高考第一轮复习数学：8.2 双曲线

8.2 双曲线

定义

1.到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹

2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （＞1）的点的轨迹

方程

1. 22a x －22b

y =1，c =2

2b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）

2.22a y －22b

x =1，c =2

2b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 性质

H ：22

a x －22b

y =1（a ＞0，b ＞0）

1.范围：|x |≥a ，y ∈R

2.对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称

3.顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）

4.渐近线：y =

a b x ，y =－a b

x 5.离心率：e =a c

∈（1，+∞）

6.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c

a 2

7.焦半径：P （x ，y ）∈H ， P 在右支上， r 1=|PF 1|=ex +a ， r 2=|PF 2|=ex －a ； P 在左支上， r 1=|PF 1|=－（ex +a ）， r 2=|PF 2|=－（ex －a ）

对于焦点在y 轴上的双曲线22a y －22

b

x =1（a ＞0，b ＞0），其性质如何？焦半径公式如何

推导？

●点击双基

1.（2004年春季北京）双曲线42

x －9

2y =1的渐近线方程是

A.y =±23x

B.y =±32x

C.y =±49x

D.y =±9

4

x

解析：由双曲线方程可得焦点在x 轴上，a =2，b =3.

∴渐近线方程为y =±a

b x =±23x .

答案：A

2.过点（2，－2）且与双曲线2

2

x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是

A.22y －42x =1

B.42x －22y =1

C.42y －22x =1

D.22x －4

2y =1 解析：可设所求双曲线方程为2

2

x －y 2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.

答案：A

3.如果双曲线642

x －36

2y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距

离是

A.10

B.

77

32 C.27 D.5

32 解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=5

32

.

答案：D

4.已知圆C 过双曲线92

x －16

2y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆

心到双曲线中心的距离是____________.

解析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆

心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±

37

4）.易求它到中心的距离为3

16. 答案：

3

16

5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.

解析：利用双曲线的定义.

答案：92

x －16

2y =1（x ＞0）

●典例剖析

【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线92

x －16

2y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；

（2）与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.

剖析：设双曲线方程为22

a x －22b

y =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b

的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.

解法一：（1）设双曲线的方程为22

a x －22b

y =1，

a b =3

4

， 2

2

)3(a

-－22)32(b =1， 解得a 2=

4

9

，b 2=4. 所以双曲线的方程为4

92

x －42y =1.

（2）设双曲线方程为22

a x －22b

y =1.

由题意易求c =25. 又双曲线过点（32，2），

∴22)23(a －2

4

b =1.

又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8.

故所求双曲线的方程为122

x －8

2y =1.

解法二：（1）设所求双曲线方程为92

x －162y ＝λ（λ≠0），

将点（－3，23）代入得λ＝41

，

所以双曲线方程为92

x －162y ＝4

1.

（2）设双曲线方程为k x -162

－k

y +42＝1，

将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122

x －8

2y ＝1.

评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）.

【例2】 （2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.

剖析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|m |.知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、

由题意，得