一元二次方程的整数根 课后练习一及详解
2019中考数学专题训练 一元二次方程的根(含解析)
一元二次方程的根一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1D.2.一元二次方程x2﹣1=0的根是（）A. 1B. ﹣1C.D. ±13.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）A. 4B. 0或2C. 1D. －14.方程的解是( )A. B. C.， D. ，5.关于x的一元二次方程的一个根为2，则的值是（）A.B.C.D.6.一元二次方程ax2+x+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是（）A. -2B.C. -4D. 27.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣28.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A. 2005 B . 2003 C.﹣2005 D. 4 0109.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（）A.B. 7C. 5D. 1210.若一元二次方程有一个根为，则下列等式成立的是（）A. B.C.D.11.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0有一个根为0，则m的值（）A. 0B. 1或2C. 1D. 212.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A. 若x2=4，则x=2B. 若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C. 方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1 D. 若分式的值为零，则x=1，213.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A. 1B. 0C. ﹣1D. 2二、填空题14.若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为________.15.若方程x2+mx+1=0的一个根是2，则m=________．16.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是________ ．17.若x=﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8=0的一个根，则a=________．18.方程=﹣x的根是________．19.已知关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是________．20.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是________三、计算题21.先化简，再求值，其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．22.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．23.先化简，再求值：÷（a﹣1+ ），其中a是方程x2﹣x=6的根．24.已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值．四、解答题25.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的一根为2，求方程的另一根及k的值．26.已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．27.如图△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm；△DEF中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）.在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）.（1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD=x , BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.（2）请你进一步研究如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？问题②：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD=22.5°，如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？五、综合题28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．29.关于x的一元二次方程x2﹣6x+p2﹣2p+5=0的一个根为2．（1）求p值．（2）求方程的另一根．答案解析部分一、单选题1.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（）A. 1B. -1C. 1或-1D.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=0代入一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0即可得到关于a的方程，求得a的值，再结合二次项系数不为0即可求得结果。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)
一元二次方程的整数根1.使一元二次方程x2+3x+m=0有整数根的非负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满足(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的方程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则方程较大根与较小根的比等于________.5.已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的一元二方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满足条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的方程((m2−1)x2−3(3m−1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满足c=2√3，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的面积．8.当k为何整数时，方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的一元二次方程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解．11.设关于x的一元二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的方程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．15.已知一元二次方程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，一元二次方程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的方程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x 1•x 2=c a =18m 2−1，∴18m 2−1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18， 又m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代入两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是方程x 2-4x +2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直角三角形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2−√2)＜2√3，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三角形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的面积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3用求根公式可得：x 1=6k−1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原方程变形得(x −2n)(x −n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原方程化为{x −2n =±2,x −n =±3或{x −2n =±3,x −n =±2或{x −2n =±6,x −n =±1或{x −2n =±1,x −n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原方程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠−2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2⩾1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代入a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．又∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，方程至少有一个整数解. 11.解：原方程可化为[(k −4)x ＋(k −2)][(k −2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2−6k ＋8=(k −4)(k −2)≠0，∴x 1=−k−2k−4=−1−2k−4，x 2=−k ＋2k−2=−1−4k−2， ∴k −4=−2x 1＋1，k −2=−4x 2＋1(x 1≠−1,x 2≠−1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=−2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=−2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=−2或{x 1=2,x 2＋3=−1.或{x 1=−2,x 2=−2或{x 1=1,x 2=−5或{x 1=2,x 2=−4． ∴k =6或3或103.经检验均满足题意．12.解：设方程x 2−mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1⋅x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，又∵(x 1−1)(x 2−1)+(m −1)(n −1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1−[mn −(m +n )+1]=(m +n )−mn +1+[mn −(m +n )+1]=2， 其中(x 1−1)(x 2−1)，m −1，n −1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=m +n −mn +1,(m −1)(n −1)=mn −(m +n )+1，∴{m +n −mn +1=0mn −(m +n)+1=2或{m +n −mn +1=1mn −(m +n )+1=1或{m +n −mn +1=2mn −(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵方程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是一个完全平方数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设方程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中 α，β为整数，且α≤β，则方程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得 αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=−3β+2=−1.解得{α=−1β=1或{α=−5β=−3.又 ∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2， 或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6， ∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设方程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=−a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则方程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵方程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p −2=1−4x ⑥，{p +2=x p −2=(1−4x)x ⑦，{p +2=1−4x p −2=x2⑧，{p +2=(1−4x)x p −2=x ⑨， 由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代入③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6， 把x 2=1代入③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2， 对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =−1b =0或{a =−3b =2或{a =5b =6.。
八年级数学竞赛培优 一元二次方程的整数根 含解析
一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。
一元二次方程的解法 课后练习一及详解
重难点易错点解析 题一：
答案： a 5. 详解：方程 (a 5)x 2 2ax 1既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未
知数的最高次数是 2，因此，二次项系数 a 5 0,故 a 5.
金题精讲
题一： 答案：D。 详解：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可 由 x(x2)+(x2)=0，得(x2)(x+1)=0，∴x2=0 或 x+1=0，∴x =12，x =2 1。故选 D。
设 BF=x，那么 AF=x+8，AD=16 x
那么矩形的面积 S=(x+8)(16x) = x2+8x+128
= (x4)2+144
∴当 x=4 时，面积 S 的最大值是 144．
∴按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是 144m 2
详解：（1）设 DE=x，那么面积 S=x(20
x)= 2
x2 +20x = 2
1 2Βιβλιοθήκη (x-20)2+200
∴当 DE=20m 时，矩形的面积最大是 200 m 2
（2）讨论①设
DE=x，那么面积
S=x(20
x 2
)（0＜x≤8）
=
1 2
(x20)2+200
∴ 当 DE=8m 时，矩形的面积最大是 128m2 ②延长 AB 至点 F，作如图所示的矩形花圃 ．
满分冲刺
题一：
答案： x1 3, x2 4
.
