排队论基础及模型(8)精品PPT课件

运筹学-第八章排队论

3
前言
排队的不一定是人，也可以是物：例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。
4
前言
上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。
盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标，又
使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客
排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所要
研究解决的问题。
11
排队系统的基本概念
一、排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2.排队规则；3.服务机构。
Ë ¿ ¹ Í Ô ´
2. 排队规则
这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。可以分为损失制、等待制、混合制3大类。 (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
Ë ¿ ¹ Í µ ½ ´ ï
Å ¶ Ó ½ á ¹
Å ¶ Ó ¹ æ Ô ò
· þ Î ñ ¹ æ Ô ò
þ Î · ñ » ú ¹

排队论

服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服务台的时间服务台容量：服务台可以同时服务的顾客数量排队系统状态：当前系统中顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO）或后进先出（LIFO）
时间等
02
排队系统的分类：单队列、多队列、
有限队列等
03
排队系统的分析方法：排队论模型、排队网络模型、仿真模型等
04
排队系统的优化方法：调整服务策略、优化资源
配置等
排队论的应用实例
服务业中的排队问题
01
04
交通排队：乘客等待公共交通的时间，影响乘客满意度和交通系统效率
03
医院排队：患者等待就诊的时间，影响患者满意度和医院服务质量
谢谢
Leabharlann Baidu
02
银行排队：客户等待办理业务的时间，影响客户满意度和银行效率
餐厅排队：顾客等待就餐的时间，影响顾客满意度和餐厅收入
交通系统中的排队问题
交通信号灯控制：根据车辆排队情况，动态调整信号灯时长
01
公共交通：根据乘客排队情况，调整发车频率和班次
03

排队论

间起点无关
熊燕华

Poisson过程
设Pn(t1，t2)为在时间区间[t1，t2)内有n个顾客到达的概率，如果Pn(t1，t2)满足下面三个条件：
1.
独立性（无后效性）：在不相重叠的时间区间内顾客到达情况是相互独立的，不会彼此影响；平稳性（与时间无关）：在[t, t+△t)内有一个顾客到达的概率与t 无关，但与区间长成正比，即 P1(t，t +△t)=λ△ t+o(△t)，其中λ是单位时间有一个顾客到达的概率(速率)；对于充分小的△t，在[t, t+△t)内有2个或以上的顾客到达的概率小到可以忽略，即
熊燕华

k阶爱尔朗分布
设T1……Tk为k个独立且服从参数为kμ的相同负指数分布的随机变量。则随机变量 T= T1+ T2 ……+Tk 服从k阶爱尔朗分布 k ( kt) k 1 k t 其概率密度为 b (t ) e t0
k
(k 1)！
E[T]=1/μ

Var[T]=1/(kμ2)
（4）
熊燕华
将
Pn=(λ /μ)nP0 （4）代入
n0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pn 1

且令ρ =λ /μ (<1，否则排队无限长)
n 1 n P0 ( ) P0 P0 1 n0 n0 1

《运筹学排队论》课件

M/D/1模型
总结词
一个服务器，具有有限容量
详细描述
M/D/1模型表示一个服务器，其中顾客到达服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的定长分布。
M/D/1模型
总结词
平均等待时间
详细描述
M/D/1模型的平均等待时间为W = λ / (μ - λ)。
M/D/1模型
总结词
平均队列长度
详细描述
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Th来自百度文库ory）是运筹学的一个重要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
M/D/1模型的平均队列长度为L = λ / (μ - λ)。
总结词
服务台繁忙概率
详细描述
M/D/1模型的服务台繁忙概率为B = 1 - 1 / (μ / λ)。
M/M/n模型
总结词
多个服务器，先到先服务
详细描述
M/M/n模型表示n个服务器，其中顾客到达服从参数为λ的泊松分布，服务时间服从参数为μ的指数分布。
2
排队系统的出现源于实际生活中的各种服务场景，如电话系统、银行排队、计算机网络等。

排队理论模型ppt课件

pn1(t )
( ) pn(t)
pn1(t )
dp0(
t
)
dt
p0(t)
p1(t)
n1
(9.6)
当 1 时，稳态解满足
pn1 pn1 ( ) pn 0 n 1 p0 p1 0
求解(9.7)式差分方程，得
(4)结论
p
n
( )n
p0
p0 1
平均队长
Ls
3.排队系统的主要指标研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计
服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中排队等待的顾客数，其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
研究X(t)的分布模型
令
Pn(t) P{X (t) n}(显然Pn(t) 0, pn(t) 1)
j0
当 pn(t)依赖于t时，称 {pn(t) ,n 0,1,2 }是瞬时解
如果 lim t
pn(t)
pn则称pn , n
0,1,
是稳定解。
此系统的状态转移图
0
1
2 ………
n-1 n n+1 … … …

排队论基础及模型(8).共87页文档

排队论基础及模型(8).Baidu Nhomakorabea
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君何能尔？心远地自偏。 25、人生归有道，衣食固其端。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

