《3.3 曲线与方程》同步练习
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、填空题1. 向上凹曲线的二次函数方程一般可以表示为 ________。
2. 直线 y = a 与 x 轴的交点为 _________。
3. 曲线 y = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的对称轴方程为 ________。
4. |a| > 1 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口向 _________。
5. 一条直线 y = mx + c 与双曲线 xy = k (k > 0) 相交于两个点时，m 的取值范围为 ________。
6. 一条直线 y = kx 与椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 相切于点 (x1, y1)，则 k 的取值范围为 ________。
二、选择题1. 曲线 y = (x + 2)^2 - 3 的对称轴为：A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -22. 函数 y = (x - 3)(x - 1) 的图像与 x 轴的交点为：A. (3, 0) 和 (1, 0)B. (3, 0) 和 (-1, 0)C. (0, 3) 和 (0, 1)D. (0, 3) 和 (0, -1)3. 下列函数中，是抛物线的是：A. y = x^3 - 2x + 6B. y = 3x^2 + 4x - 1C. y = x^2 / 2 + 5D. y = 2x + 14. 随着 a 的增大，函数 y = ax^2 的图像：A. 变宽B. 变窄C. 上移D. 下移5. 一次函数 y = mx + c 和二次函数 y = ax^2 相交于两个交点时，m 和 a 的关系为：A. m = aB. m > aC. m < aD. 无法确定三、解答题1. 求下列函数的对称轴、顶点和图像开口的方向：a) y = 2x^2 + 4x - 3b) y = -3x^2 + 6x - 12. 给定函数 y = x^3 + ax^2 + bx + 2，已知该函数的图像过点 (-1, 2)，x = 2 和 y = 4 和曲线的对称轴平行，则 a 和 b 的值分别为多少？3. 已知一条直线将椭圆 (x - 3)^2/4 + (y - 4)^2/9 = 1 和双曲线 (x -1)^2/9 - (y - 5)^2/4 = 1 分成两部分，求此直线方程。
高中数学选择性必修一(人教版)《3.3抛物线》习题
抛物线11．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．42．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 3．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线D ．椭圆4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝32x 0，则△POF 的面积为( )A ．1B ．2C ．22D ．245．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或66．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．27．(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．8．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.9．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.11.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．12．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．。
《曲线与方程》同步练习3(新人教A版选修2-1)
2
20．在直角坐标系 xOy 中 ,有一定点 A（ 2，1）,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0) 的 焦点，则该抛物线的准线方程是 . 21．点 M 到点 F(0,–2)的距离比它到直线 l： y–3=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 . 六． 解 答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
y2
x2
a2
1 与双曲线 a
（ B） 1 或– 2
y 2 1 有相同的焦点，则 a 的值是 （） 2
（ C）1 或
（ D） 1
x2
3.双曲线 2
a
（ A） 2（ B）
y2 2 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（） b
3 （C） 2 （ D） 3 2
4.若抛物线的准线方程为 x=– 7,则抛物线的标准方程为
2
x
－
y2 =1
的左支交于
A,B 两点 ,直线 l 过点（－ 2,0 ）和 AB 的中点 ,求直线 l
在 y 轴上截距 b 的取值范围 .
28 ． 如 图 所 示 ， 点 F ( a,0)( a 0), 点 P 在 y 轴 上 运 动 ， M 在 x 轴 上 ， N 为 动 点 ， 且
PM PF 0, PN PM
x2 10．双曲线 a 2
y2 b2
1（ a>0,b>0 ），过焦点 F1 的弦 AB(A、 B 在双曲线的同支上 )长为 m，另一焦
点为 F2，求△ ABF2 的周长 .
11．焦点在 y 轴上的抛物线上一点 P(m,– 3)到焦点的距离为 5,求抛物线的标准方程 .