详解： (x 3)[4(x 3) x] 0, (x 3)(3x 12) 0, x 3 0 或 3x 12 0,
一元二次方程的整数根问题专题练习(解析版)
一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k 为正整数，且关于k 的方程（k 2-1）x 2-6（3k -1）x +72=0有两个相异正整数根，k 的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A解答：原方程变形、因式分解为（k +1）（k -1）x 2-6（3k -1）x +72=0，[（k +1）x -12][（k -1）x -6]=0．即x 1=121k +，x 2=61k -． 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11； 由61k -为正整数得k =2，3，4，7． ∴k =2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k =3时，x 1=x 2=3，与题目不符，∴只有k =2为所求．二、填空题2、已知k 为整数，且关于x 的方程（k 2-1）x 2-3（3k -1）x +18=0有两个不相等的正整数根，则k 的值为______．答案：2解答：原方程化为：[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0．∴x 1=61k +，x 2=31k -． 因方程的根为正整数，因而推知k =2，此时x 1=2，x 2=3．3、已知12＜m ＜40，且关于x 的二次方程x 2-2（m +1）x +m 2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．答案：24解答：由原方程有整数解可知，Δ=4（m +1）2-4m 2=4（2m +1）必然是一个完全平方数． 又12＜m ＜40可知，25＜2m +1＜81，又2m +1为奇数，故2m +1=49，m =24．此时原方程的两个实数根为：x =212m +14502=±，不妨设x 1＞x 2，则x 1=32，x 2=18．故m=244、当关于x 的方程x 2-（m -1）x +m +1=0的两根都是整数，则整数m 的值为______． 答案：7或-1解答：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得x 1+x 2=m -1，x 1·x 2=m +1，消去m ，可得x 1x 2-x 2-x 1=2，（x 1-1）（x 2-1）=3=1×3=-1×（-3），则有121113x x -=⎧⎨-=⎩.或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩.， 解得：1224x x =⎧⎨=⎩.或1202x x =⎧⎨=-⎩.， 由此x 1·x 2=8或0，∴m =7或m =-1．三、解答题5、当整数m 取何值时，关于x 的方程（m -1）x 2-（2m +1）x +1=0有整数根．答案：-1．解答：当m =1时，-3x +1=0，x =13（舍）． 当m ≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m 2+4m +1-4m +4=4m 2+5，设4m 2+5=n 2（n 为正整数），4m 2-n 2=-5，则（2m +n ）（2m -n ）=-5，2521m n m n +=⎧⎨-=-⎩或2125m n m n +=⎧⎨-=-⎩， 则m =-1．6、已知方程（a 2-1）x 2-2（5a +1）x +24=0有两个不相等的负整数根，求整数a 的值． 答案：a =-2．解答：由题意得：2100a ⎧-≠⎨∆⎩＞， Δ=[2（5a +1）]2-4×24（a 2-1）=4（a+5）2＞0，∴a≠±1，a≠-5，由求根公式得：x1=61a-，x2=41a+，∵方程有两个不相等的负整数根，∴a-1=-1，-2，-3，-6，a+1=-1，-2，-4，即：a=0，-1，-2，-5，a=-2，-3，-5，∴a=-2或-5．∴a=-2．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．答案：m=-1，0，1．解答：当m=0时，x=-1，当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=1m，∵xm为整数，∴m=±1，综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．答案：0或1或2或-2．解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，有整数根x=1，满足题意．当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，[mx-（2m+2）]（x-1）=0，mx-（2m+2）=0或a-1=0，∴x1=22mm+=2+2m，x2=1．又∵该方程的根为正整数且m为整数，∴2m为大于-2的整数，∴m=1或2或-2．则m 的值为0或1或2或-2．9、已知：关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0（m ＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？答案：（1）证明见解答．（2）m =2或m =3．解答：（1）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0．由求根公式解得：x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()2221m m --=1． x 1=11m m +-=1+21m - ∵方程的两个根都为正整数，m 是整数且m ＞1． ∴21m -是正整数． ∴m -1=1或m -1=2．∴m =2或m =3．10、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．答案：（1）证明见解答．（2）当m =-1时，原方程的根是整数．解答：（1）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．（2）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．解关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0，得x =3m --．要使原方程的根是整数，必须使得（m +1）2+4是完全平方数．设（m +1）2+4=a 2，则（a +m +1）（a -m -1）=4．∵a +m +1和a -m -1的奇偶性相同，可得1212a m a m ++=⎧⎨--=⎩.或1212a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩．解得21a m =⎧⎨=-⎩.或21a m =-⎧⎨=-⎩．将m =-1代入x =3m --±，得x 1=-2，x 2=0符合题意．∴当m =-1时，原方程的根是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x 2-（m +2）x +4m =0，试求m 的值及此直角三角形的三边长．答案：当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13；当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．解答：由题意得，Δ=m 2-12m +4，∴x =()22m +±． ∵该方程的根均为整数，∴m 2-12m +4必为平方数，令m 2-12m +4=n 2（n 为正整数），整理得（m -6）2-n 2=32，∴（m -6+n ）（m -6-n ）=32，∴m -6+n 与m -6-n 同奇同偶．因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩， 解得157m n =⎧⎨=⎩或122m n =⎧⎨=⎩，当157m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-17x +60=0， 解得x =5或x =12，∴即当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13．当122m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-14x +48=0， 解得x =6或x =8，∴即当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．12、已知关于x 的方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0．（1）求证：无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）当整数m 取何值时，方程有两个整数根．答案：（1）证明见解答．（2）2或0或3或-1．解答：（1）①当m -1=0即m =1时，方程化成-2x +2=0，解得x =1，②当m -1≠0即m ≠1时，方程一元二次方程，a =m -1，b =-2m ，c =m +1，∴b 2-4ac =（-2m ）2-4（m -1）（m +1）=4m 2-4m 2+4=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，∴综上所述，无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）x =()221m m ±-=()2221m m ±-=11m m±-， ∴x 1=1，x 2=11m m +-， 而11m m +-=121m m -+-=1+21m -， ∴当m -1=±1，±2时，x 2为整数，即m =2或0或3或-1，方程有两个整数根．13、已知：关于x 的一元二次方程mx 2-3（m -1）x +2m -3=0．（1）求证：不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m 的取值范围．（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m ＜-3．（3）m =-3，-1，3．