北师大版高中数学必修3课件-用样本估计总体

设样本的元素为 x1，x2，…，xn，样本的平均数为 x ，则样本的
方差 s2＝ 1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] . 样本方差的算术平方根即为样本的标准差，即 s＝
1nx1－
x
2＋x2－
x
2＋…＋xn－
x
2
.
思考：在频率分布直方图中，如何求众数、中位数、平均数？
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩．
[解] (1)由图可知众数为 65，又因为第一个小矩形的面积为 0.3， 所以设中位数为 60＋x， 则 0.3＋x×0.04＝0.5，得 x＝5， 所以中位数为 60＋5＝65. (2) 依 题 意 ， x ＝ 55×0.3 ＋ 65×0.4 ＋ 75×0.15 ＋ 85×0.1 ＋ 95×0.05＝67， 所以平均成绩约为 67 分．
频数
频率
156.5～160.5
3
0.06
160.5～164.5
4
0.08
164.5～168.5
12
0.24
168.5～172.5
12
0.24
172.5～176.5
13
0.26
176.5～180.5
4
0.08
180.5～184.5
2
0.04
合计
50
1.00
由上表画出频率分布直方图及频率折线图如图．
频率分布直方图的应用
1．平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量是将多个数据 “加工”成一个数据，能更清楚地反映这组数据的某些重要特征， 要理解这些统计量表达的信息．
2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数 据可能不一致．
[跟进训练]
3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分 成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、 二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
5,126,128.
(1)填写下面的频率分布表：
分组
频数
频率
[121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131]
合计
(2)作出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位 数和平均数． [思路探究] (1)根据频数与频率的概念填写表格； (2)利用作频率分布直方图的步骤作图； (3)根据直方图中求数字特征的方法求解．
(2)由频率分布直方图知，9 时至 10 时的销售额的频率为 0.1，故 销售总额为03.1＝30(万元)，又 11 时至 12 时的销售额的频率为 0.4， 故销售额为 0.4×30＝12 万元．故填 12 万元．]
估计总体的数字特征
[探究问题] 1．如何从频率分布直方图中估计中位数？ 提示：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等，由此可估计中位数的值．
列频率分布表，画频率分布直方图及 2．通过列频率分布表，画频率分
频率折线图．(难点)
布直方图及折线图提升数据分析
3．能根据给出的频率分布直方图解 素养.
决具体问题．(难点)
自主预习 探新知
一、基本概念 1．频率分布表和频率分布直方图 (1)频率分布表编制的方法步骤：
组数与组距
分点
样本分组
频率与组距的比值
频率分布直方图的性质 1．因为小矩形的面积＝组距×频率÷组距＝频率，所以各小矩 形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的 形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． 2．在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. 3．频数÷相应的频率＝样本容量．
[跟进训练]
2．(1)某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部介于13 s与 19 s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于或 等于13 s且小于14 s；第二组，成绩大于或等于14 s且小于15 s；…； 第六组，成绩大于或等于18 s且小于或等于19 s，如图所示是按上述 分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17 s的学生人数占全 班总人数的百分比为x，成绩大于或等于15 s且小于17 s的学生人数 为y，则从频率分布直方图中分析出x和y分别为 ( )
A．0.9,35 C．0.1,35
B．0.9,45 D．0.1,45
(2)某商场在端午节的促销活动中，对某日 9 时至 14 时的销售额 进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知 9 时至 10 时的销售额 为 3 万元，则 11 时至 12 时的销售额为________万元．
(1)A (2)12 [由频率分布直方图知 x＝0.34＋0.36＋0.18＋0.02 ＝0.9，因为5y0＝0.36＋0.34＝0.7，所以 y＝35.故选 A.
列出频率分布表如下：
分组
频数
[20.5,22.5)
2
[22.5,24.5)
3
[24.5,26.5)
8
[26.5,28.5)
4
[28.5,30.5]
3
合计
20
频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1.00
频率/组距 0.05 0.075 0.2 0.1 0.075
(2)作出频率分布直方图如下：
[解] (1) 分组
[121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131]
合计
频数 2 3 8 4 3 20
频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1
(2)
(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的 近似值，得众数 126，事实上，众数的精确值为 125；(2)图中虚线对 应的数据是 125＋2×85＝126.25，事实上中位数为 125.5.使用“组中 值 ” 求 平 均 数 x ＝ 122×0.1 ＋ 124×0.15 ＋ 126×0.4 ＋ 128×0.2 ＋ 130×0.15＝126.3，平均数的精确值为 x ＝125.75.