运筹学第08章

当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为 t 时，若在这个时间内未被击落，就不可能再被击落了。
注意：损失制和等待制可看成是混合
制的特殊情形，如记 s 为系统中服务台的个数，则当 K = s 时，混合制即成为损失制；当K = ∞ 时，混合制即成为等待制。
3) 服务台情况
服务台可从以下三方面来描述： ① 服务台数量及构成形式（图8-2~8-6） •单队——单服务台式； •单队——多服务台并联式； •多队——多服务台并联式； •单队——多服务台串联式； •单队——多服务台并串联混合式, •多队——多服务台并串联混合式等等。
25
1.3 排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类， D ． G ． Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛采用的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式： A/B/C/D/E/F 各符号的意义为：
5
排队的不一定是人，也可以是物：
• • • • • 通讯卫星与地面待传递的信息；生产线上的原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。
1.1 排队系统特征与基本过程
1) 排队问题的共同特征 ① 有要求某种服务的人或物。排队论里把要求服务的对象统称为“顾客” ② 有提供服务的人或机构。把提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员” ③ 顾客的到达、服务的时间至少有一个是随机的，服从某种分布。

排队论基础及模型

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轻松学运筹系列八-排队论

Ws
1
❖ 1λ-Pe=0=λλ(1e-/PμN), ❖ 有λ效e—到单达位的时顾间客内数平. 均
❖ 返回
顾客的到达过程
到达过程
客观的
控制的
恒定到达率的随机到达
变动到达率的随机到达
由设施控制
顾客控制
接受/拒绝
定价
预约
退出排队不加入排队
❖ 顾客源的有限或无限 ❖ 顾客单个到达或成批到达
❖ 顾客相继到达的间隔时间
返回
排队和排队规则
❖ 排队
损失制和等待制排队系统
❖ 服务台被占用时新到的顾客将离开
平均逗留时间Ws；平均等待时间Wq； ❖ 反映工作负荷的指标忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；闲期— 系统利用率（服务强度）ρ
❖ 顾客的平均服务时间/顾客相继到达的平均间隔时间= λ/ μ 返回
到达间隔时间与服务时间的分布
❖ 经验分布 ❖ 泊松分布 ❖ 负指数分布 ❖ 爱尔朗分布
P(x k) k e k 0,1,2 0
Pn 1 (t )
n 0 n 1
排队系统的过渡状态与稳定状态
dPn (t) 0 dt
过渡
dPn (t) 0 dt
稳定
稳定状态：系统中有n个顾客的概率不随时间t而变化。
对于任何一个状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和离开该状态的平均次数应该相等。

管理运筹学排队论课件

详细描述
总结词
G/G/1模型表示顾客到达和服务时间都遵循一般分布的排队模型，其中"G"表示一般分布。
详细描述
G/G/1模型中，顾客到达和服务时间都是随机的，顾客到达和服务时间分布的参数也是未知的。该模型适用于各种实际情况，能够反映更复杂的等待时间、队列长度等指标。
M/M/1模型、M/M/c模型和G/G/1模型各有优缺点，适用于不同的情况。
总结词
M/M/1模型和M/M/c模型适用于顾客到达率和服务率较高的情况，能够反映等待时间、队列长度等指标，但不适用于服务时间和服务台数变化较大的情况。G/G/1模型适用于各种实际情况，能够反映更复杂的等待时间、队列长度等指标，但参数估计较为复杂。在实际应用中，应根据具体情况选择合适的排队模型。
详细描述
管理运筹学排队论课件
目录
排队论基础排队模型排队问题的求解方法排队系统的优化排队论的应用案例分析
01
CHAPTER
排队论基础
研究顾客到达排队系统的规律。
输入过程
规定顾客如何排队等待服务。
排队规则
提供服务的设施，如售票窗口、电话线路等。
服务机构
研究顾客离开排队系统的规律。
离去过程
03
混合制系统
顾客到达时若有空闲服务台则立即接受服务，否则排队等待或离去，如医院门诊。
详细描述
超市收银台的排队问题涉及到顾客到达时间、服务时间、服务台数量等参数。通过排队论，可以分析超市收银台的效率和服务质量，优化收银台数量和服务流程，提高顾客满意度。

运筹学第8章排队论

第八章排队论

排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。

对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。

排队论是优化理论的重要分支。排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。

第一节排队论的基本概念及所研究的问题

一、基本概念

（一）排队系统的组成

一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。

1．输入过程

输入过程指顾客按什么样的规律到达。包括如下三个方面的内容：

（1）顾客总体（顾客源）指可能到达服务机构的顾客总数。顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。