解答：（1）解法一：由题意，得()()2091423m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---⎪⎩， ∴Δ=m 2-6m +9=（m -3）2≥0，∴不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．解法二：原方程因式分解得（x -1）[mx -（2m -3）]=0，∵m ≠0，∴原方程必有两个实根．（2）由（1）可知，方程两根为x 1=1，x 2=23m m-， ∴2＜23m m -＜3，化简得2＜2-3m＜3， 由2＜2-3m可知，m ＜0； 由2-3m ＜3可知，m ＜-3； ∴综上所述，m ＜-3．（3）∵m 为整数，x 2=2-3m 为正整数， ∴m =-3，-1，3．14、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m -4=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．答案：（1）m ＜52． （2）2．解答：（1）由题意得：b 2-4ac =4-4（2m -4）=20-8m ＞0，解得：m ＜52．（2）由m 为正整数，可知m =1或2，求根公式得x =-1∵方程的根为整数，∴5-2m 为完全平方数，则m 的值为2．15、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．答案：（1）m ＞-1．（2）当m =1时，x 1=0，x 2=-4．解答：（1）Δ=[2（m +1）]2-4（m 2-1）=8m +8．∵方程有两个不相等的实数根，∴8m +8＞0，∴m ＞-1．（2）在（1）的条件下，当m =1时，该方程可化为x 2+4x =0．∴两个整数根为x 1=0，x 2=-4．16、已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m -3）x +m 2-5m +2=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若10＜m ＜21，是否存在整数m ，使方程有两个整数根，若存在求出m 的值；若不存在请说明理由．答案：（1）m ＞-18． （2）m =15．解答：（1）Δ=[-（2m -3）]2-4（m 2-5m +2）=8m +1＞0，得m ＞-18． （2）存在整数m ，使方程有两个整数根，原因：方程解为x =()23m -，∵10＜m＜21，m为整数，∴81＜8m+1＜169且为整数，∴913，又∵方程有两个整数根，或11或12，∴m=998或15或118，∴m=15，当m=15时，x1=19；x2=8符合题意．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．答案：m=±1或m=±3．解答：将方程2x2-5mx+2m2=5左边因式分解可得（2x-m）（x-2m）=5故2521x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2125x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2521x mx m-=-⎧⎨-=-⎩，或2125x mx m-=-⎧⎨-=-⎩解得31311313 x x x xm m m m==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．答案：k=1．解答：①当k=0时，x-1=0，x=1．②当k≠0时，Δ=（k+1）2-4k（k-1）=-3k2+6k+1＞0由根与系数关系得：x1+x2=-1kk+=-1-1k，x1·x2=1kk-=1-1k，∵根都是整数，∴k=±1，检验：k=-1不符合（舍）．综上所述，k=1．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k 的值．答案：（1）k =0，±2．（2）k =0，±2，±12． 解答：（1）[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0，x 1=61k +，x 2=31k -， ∵方程有两个整数根，即k +1=±1，±2，±3，±6，k -1=±1，±3，∴k =0，±2．（2）由x 1=61k +，x 2=31k -得k +1=16x ，k -1=23x ， 化简得x 1=3-2932x +， ∴2x 2+3=±1，±3，±9，x 2=-2，-1，0，-3，3，-6，∴k =0，±2，±12． 20、已知一元二次方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0，且4k +1是边长为7的菱形对角线的长，求k 取什么整数值时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数？答案：k =1时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数．解答：∵（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0为一元二次方程，∴2k -3≠0，∴k ≠32． ∵4k +1是边长为7的菱形对角线的长，∴0＜4k +1＜14，∴-14＜k ＜134． ∵Δ=（4k ）2-4（2k -3）（2k -5）=64k -60≥0，∴k ≥1516， ∴1516≤k ＜134， ∵k 为整数，∴k =1或2或3．当k =1时，Δ=4，方程为-x 2+4x -3=0，根为x 1=1，x 2=3，符合题意；当k=2时，Δ=68，不符合题意；当k=3时，Δ=132，不符合题意．∴k=1．。
一元二次方程的整数根 课后练习一及详解
∵ x 1, x 2是一元二次方程 (a 6)x2 2ax a 0 的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知， x 1x 2
a a
6, x1
x2
2a a6
；
∵一元二次方程 (a 6)x2 2ax a 0 有两个实数根，
∴△=4a2－4（a－6）•a≥0，且 a6≠0，解得，a≥0，且 a≠6．
a a 6
2a a6
1
6 a
6，
∴当 (x 11)(x 21) 为负整数时，a－6＞0，且 a－6 是 6 的约数．
∴a－6=6，a－6=3，a－6= 2，a－6=1．∴a=12，9，8，7．
∴使 (x 11)(x 21) 为负整数的实数 a 的整数值有 12 ，9，8，7．
题二：
由 x1
x1 x2
4
x2 得 x1 x2
4
x1
x2
，即
a
a
6
4
2a a6．
解得，a=24＞0， 且 a－6≠0．
∴存在实数 a，使 x 1 x 1x 2 4 x 2成立，a 的值是 24．
（2）∵ (x 11)(x 21) x 1 x 2 x 1 x 21
答案：方程 x 2 2(2k 1)x 4k(k 1) 3 0 都没有实数根．
详解：∵b 2 4ac [2(2k 1)]2 4[4k(k 1) 3]
4(4k 2 4k 1) 4(4k 2 4k 3)
4(4k 2 4k 1 4k 2 4k 3) 4 (2) 8 0,
金题精讲
题一：
八年级数学竞赛培优 一元二次方程的整数根 含解析
一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有整数根的非负整数m 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．设n 是正整数，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根，则n ＝____．3．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有整数根，则负整数k 的值为____．4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2k －4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0只有正整数根，试求非负整数a 的值．【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为______．10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为____．11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为____．13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值．一元二次方程的整数根【思维入门】1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为(C) A．0B．1C．2D．32．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__．【解析】一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根⇔(－4)2－4n≥0，则n≤4.又∵n是正整数，∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根．所以n＝3或4.3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__．【解析】根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0，解得k≤2且k≠1，x＝1±2－kk－1.因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根．4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k.∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0.∴k<5 2.(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k为1或2，∴x＝－1±5－2k.∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数．当k＝1时，5－2k＝3；当k＝2时，5－2k＝1.∴k＝2.5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值．解：依题意知，关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0一定有实根，∴Δ≥0，即4－4a ≥0.解得a ≤1.