2
12．已知抛物线 y =6x,过点 P(4,1)引一弦，使它恰在点 P 被平分，求这条弦所在的直线
2022_23学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选择性必修第一册
3.3.2 抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是( )A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+| BF|的值( )A.等于8B.等于7C.等于5D.随A,B两点坐标变化而变化3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是( )A.2B.3C.4D.05.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则( )A.曲线C的标准方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥26.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为 ;水面下降1米后,水面宽 米.图1图27.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O 为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为 .8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.B级关键能力提升练9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是( )A. B. C. D.110.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为( )A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于( )A.2B.C.2D.412.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.C的准线方程为x=-1B.线段AB的长度的最小值为4C.M的坐标可能是(3,2)D.存在直线l,使得OA与OB垂直13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是 .14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.C级学科素养创新练15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.(1)求E的标准方程;(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB.参考答案3.3.2 抛物线的简单几何性质1.C 当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.2.A 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.3.B 抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1--=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.4.B 因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B.5.AB 由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.6.x2=-4y 4 设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由已知抛物线经过点(2,-2),可得8=-2p×(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.当y=-3时,x2=12,解得x=±2,所以当水面下降1米后,水面宽4米.7.y2=4x 由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,0,直线l:x=,|AB| =2p.因为△OAB的面积为S△OAB=×2p=4,所以p=2.所以抛物线的标准方程为y2=4x.8.解(1)由题意可得解得故抛物线C的标准方程是y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得y2-4y+4n=0,Δ=16-16n>0,n<1,则y1+y2=4,y1y2=4n,从而x1x2==n2.因为OA⊥OB,所以=0,即x1x2+y1y2=n2+4n=0,又n≠0,所以n=-4.9.C 如图所示,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-.过点G向准线m作垂线,垂足为D,过A,B分别向准线m作垂线,垂足为A',B',则|AA'|+|BB'|=| AB|=2.因为弦AB的中点为G,所以|GD|=(|AA'|+|BB'|)=|AB|=1,所以点G的横坐标是1-,故选C.10.B 由抛物线定义,|BF|等于点B到准线的距离,因为|BC|=2|BF|,所以∠BCM=30°.又|AF|=3,所以A.点A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px(p>0),解得p=(负值舍去).故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.11.D 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设点M,y,∵∠OFM=120°,∴>1,∴|y|=-1,整理得y2-4|y|-4=0.解得|y|=2(负值舍去),∴|FM|==4.故选D.12.ABC 由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;当AB⊥x轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=±2,所以AB的长度的最小值为4,故B正确;设直线l的方程为x=my+1,A(x A,y A),B(x B,y B),M(x M,y M),将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,则y A+y B=4m,所以x A+x B=m(y A+y B)+2=4m2+2,x M=2m2+1,当m=1时,可得M(3,2),故C正确;因为y A y B=-4,所以x A x B=1,所以=x A x B+y A y B=1-4=-3,所以≠0,故D错误.故选ABC.13.(1,1) 设抛物线y=x2上一点为A(x0,),点A(x0,)到直线2x-y-4=0的距离d=|(x0-1)2+3|,当x0=1时,抛物线x2=y上一点到直线2x-y-4=0的距离最短,此时点A的坐标为(1,1).14.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.联立可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,Δ=144(t-1)2-144t2=144(1-2t)>0,t<,则x1+x2=-.从而-,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.联立可得y2-2y+2t=0,Δ=4-8t>0,t<,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,-1.故|AB|=.15.(1)解依题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),与直线y=x+1联立,可得x2+(2-2p)x+1=0,由Δ=(2-2p)2-4=0,解得p=2(p=0舍去).所以抛物线的标准方程为y2=4x. (2)证明易知过点P的两条切线斜率存在且不为0,设P(-1,m),切线的方程为y-m=k(x+1),与y2=4x联立,可得ky2-4y+4k+4m=0,由Δ=0,即16-16(k+m)k=0,整理得k2+km-1=0,易知方程有两个不相等的实数根,设为k1,k2,所以k1k2=-1,即PA⊥PB.。
《曲线与方程》同步训练1.docx
《2・1・1曲线与方程》同步训练1一.选择题(共5小题)1.设点P (x, y)是曲线a|x|+b|y|=l (a>0, b>0)上的动点,且满足(y+1) 2+JxS(y-l) 2<2伍,则a+伍b的取值范围为()A. [2, +8)B. [1, 2]C. [1, +oo)D. (0, 2]2.直线1： y=kx与曲线C： y=x3 - 4x2+3x顺次相交于A, B, C三点，若|AB|=|BC|,则k=( )A. - 5B. --C.-丄D.丄9 2 23.如图所示，在正方体ABCD - AiBiCiDi的侧面ABi内有一动点P到直线AjBi与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为( )4.关于曲线C： x°+yJl,给出下列四个命题:①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线尸x对称③曲线C围成的面积大于71④曲线C围成的面积小于71上述命题屮，真命题的序号为( )A.①②③B.①②④C.①④D.①③5.方程(x+y- 1)』/ + /一4=0所表示的曲线是( )A. B.10 C. D.148-■■■■irAftA 4二.填空题(共5小题)6.若A (a, 3)在曲线,・4x・ 2y+l二0上，则沪________________ ・7.曲线尸与直线y=x+-的交点坐标是__________________ ・2 28.若方程x+y・6依石+3k=0仅表示一条直线，则实数k的取值范围是_9.方程”・丫2二0表示的图形是_________ .10.已知方程x2+y2+2x - 4=0表示的曲线经过点P (m, 1),那么m的值为0.1.1曲线与方程》同步训练1参考答案一.选择题(共5小题)1. A 解：曲线a|x|+b|y|=l (a>0, b>0),当x, ynO 时，化为ax+by=l ；当x2(), ySO 时，化为ax - by= 1 ；当xSO, yR 时，化为-ax+by=l；当xSO, ySO 时，化为-ax - by=l. 画出图象如图，表示菱形ABCD.由~~+7x2+ (y_ 1)2<2伍，设M ( - 1, 0), N (1, 0),则2|PM|W2伍，|BD|S2勺勺，解得b>l, V2a>l,V2a+b>l + l=2./.V2a+b取值范围为［2, +oo ).故选：A.3. C4. D5. D二.填空题（共5小题）6.- 1 或57.（3,卫），（・1,丄）2 28.k=3 或k<09.两条垂直的直线10.-3或1。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。
其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。
练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。
当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。
因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。
这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。
练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。
这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。
练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。
正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。
这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。
练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。
指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
七年级数学上册3.3一元一次方程的解法同步练习(新版)湘教版【含解析】
． .
