建立二次函数模型解决实际问题
2024中考数学专题 二次函数的应用
二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．题型一利润问题..................................................................................................................................1题型二几何问题................................................................................................................................14题型三构造函数解决实际问题.. (21)题型一利润问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+ B ．2105607350y x x =-++ C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-2．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．(2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？3．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x606264y500480460销售量(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？4．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？5．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不高于35元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？6．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？7．某公司去年推出一种节能产品，售价(y 元/个)与月销量(x 个)的函数关系如下表，成本为20(元/个)，同时每月还需支出固定广告费47500元.售价y （元/个）119118117116115…月销量x （个）100200300400500…(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出y 与x 之间的函数关系式；(2)若出售这种节能产品的月利润为(w 元)，请用含x 的代数式表示月利润w ，并求出当月销售量为5000个时的月利润；(3)该公司去年每个月都销售了5000个这种节能产品．从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了2500元，产品成本增加了m %，因此售价上调0.6%m 元，由此月销量减少0.4%m ．结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了3500元．求m 698.3≈768.7≈27616.6≈）8．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y （元/件）与保存的时间第x （天）之间的关系满足2217y x x =++，该商品售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示．x （天） (1)2…p （元/件）…97105…(1)求商品的售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间的函数解析式；(2)求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？9．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进,A B 两种类型的头盔，已知购进3个A 类头盔和4个B 类头盔共需288元；购进6个A 类头盔和2个B 类头盔共需306元．(1),A B 两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现A 类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A 类头盔每个x 元（50100x ≤≤），y 表示该商家每月销售A 类头盔的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．10．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．(1)则y与x的函数关系式为：______，自变量x的取值范围是：______；(2)每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？a a>元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利(3)若在销售过程中每一件商品都有()0润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：______．11．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？12．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n （株）与第x 天（x 为整数）满足关系式：50n x =-+，销售单价m （元/株）与x 之间的函数关系为1201202420102130x x m x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩（）（）(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y （元）关于第x （天）的函数关系式．(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?13．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x 台电子产品的成本y （元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x 成正比例，人工成本（单位：元）与x 的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：x （单位：台）2040y （单位：元）21042216(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x 的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q （单位：元），且有Q mx n =+（m 、n 均为常数），已知当2000x =台时，Q 为35元，且此时销售利润W （单位：元）有最大值，求m 、n 的值（提示：销售利润＝销售收入－成本费用）14．某文具店某种型号的计算器每个进价14元，售价22元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10个以上的，每多买一个，所买的全部计算器每个就降价0.1元，例如：某人买18个计算器，于是每个降价()0.118100.8⨯-=（元），因此所买的18个计算器都按每个21.2元的价格购买，但是每个计算器的最低售价为18元．(1)一次至少购买___________个计算器，才能以最低售价购买(2)写出该文具店一次销售()10x x >个时，所获利润y （元）与x （个）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当1050x <≤时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？15．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植．现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年．．种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．他计划今年．．多承租一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变．新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年．．新承租多少亩土地，才能使总收益为182400元？(2)该大户今年．．应新承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？16．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．17．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．18．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；a>给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元()0于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．19．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=()()1000002010080002050tt t⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）20．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天12345销售价格p （元/只）23456销量q（只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．题型二几何问题1．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，点E ，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，连接,OE OF ，点P 从点E 出发沿E O F --运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为s t ，连接,BP PQ ，BPQ V 的面积为2cm S ，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，45A ∠=︒，90C ∠=︒，4cm AD =，3cm CD =．动点M ，N 同时从点A 出发，点M 2cm /s 的速度沿AB 向终点B 运动，点N 以2cm /s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点N 的运动时间为s t ，AMN 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 2cm /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ △的面积为()2cmy ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．5．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4m AD =，宽1m =AB 的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH （如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD 的边AD 加长长度DM 为()()m 0x x >，加长后水池1的总面积为()21my ，则1y 关于x 的函数解析式为：()140y x x =+>；设水池2的边EF 的长为()()m 06x x <<，面积为()22m y ，则2y 关于x 的函数解析式为：()22606y x x x =-+<<，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随EF 长度的增加而减小，则EF 长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________2m ；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的()m x 值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，()m x 的取值范围是_________；(4)在14x <<范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x 的值；(5)假设水池ABCD 的边AD 的长度为()m b ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积()23m y 关于()()m 0x x >的函数解析式为：()30y x b x =+>．若水池3与水池2的面积相等时，()m x 有唯一值，求b 的值．6．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．7．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？8．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1mAE 的水池且需保证总种植面积为232m，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？9．如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P 的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PP P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P右侧）．10．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？题型三构造函数解决实际问题1．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．3B ．2C ．13D ．7米2．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为()A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-3．竖直上抛物体离地面的高度()h m 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，()0/v m s 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ；那么当水位下降1m 后，水面的宽度为_________m.6．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．7．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是2520h t t =-+，当飞行时间t 为___________s 时，小球达到最高点．8．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．9．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．10．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为2112y x bx c =-++，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．11．如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时，水柱落点距O 点4m ．12．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________米．13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y=________．。
考点08 二次函数实际应用问题的7大类型-原卷版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解题策略
考点08 二次函数实际应用问题的7大类型1 围栏篱笆图形类问题的解决方法几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。
2 图形运动问题的解决思路此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。
3 拱桥问题的解决方法◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐标；（3）合理设出函数解析式；（4）利用待定系数法求出函数解析式；（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.4 销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量”或“总利润 = 总售价 - 总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．5 投球问题的解决方法此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。
第2课时 建立二次函数模型解决实际问题
－4)2＋4①，将 C 点坐标代入①式得，左边＝右边，即 C 点在抛物线上， 所以一定能投中；
(2)将 x＝1 代入①得 y＝3，因为 3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
13．(2014·天水)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正 上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距
是 超速．(填“是”或“不是”) 汽车____
11．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一
个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物 线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子， 0.5 则绳子的最低点距地面的距离为____米．
12．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球 出手时离地面高 m，与篮框中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离 为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮框距地面3 m.