∵a 是非负整数，∴a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＋1＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝1.∵1是正整数，∴a ＝1符合题意；当a ＝0时，关于x 的一元二次方程为x 2－2x ＝0，解这个方程得x 2＝2，x 1＝0，∵0不是正整数，∴a ＝0不符合题意，故舍去．即所求的非负整数a ＝1.【思维拓展】6．已知k 为自然数，关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋10＝k (k －1)有一个正整数根，求此正整数根及k .解：将原方程化为x 2＋x ＋10－k (k －1)＝0.∵Δ＝1－4[10－k (k －1)]＝(2k －1)2－40，∴设(2k －1)2－40＝m 2(m ＞0)，则(2k －1)2－m 2＝40，∴(2k －1＋m )·(2k －1－m )＝40，∵2k －1＋m 与2k －1－m 均为整数，而40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，考虑到2k －1＋m 与2k －1－m 奇偶性相同，且2k －1＋m ＞2k －1－m ，故有⎩⎨⎧2k －1＋m ＝20，2k －1－m ＝2，或⎩⎨⎧2k －1＋m ＝10，2k －1－m ＝4，分别解得⎩⎨⎧k ＝6，m ＝9，或⎩⎨⎧k ＝4，m ＝3.分别代入原方程，得x ＝－1＋92＝4或x ＝－1＋32＝1，故当k ＝6时，正整数根为4，当k ＝4时，正整数根为1.7．若一元二次方程ax 2＋2(2a －1)x ＋4(a －3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a 的值．解：将原方程中的x 视作已知数，a 视作元，整理成一个关于a 的一元一次方程，即a (x ＋2)2＝2(x ＋6)．∵x ＋2≠0，∴a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2.又∵a 为正整数，∴2（x ＋6）（x ＋2）2≥1，解得－4≤x ≤2.把x ＝－4，－3－1，0，1，2代入到a ＝2（x ＋6）（x ＋2）2中，得a ＝1，6，10，3，149，1.∴正整数a 的值为1，3，6，10.【思维升华】8．方程x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )的整数解有 ( D )A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【解析】 ∵x 2＋xy ＋y 2＝3(x ＋y )，∴(x －3)2＋(y －3)2＋(x ＋y )2＝18.则符合条件的整数解为⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.9．已知正整数a ，b ，c 满足a ＋b 2－2c －2＝0，3a 2－8b ＋c ＝0，则abc 的最大值为__2__013__．【解析】 先消去c ，再配方算.6a 2＋a ＋b 2－16b ＝2⇒6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1122＋(b －8)2＝66＋124. 观察易知上式中a ≤3，故a ＝1，2，3，经试算，a ＝1，2时，b 均不是整数；当a ＝3时，b ＝5，11，于是有(a ，b ，c )＝(3，5，13)，(3，11，61)，故abc max ＝3×11×61＝2 013.10．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9的五个不同的整数，若b是关于x 的方程()x －a 1()x －a 2()x －a 3()x －a 4()x －a 5＝2 009的整数根，则b 的值为__10__．【解析】 因为(b －a 1)(b －a 2)(b －a 3)(b －a 4)(b －a 5)＝2 009，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是五个不同的整数，所以b －a 1，b －a 2，b －a 3，b －a 4，b －a 5也是五个不同的整数．又因为2 009＝1×()－1×7×()－7×41，所以b －a 1＋b －a 2＋b －a 3＋b －a 4＋b －a 5＝41.由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝9，可得b ＝10.11． 方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，若存在实数a ，b 使得x 31＋x 32＝x 21＋x 22＝x 1＋x 2，则我们就称这样的两个根()x 1，x 2为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有__3__组．参考公式：a 3＋b 3＝()a ＋b ⎣⎡⎦⎤()a ＋b 2－3ab 【解析】 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .再由题中关系式得x 31＋x 32＝()x 1＋x 2⎣⎡⎦⎤()x 1＋x 22－3x 1x 2＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝x 1＋x 2，即－a ()a 2－3b ＝a 2－2b ＝－a .(1)若a ＝0，则b ＝0.(2)若a ≠0，则a 2－3b ＝1，a 2－2b ＋a ＝0，于是a ＋b ＝－1，()1＋b 2－3b －1＝0，b ()b －1＝0.所以b ＝0或b ＝1，即有如下三组a ，b 的值满足条件⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1，则与之对应的两根x 1，x 2为⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝0，或⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝1，或⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝1，共三组． 12．先阅读材料：若整数a 是整系数方程x 3＋px 2＋qx ＋r ＝0的解，则－r ＝a (a 2＋pa ＋q )，说明a 是r 的因数．根据以上材料，可求得方程x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为__x ＝1__．【解析】 x 3＋4x 2－3x －2＝0∵原方程可化为2＝x (x 2＋4x －3)，∴2是x 的倍数，∵x 为正整数，∴x ＝1或2，当x ＝1时，x 2＋4x －3＝2；当x ＝2时，x 2＋4x －3＝9≠2舍去．∴x 3＋4x 2－3x －2＝0的整数解为x ＝1.13．已知a ，b 为正整数，关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的两个实数根为x 1，x 2，关于y 的方程y 2＋2ay ＋b ＝0的两个实数根为y 1，y 2，且满足x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008.求b 的最小值．解：由韦达定理，得x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝b ；y 1＋y 2＝－2a ，y 1·y 2＝b . 即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2a ＝－（x 1＋x 2）＝（－x 1）＋（－x 2），y 1·y 2＝b ＝（－x 1）·（－x 2）， 解得⎩⎨⎧y 1＝－x 1，y 2＝－x 2，或⎩⎨⎧y 1＝－x 2，y 2＝－x 1.把y 1，y 2的值分别代入x 1·y 1－x 2·y 2＝2 008得x 1·(－x 1)－x 2·(－x 2)＝2 008或x 1·(－x 2)－x 2·(－x 1)＝2 008(不成立)．即x 22－x 21＝2 008，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝2 008因为x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝b >0，所以x 1>0，x 2>0.于是有2a ·4a 2－4b ＝2 008，即a ·a 2－b ＝502＝1×502＝2×251.因为a ，b 都是正整数，所以⎩⎨⎧a ＝1，a 2－b ＝5022，或⎩⎨⎧a ＝502，a 2－b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝2，a 2－b ＝2512，或⎩⎨⎧a ＝251，a 2－b ＝4. 分别解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1－5022，或⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1， 或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4－2512，或⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4. 经检验只有⎩⎨⎧a ＝502，b ＝5022－1，⎩⎨⎧a ＝251，b ＝2512－4符合题意．所以b 的最小值为b 最小值＝2512－4＝62 997.。
一元二次方程整数根问题习题
根的情况与整数根问题根据根的情况，利用判别式，确定字母系数的取值范围，逐个带入原方程求解．【例题】1．【2017朝阳二模】已知关于x 的一元二次方程01242=-+-m x x 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．一元二次方程整数根问题2．【2017平谷二模】已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，求该方程的整数根．【练习】1．房山一模20.关于x 的一元二次方程x2-2mx+（m-1）2=0有两个不相等的实数根。
（1）求m 的取值范围;（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根。
