冲刺60天2012年高考文科数学解题策略(教案)专题一函数第四节函数的综合应用

函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现. 考试要求：（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 题型一 函数解析式问题例1 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为( ).A.10[]xy = B.310[]x y += C.410[]x y +=D.[510[]x y +=点拨 用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；解 法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B 法二：设10(09)x m αα=+≤≤,当06α≤≤时,33101010[][][]x xm m α++=+==, 当69α<≤时,33101010[][]1[]1x xm m α++=+=+=+,所以选B.例2设212()|1|,()65,f x x f x x x =-=-+-函数112212(),()()(),(),()()f x f x f x g x f x f x f x ≥⎧=⎨<⎩若方程有四个不同的实数解,若方程()g x a =有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_________.点拨在同一坐标系中画出1()f x 和2()f x 的图象，再根据题意画出()g x ，根据图象得出a 的取值范围.解在坐标系中作出1()f x 和2()f x 的图象，可知()g x 图象如图所示， 故a 的取值范围是34a <<.易错点 ⑴对例1中抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；（2）正确理解例2中解析式()g x 所表示的意义是解题的关键，如果讨论1()f x 和2()f x 的大小再得出()g x 的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错.变式与引申1： 设函数{2,0,()2,0.x bx c x f x x ++≤=>若(4)(0),(2)2f f f -=-=-,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（ ）A 1B 2C 3D 4 变式与引申2： 设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是 （请将你认为正确的序号都填上）（１）)(x f 是R 上的单调递减函数；（２）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立；（３）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解；题型二 函数的性质与图象例2 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=点拨 由(4)()f x f x -=-求出)(x f 的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出)(x f 在一个周期[-2,2]中的单调性，再根据对称性求值.解 因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)f x f x-=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[2,0]-上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．易错点 对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出)(x f 是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等错误.变式与引申3：函数xxy 24cos =的图像大致是 （ ）变式与引申4：设函数的集合21122{()log ()|,0,,1;1,0,1}P f x x a b a b ==++=-=-，平面上点的集合1122{(,)|,0,,1;1,0,1}Q x y x y ==-=-,则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 ( )A 4B 6C 8D 10 题型三 函数零点与二分法思想例4 设函数()|1|,()ln .f x x x m g x x =-+= （1）当1m >时,求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值；（2）记函数()()()p x f x g x =-，若函数()p x 有零点，求m 的取值范围.点拨 （1）这是一道含绝对值的函数题，对x 与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数()p x 有零点转化为方程ln |1|m x x x =--有解，用导数求出该函数的值域得出m 的取值范围.解 （1）当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -++=--++ ∴当12x =时，max 1()4f x m =+. 当(1,]x m ∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -+=-+-.∵函数()y f x =在(1,]m 上单调递增,∴2max ()()f x f m m ==,由214m m ≥+,得2140m m --≥,又1m >,解得12m +≥,∴当12m ≥时,2max ()f x m =,当121m +<<, max 14()f x m =+.（2）函数()p x 有零点即方程()()|1|ln 0f x g x x x x m -=--+=有解，得ln |1|m x x x =--.令()ln |1|h x x x x =--，当(0,1]x ∈时，2'1()ln ,()2110h x x x x h x x x=-+=+-≥>，所以函数()h x 在(0,1]x ∈上是增函数，()(1)0h x h ∴≤=； 当(1,)x ∈+∞时，2()lnh x x x x =-++,因为2121(1)(21()210x x x x h x x x x x-++-+'=-++==-<， 所以函数()h x 在(1,)x ∈+∞上是减函数，所以()(1)0h x h <=.