． . ． ． ，������ =
19. 已知 ∣ ������ − 1 ∣ +∣ ������ − 2 ∣ +∣ ������ − 3 ∣ +∣ ������ − 4 ∣= 4，则实数 ������ 的取值范围是
3.3 一元一次方程的解法
一、选择题（共 10 小题；共 50 分） 1. 解方程 2(������ − 2) − 3(4������ − 1) = 9 正确的是 ( ) A. 2������ − 4 − 12������ + 3 = 9，−10������ = 9 − 4 + 3 = 8 ，故 ������ = −0.8 B. 2������ − 2 − 12������ + 1 = 9，−10������ = 10 ，故 ������ = −1 C. 2������ − 4 − 12������ − 3 = 9，−10������ = 16 ，故 ������ = −1.6 D. 2������ − 4 − 12������ + 3 = 9，−10������ = 10 ，故 ������ = −1 2. 如果方程 6������ + 3������ = 22 与方程 3������ + 5 = 11 的解相同，那么 ������ = ( A.
时，关于 ������ 的方程 2∣������ − 2∣ + ������ = ������ + ∣������ − 5∣ + 2 至少有 3 个解．
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二、填空题（共 10 小题；共 50 分） 11. 解形如 ������������ + ������ = ������������ + ������ 的一元一次方程就是通过 方程向着
曲线与方程(基础+复习+习题+练习).docx
课题：曲线与方程考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.教材复习1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程 f ( x, y)0 的实数解建立了如下关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的； 2 以这个方程的解为坐标的点都是那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.2.两曲线的交点设曲线 C1的方程为F1x, y0 ，曲线C2的方程为 F2x, y0 ，则曲线C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线C1, C2.3.求动点轨迹方程的一般步骤① 建系：建立适当的坐标系；② 设点：设轨迹上的任一点P x, y ；③列式：列出动点 P 所满足的关系式；④ 代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x, y 的方程式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.4.求轨迹方程常用方法1直接法：直接利用条件建立x, y 之间的关系 F x, y0 ；2 定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程.3 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程. 先根据所求曲线类型设出相应曲线的方程，再由条件确定其待定系数；4 代入法（相关点法）：动点 P x, y 依赖于另一动点 Q x0 , y0的变化而变化，并且 Q x0 , y0又在某已知曲线上，则可先用 x, y 的代数式表示x0, y0，再将x0, y0带入已知曲线得要求的轨迹方程 .5 参数法：当动点P x, y 的坐标 x, y 之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x, y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.5.对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理.基本知识方法1.掌握“方程与曲线”的充要关系；2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法 . 要注意“查漏补缺，剔除多余” .典例分析：考点一曲线与方程问题 1．1(06调研)如果命题“坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，那么下列命题正确的是A.坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点都不在曲线 C 上；B. C f ( x, y)0C.坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上；D.至少有一个点不在曲线 C 上，其坐标满足方程 f (x, y) 0 .2 如果曲线 C 上的点满足方程 f (x, y) 0 ，则以下说确的是： A. 曲线 C 的方程是 f ( x, y) 0 ； B. 方程 f ( x, y) 0 的曲线是 C ；C. 坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点在曲线 C 上；D.坐标不满足方程 f ( x, y) 0 的点不在曲线 C 上；3 判断下列结论的正误，并说明理由：① 过点 A 3,0 且垂直于 x 轴的直线的方程为x 3 ；② 到 x 轴距离为2 的点的直线的方程为y2 ；③ 到两坐标轴的距离乘积等于 1xy 1；的点的轨迹方程为④ △ ABC 的顶点 A 0, 3， B 1,0 ， C1,0 ， D 为 BC 的中点，则中线 AD 的方程为x 0 .4 作出方程 yx 2 2 x 1 所表示的曲线 .25 （ 2011）曲线 C 是平面与两个定点 F 1 1,0 和 F 2 1,0 的距离的积等于常数a (a 1)① 曲线 C 过坐标原点；② 曲线 C 关于坐标原点对称；.③若点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2的面积大于1a2.2其中，所有正确结论的序号是考点二直接法求轨迹方程问题 2．2011uuur uuruuur uuur uuur uur A 0, 1，B点在直线（全国新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点y3 上，M点满足 MB / /OA ， MA AB MB BA ，M点的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）略.考点三定义法求轨迹方程问题 3．已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a, b,c ，且a c b 成等差数列， AB 2 ，求顶点 C 的轨迹方程..考点四代入法（相关点法）求轨迹方程问题 4．（2011）如图，设P是圆x2y225 上的动点，点D4是 P 在x轴上投影， M 为 PD 上一点，且| MD || PD |．.1 当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹 C 的方程；2 求过点3,0 且斜率为4的直线 l 被 C 所截线段的长度．5课后作业：1. 方程x22y22A. 两个点B. 四个点C.两条直线D. 四条直线440 表的图形是2.设曲线 C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么 C 的方程是A. x y 0B.x y 0C. | x || y | 0D. y | x | 和 x| y |3.已知x2y21点，接于圆，且BAC 60o，当 B,C 在圆上运动时，BC A(1,0)△ ABC中点的轨迹方程是A. x2y21B. x2y21C. x2y21(x1) D. x2y21(x1)2422444.若两直线x y 5a 0 与 x y a 0 交点在曲线y x2 a 上，则 a5.若曲线y2xy 2x k 0 通过点 (a, a)(a R) ，则k的取值围是6.画出方程x2y24x y 10 所表示的图形：7. A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知| BC | 4， A到 l 的距离为 3 ，求△ ABC 的外心的轨迹方程 .8. 设 x R ，求两直线l1：x my 6 0 与 l2：m 2 x 3 y 2m0 的交点 P 的轨迹方程.9. 已知抛物线y2 4 px p0 ， O 为顶点，yA, B 为抛物线上的两动点，且OA OB ，如果MAOM AB 于 M ，求点 M的轨迹方程 .走向高考：10.（ 01）设圆 M 的方程为( x3)2( y 2) 22，直线l的方程为 x y 30 的点P的坐标为 (2,1) ，那么A. 点 P 在直线 l 上，但不在圆M 上B. 点 P 在圆 M 上，但不在直线l 上C.点 P 既在圆 M 上，也在直线 l 上，D. 点 P 既不在圆 M 上，也不在直线 l 上uuur uuur11. ( 04 )已知点A( 2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB x2，则点P的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12.( 2012 ) 如图，动点M 到两定点A(1,0) 、 B(2,0)构yM成MAB ，且 MBA 2 MAB ，设动点 M 的轨迹为 C .（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；（Ⅱ）略.AO B x。