海淀一模20. 关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；（2）若m 为负数．．，判断方程根的情况.根的判别式为完全平方类型根据根的情况，利用判别式的完全平方性质，用公式法或者十字相乘法把方程的根用字母的代数式表示出来，并根据字母和方程根都是整数的条件约束，找到最终符合题意的字母的整数值【例题】1．怀柔一模已知关于的方程.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求的值.2.朝阳一模已知关于x 的一元二次方程()210x k x k +++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围．x 226990-+-=x mx m m3.西城一模20.已知关于x 的方程mx2+(3-m)x-3=0（m 为实数，m≠0）.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【练习】1．东城一模已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=． （1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．2.【2017昌平二模20】关于x 的一元二次方程0)12(2=++-m x m x（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）写出一个m 的值，并求此时方程的根.、2．【2016西城二模】已知关于x 的方程224490x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为12,x x ，其中12x x <．若1221x x =+，求m 的值．根的判别式非完全平方类型（拓展题目）相反数概念：令2m ∆=（是完全平方式），利用奇偶性，求出m 的值，从而求出未知．【例题】1．已知关于x 的一元二次方程x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的整数根+课后练习二及详解
学科：数学专题：一元二次方程整数根问题主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：已知1是关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（）A ． 1 B ．﹣1 C ．0 D ．无法确定金题精讲题一：题面：关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m 的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是（）A. 2B. 6C. 2或6D. 7满分冲刺题一：题面：已知023242a ax x 无实根，且a 是实数，化简2241291236a a a a ．题二：题面：求证：关于x 的方程013)32(2m x m x 有两个不相等的实数根．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B详解：根据题意得：(m ﹣1)+1+1=0，解得：m =﹣1．故选B ．金题精讲题一：答案：B详解：∵方程25(5)0x mx m 有两个正实数根，∴2112055(5)0x x m m x x m ．又∵２x 1+x 2=7，∴x 1=7－m ．将x 1=7－m 代入方程25(5)0x mx m ，得2(7)(7)5(5)0m m m m ，解得m =2或m =6．∵5m，∴m =6．故选B ．满分冲刺题一：答案：a +3详解：方程023242a ax x无实根，∴224(2)44(32)0b ac a a ，即,01282a a 解得,62a 当62a 时，.3632)6()32(361291242222a a a a a a a a a 题二：答案：原方程有两个不相等的实数根详解：22224(23)4(31)4129124413b ac m m m m m m ，∵240m ，∴2244130b ac m ，∴原方程有两个不相等的实数根．。
一元二次方程的整数整数解(含答案)-
一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的整数根 课后练习一及详解(1)
学科：数学专题：一元二次方程整数根问题重难点易错点解析题一：题面：已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（ ）A ．b =﹣1，c =2B ．b =1，c =﹣2C ．b =1，c =2D ．b =﹣1，c =﹣2金题精讲题一：题面：k 取何值时，方程0)4()1(2=++++k x k x 有两个相等的实数根?并求出这时方程的根．满分冲刺题一：题面：已知12,x x 是一元二次方程2(6)20a x ax a -++=的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使11224x x x x -+=+成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使12(1)(1)x x ++为负整数的实数a 的整数值．题二：题面：求证：无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：D详解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2， ∴x 1+x 2=b =1+(﹣2)=﹣1，x 1•x 2=c =1×(﹣2)=﹣2．∴b =﹣1，c =﹣2．故选D ．金题精讲题一：答案：当5=k 时，方程为：2126903x x x x ++===-， 当3-=k 时，方程为：2122101x x x x -+===，详解：根据题意，得.3,5,0152,0)4(4)1(421222-===--=+-+=-k k k k k k ac b 当5=k 或3-=k 时，原方程有两个相等的实数根．当5=k 时，方程为：3,096212-===++x x x x当3-=k 时，方程为：212210,1x x x x -+===． 满分冲刺题一：答案：（1）成立；（2）a 的整数值有12，9，8，7． 详解：（ 1）成立．∵12,x x 是一元二次方程2(6)20a x ax a -++=的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，12122,66a a x x x x a a =+=---； ∵一元二次方程2(6)20a x ax a -++=有两个实数根，∴△=4a 2－4（a －6）•a ≥0，且a -6≠0，解得，a ≥0，且a ≠6． 由11224x x x x -+=+得12124x x x x =++，即2466a a a a =---． 解得，a =24＞0，且a －6≠0．∴存在实数a ，使11224x x x x -+=+成立，a 的值是24．。
中考复习讲义 一元二次方程的整数根问题及应用(含答案)
有_______个．
9 6 ， x2 ， 6k 9k 5 3 15， 3； 当 6 k 1， 这时 k 7 ，，， 当 9 k 1 3， 9 时，x1 是整数， ，2 ， 3 ， 6 时，x2 是 6 7 ，， 9 15 时原方程的解为整数． 整数这时 k 10 ，， 8 11， 7， 12 ， 15 ， 3 综上所述， k 3，， k 3，， 6 7 ，， 9 15 【答案】
1 3 1 m2 4 [(k 1)m k 2 k ] 4 4 4 3 1 m2 (k 1)m k 2 k 4 4 k 1 2 3 1 ) k 2 k ，整理得 3k 2 k 0 所以 为完全平方式，因此 ( 2 4 4
解得 k 0 或 k
1 3
【例2】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
【答案】 5 4
【解析】∵ [4 1 m ]2 4 3m2 2m 4k
22 m2 6m 4k 4
m 6 n 16 m 6 n 8 因此 或 m 6 n 2 m 6 n 4 m 15 m 14 解得 或 n 7 n 4 m 15 当 时，方程 x2 (m 2) x 4m 0 为 x2 17 x 60 0 ，解得 x 5 或 x 12 n 7
m 24 【答案】
2(m 1) 50 14 ，不妨设 x1 x2 ，则 x1 32 ， x2 18 2 2
故 m 24 ．满足 为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．
§7.3 一元二次方程的整数根(试题部分).pptx
∴ (kc=)2 b=2 ab (b a)2 b2 ab b2 2ab a2 b2 ab
akc
a(b a)
ab a2= a2 =a- Nhomakorabeab.(3a)证b 明a2:方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.
(i)若ac<0,则-4ac>0.
中考数学 (北京专用)
§7.3 一元二次方程的整数根
好题精练
1.(2018北京东城一模,23)已知:关于x的一元二次方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0. (1)若m>0,求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若m为大于12,小于40的整数,且方程有两个整数根,求m的值.
解析 (1)证明:Δ=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4. ∵m>0,∴8m+4>0, ∴方程有两个不相等的实数根.
解析 (1)将原方程整理,得x2-(m+4)x+4m=0,∵0<m<4,
∴Δ=[-(m+4)]2-4×4m=m2-8m+16=(m-4)2>0,
∴x1,2= (m
4)
2
(4
m)
,
∴x1=m,x2=4.
(2)由(1)知,抛物线y=-x2+(m+4)x-4m与x轴的交点分别为(m,0)、(4,0),
故Δ=b2-4ac>0.
此时方程②有两个不相等的实数根.
(ii)若ac>0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc. Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1). ∵方程kx=x+2的根为正实数, ∴方程(k-1)x=2的根为正实数. 由x>0,2>0,得k-1>0. ∴4ac(k-1)>0. ∵(a-kc)2≥0,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上,方程②有两个不相等的实数根.