[跟进训练]
1．为了了解中学生的身高情况，对实验中学同龄的50名男学生
的身高进行了测量，结果如下(单位：cm)：
175
168
Biblioteka Baidu
170
176
167
181
162
173
171
177
171
171
174
173
174
175
177
166
163
160
166
166
163
169
174
165
175
165
170
158
174
3．频率分布直方图中，小矩形的面积等于( )
A．组距
B．频率
C．组数
D．频数
B [根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本 数据的频率．]
4．某中学举办电脑知识竞赛，满分为 100 分，80 分以上为优秀 (含 80 分)．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组， 绘制成频率分布直方图如图所示．
第一章 统计
§5 用样本估计总体 5．1 估计总体的分布 5．2 估计总体的数字特征
学习目标
核心素养
1.理解并会运用样本的频率分布估计
总体的分布，通过实例体会分布的意 1.通过运用样本的频率分布估计总
义和作用．(重点)
体分布，体会分布的意义和作用，
2．在表示样本数据的过程中，学会 提升数学抽象素养．
[解] (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组 内的频率大小，因此第二小组的频率为2＋4＋17＋4 15＋9＋3＝0.08.
第二小组频数 又因为第二小组频率＝ 样本容量 ， 所以样本容量＝第 第二 二小 小组 组频 频数 率＝01.028＝150. (2)由图可估计该校高一学生的达标率约为 2＋14＋ 7＋1175＋＋195＋ ＋39＋3×100%＝88%.
172
166
172
167
172
175
161
173
167
170
172
165
157
172
173
166
177
179
181
列出频率分布表，画出频率分布直方图及频率折线图．
[解] 在这个样本中，最大值为 181，最小值为 157，它们的极
差为 24，可以取组距为 4，根据题意列出样本的频率分布表如下表：
分组
各小长方形的面积
1
2．频率分布折线图 (1)在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间， 从所加的左边区间的 中点 开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至
右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图 ．
(2)当样本容量不断增大时，样本中落在每个区间内的样本数的频率会越
[解] (1)计算极差：30－21＝9. 决定组距和组数：取组距为 2. ∵92＝421，∴共分 5 组． 决定分点，使分点比数据多一位小数． 并把第 1 小组的分点减小 0.5，即分成如下 5 组： [20.5,22.5)，[22.5,24.5)，[24.5,26.5)， [26.5,28.5)，[28.5,30.5]．
来越稳定于总体在相应区间内取值的 概率．也就是说，一般地，样本容量越 大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确 ．
(3)随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的
长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．
二、用样本的平均数、方差与标准差估计总体的数字特征 利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准 差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正 的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个 估计 ，但这个估计是 合理的，特别是当样本容量 很大 时，它们确实反映了总体的信息． n 个样本数据 x1，x2，…，xn 的平均数 x ＝ 1n(x1＋x2＋…＋xn) ，则有 n x ＝ x1＋x2＋…＋xn .
[提示] ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐 标；
②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的横坐标之和．
1．当收集到的数据量很大时，比较合适的统计图是( )
A．茎叶图 C．频率折线图
B．频率分布直方图 D．频率分布表
2．在条形统计图中怎样估计众数？ 提示：众数是最高矩形的中点的横坐标．
3．怎样估计平均数？ 提示：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积 与小矩形底边中点的横坐标之积的总和．
【例 3】 已知一组数据：
125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126,122,124,12
依题意4n0＝0.4， ∴n＝100，优秀的频率是 0.10＋0.05＝0.15.]
合作探究 释疑难
画频率分布直方图、折线图
【例 1】 已知一个样本： 30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.
(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率折线图； (3)根据频率分布直方图，估计总体出现在 23～28 内的频率是多 少．
【例 2】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进 行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如 图所示，图中从左到右各小长方形面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3， 第二小组频数为 12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，试估计该校全体高一学 生的达标率是多少？
B [当收集到的数据量很大时，一般用频率分布直方图．]
2．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是
其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为 m，该组上的直方图的
高为 h，则|a－b|＝( )
A．hm
m B. h
h C.m
D．h＋m
B [频 组率 距＝h，故|a－b|＝组距＝频h率＝mh .]
取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率折线图，如上 图．
(3)由频率分布表和频率分布直方图观察得： 样本值出现在 23～28 之间的频率为 0.15＋0.40＋0.2＝0.75，所 以可以估计总体中出现在 23～28 之间的数的频率约为 0.75.
绘制频率分布直方图的具体步骤 1．求极差 一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 2．决定组距与组数 数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越 多．当样本容量不超过120时，按照数据的多少，常分成5～12组．为方便起 见，组距的选择应力求“取整”． 3．将数据分组 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．
已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、 0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是 40，则参赛的人数是________， 成绩优秀的频率是________．
100 0.15 [设参赛的人数为 n，第二小组的频率为 1－(0.30＋ 0.15＋0.10＋0.05)＝0.4，