七年级数学上册3.3一元一次方程的解法同步练习(新版)湘教版
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————3.3 一元一次方程的解法一、选择题1.下列方程的变形中，正确的是（）A. 若-x=1，则x=2B. 若x+7=5-3x，则4x=2C. 若x=3，则2x=3+5 D.若4x+8=0，则x+2=0【答案】D2.方程﹣6x=3的两边都除以﹣6得（）A. x=﹣2 B. x=C. x=﹣D. x=2【答案】C3.方程﹣+x=2x的解是（）A. -B.C. 1D. -1【答案】A4.下列解方程正确的是（）A. 由4x﹣6=2x+3移项得4x+2x=3﹣6B. 由，去分母得4x=5﹣x﹣1C. 由2（x+3）﹣3（x﹣1）=7，去括号得 2x+3﹣3x+1=7D. 由得【答案】D5.方程2x+a=1的解是x=-，则a的值是（）A. -2B. 2C. 0D. -1【答案】B6.关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（）A. -2B.C. 2 D . -【答案】C7.解方程(x-1)=3，下列变形中，较简捷的是（）A. 方程两边都乘以4，得3（x-1）=12B. 去括号，得x-=3C. 两边同除以，得x-1=4 D. 整理，得【答案】B8.若和互为相反数，则x的值是（）A. ﹣9 B. 9C. ﹣8 D. 8 【答案】B9.用“△”表示一种运算符号，其意义是a△b=2a-b，若x△(1△3)=2，则x等于（）A. 1B.C.D. 2【答案】B10.若x=1是方程2-(m-x)=2x的解，则关于y的方程m（y－3）－2=m（2y－5）的解是（）A. －10 B. 0C.D. 4 【答案】B二、填空题11.当x=________时，代数式的值是2．【答案】112.在等式3×□﹣2×□=15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立．则第一个方格内的数是________．【答案】313.若2a与1﹣a互为相反数，则a=________．【答案】﹣114.当x=________ 时，2x﹣3与的值互为倒数．【答案】315.将一副三角板按如图方式摆放在一起，且∠1比∠2大30°，则∠1的度数等于________°.【答案】6016.若x=﹣27是﹣﹣m=4的解，则m=________【答案】517.当k=________时，多项式x2﹣（k﹣3）xy﹣3y2+2xy﹣5中不含xy项．【答案】518.已知x=-2是方程的解，则=a ________。
曲线和方程练习题
曲线和方程练习题一、选择题1、〔2014·高考文科·Ｔ3〕抛物线214yx 的准线方程是〔 〕 A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。
【解析】选A 。
22144yx x y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,那么AB = ( )B.6C.12D.【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04⎛⎫⎪⎝⎭.那么由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34n,解得m=32 ),n=32所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.应选C.3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积为( )C.6332D.94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二〞,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,那么由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=32 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB =1324⋅·(m+n)=94.应选D. 4. 〔2014·高考理科·Ｔ10〕F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是〔 〕A.2B.3C.8【解题提示】【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，那么直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=〞，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.5. 〔2014·高考文科·Ｔ10〕与〔2014·高考理科·Ｔ10〕一样F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是〔 〕 A.2B.3 【解题提示】【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，那么直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=〞，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.6. 〔2014·高考理科·Ｔ10〕点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,那么直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率 【解析】选Ｄ. 根据条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y ，由题意，在第一象限2822y x y x =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为02AB x x k y x ='==，而切线的斜率也可以为003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==． 即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 二、填空题1. 〔2014·高考理科·Ｔ15〕如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b C F a=两点，则【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。
36296_《曲线与方程》同步练习8(新人教A版选修2-1)
《曲线与方程》水平测试一、选择题1．椭圆22125169x y +=的焦点坐标是（ ） Ａ．(50)±，Ｂ．(05)±， Ｃ．(012)±， Ｄ．(120)±，Ｃ2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于11()P x y ，，22()Q x y ，两点，若123x x p +=，则PQ 等于（ ）Ａ．4pＢ．5p Ｃ．6p Ｄ．8pＡ 3．双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） Ａ．53 Ｂ．43 Ｃ．54 Ｄ．32 Ａ4(20)，的椭圆的标准方程是（ ） Ａ．2204x y += Ｂ．214x y +=2或2214y x += Ｃ．22114y x += Ｄ．2214x y +=或221416x y += Ｄ5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ） Ａ．2Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 Ｄ6．已知抛的线的准线方程是7x =-，则抛物线的标准方程是（ ）Ａ．228y x =-Ｂ．228y x = Ｃ．214y x =- Ｄ．214y x = Ｂ二、填空题7．已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为．8．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m = ． 5或39．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ．10．边长为1的正三角形AOB ，O 为原点，AB x ⊥轴，以O 为顶点且过A B ，的抛物线的方程为 ．11．“神州六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，那么这个椭圆的焦距为 千米．12．已知点(23)-，与抛物线22(0)y px p =>的焦点距离是5，则p =． 三、解答题 13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长半轴长等于它的焦距，且椭圆上的点到右焦点的距离是它到直线4x =的距离的12，求椭圆的方程及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率．椭圆的方程为22143x y +=．它的长轴长为4，短轴长为(10)-，和(10)，，离心率为21． 14．求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程．216y x =或28x y =-15．已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．。
《曲线与方程 》同步训练
