xC. x^2 + 3D. 3x + 22. 若f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，则f'(x)g'(x)等于（）A. 1B. -1C. sin(x)cos(x)D. sin^2(x) + cos^2(x)3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x在x = 2处的切线斜率是（）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 6在x = 1处的值为______。

5. 若函数f(x) = ln(x)，则f''(x)，即f(x)的二阶导数为______。

三、解答题6. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

7. 给定函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求其在x = -1时的切线方程。

8. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)上连续且可导，且f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)上单调递增。

四、应用题9. 某工厂生产的产品成本函数为C(x) = 2x^2 - 100x + 1000，其中x为产品数量。

求该工厂生产100件产品时的平均成本。

10. 假设某商品的需求函数为D(p) = 50 - 2p，其中p为价格，求当价格为10元时的需求弹性。

五、证明题11. 证明：若函数f(x)在点x = a处可导，且f'(a) = 0，则该点为函数f(x)的局部极值点。

12. 证明：若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续且可导，且f'(x) = g'(x)，那么在该区间上f(x) - g(x)为常数。

六、综合题13. 考虑一个物体从静止开始下落，假设其下落距离s(t) = 1/2gt^2，其中g为重力加速度，t为时间。

微积分复习题2

高等数学微积分上复习题及解答

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分复习习题

2019版 2微积分练习题(下) 第二章 答案

微积分综合练习试题和参考答案与解析

《微积分》期末复习题及答案-推荐下载

微积分课后题答案第二章习题详解

微积分复习题

微积分复习题

微积分课后题答案第二章习题详解

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

微积分第二章习题参考答案

《微积分》习题2

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

专升本微积分复习题

2019版 2微积分练习题(下) 第二章答案