甘肃省白银市会宁县第一中学2020届高三上学期12月月考数学(理)试题 (含解析版答案)

甘肃省会宁一中2020届高三级第四次月考
数学（理科）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数
2a i
i
+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A. -2 B. 2
C.
12
D. -1
【答案】C 【解析】
2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121
0,0552
a a a -+=≠∴=，选C. 2.已知集合{}
(,)2M x y x y =+=,{}
(,)2N x y x y =-=,则集合M N =I （ ） A. {}2,0
B. ()2,0
C. (){}
0,2
D.
(){}2,0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据交集的定义，解方程组得出集合M N I 的结果．
【详解】解：集合{(,)|2}M x y x y =+=，{(,)|2}N x y x y =-=， 则集合{(M N x =I ，2)|}{(2x y y x x y +=⎧=⎨-=⎩，{}2
)|}(2,0)0x y y =⎧=⎨=⎩
．
故选：D ．
【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．
3.“0k =”是“直线1y kx =-与圆22
1x y +=相切”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 【分析】
根据直线和圆相切的等价条件求出k 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若直线y kx 1=-与圆2
2
x y 1+=相切， 则圆心()0,0到直线kx y 10--=的距离d 1=，
即d 1=
=
=，得21k 1+=，得2k 0=，
k 0=，
即“k 0=”是“直线y kx 1=-与圆2
2
x y 1+=相切”的充要条件， 故选C ．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．
4.等差数列{}n a 中，12019a =，2019201516a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ） A. 504 B. 505
C. 506
D. 507
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据已知求得数列{}n a 的公差4d =-，再利用等差数列正负交界法求数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值.
【详解】∵数列{}n a 为等差数列，2019201516a a =-，∴数列{}n a 的公差4d =-， ∴()1120234n a a n d n =+-=-，令0n a ≥，得2023
4
n ≤. 又*n N ∈，∴n S 取最大值时n 的值为505. 故选B
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和等差数列的通项的求法，考查等差数列前n 项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
5.如图，我们从这个商标中抽象出一个函数图象，其对应的函数可能是（ ）
A. 2
1
()1
f x x =
- B. 2
1
()1f x x =
+ C. 1
()1
f x x =- D. 1
()1
f x x =
- 【答案】D 【解析】 【
分析】
直接利用排除法和函数的单调性，对称性及函数的定义域的应用求出结果．
【详解】解：根据函数的图象，对于选项A 和C ：当0x =时，(0)1f =-，所以与图象相矛盾，故均舍去．
对于选项B 当1x =时，函数1
(1)2
f =与函数在1x =时为函数的图象的渐近线相矛盾故舍去．
故选项D 正确. 故选：D ．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换
能力及思维能力，属于基础题型．
6.已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(]
,0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若
()()0.6
0.6
22a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，1
1
8822log log c f ⎛⎫
⎛⎫
=⋅
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >>
D.
c a b >> 【答案】C
【解析】 【分析】
根据题意，构造函数h （x ）＝xf （x ），则a ＝h （20.6），b ＝h （ln 2），c ＝（2
18log ）•f （21
8
log ）＝h （﹣3），分析可得h （x ）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h （x ）在（0，+∞）上为减函数，分析有21
8
log ＜0＜ln 2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】解：根据题意，令h （x ）＝xf （x ），
h （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣h （x ），则h （x ）为奇函数；
当x ∈（﹣∞，0）时，h ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＜0，则h （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，
又由函数h （x ）为奇函数，则h （x ）在（0，+∞）上为减函数， 所以h （x ）在R 上为减函数，
a ＝（20.6）•f （20.6）＝h （20.6），
b ＝（ln 2）•f （ln 2）＝h （ln 2），
c ＝（2
18log ）•f （21
8
log ）＝h （2
1
8log ）＝h （﹣3）， 因为218
log ＜0＜ln 2＜1＜20.6
，
则有c b a >>； 故选C ．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h （x ）＝xf （x ），并分析h （x ）的奇偶性与单调性．
7.设E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，给出下列四个命题:
①三棱锥11D B EF -的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒; ③11D B ⊥平面1B EF ;
④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60︒. 其中正确的
命题为（ ） A. ①② B. ②③
C. ②④
D. ①④
【答案】A 【解析】 【分析】
①根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥11D B EF -的体积为定值； ②根据11//EF D C ，转化为11D C 与11D B 所成的角； ③利用反正法判11D B 与平面1B EF 不垂直；
④平面1D EF 即为平面11D C CD ,故直线11D B 与平面1D EF 所成的角是为111C D B ∠． 【详解】解：如图所示，三棱锥11D B EF -的体积为1111112
2213323
D EF V S B C ==⨯⨯⨯⨯=V g 为
定值，①正确；
11//EF D C ，111B D C ∠是异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒，②正确；
若11D B ⊥平面1B EF ，则11D B EF ⊥，而11//EF D C 故1111D B D C ⊥,而11D B 与11D C 所成角为
45︒，③错误；
平面1D EF 即为平面11D C CD ,故直线11D B 与平面1D EF 所成的角是为11145C D B ∠=︒，④错误．
综上，正确的命题序号是①②． 故选：A ．
【点睛】本题考查了空间中的线线，线面的位置关系和体积应用问题，是基础题． 8.已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1
sin22
α= A.