所以方程ln |1|m x x x =--有解时0m ≤，即函数()p x 有零点时m 的取值范围是(,0]-∞.题型四 函数与导数问题例5 已知函数3()3()f x x ax x R =-∈．(1) 若直线0x y m ++=对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围； (2) 设()|()|g x f x =,[1,1]x ∈-,求()g x 的最大值()F a 的解析式．点拨 （1）求曲线()y f x =的切线的斜率就是对()f x 的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率1-；（2）()g x 是偶函数，只须求()g x 在[0,1]上最大值.解 （1） ∵2()333f x x a a '=-≥-,∴要使直线x y m ++=0对任意的m R ∈总不是曲线y =()f x 的切线，当且仅当13a -<-,∴13a <.（2）因3()|()||3|g x f x x ax ==-在[1,1]-上为偶函数,故只求在[0,1]上最大值, ①当0a ≤时,()0f x '≥,()f x 在[0,1]上单调递增且(0)0f =,∴()|()|()g x f x f x ==,∴()(1)13F a f a ==-.② 当0a >时,2()333(f x x a x x '=-=-.若当1≥,即1a ≥时,()0f x '≤,()f x 在[0,1]上单调递减,且(0)0f =,所以在[0,1]上()0f x ≤,所以()|()|()g x f x f x ==-,()f x -在[0,1]上单调递增，此时()(1)31F a f a =-=-.若当01<<,即01a <<时，()|()|g x f x =在上单调递减，在上单调递增.1︒当(1)130f a =-≤,即131a ≤<时，()|()|()g x f x f x ==-在上单调递增，在上单调递减，故()2F a f =-=2︒当(1)130f a =->,即130a <<时，（ⅰ）当(1)13f f a -≤=-即140a <≤时, ()(1)13F a f a ==-.（ⅱ）当(1)13f f a ->=-即1143a <<时，()2F a f =-=综上141413()()2(1)31(1)a a F a a a a ⎧-≤⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩.易错点 本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产生错误.变式与引申7： 已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又(1)0f '-=.（1）求a 的值；（2）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．本节主要考查 （1）函数的解析式和函数的图象，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质；（2）结合图象，直观地反映函数的性质，考查了数形结合的思想和基本的作图、运算、分析等解题能力；（3）零点和二分法体现了函数和方程的关系；（4）考查了用导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法.点评 （1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容．解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从数形结合的角度去认识，以形辅数，以数画形，化抽象为直观；（2）要充分利用导数这一工具，结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题；（4）重视计算能力，画图能力及分类讨论的思想方法.习题1—41. 已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,][)(x x g =为取整函数,0x 是函数2()ln xf x x =-的零点，则 0()g x 等于( ).A.1B.2C.3D.42. 设函数⎩⎨⎧≤-+>=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则43()f -的值为__________.3．已知函数.)2ln()(2c bx x x x f ++-+=在点x =1处的切线与直线0273=++y x 垂直，且f （－1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值. 4．已知函数2()(1)lg |2|f x x a x a =++++,2)(a a R ≠-∈（1）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析式；（2）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数； 命题Q ：函数)(x g 是减函数如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； 5．（2011年高考北京卷，文）已知函数()()xf x x k e =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】当10-=x 时，切线方程为y =9, 当10=x 时，切线方程为y =12x +9.由0)(/=x f 得012662=++-x x ，即有2,1=-=x x当1-=x 时，)(x f y =的切线18-=y ，当2=x 时， )(x f y =的切线方程为9=y ∴9=y 是公切线，又由12)(/=x f 得1212662=++-x x ∴0=x 或1=x ，当0=x 时)(x f y =的切线为1112-=x y ，当1=x 时)(x f y =的切线为1012-=x y ，∴912+=x y ，不是公切线 综上所述 0=k 时9=y 是两曲线的公切线习题1-41．B 00(2,3),() 2.x g x ∈∴= 2．52- 4411225()(1)1()1(1)1()2c o s 23333332f f f f f π-=-+-=--=-+-=-=-=-3．解：.221)(b x x x f +-+=' 与直线0273=++y x 垂直的直线的斜率为4,37)1(,37=='b f 得令，又f （－1）=ln （2－1）－1－4+c=0，所以c=54221)(+-+='x x x f ，由223,0)(=='x x f 得，当]223,0[∈x 时，f′（x ）≥ 0，f （x ）单调递增；当]3,223(∈x 时，f′（x ）≤ 0，f （x ）单调递减。