高二(2)部数学《曲线与方程 》同步训练班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿1. 若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ）A. 曲线C 的方程是(,)0f x y =B. 方程(,)0f x y =的曲线是CC. 坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2. 方程|2|||y x =表示的图形是 （ ）A. 两条平行直线B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条射线D. 一个点 3. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线022=--k y x 与k x y +=的交点在曲线2522=+y x 上，则k 的值是（ ） A. 1B. －1C. 1或－1D. 以上都不对5. 求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 。
6. 已知：[0,2)απ∈，点(cos ,sin )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ；7. 方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 。
8. 曲线2244x y +=关于直线y x =对称的曲线方程为____________________。
9. 已知线段AB ，B 点的坐标为（6，0），A 点在曲线y=x 2+3上运动，求AB 的中点M 的轨迹方程。
10. 已知点A （－1，0）、B （2，0），求使∠MBA=2∠MAB 的动点M 的轨迹方程11. 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程.12. 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程。
13. 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB的中点M 的轨迹方程。
高中数学 3.4《曲线与方程》同步练习 北师大版选修21
2.1《曲线与方程》同步练习一、选择题1. 若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ）A. 曲线C 的方程是(,)0f x y =B. 方程(,)0f x y =的曲线是CC. 坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2. 方程|2|||y x =表示的图形是 （ ）A. 两条平行直线B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条射线D. 一个点3. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若直线022=--k y x 与k x y +=的交点在曲线2522=+y x 上，则k 的值是（ ）A. 1B. －1C. 1或－1D. 以上都不对二、填空题5. 求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 .6. 已知：[0,2)απ∈，点(cos ,sin )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ；7. 方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 .8. 曲线2244x y +=关于直线y x =对称的曲线方程为____________________.三、解答题9. 已知线段AB ，B 点的坐标为（6，0），A 点在曲线y=x 2+3上运动，求AB 的中点M 的轨迹方程.10. 已知点A （－1，0）、B （2，0），求使∠MBA=2∠MAB 的动点M 的轨迹方程.参考答案1. C 【解析】利用逆否命题我们可以判定选项C 是已知的逆否命题，真值相同.2. B 【解析】去掉绝对值符号，我们可以得到x y 21±=，显然是表示两条直线.3. B 【解析】由已知条件不一定可以推出结论，但是由结论可以推出条件，因此选B4. C 【解析】联立方程组⎩⎨⎧+==--kx y k y x 022解得交点为（－4k ，－3k ），代入到圆的方程中，就可以求得k 的值.5. c=0 【解析】首先曲线过点（0，0），得到c=0，反之，当c=0时，曲线也过原点.6.3π，35π 【解析】把点P 代入得到三角函数的关系式，就可以求得21cos =α，从而求解α. 7. 表示4个点)2,2(),2,2(),2,2(),2,2(----.【解析】由于平方和为0，故4422--y x 和同时为零.8. 4422=+x y 【解析】研究曲线关于直线的对称问题，我们设直线上任意一点P ，以及相应的对称后的点P 1，然后利用垂直的关系式和中点在对称轴上，我们得到坐标关系式，就可以求出已知曲线上任意一点的坐标与未知曲线上点的坐标的关系式，点随点动，我们由此得到答案.9. 解：设AB 的中点M 的坐标为（x ，y ），又设点A （x 1，y 1），则点A （x 1，y 1）在曲线y=x 2+3上，则将y 1=x 12+3代入，得：2y=（2x －6）2+3 整理，得AB 的中点M 的轨迹方程为()233x 2y 2+-= 10. 解：设点M （x ，y ）（1）如果∠MBA=ο90，则∠MAB=ο45，从而△ABM 为等腰直角三角形可得M （2，3）与（2，－3）（2）如果∠MBA≠ο90，设点M 在x 轴或x 轴上方则由 22)1(1122tan 1tan 2tan 1tan ,2tan +-+⋅=--∠-∠=∠+=∠--=∠x y x y x y MABMAB MBA x y MAB x y MBA 得及 整理得0)33(22=--y x y ①当点M 在x 轴下方，同样可得到①若y=0，由于只有在x∈（－1，2）时，∠MBA=∠MA B=0符合题意，所以轨迹方程为y=0（－1<x<2）若03322=--y x 满足题意，动点M 应在AB 的垂直平分线右边，所以应有)2x (1x ≠≥综上所述，所求轨迹方程为)2x 1(0y <<-=或)2x 1x (13y x 22≠≥=-且 点评：（1）要全面考虑曲线上动点运动的各种情况，以避免“少”点或“多”点，如本题容易遗漏y=0（－1<x<2），没有注意当03322=--y x 时的限制条件;21≠≥x x 且（2）画出方程表示的图形是帮助思考和检验的有效方法之一.。
人教A版高中数学选修曲线与方程同步练习新(3)
【考点27】 曲线与方程1．(2008上海20)（16分）设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点（1）已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标 （2）已知点P (a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上 （3）已知动点P (a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由2．(2008广东18)（14分）设12,02222=+>by b x b 椭圆方程为，抛物线方程为).(82b y x -=如图所示，过点轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）. 3．（2009山东9）设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12-=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A ）45（B ）5 （C ）25 （D ）54．（2009海南宁夏20） 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。
（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，λ=||||OM OP ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
5．（2009福建理19）已知A,B 分别为曲线C ：22ax +2y =1（y ≥0,a>0）与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B,且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T. （I ）若曲线C 为半圆，点T 为圆弧AB 的三等分点，试求出点S 的坐标；（II ）如图，点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ’,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。