3
10 B.
35
C. −
310
D.
110
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tan α的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴
2221133
sin222219110
sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ．
【点睛】本题主要考查直线
的
倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．
9.若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪
⎝
⎭在[0,]π上的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，则ω的最小值为（ ） A.
2
3
B.
34
C.
4
3
D.
32
【答案】A 【解析】 【分析】
要使()f x 的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，得到x 的范围要求，则6x πω-要在其范围内，然后得到ω的
范围，找到最小值. 【详解】0x Q π≤≤
6
6
6
x π
π
π
ωωπ∴-
≤-
≤-
而()f x 值域为1,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，发现()10sin 62f π⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
52
6
6
π
π
πωπ∴
≤-
≤
， 整理得
2
13
ω≤≤， 则ω最小值为2
3
，选A 项.
【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合
数学思想，属于中档题.
10.若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移
4
π
个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的一个对称中心为（ ） A. ()0,0
B. ,14π⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心．
【详解】解：将sin y x =的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标保持不变），得到sin 2y x =的图象，
再将函数的图象向上平移一个单位得到sin 21y x =+．再将函数的图象向右平移
4
π
个单位，得到()sin(2)11cos22f x x x π
=-+=-，
令2()2
x k k Z π
π=+
∈，解得2()4
k x k Z ππ
=
+∈， 当0k =时，4
x π
=
．
所以一个对称中心为(4
π
，1)
故选：B ．
【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11.已知不等式1010220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
…
…
„表示的平面区域为D ，若对任意的(,)x y D ∈，不等式20x y t --…恒成立，则实数t 的最大值为.
A. 1
B. -1
C. -4
D. -5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知不等式组画出可行域，可通过直线平移求得直线2z x y =-的纵截距最大时，z 最小，代入A 点坐标求得min z ，则min t z „，即可得到结果． 【详解】由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：
可求得()3,4A ，()0,1B ，()1,0C
当直线2z x y =-经过点()3,4A 时，直线的纵截距最大，z 最小 3245min z ∴=-⨯=-，5t ∴-„．
故选D ．
【点睛】本题考查线性规划求解z ax by =+的最值的问题，属于基础题． 12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()
3f x f x x
'->，则关于x 的不等式3
1(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭
的解集为（ ）
A. ()3,6
B. ()0,3
C. ()0,6
D.
()6,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件，构造函数3
()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：Q 3
(1)(3)(3)03
x f x f ---<，
3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），
Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，
3x ∴<，
令3
()()g x x f x =，
∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），
即为(3)g x g -<（3），
323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，
Q
()()
3f x f x x
'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，
32()3()0x f x x f x ∴+>，
()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，
又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.
13.若直线1l ：30++=x y m (0m >)与直线2l ：2630x y +-=
，则
m =______.
【答案】
172
【解析】 【分析】
观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可.
【详解】Q 直线1l ：30++=x y m (0m >)与直线2l ：2630x y +-=平行，直线2l ：
2630x y +-=可化为3
302
x y +-
=，利用两直线平行的距离公式
：d =
=
=，可求得23
2m =-或172m =，因为0m > 故答案为
172
【点睛】本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，,x y 的系数需化成一致，以免造成误解.