（2）顾客到达的类型指顾客的到达是单个的还是成批的；

（3）顾客相继到达的时间间隔分布即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；

排队论8

k
k
k 1
/2 /3
0
1
2
/(k-1) /k /(k+1) /(k+2)
k-1
k k+1
23
5 可变输入率的M/M/1排队模型
平均输入率
k
pk
k 0
平均服务强度
损失概率，系统内有k个顾客时，损失概率为(1-k)
P损 (1 k ) pk k 0
24
6 具有不耐烦顾客的M/M/1 排队模型
1）一辆 2）三辆 3）五辆
（包括正在冲洗的一辆），比较由于等待场地不足而转向其他冲洗站的汽车占要冲洗汽车的比例
35
课后习题
29、某车间有5台机器，每台机器连续运转时间为指数分布，平均连续运转15分钟。设有一个修理工，每次修理时间为指数分布，平均每次修理需12分钟，试求：
1）修理工空闲的时间 2）5台机器同时出故障的概率 3）出故障机器的平均台数 4）等待修理的平均台数 5）机器的平均停机时间 6）机器的平均修理时间
果加以解释
32
课后习题
1、病人以平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，若每一病人平均诊断需6分钟，（假定病人到达和诊断时间均为负指数分布），试求：
1）开诊时间内候诊室满员所占的时间比例 2）分别求出有1个病人、有2个病人在候诊室外排队的概率。

第8章排队论

注：要求服务的对象统称为顾客，提供服务的统称为服务台，顾客和服务台构成一个排队系统。
排队系统及其特征
排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是物。
排队系统服务机构
顾客源
顾客到来
队列
顾客离去
3
常见排队系统结构图
1
单队 —— 单服务台系统
1
… 1 2
S
单队——多服务台（串联）系统
基本排队模型－统计平稳条件下的记号
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客人数即是平均到达率） n = 系统有n个顾客时的平均服务率

= 对任何n都是常数的平均到达率.
= 对任何n都是常数的平均服务率.
1/ = 期望到达间隔时间 1/ = 期望服务时间 = 服务强度，或称使用因子, /(s)
3. P(T t t / T t ) t , for small Δt.
P(T t Δt/T t) More preci sely,lim λ. Δt 0 Δt
最简单流（普阿松流）
Poisson 过程（又称为 Poisson 流、最简单流）是排队论中最为常见的一种描述顾客到达规律的特殊随机过程。定义：设 N(t)为时间 0,t 内达到系统的顾客数，如果满足下面三个条件： 1. 平稳性：在 t ， t + t 内有一个顾客达到的概率为 t + ( t ) ； 2. 独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立； 3. 普通性：在 t , t + t 内多于一个顾客达到的概率为 ( t ) 。则称｛N（t），t ≥0 ｝为Poisson 过程。

第8章_交通流排队模型

(5)收费站里的平均停留时间
W L / 3 / 9(分) 60 / （秒） 20秒 3
(6)平均等待时间
Wq Lq / 2.25/ 9(分) 15秒
二、扩建成双通道的场合
平均到达车辆数 18辆/分
服务时间 5秒/辆
试求： (1)立即接受服务的概率; (2)收费站里的平均车辆数;(3)平均等待车辆数;(4)平均停留时间;(5)平均等待时间。解： M/M/2模型，S=2
(8.4)
iii. n≥S的场合：
与ii.相同，不同之处如下： • • 继续服务的概率服务结束的概率
S t 1 St
P (t t ) (1 t )(1 St ) P (t ) n n (1 t )StP 1 (t ) n
t (1 St ) P 1 (t ) n 1 ( S )t Pn (t ) StPn1 (t ) tPn1 (t )
L npn /(1 ) Lq (n 1) pn L 2 /(1 )
n 0 n 0

(8.12)
2. S≥2(2个通道以上)的场合同样，有 dP (t ) / dt 0, Pn (t ) pn 0
p0 p1 0 ( n ) pn npn1 pn1 0, (n S ) ( n ) pn npn1 pn1 0, (n S ) S S n1 n n1

排队论(讲稿)PPT课件

概况2
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概况3
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第12章排队论
第1节基本概念第2节到达间隔的分布和服务时间的分布第3节单服务台负指数分布排队系统的分析第4节多服务台负指数分布排队系统的分析第5节一般服务时间M/G/1模型第6节经济分析——系统的最优化第7节分析排队系统的随机模拟法
22
2.1 经验分布
实际中测定相继到达时间间隔的方法 ❖ 以τi表示第i号顾客到达的时刻，以si表示对它的服务时间，这样可算出相
继到达的间隔时间ti (ti=τi+1-τi)和排队等待时间wi，它们的关系如下：
相继到达时间间隔 ti i
等待时间 wi1
wi si ti,当wi si ti 0 0, 当wi si ti 0
23
清华大学出版社
2.1 经验分布
❖ 例2 某服务机构是单服务台，先到先服务，对41个顾客记录到达时刻τ
和服务时间s(单位为分钟)如表12-4，在表中以第1号顾客到达时刻为0，对所有顾客的全部服务时间为127分钟。将原始记录整理成下表。
到达间隔/分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10以上合计
74
表12-2。
4
71
将表12-2整理成船舶到达数 5