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数学同步测试说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．x =231y -表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分2．设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 （ ）A ．2522x +7522y =1B ．7522x +2522y =1 C ．252x +752y =1D ．752x +252x =14．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．过椭圆22a x +22by =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 26．椭圆122222=+a y a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．(0,6)∪ (17,∞)B ．(17,∞)C ．[6，17]D ．（6，17）7．以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为 F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为 （ ）A ．22B ．23 C ．２－3 D ．3－１8．已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P , 则点P 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 9．已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且x 1x 2=－21, 那么m 的值等于（ ）A ．25B ．23C ．2D ．310．对于抛物线C: y 2=4x , 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 则直线l : y 0y =2(x + x 0)与C （ ） A ．恰有一个公共点 B ．恰有二个公共点 C ．有一个公共点也可能有二个公共点 D ．没有公共点 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．12．设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．13．定长为l (l >ab 22)的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的右支上, 则AB 中点M 的横坐标的最小值为14．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）． 15．（12分）已知抛物线y 2=8x 上两个动点A 、B 及一个定点M （x 0, y 0），F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于一点N ． （1）求点N 的坐标（用x 0表示）；（2）过点N 与MN 垂直的直线交抛物线于P 、Q 两点，若|MN|=42，求△MPQ 的面积．16．（12分）已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.17．（12分）已知抛物线x y =2的弦AB 与直线y =1有公共点，且弦AB 的中点N 到y 轴的距离为1，求弦AB 长度的最大值，并求此直线AB 所在的直线的方程．18．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由．19．（14分）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22228by a x + =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线12222=-by a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明．20．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与(3,1)a =-共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈u u u u r u u u u r u u u u u r，证明22μλ+为定值．参考答案一、1．D ；解析：x =231y -化为x 2＋3y 2＝1（x ＞0）． 2．A ；解析：由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0，∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221a b a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2．评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e 后还须根据b ＞a 进行检验.3．C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．D ；8．B ；9．B ；10．D 二、11．2516；解析：原方程可化为42x ＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，∴a ＝2，b ＝1，c ＝3．当等腰直角三角形，设交点（x ，y ）（y ＞0）可得2－x ＝y ，代入曲线方程得：y ＝54∴S ＝21×2y 2＝2516．12．x 2－4y 2＝1；解析：设P （x 0，y 0）∴M （x ，y ），∴2,200y y x x ==∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1．13．222)2(ba a l a ++；14．13,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 三、15．（1）设A(x 1, y 1)、B(x 2、y 2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x 1+x 2=2x 0． 得线段AB 垂直平分线方程：),(20212121x x y y x x y y y ----=+-令y =0，得x =x 0+4, 所以N(x 0+4, 0)．（2）由M(x 0, y 0) , N(x 0+4, 0), |MN|=42, 得x 0=2．由抛物线的对称性，可设M 在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．直线PQ: y =x －6, 由),4,2(),12,18(.8,62-⎩⎨⎧=-=Q P x y x y 得得△MPQ 的面积是64．16．解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d ．故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE -=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kkk k 又 故所求k=±7.说明：为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程. 17．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点),1(0y N当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是.2||,1==AB x （2分）当AB 直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得))((212121y y y y x x -+=- 所以ky k y AB 211200==即（4分） 设AB 直线方程为：)1(21)1(0-=--=-x k ky x k y y 即，由于弦AB 与直线y =1有公共点，故当y =1时，2121112112≥∴≥-≥+-k kk k k 即0121)1(21222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kk y y y x x k k y 故 所以121122121-==+ky y ky y ， 故)14)(11(]4))[(11(||11||22212212212k k y y y y k y y k AB -+=-++=-+= 014,011],41,0(1,21222≥->+∴∈∴≥kk k k Θ 25)21411()14)(11(||22222=-++≤-+=∴k kkk AB 故当25||,361411max 22==-=+AB k k k 时即 18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =，24y x ∴= 抛物线方程为: ；由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1； 对于椭圆，1222a MF MF =+==+；(222222211321a ab ac ∴=+∴==+∴=-=+∴= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：（2）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为：19．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,a b n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ·k PN =22ab .评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.（1）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a b y a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A 则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ ),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e a b a c b a c b a c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（2）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ ))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.。