14.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】 【分析】
设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1
y x
'=， 当0x x =时，0
1y x '=
，
点A 在曲线ln y x =上的切线为000
1
()y y x x x -=
-， 即00
ln 1x
y x x -=
-， 代入点(),1e --，得00
1ln 1e
x x ---=-， 即00ln x x e =，
考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，
注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱
111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为
______. 【答案】29π 【解析】 【分析】
先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,
设球O 1的半径为r ，由题得1
1
345)34,122
r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r =.
所以球2Q 的表面积为21
429)292
ππ⋅=（
. 故答案为：29π
【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.已知函数()1122f x x x ⎛⎫
=
≤≤ ⎪⎝⎭
，记d (),k m 为函数()y f x =图像上的点到直线y kx m =+的距离的最大值，那么d (),k m 的最小值为_______.
【答案】2
【解析】 【分析】
如解析中的图所示，我们研究平行直线系与函数()1122f x x x ⎛⎫
=
≤≤ ⎪⎝⎭
图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线1l 与2l 之间，图象上的个别点在直线上．
设两条平行直线1l 与2l 之间的距离为d ．我们发现只有1l 经过点1(,2)2A ，1
(2,)2B ，2l 与图
象相切于点P 时，d (),k m 的最小值1
2
d =．求出即可
【详解】
我们研究平行直线系与函数()1122f x x x ⎛⎫
=
≤≤ ⎪⎝⎭
图象的关系， 其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线1l 与2l 之间，图象上的个别点在直线上． 设两条平行直线1l 与2l 之间的距离为d ．
我们发现只有1l 经过点1(,2)2
A ，1
(2,)2B ，2l 与图象相切于点P 时，
d (),k m 的最小值12
d =．
设001(,
)P x x ，200
1
()f x x '=-． 1AB k =-Q ，02
1
1x ∴-
=-，解得01x =． (1,1)P ∴，直线AB 的方程为：5
2
y x =-+．
5|11|
d +-∴=
=（点P 到直线距离）
(),d k m ∴
的最小值12d =． d (),k m
． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于难题
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分
17.已知直线l ：120kx y k -++= (k ∈R ). （1）证明：直线l 过定点；
（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． 【答案】（1）证明见解析（2）min 4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．
【解析】 【分析】
（1）将直线变形化简即可求得 （2）根据题意表示出12(,0)k
A k
+-
，(012)B k +，，结合三角形面积公式12S OA OB
=⋅⋅和均值不等式进行求解即可
【详解】解:(1)证明：∵直线l 的方程可化为(2)(1)0k x y ++-=，
令2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=⎩
，
∴无论k 取何值，直线总经过定点(2,1)-. (2)解：由题意可知0k ≠，再由l 的方程，得12(,0)k
A k
+-
，(012)B k +，
． 依题意得：120120
k
k
k +⎧-
<⎪⎨⎪+>⎩，解得0k >． ∵21112(12)111
12(44)(224)422222
k k S OA OB k k k k k ++=⋅⋅=
⋅+==++≥⨯⨯+=， 当且仅当 1
40k k =>，即12
k =，取“＝” ∴min
4S =，此时直线l 的方程为240x y -+=．
【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力
18.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，
c ，
且(
)
2cos cos b A C =. （1）求角A 的大小； （2）若角6
B π
=,点M 为BC 边上靠近点C 的一个四等分点，
且AM =求ABC ∆的
面积S . 【答案】（1）6
π
（2
）【解析】 【分析】
（1
，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；
（2）结合（1）知三角形ABC 为等腰三角形b CA CB ==，
b
4CM =，23
C π=在三角形ABM 中利用余弦定理求出b ，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积． 【详解】解：（1
）2cos cos cos cos cos )b A A C a C c A ==+Q
23sin()23sin =4sin cos R A C R
B R B A =+=
3
cos A ∴=
，又A 为三角形的内角， 6
A π
∴=
；
（2）结合（1）知三角形ABC 为等腰三角形6
A B π
==，23
C π
=
，又因为点M 为BC 边上靠近点C 的一个四等分点则b
4
CM =
，在三角形ABM 中利用余弦定理 ()
2
2
2
b b +-21
4cos =cos120=
b 2b 4
C ︒⎛⎫
⎪⎝⎭⨯⨯
，解得b=4，
则11
sinC 44sin120=4322
ABC S AC BC ∆==⨯⨯⨯︒g g ．
【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．
19.如图，在三棱柱111ABC A B C AB -⊥中，侧面111,BCC B AC AB =．
(1)求证：平面1ABC ⊥平面1AB C ；
(2)若12,60AB BC BCC ==∠=o
，求二面角11B AC B --的余弦值．
【答案】（1）见解析；（27
【解析】 【分析】
(1)要证平面1ABC ⊥平面1AB C ，转证1B C ⊥平面AB 1C ，即证1AB B C ⊥，1B C AG ⊥；
(2) 以G 为坐标原点，以1GC u u u u r 的方向为x 轴正方向，以1GB u u u r
的方向为y 轴正方向，建立如
图所示的空间直角坐标系G-xyz.分别求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】(1)如图，设11BC B C G ⋂=，连接AG.