2－h 2－h (3)把 x＝0， y＝2 代入 y＝a(x－6) ＋h 中得， a＝ 36 .当 x＝9 时， y＝ 36
2
2＋3h 2－h (9－6) ＋h＝ 4 ＞2.43①， 当 x＝18 时， y＝ 36 (18－6)2＋h＝8－3h≤0②，
2
8 由①，②解得 h≥3.∴若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是 8 h≥3.
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，∴抛物线 y＝a(x 1 －6) ＋h 过点(0，2)，∴2＝a(0－6) ＋2.6，解得 a＝－60，故当 h＝2.6 时，y
2 2
1 与 x 的函数关系式为：y＝－60(x－6)2＋2.6； 1 (2)当 x＝9 时，y＝－60(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网．当 1 y＝0 时， －60(x－6)2＋2.6＝0， 解得 x1＝6＋2 39＞18， x2＝6－2 39(舍去)， 故球会出界；
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
利用二次函数解决问题步骤
利用二次函数解决问题步骤正文：
二次函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
利用二次函数解决问题的步骤可以帮助我们更好地理解和解决各种实际情况中的数学难题。
下面将介绍利用二次函数解决问题的一般步骤。
1. 确定问题，首先，需要明确问题的背景和要求，明确所要解决的具体问题是什么，例如寻找最大值、最小值，或者确定某个变量的取值范围等。
2. 建立二次函数模型，根据问题的特点，建立二次函数模型。
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
根据问题的特点，确定二次函数的具体形式。
3. 求解问题，利用二次函数的性质和相关知识，对建立的二次函数模型进行分析和求解。
可以通过求导数、配方法、公式法等方式，找到函数的极值点、零点等关键信息。
4. 验证和解释，在求解出结果后，需要对结果进行验证和解释，确保结果符合实际情况，并能够清晰地解释结果的意义和影响。
5. 应用实际问题，最后，将得到的结果应用到实际问题中，解
决实际情况中的数学难题，验证二次函数的有效性和实用性。
通过以上步骤，我们可以利用二次函数解决各种实际问题，提
高数学建模和问题解决能力，为实际生活和工程技术提供有效的数
学支持。
同时也可以更好地理解和掌握二次函数的性质和应用，为
进一步深入学习数学打下坚实的基础。
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
二次函数的实际问题
二次函数的实际问题二次函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
通过二次函数可以描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、金融领域的利润分析等。
本文将通过几个不同的实际问题，来说明二次函数在各个领域中的应用。
问题一：投掷运动考虑一个常见的物理问题，即投掷运动。
假设有一个物体从地面上以初始速度v₀竖直向上抛出，受到重力的作用下落。
我们希望能够描述物体的运动轨迹，并找到物体在空中的最高点和落地点。
首先，我们可以建立一个二次函数来表示物体的高度y与时间t之间的关系。
假设物体的初始高度为h₀，则物体的高度可以表示为：y(t) = -gt² + v₀t + h₀其中g表示重力加速度。
通过这个二次函数，我们可以计算出物体的运动轨迹，以及物体在空中的最高点和落地点的时间和高度。
问题二：利润分析在金融领域中，我们经常需要对企业的利润进行分析和预测。
假设一个企业的销售额与广告投入之间存在某种关系，我们可以建立一个二次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。
假设销售额为P，广告投入为x，则二次函数可以表示为：P(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析销售额与广告投入之间的关系，并找到使得利润最大化的最优广告投入额。
问题三：物质衰变在化学领域中，物质的衰变速率也可以用二次函数来描述。
假设一个物质的衰变速率与时间的关系可以用二次函数表示：R(t) = -kt² + bt + c其中k、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析物质的衰变速率与时间之间的关系，并预测物质的衰变情况。
总结：通过以上三个实际问题的例子，我们可以看到二次函数在不同领域中的应用之广泛。
二次函数可以方便地描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、企业的利润分析以及物质的衰变情况等。
掌握二次函数的概念和应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
本文通过具体的实际问题，说明了二次函数的应用。
二次函数的实际问题求解技巧
二次函数的实际问题求解技巧二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握二次函数的实际问题求解技巧，可以帮助我们解决各种与实际相关的数学难题。
本文将介绍一些二次函数实际问题的求解技巧，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 问题分析在解决二次函数实际问题时，首先需要对问题进行充分的分析。
这包括理解问题的背景、已知条件以及需要求解的未知量。
例如，假设我们要求解某个抛物线的最高点坐标，我们需要明确已知的抛物线方程以及需要求解的顶点坐标。
2. 绘制函数图像绘制函数图像可以直观地了解二次函数的性质，帮助我们更好地解答问题。
对于给定的二次函数，我们可以利用平移、缩放等变换来确定其图像的形状和位置。
通过观察图像，我们可以得到一些关于函数的重要信息，如最值、对称轴等。
3. 求解函数的零点二次函数的零点即函数与x轴的交点，求解函数的零点对解决实际问题非常重要。
可以使用解二次方程或者图像法来求解函数的零点。
解二次方程通常是使用配方法或求根公式，而图像法可以通过观察函数图像上与x轴的交点来得到零点的近似值。
4. 求解函数的最值对于实际问题求解，常常需要求解函数的最值，这些最值往往与问题的关键指标有关。