华师大版九年级数学上册一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题一、利用判别式例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴22164(445)0m m m =---≥V 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1例2．已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数. ∴244m m =+-V 一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
二、利用求根公式例3．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+= 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-V 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==- 分别代入，易得k=310，6，3。
2020-2021学年中考数学陪优专题05 一元二次方程的整数根_答案
专题05 一元二次方程的整数根例1 当k=4时，x=1；当k=8时，x=-2；当k≠4且k≠8时，148x k =-，284x k =-，可得k=6或k=4,6,8或12． 例2 C例3 C 提示：方程变形为关于x 的二次方程()222290x yx y ++-=，2=71160y ∆-+≥且是完全平方数，得,162=y ∴4±=y ,∴⎩⎨⎧=-=4111y x ,⎩⎨⎧=-=4322y x ,⎩⎨⎧-==4133y x ,⎩⎨⎧-==4344y x .例 4 ①若0=r ，则21=x 不是整数；②0≠r ，设方程的两根为)(,2121x x x x <，则rr x x 221+-=+，rr x x 121-=，于是,3212)(22121=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-r r r r x x x x 有7)12)(12(21=--x x ，解得⎩⎨⎧==4121x x 或⎩⎨⎧=-=0321x x 则31-=r 或1=r .例5由0)()50(2-22=-+-y y x y x 得0)992500(4)(4)50(422≥-=---=∆y y y y ,即0)992500(≥-y ,25≤y 时,方程有实数解y y x 99250050-±-= .由于)992500(y -必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时30=x 或, 20=x ,故所求的四位数为2025或3025.例6解法一:因a 的次数较低,故将方程整理为关a 于的一次方程,得)6(2)2(2+=+x a x ,显然02≠+x ,于是2)2()6(2++=x x a ,∵a 是正整数,1≥a ,即1)2()6(22=++x x ,化简得0822≤-+x x ,解得)2(24-≠≤≤-x x .当2,1,0,1,3,4---=x 时,.1,914,3,10,6,1=a ∵a 是正整数,故a 的值为1,3,6,10.解法二:()[])18(4)3(41242+=---=∆a a a a 为完全平方数,故)18(4+a 为奇数的平方.令2)12()18(+=+m a ,m 是正整数,则22m m a += ,于是,原方程可化为0)3)(2(4)1(4)1(22=+-+-+++m m x m m x m m ,即[][]0)3(2)1(2)-m 2=++++m x m mx （ ,解得m x 421+-=,1422+--=m x ,∴4m 或41）（+m 得4,2,1=m 或3,1=m ,故a 的值位1,3,6,10.A 级1. 3 9942. 13. 14. 1 9845. D6. B7. C8.D9.①当0=k 时，则1=x ，即0=k 为所求；②0≠k 时,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+k x x k x x 11112121,得3)1)(1(21=--x x ,由此可得1,71=-=k k 或.10. 0=n 提示:方程①()2342221++=-n n x x ,方程②根为n n -+1,22,注意讨论.11.4,10,2--=a12.由韦达定理，得9112+=+p q p ①，16)(415++=q p pq ②，0>+q p ，0>pq ，为q p ,正整数.由②得216)(6016++=q p pq ,即4811516)154)(154(22=+=+-q p ,故⎩⎨⎧=-=-13,37,1,48115437,13,481,1154q p ,得13,7,124,4=p ，7,13,4,124=q ，代入①，即只有7,13==q p 满足条件.B 级1. 982. 49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3. 5 提示:当6=k 时,解得2=x .当9=k 时,解得3-=x .当96≠≠k k 且时,解得kx k x -=-=96,9921 .当9,3,16±±±=-k 时,1x 是整数，这时3,15,3,5,7-=k ；当6,3,2,19±±±±=-k 时，2x 是整数，这时3,15,7,11,8,10=k .综上所述, 15,9,7,6,3=k 时,原方程的解为整数. 4.611提示:将原方程整理为关于a 的二次方程(),01722=++-xa a x 03282≥-=∆x ,)7(232822--±-=x x x a ,讨论枚举. 5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=. 6. -2,或-6 7. A 提示:a 与a1时方程09200152=++x x 的两个不相等的实数根. 8. C9. 解得4211---=k x ，2412---=k x ，故1241+-=-x k ，1422+-=-x k )1,1(21-≠-≠x x ，消去k 得，02312=++x x x x ，即()2321-=+x x ，求得310,3,6=k .10.设两连续正偶数为2,+k k ,则有)2(22392+=-+k k x x ,即0)22(23922=++-+k k x x ,x 为有理数,则[]2)1(6565++=∆k 为完全平方数,令)0(2≥=∆p p ,[]156********)1(622⨯=⨯-=+-k p也即[][]15655115)1(6)1(6⨯=⨯=--++k p k p ,于是得⎩⎨⎧=+-=++5)1(6113)1(6k p k p ,或⎩⎨⎧=+-=++1)1(6565)1(6k p k p 解得8=k 或46=k,相应的方程的解为2=x 或941-=x 与17-=x 或9130=x .总之,当2=x 或 17-=x 时, 22392-+x x 恰为两个整数8或10,或者46或48的乘积.11. 令2224n p q =-=∆ n 为非负数),即24))(p n q n q =+-（ .∵n q n q +≤-≤1且n q n q +-与奇偶性相同,则⎩⎨⎧=+=-222p n q n q ①, ⎩⎨⎧=+=-24pn q n q ②, ⎩⎨⎧=+=-p n q pn q 4③, ⎩⎨⎧=+=-pn q pn q 22④, ⎩⎨⎧=+=-42n q p n q ⑤；消去n 分别得：12+=p q ，222+=p q ，25p q =，p q 2=，222p q +=，对于第1、3种情形，5,2==q p 对于第2、5种情形，4,2==q p （不合题意，舍去）；对于第四种情形，p 为合数（舍去）.又当5,2==q p 时，方程为2,21,0252212===+-x x x x .12. 1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x , ∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ；当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ， 即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。
华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的整数根+课后练习二及详解
学科：数学专题：一元二次方程整数根问题主讲教师：黄炜 北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：已知1是关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +1=0的一个根，则m 的值是（ ）A ． 1B ．﹣1C ． 0D ．无法确定金题精讲题一：题面：关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是（ ）A. 2B. 6C. 2或6D. 7满分冲刺题一：题面：已知023242=+--a ax x 无实根，且a 是实数，化简题二：题面：求证：关于x 的方程013)32(2=-+++m x m x 有两个不相等的实数根．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B详解：根据题意得：(m ﹣1)+1+1=0，解得：m =﹣1．故选B ．金题精讲题一：答案：B详解：∵方程25(5)0x mx m -+-=有两个正实数根，∴{2112055(5)0x x m m x x m +=>⇒>⋅=->． 又∵2x 1+x 2=7，∴x 1=7－m ．将x 1=7－m 代入方程25(5)0x mx m -+-=，得2(7)(7)5(5)0m m m m ---+-=， 解得m =2或m =6．∵5m >，∴m =6．故选B ．满分冲刺题一：答案：a +3详解：方程023242=+--a ax x 无实根，∴224(2)44(32)0b ac a a -=--⨯-+<， 即,01282<+-a a 解得,62<<a 当62<<a 时， .3632)6()32(361291242222+=-+-=-+-=+-++-a a a a a a a a a 题二：答案：原方程有两个不相等的实数根详解：22224(23)4(31)4129124413b ac m m m m m m -=+--=++-+=+，∵240m ≥，∴2244130b ac m -=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．。