因为三棱柱的侧面11BCC B 为平行四边形，所以G 为1B C 的中点， 因为1AC AB =，
所以1AB C V 为等腰三角形，所以1B C AG ⊥， 又因为AB ⊥侧面11BCC B ，且1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1AB B C ⊥ 又因为AB AG A ⋂=，
所以1B C ⊥平面AB 1C ，又因为1B C ⊂平面1AB C ， 所以平面1ABC ⊥平面1AB C ；
（2）由（1）知1B C ⊥平面AB 1C ，所以1B C ⊥B 1C
以G 为坐标原点，以1GC u u u u r 的方向为x 轴正方向，以1GB u u u r
的方向为y 轴正方向，建立如图所
示的空间直角坐标系G-xyz.
由1B C ⊥B 1C 易知四边形11BCC B 为菱形，因为12,60AB BC BCC ==∠=o
所以11
1.3GB GC GC BG ==== 则可得()()()
()1100010003102G C B A -，
，，，，，，，，，，， 所以()()
111AC =202B C =1,3,0--u u u u v u u u u v
，
，， 设平面11AC B 的法向量(),,n x y z v
=，
由111AC =0B C =0n n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩u u u u v v
u u u u v v 得：22030x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，取z=1，所以3n ⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
v ，
由（1）知1GB u u u r
=()
为平面AB 1C 的法向量，
则(
)
111GB cosGB ,7GB n n n
u u u u v v
u u u u v v u u u u v v ⎛⎫
⋅ ⎪⋅==
==⋅ 易知二面角11B AC B --
【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，1,2,3n =L （1）证明：113n n a a +--=，2,3n =L ；
（2）求和：12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+L 【答案】（1）证明见解析
（2）293322
n n --
【解析】 【分析】
（1）由递推式135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅，取n 为1n -，两式做差即可得证； （2）由（1）得{}2n a 为公差为3，首项为7的等差数列，再利用等差数列前n 项和公式求解即可.
【详解】解：（1）135,1,2,3n n a a n n ++=+=⋅⋅⋅Q ①
13(1)5,2,3,4n n a a n n -∴+=-+=⋅⋅⋅②
①－②得113,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅ ， 即命题得证；
（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+-L
21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+- 2462(3)()n a a a a =-⨯+++⋅⋅⋅+
由（1）得{}2n a 为公差为3的等差数列，又由11a =，128,a a +=解得27a =，
12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+∴-+-+-L
2(1)933(3)(73)222
n n n n
n -=-⨯+⨯=--
， 故1223344521
2122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+L 293322
n n
=--
. 【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前n 项和公式，属中档题.
21.已知函数22()ln (0)x
e f x a x x x x ⎛
⎫=+-> ⎪⎝
⎭.
（1）若函数()f x 在区间()0,2内有两个极值点1x ，()212x x x <，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的基础上，求证：122ln x x a +<.
【答案】(1) 2
2
e e a << (2)证明见解析
【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a 的范围即可．
（2）利用（1）可判120ln 2x a x <<<<，要证122ln x x a +<只需证122ln x a x <-，利用极值点偏移证出()()222ln h x h a x >-，构造函数()()(2ln )F x h x h a x =--研究单调性即可.