求解函数最值的方法主要有两种：一是利用函数图像的几何性质，如抛物线的顶点即为函数的最值点；二是利用导数的性质，通过求解函数的导数为零的点来确定最值。
5. 利用模型求解问题在实际问题中，我们往往需要根据已知的情况构建二次函数模型，并通过求解模型来得到问题的答案。
这需要灵活运用二次函数的性质和求解技巧。
例如，我们可以根据已知的关系式构建二次函数方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
6. 检验结果的合理性在解决实际问题时，我们应该对得到的结果进行合理性检验。
这包括对结果进行估算和比较，看是否符合实际情况。
如果结果与实际情况相差太大，就需要回顾整个求解过程，找出问题所在并进行修正。
综上所述，二次函数的实际问题求解技巧涉及问题分析、绘制函数图像、求解函数的零点和最值、利用模型求解问题以及检验结果的合理性等方面。
实际问题与二次函数—建立二次函数模型解决实际问题(教材配套课件)
到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
典例精析
例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离
水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增
加了多少？
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2 .
C
A
O
h
20 m
D
x
B
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对
称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线
上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若
顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
2
近似满足函数关系y＝﹣ x + x+c，其图象如
图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为 m时，求此时铅球
的水平距离．
2
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x +
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴-2=a×22
∴a=-0.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
-3=-0.5x² 解得x=± ，这时水面宽度为2 m
二次函数的模型建立与解决实际问题
二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。
本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。
一、二次函数的基本形式二次函数一般可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中，a不等于0，否则称为一次函数。
二次函数的图像一般是一个抛物线。
二、二次函数的模型建立方法建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。
常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。
下面以几个具体的例子来说明。
例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + cy2 = ax2^2 + bx2 + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：c = a * 0^2 + b * 0 + c0 = a * x^2 + b * x + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。
由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
三、利用二次函数解决实际问题二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。
在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。
在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。
二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。
建立二次函数模型解决利润问题
与二次函数有关的实际问题——二次函数利润专题（1）学习目标：1.通过对二次函数实际问题的分析，进一步体会二次函数的实际意义。
2.学会建立二次函数的函数模型，解决与利润有关的实际问题。
3.综合运用二次函数的图像和性质解决实际问题，体会数形结合、分类讨论的数学思想。
重点：利用二次函数知识解决与利润有关的实际问题难点: 利用二次函数图像求实际问题的最值教学过程：一、诊断练习：1、“家乐福”超市在我市开业了，某专柜新到一批短袖上衣，进价为每件20元，预计售价为每件30元，每个月可卖出180件。
据调查，该商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件。
现在设每件商品的售价为x(元)，每件商品的利润为y(元)，每月销售量为z（件），月销售总利润为W（元），则y 与x的函数关系式为，z与x的函数关系式为，W与x的函数关系式为。
2、在上题中，若月销售利润W与x的函数关系如右图所示。
观察图像，写出你能得到的信息。
（至少写出3条）例如：当售价为20元时，本月利润为零；①；②；③；④。
二、典型例题：例、在前面的背景下，根据新的市场调查发现，上衣的售价每上涨2元，则每月就会少卖出20件。
（1）求W与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当这种上衣的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？请求出最大利润；变式1：6月份，物价局将下发一个文件，规定这种上衣的售价不能超过32元，求6月份的最大利润；（3）为了扩大宣传，超市希望尽可能多的销售这件上衣，那么为了本月利润恰好达到1920元，求本月这种上衣的售价定为多少。