人教版九年级上册数学：《一元二次方程的整数根》课后练习及详解
专题：一元二次方程整数根重难点易错点辨析在解决整数根问题时，仍是不要忽视了对二次项系数的议论。
题一题面：对于 x 的方程 a 1 x22x a 1 0 的根都是整数，求切合条件的a 的整数值 .金题精讲题一题面：已知对于x 的一元二次方程x2+2x+2k 4=0 有两个不相等的实数根 .(1)求 k 的取值范围；(2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值 .鉴别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：已知，对于x 的一元二次方程x22(2 m 3) x 4m2⑴若 m0 ，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若 12 m40 的整数，且方程有两个整数根，求14m 80 m 的值．鉴别式，整数根题二题面：已知对于x 的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1 0.（1）求证：不论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当 m 为什么整数时，原方程的根也是整数.鉴别式，整数根讲义参照答案重难点易错点辨析题一答案：当 a 1 时，x 1 ；当 a≠ 1时，x11，x212（分别常数），a1∵ a 为整数∴ a1，0 ，2 ，3综上， a 的整数值为1，0，1，2，3 .金题精讲题一答案： (1) k 5； (2) k 2. 2满分冲刺题一答案：⑴证明： =2(2 m24(4m214m 8) 8m 4 3)∵m 0 ，∴ 8m 4 0 .∴方程有两个不相等的实数根．⑵x= 2(2m3)8m 4=(2 m 3)2m1 2∵方程有两个整数根，一定使2m1为整数且 m 为整数．又∵ 12m40，∴25 2m 1 81.∴52m 1<9 ．∵2m 1 为奇数，∴2m 1 7∴ m24 ．题二答案：（1）证明：△ =(m+3)2mm2m mm2m(m+1)2∵(m+1)2≥ 0∴(m+1)2≥0∴不论 m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根（2）解对于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0 得2m 3(m 1 )4x2要使原方程的根是整数根，一定使得(m+1)2是完整平方数设 (m+1)2 a则 a ma m 1 4∵ a m与 a m 1的奇偶性同样a m 1=2a m 1=2可得 a m 1 2或a m 12a=2a2解得m 1 或m1将 m1代入x m 3(m 1)24得 x12，x20 切合题意；2∴当 m1时，原方程的根是整数.专题：一元二次方程整数根问题重难点易错点分析题一：题面：已知 1 是对于 x 的一元二次方程 (m﹣ 1)x2 +x+1=0 的一个根，则m 的值是（）A ． 1B．﹣ 1C． 0 D ．没法确立金题精讲题一：题面：对于x 的一元二次方程x2mx5(m5)0 的两个正实数根分别为x1， x2，且2x1 +x2=7 ，则m 的值是（）A. 2B. 6C. 2或6D. 7满分冲刺题一：题面：已知4x2ax32a0 无实根，且a是实数，2化简 4a2 12a9a212a36 ．题二：题面：求证：对于x的方程x2(2m 3) x 3m 10 有两个不相等的实数根．课后练习详解重难点易错点分析题一：答案： B详解：依据题意得：(m﹣ 1)+1+1=0 ，解得： m=﹣ 1．应选 B ．金题精讲题一：答案：B详解：∵方程 x2mx 5(m5) 0 有两个正实数根，∴x1x2m 00m 5 ．x x5(m 5)12又∵ 2x1+x2=7，∴ x1=7－ m．将 x1=7－ m 代入方程x2mx 5(m 5) 0 ，得 (7 m)2m(7 m) 5(m 5)0 ，解得 m=2 或 m=6．∵m 5 ，∴m=6．应选B．满分冲刺题一：答案： a+3详解：方程 4x22ax 3 2a0 无实根，∴ b24ac(2a)2 4 4(32a)0 ，即 a28a120, 解得 2 a6,当2 a 6 时，4a 212a9a212a36(2a3) 2(a6)22a36 a a 3.题二：答案：原方程有两个不相等的实数根详解： b24ac (2 m 3)24(3m 1) 4m212m 9 12m 4 4m2 13，∵ 4m20，∴b2 4ac 4m2 13 0 ，∴原方程有两个不相等的实数根．。
专题培优-一元二次方程的整数根（含答案）
专题培优-⼀元⼆次⽅程的整数根（含答案）⼀元⼆次⽅程的整数根1.使⼀元⼆次⽅程x2+3x+m=0有整数根的⾮负整数m的个数为( )．A. 0B. 1C. 2D. 32.满⾜(n2-n-1)n+2＝1的整数n有________个．3.已知关于x的⽅程（a－1）x2＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有________个．4.⽅程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q＝1992，则⽅程较⼤根与较⼩根的⽐等于________.5.已知k为整数，且关于x的⽅程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根，则k＝________.6.关于x的⼀元⼆⽅程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根，则满⾜条件的m值的个数为________个．7.已知关于x的⽅程((m2?1)x2?3(3m?1)x+18=0有两个正整数根(m是整数)．△ABC的三边a，b，c满⾜c=2√3，m2+a2m?8a=0，m2+b2m?8b=0．求：(1)m的值；(2)△ABC的⾯积．8.当k为何整数时，⽅程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72＝0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时，关于x的⼀元⼆次⽅程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a，使得⽅程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0⾄少有⼀个整数解．11.设关于x的⼀元⼆次⽅程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2＝4的两根都是整数，求满⾜条件的所有实数k的值．12.已知m，n为正整数，关于x的⽅程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求m，n的值．13.k为何值时，关于x的⽅程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+cx+a=0的两个整数根恰好⽐⽅程x2+ax+b=0的两个根都⼤1，求a+b+c的值．15.已知⼀元⼆次⽅程x2+ax+b=0，①有两个连续的整数根，⼀元⼆次⽅程x2+bx+a=0，②有整数根，求a，b的值．答案1.C2.43.54.9975.26.47.解：（1）∵关于x 的⽅程（m 2-1）x 2-3（3m -1）x +18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a =m 2-1，b =-9m +3，c =18，∴b 2-4ac =（9m -3）2-72（m 2-1）=9（m -3）2≥0，设x 1，x 2是此⽅程的两个根，∴x 1?x 2=c a =18m 2?1，∴18m 2?1也是正整数，即m 2-1=1或2或3或6或9或18，⼜m 为正整数，∴m =2；（2）把m =2代⼊两等式，化简得a 2-4a +2=0，b 2-4b +2=0当a =b 时，a =b =2±√当a ≠b 时，a 、b 是⽅程x 2-4x +2=0的两根，⽽△＞0，由韦达定理得a +b =4＞0，ab =2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a ≠b ，c =2√3时，由于a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直⾓三⾓形，且∠C =90°，S △ABC =12ab =1．②a =b =2-√2，c =2√3时，因2(2?√2)＜2√3，故不能构成三⾓形，不合题意，舍去．③a =b =2+√2，c =2√3时，因2(2+√＞2√3，故能构成三⾓形．S △ABC =12×（2√）×√=√综上，△ABC 的⾯积为1或√． 8.