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单元测试题-圆锥曲线数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ． 2D ．4 2. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b -=的离心率是（ ） A ．54B ．C ．32D ．3．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为A ．2B ．14C ．5D ．254、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）.2A .2B - .1C .1D -5、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x7、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ） A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->（实验班）已知定点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：① 4x +2y -1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是（ ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 8、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．332或2B ．332或2C ．3或2D ．3或29、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2-10、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．32（实验班做）如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .以上情况都有可能南海中学高二单元测试题-圆锥曲线数学（理）第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．20分） 11.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是 ；12. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是__________________。
沪教版高二下册数学高二下册同步测试曲线和方程
高二数学人教版<文>曲线和方程同步练习（答题时间：60分钟）一. 选择：1. 下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ） A. x y =与2x y =B. 0)2()1(22=++-y x 与0)2)(1(=+-y xC. xy 1=与1=xy D. 2lg x y =与x y lg 2=2. 方程x xy x =+2的曲线是（ ）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线3. 若点M 到两坐标轴的距离的积为2004，则点M 的轨迹方程是（ ） A. 2004=xy B. 2004-=xy C. 2004±=xy D.)0(2004>±=x xy4. 两曲线222=+y x ，1=xy 的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 到直线0534=-+y x 的距离为1的点的轨迹方程为（ ） A. 01034=-+y x 和034=+y x B. 01034=-+y x 和0134=++y x C. 01034=++y x 和034=+y x D. 01034=++y x 和0134=++y x6. 方程036422=-+-y x y x 表示的图形是（ ） A. 直线02=-y x B. 直线032=++y xC. 直线02=-y x 或直线032=++y xD. 直线02=+y x 和直线032=+-y x7. 动点P 到点（2,1-）的距离为3，则动点P 的轨迹方程是（ ）A. 9)2()1(22=-++y xB. 9)2()1(22=++-y xC. 3)2()1(22=-++y xD. 3)2()1(22=++-y x8. 直线032=-+y x 被曲线05=+xy 截得的线段长为（ ）A.25B. 5C.255 D. 257二. 填空：1. 点M 到x 轴的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点M 的轨迹方程是 。
一线教师精品高二数学北师大选修21同步精练：34曲线与方程第1课时 含答案
1．下列命题正确的是( )A ．方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝02．已知P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上的一点，P 2(x 2，y 2)是直线l 外一点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0表示的直线l ′与直线l 的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．斜交3．ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 满足的方程为 ( )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝04．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示的曲线是( )A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线 5．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP uuu r ＝OAu u u r ＋λAB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π7．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．8．若两直线x ＋y ＝3a ，x －y ＝a 的交点在方程x 2＋y 2＝1所表示的曲线上，则a ＝______.9．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．10．已知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，点P 也在曲线g (x ，y )＝0上，求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0上(λ∈R )．11．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交x 轴于点A ，l 2交y 轴于点B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．12．如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 满足的方程．参考答案1. 解析：选项A 中直线不过(0,2)点；选项B 中中线AO 是线段；选项C 中轨迹方程应是y ＝±5.故选项A ，B ，C 都错误，选D.答案：D2. 解析：∵点P 1(x 1，y 1)在直线l ：f (x ，y )＝0上，∴f (x 1，y 1)＝0.∴f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝f (x ，y )＋f (x 2，y 2)＝0，即l ′为f (x ，y )＝－f (x 2，y 2)．又∵点P 2(x 2，y 2)在直线l 外，则f (x 2，y 2)＝k ≠0.∴l ′为f (x ，y )＝－k ，即f (x ，y )＋k ＝0.答案：A3. 解析：设AC ，BD 交于点P ，∵点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－2.设B 为(x ，y )，则D 为(5－x ，－4－y )，∵点D 在直线3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，即3x －y －20＝0.答案：A4. 解析：∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0，∴(2x ＋1)2－(y －1)2＝0，∴2x ＋1＝±(y －1)，∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．答案：D5. 解析：令AB AB u u u r u u u r ＝e 1，AC ACu u u r u u u r ＝e 2，则由已知，得OP uuu r －OA u u u r ＝λ(e 1＋e 2)，即AP u u u r ＝λe 1＋λe 2.由平行四边形法则且得到的平行四边形是菱形，知AP 是∠BAC 的平分线，故选B.答案：B6. 