【详解】（1）()()()23
21202x
e x
f x a x x x x -⎛
⎫'=--<< ⎪⎝⎭
()()3
2x x e ax x --=
作题1x ，2x 是x
y e ax =-在()0,2上的两个零点
令()()02x
h x e ax x =-<<
()x h x e a '=-
02x <<Q ，21x e e ∴<<
①若1a ≤，()0h x '>，()h x 在()0,2上递增，至多有1个零点，不合题意 ②若2a e ≥，()0h x '<，()h x 在()0,2上递减，至多有1个零点，不合题意
③若21a e <<，()h x 在()0ln a ，
递减，()ln ,2a 递增， 而()010h =>，()2
22h e a =-，()()()min ln 1ln h x h a a a ==-
()2
211ln 020
a e a a e a ⎧<<⎪∴-<⎨⎪->⎩
2
2e e a ⇒<<
（2）由（1）知120ln 2x a x <<<<
2
2
e e a <<Q ，1ln 2ln 2a ∴<<-
要证122ln x x a +< 只需证122ln x a x <-
Q 2-2<-x ln a <-
22ln (2ln 2,ln )(0,ln )a x a a a ∴-∈-⊆又因为1(0,ln )x a ∈
而()h x 在()0,ln a 递减从而只需证()()122ln h x h a x >-，又()12()h x h x =
∴只需证()()222ln h x h a x >-，2(ln ,2)x a ∈
令()()(2ln )F x h x h a x =--，(ln ,2)x a ∈
()()2ln ()(1)x a x F x e a e a -'=---⨯-
2220x x e a e a a -=+-≥=
()F x ∴为(ln ,2)a 递增
()(ln )0F x F a ∴>=，即有()(2ln )h x h a x >-
122ln x x a ∴+<
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值点偏移问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.
22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为122x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
22cos 20ρρθ--=，点P
的极坐标是2)3
π
. （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离； （2）若直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求PMN ∆的面积. 【答案】（1）极坐标方程为()3
R π
θρ=∈
.d =
（2
）2
PMN S ∆=
【解析】 【分析】
（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩求出直线的极坐标方程，进
而可得点到直线的距离；
（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN 的长度，从而得出面积.
【详解】（1
）由1
2
2
x t y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
消去t ，
得到y =，
则sin cos ρθθ=
，
∴3π
θ=，
所以直线l 的极坐标方程为()3R π
θρ=∈.
点23P π⎫⎪⎪⎝⎭
到直线l
的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭（2）由22203cos ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩
， 得220ρρ--=，
所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以
123MN ρρ=-==， 则PMN ∆
的面积为11322PMN S MN d ∆=⨯=⨯=. 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈
（Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；
（Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.
【答案】(Ⅰ) 4{|2}3x x -≤≤ (Ⅱ) 4a =-
【解析】
【分析】
（Ⅰ）a=-2时，()f =|2+2||1|x x x +- ，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论1,11,1x x x ≤--<<≥ ，去绝对值解不等式，最后取并集即可；
（Ⅱ）法一：2a < 时，12a
< ，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在2
a x = 处取最小值3，进而求出a 值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a ．
【详解】(Ⅰ) 2a =-时，不等式为|2+2||1|5x x +-≤
①当1x ≤- 时，不等式化为22+15x x ---≤，2x ≥-，此时 21x -≤≤-
②当11x -<< 时，不等式化为2+2+15x x -≤，2,11x x 此时：
≤-≤< ③当1x ≥ 时，不等式化为2+2+15x x -≤，4x 3≤，此时41x 3≤≤ 综上所述，不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤
（Ⅱ）法一：函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即12
a <时， ()31()211231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪⎛⎫=-+≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-->⎪⎩
所以f (x )min ＝f （2a ）＝－2
a ＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4. 法二： ()()21112221122a a a f x x a x x x x x x a a x x =-+-=-
+-+-≥-+-⎛⎫≥---=- ⎪⎝
⎭ 所以()min 132a f x =
-=，又2a <，所以4a =-. 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．。