变式2：若专柜要使这种上衣每月销售利润不低于1920元，则售价应满足什么条件？变式3：既要保证这种上衣每月销售利润不低于1920元，还要求售价不能超过35元，专柜当月至少要销售多少件上衣。
三、课堂小结：本节课你有什么收获？还有什么困惑？四、课外练习：某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为15元，最初按照每件30元销售，每月可售出20万件。
如何通过二次函数应用解决实际问题
如何通过二次函数应用解决实际问题二次函数作为一种基本的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
通过二次函数的应用，我们可以解决许多实际问题。
以下从八个方面探讨如何通过二次函数应用解决实际问题。
一、建筑和工程在建筑和工程领域，二次函数可以用于计算建筑物的重心、稳定性等。
例如，在桥梁设计中，可以利用二次函数计算桥梁的弯曲程度和承重能力。
此外，二次函数还可以用于优化工程中的资源分配和成本预算等问题。
二、金融和投资在金融和投资领域，二次函数可以用于计算复利、评估投资风险等。
例如，在股票交易中，可以利用二次函数计算股票价格的波动范围和趋势，从而制定合理的投资策略。
此外，二次函数还可以用于评估贷款的利率和还款计划等。
三、物理学和工程学在物理学和工程学领域，二次函数可以用于描述物体的运动规律、分析机械系统的动态特性等。
例如，在力学中，可以利用二次函数描述物体的加速度、速度和位移等物理量之间的关系；在机械工程中，可以利用二次函数分析机械系统的稳定性和振动等问题。
四、计算机科学在计算机科学领域，二次函数可以用于图像处理、数据分析和机器学习等方面。
例如，在图像处理中，可以利用二次函数进行图像的平滑处理、边缘检测等操作；在数据分析和机器学习中，可以利用二次函数进行回归分析、分类预测等任务。
五、生物学和医学在生物学和医学领域，二次函数可以用于描述生长曲线、药物动力学等。
例如，在生长曲线研究中，可以利用二次函数描述个体生长速度的变化规律；在药物动力学中，可以利用二次函数分析药物在体内的吸收、分布和排泄等过程。
六、经济学和商业在经济学和商业领域，二次函数可以用于研究需求供给曲线、企业成本最小化等问题。
例如，在需求供给曲线研究中，可以利用二次函数描述商品价格与需求量之间的关系；在企业成本最小化分析中，可以利用二次函数优化生产流程和资源分配等。
七、地理学和环境科学在地理学和环境科学领域，二次函数可以用于模拟气候变化、水资源分布等问题。
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x
D B
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
方法归纳
1.用二次函数解决实际问题，首先要建立好模型，而且所建 的坐标系要是最合适的，不然事倍功半；
2.根据建立好的坐标系求出该函数的解析式； 3.在实际问题中要注意自变量的取值范围内.
典例精析 例：一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的 喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
回顾与思考 问题：解决生活中面积的实际问题时，你会用到什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
讲授新课
二次函数在建筑问题中的应用
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题引导 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0， 1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
y x 12 2.25
数学化
y ●B(1,2.25) A
(0,1.25)
●
D(-2.5,0) o
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式 为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
课堂小结
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
A.50m
B.100m
C.1一段抛物线形的拱梁，抛物线的 表达式为y= ax²+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀 速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时 和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部 分的桥面OC共需3_6____秒.
∵水面下降1m，即当y=-1时， x 6 ,
∴水面宽度增加了 2 6 4 米.
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱 顶距离水面 4 m．
如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解
析式；
C A
y O
h 20 m
解：设该拱桥形成的抛
物线的解析式为y=ax2.
21.4 二次函数的应用
第2课时 建立二次函数模型解决实际问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；（重点） 2.经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决
实际问题的经验； （难点） 3.感受数学建模思想和数学的应用价值.（难点）
导入新课
“拱桥”问题
问题：如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
o
x
问题：解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2. 2
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当堂练习
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组 成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根 不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图）， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（C ）