解析：设P 为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.答案：B7. 解析：(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12， 所以α＝π3或5π3. 答案：π3或5π38. 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3a ，x －y ＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a .∴交点坐标为(2a ，a )．又该点在x 2＋y 2＝1上，∴(2a )2＋a 2＝1，∴a ＝±55. 答案：±559. 解析：由⊙O ：x 2＋y 2＝2，⊙O ′：(x －4)2＋y 2＝6，知两圆相离．设由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线与⊙O 和⊙O ′的切点分别为T ，Q ，则|PT |＝|PQ |，而|PT |2＝|PO |2－2，|PQ |2＝|PO ′|2－6，∴|PO |2－2＝|PO ′|2－6.设P (x ，y )，即得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，即x ＝32. 答案：x ＝3210. 证明：因为点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，所以f (x 0，y 0)＝0.又因为点P (x 0，y 0)也在曲线g (x ，y )＝0上，所以g (x 0，y 0)＝0.所以对λ∈R ，有f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ·0＝0，即点P (x 0，y 0)适合方程f (x ，y )＋λ·g (x ，y )＝0.所以点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．11.解法一：如下图，设点M的坐标为(x，y)．∵M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴P A⊥PB，∴k P A·k PB＝－1.而k P A＝4－02－2x＝21－x(x≠1)，k PB＝4－2y2－0＝2－y，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)．整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，也满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.解法二：如下图，设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM |＝(x －2)2＋(y －4)2，|AB |＝(2x )2＋(2y )2， ∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2， 化简，得x ＋2y －5＝0为所求轨迹方程．解法三：如图，设点M 的坐标为(x ，y )，连接PM ，OM .由l 1⊥l 2，知A ，O ，B ，P 四点共圆，AB 为圆的直径，M 为圆心，则有|OM |＝|MP |.∴x 2＋y 2＝(x －2)2＋(y －4)2.化简，得x ＋2y －5＝0为所求轨迹方程．12. 解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)． ∵点P 为线段QN 的中点，∴N 点坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又∵点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2，①又∵NQ ⊥l ，∴k NQ ＝2y －2y 02x －2x 0＝1， 即x 0－y 0＝x －y .②由①②得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又Q 在双曲线上， ∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1， 化简得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 满足的方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12.。
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《3.3 曲线与方程》同步练习
【选择题】
1．下列各点在方程x2+y2=25(y≥0)所表示的曲线上的是( )
(A)(–4，–3) (B)(–32，C)(–23，D)(3，–4)
2．已知坐标满足方程f(x，y)=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是( )
(A)曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)=0
(B)不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x，y)=0
(C)凡坐标不适合方程f(x，y)=0的点都不在曲线C上
(D)不在曲线C上的点的坐标有些适合方程f(x，y)=0
3．若命题“以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是正确的，则下列命题正确的是( )
(A)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解
(B)坐标不满足方程f(x，y)=0的点不在曲线C上
(C)方程f(x，y)=0的曲线是C
(D)不是曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)=0
4．下列方程表示相同曲线的是( )
(A)y=|x|与y (B)|y|=|x|与y2=x2
(C)y=x与y=D)x2+y2=0与xy=0
5．曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2–4x–5=0的公共点的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
6．曲线x–y2=0与曲线(x–1)2+y2=1的交点坐标是( )
(A)(0，0)或(1，1) (B)(1，1) 或(1，–1)
(C)(0，0)， (1，1) 或(1，–1) (D)(0，0)， (1，1) 或(–1，1)
7．等腰三角形底边的两个点是B(2，1)，C(0，–3)，则顶点A的轨迹方程是( )
(A)x–2y+1=0 (x≠0) (B)y=2x–1
(C)x+2y+1=0 (y≠1) (D)x+2y+1=0 (x≠1)
8．下列命题中：① 设A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是x+y–2=0；② 到原
点的距离等于5的动点的轨迹方程是y=A(–2，0)，B(2，0)，C(0，2)，则△ABC的边BC的中线方程是x=0；④ 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2–y2=0。
其中错误的命题有( )
(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个
【填空题】
9．已知方程mx2+ny–4=0的曲线经过点A(1，–2)和点B(–2，4)，则m=__________.
10．若直线y=mx+1与曲线x2+4y2=1恰有一个交点，则m的值是__________.
11．直线y=2x与曲线y2–x2=1交于A，B两点，则AB的长是__________.
12．设曲线y=x2和y=ax+5(a∈R)的交点的横坐标为α，β，则α+β=__________，αβ=___ _______.
13．若点M到x轴的距离与它到y轴的距离的比是1:3，则点M的轨迹方程是________.
14．在△ABC中，A(–2，0)，B(2，0)，顶点C在抛物线y=x2+1上移动，则△AB C的重心G的轨迹方程是____________________.
15．已知一条曲线在x轴上方，它上面的每一个点到点(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，则这条曲线的方程是______________________________.
16．已知M为x轴上的一个动点，一直线经过点A(2，3)且垂直于直线AM，交y轴于N，过M，N分别作两坐标轴的垂线交于点P，则P点的轨迹方程是____________________.
【解答题】
17.求方程y=ax2+bx+c的曲线经过原点的充要条件.
18. 求方程(x -a )2+(y -b )2=r 2的曲线经过原点的充要条件.
19.证明动点P (x ，y )到定点M (-a ，0)的距离等于a (a ＞0)的轨迹方程是0222=++ax y x
20.点M 到点A (4，0)与点B (-4，0)的距离的和为12，求点M 的轨迹方程.
21.求证：不论m 取任何实数，方程 (3m +4)x +(5-2m )y +7m -6=0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标.
参考答案
1—8、CBDBD CDA
9、2. 10、2
± 11 12、α+β=a ，αβ=-5. 13、x -3y =0或x +3y =0. 14、213.3
y x =+ 15、x 2=8y (x ≠0). 16、2x +3y -13=0.
17、c =0. 18、a 2+b 2=r 2. 19、略 20、22
0.3620
x y += 21、(-1，2).。