解：∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36（k -3）2＞0∴km ≠3⽤求根公式可得：x 1=6k?1，x 2=12k+1∵x 1，x 2是正整数∴k -1=1，2，3，6，k +1=1，2，3，4，6，12，解得k =2．这时x 1=6，x 2=4． 9.解：原⽅程变形得(x ?2n)(x ?n)=6，∵x ，n 均为整数，∴原⽅程化为{x ?2n =±2,x ?n =±3或{x ?2n =±3,x ?n =±2或{x ?2n =±6,x ?n =±1或{x ?2n =±1,x ?n =±6，解得n =-1或1或-5或5．10.解：原⽅程变形为(x ＋2)2a =2x ＋7(x ≠?2)，解得a =2x ＋7(x ＋2)2.∵a ≥1，∴2x ＋7(x ＋2)2?1，∴-3≤x ≤1，∴x 可取值为-3，-1，0，1，分别代⼊a =2x ＋7(x ＋2)2中，解得a ＝1或a ＝5或a =74或a ＝1．⼜∵a 是正整数，∴当a ＝1或a ＝5时，⽅程⾄少有⼀个整数解. 11.解：原⽅程可化为[(k ?4)x ＋(k ?2)][(k ?2)x ＋(k ＋2)]=0，∵k 2?6k ＋8=(k ?4)(k ?2)≠0，∴x 1=?k?2k?4=?1?2k?4，x 2=?k ＋2k?2=?1?4k?2，∴k ?4=?2x 1＋1，k ?2=?4x 2＋1(x 1≠?1,x 2≠?1)，消去k ，得x 1x 2＋3x 1＋2=0. ∴x 1(x 2＋3)=?2．由于x 1，x 2都是整数，∴{x 1=?2,x 2＋3=1或{x 1=1,x 2＋3=?2或{x 1=2,x 2＋3=?1.或{x 1=?2,x 2=?2或{x 1=1,x 2=?5或{x 1=2,x 2=?4．∴k =6或3或103.经检验均满⾜题意．12.解：设⽅程x 2?mnx +(m +n )=0的两根分别为：x 1,x 2，∵m ，n 为正整数，∴x 1+x 2=mn >0,x 1?x 2=m +n >0，∴这两个根x 1,x 2均为正数，⼜∵(x 1?1)(x 2?1)+(m ?1)(n ?1)=x 1x 2?(x 1+x 2)+1?[mn ?(m +n )+1]=(m +n )?mn +1+[mn ?(m +n )+1]=2，其中(x 1?1)(x 2?1)，m ?1，n ?1均⾮负，⽽为两个⾮负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0.∵(x 1?1)(x 2?1)=x 1x 2?(x 1+x 2)+1=m +n ?mn +1,(m ?1)(n ?1)=mn ?(m +n )+1，∴{m +n ?mn +1=0mn ?(m +n)+1=2或{m +n ?mn +1=1mn ?(m +n )+1=1或{m +n ?mn +1=2mn ?(m +n)+1=0，解得：{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解：根据题意得：△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k )，∵⽅程的解为有理数，∴4(m 2-6m +4-4k )是⼀个完全平⽅数，即4-4k =9，解得：k =-54. 14.解：设⽅程x 2+ax +b =0的两个根为α，β，∵⽅程有整数根，设其中α，β为整数，且α≤β，则⽅程x 2+cx +a =0的两根为α+1，β+1，∴α+β=-a ，(α+1)(β+1)=a ，两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，即 (α+2)(β+2)=3，∴{α+2=1β+2=3或{α+2=?3β+2=?1.解得{α=?1β=1或{α=?5β=?3.⼜∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0，b =αβ=-1×1=-1，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2，或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8，b =αβ=(-5)×(-3)=15，c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6，∴a =0，b =-1，c =-2；或者a =8，b =15，c =6，∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29，故a +b +c =-3，或29．15.解：设⽅程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=?a n(n +1)=b∴a =-(2n +1)，b =n (n +1)，则⽅程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③，∵⽅程③有整数根，视n 为主元，∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解，∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2（p 为正整数），∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2＞p -2，∴{p +2=x 2p ?2=1?4x ⑥，{p +2=x p ?2=(1?4x)x ⑦，{p +2=1?4x p ?2=x2⑧，{p +2=(1?4x)x p ?2=x ⑨，由⑥得：x 2+4x -1=0，解得：x 1=-5，x 2=1，把x 1=-5代⼊③得：n =-3或n =85（不合题意，舍去），当n =-3时，a =5，b =6，把x 2=1代⼊③得：n 1=0，n 2=1，当n =0时，a =-1，b =0，当n =1时，a =-3，b =2，对⑦，⑧，⑨继续讨论.综上所述，{a =?1b =0或{a =?3b =2或{a =5b =6.。
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学科：数学
专题：一元二次方程整数根问题
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为（ ）
A ．b =﹣1，c =2
B ．b =1，c =﹣2
C ．b =1，c =2
D ．b =﹣1，c =﹣2
金题精讲
题一：
题面：k 取何值时，方程0)4()1(2
=++++k x k x 有两个相等的实数根?并求出这时方程的根．
满分冲刺
题一：
题面：已知12,x x 是一元二次方程2(6)20a x ax a -++=的两个实数根．
（1）是否存在实数a ，使11224x x x x -+=+成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使12(1)(1)x x ++为负整数的实数a 的整数值．
题二：
题面：求证：无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D
详解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，
∴x 1+x 2=b =1+(﹣2)=﹣1，x 1•x 2=c =1×(﹣2)=﹣2．
∴b =﹣1，c =﹣2．故选D ．
金题精讲
题一：
答案：当5=k 时，方程为：2126903x x x x ++===-，
当3-=k 时，方程为：2122101x x x x -+===， 详解：根据题意，得.3,5,0152,0)4(4)1(4212
22-===--=+-+=-k k k k k k ac b 当5=k 或3-=k 时，原方程有两个相等的实数根．
当5=k 时，方程为：3,096212-===++x x x x 当3-=k 时，方程为：212210,1x x x x -+===．
满分冲刺
题一：
答案：（1）成立；（2）a 的整数值有12，9，8，7．
详解：（1）成立．
∵12,x x 是一元二次方程2(6)20a x ax a -++=的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，12122,66a a x x x x a a =
+=---； ∵一元二次方程2(6)20a x ax a -++=有两个实数根，
∴△=4a 2－4（a －6）•a ≥0，且a -6≠0，解得，a ≥0，且a ≠6．
由11224x x x x -+=+得12124x x x x =++，即
2466a a a a =---． 解得，a =24＞0，且a －6≠0．
∴存在实数a ，使11224x x x x -+=+成立，a 的值是24．
（2）∵12121226(1)(1)11666a a x x x x x x a a a ++=⋅+++=-+=----， ∴当12(1)(1)x x ++为负整数时，a －6＞0，且a －6是6的约数． ∴a －6=6，a －6=3，a －6=2，a －6=1．∴a =12，9，8，7．
∴使12(1)(1)x x ++为负整数的实数a 的整数值有12，9，8，7． 题二：
答案：方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根． 详解：∵]3)1(4[4)]12(2[422+----=-k k k ac b
)344(4)144(422+--+-=k k k k
)344144(422-+-+-=k k k k
)2(4-⨯=,08<-=
∴无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根．。