组合数学教学中的重点和难点分析

’ 元 集 的 +-可 重 复 排 列 数 为 ’+。 ’ 元 集 的 +-组 合 数 为
’ 元 集 的 +-可 重 复 组 合 数 为
’1+-# $ % +
例 " 解
。 由 # 到 % 这 % 个自然数可组成多少个
大 于 )2 """ 的 2 位 数 ？ 设由 # 到 % 这 % 个自然数组成的大于 则这 , 个 2 位数可以 )2 """ 的 2 位 数 共 有 , 个 ， 分为下面 $ 类： （#） 万 位 数 字 为 ) 的 2 位 数 。属 于 此 类 的 2 位数的千位数字必为 2 或 %， 故 此 类 2 位 数 有 $3
$ （$!） ・ * $ % ( % (,-,"& %#% %(! " $
""! 只 鸽 子 住 进 " 个 鸽 巢 ， 则 至 少 存 在 某 个 %，
第 % 个 巢 中 至 少 有 -% 只 鸽 子 ， %(!+#+…+"。 鸽笼原理可以解决许多涉及存在性的组合 问题， 但对于一些更加复杂的有关存在性的组合 年 仅 #% 岁 的 英 国 问 题 就 显 得 无 能 为 力 。!.#/ 年 ， 数 学 家 012345 证 明 了 012345 定 理 。 012345 定 理 可以视为鸽笼原理的再次推广。 人们普遍认为 最完美的定理 012345 定 理 是 组 合 数 学 中 最 重 要 、 之一。 对于任意给定的 * 个 012345 定 理 叙 述 如 下 ： 总存在一个只依赖于 正整数 .， /， 0#. !0， / !0$，
数学知识来源于实践， 又服务于 实践，它与实际生活联系十分密切。 教师要充分利用学生已有的生活经 验，从生活实际中引出数学问题， 让 学生体会到数学就在身边， 感受到数 学的趣味和价值，体验到数学的魅 力，从而培养和提高数学应用能力。 基于以上认识， 在教学实践中笔者从 以下几个方面努力， 以实现 “联系生 活实际， 让数学生活化” 。 一、 以 “生活情境” 的导入， 引出 数学问题 心理学研究表明， 学习内容与学 生熟悉的生活情境越贴近， 学生自觉 接纳知识的程度就越高。所以， 教师 要善于挖掘数学内容中的生活情境， 让数学贴近 生活； 要尽量创设一些生活情境， 从中引出数学 问题，并以此让学生感悟到数学问题的存在， 引 起学习的需要， 从而使他们积极主动地投入到学 习、 探索之中。例如： 在教 “积的近似值” 时， 笔者 让学生轮流当顾客买一定数量的某种商品。 买 , 千克。 学 生甲： 每 千 克 ",$-& 元 的 水 果 冻 ， 营业员： 请 您 付 -’ $ &. 元 。 买 , 千克。 学 生乙： 每 千 克 "’$(& 元 的 什 锦 糖 ， 营业员： 请 您 付 ," $ . 元 。 …… 突然， 学生乙提出疑问， 每 千 克 "’ $ (& 元 的 什 锦 糖 ， 买 , 千 克 怎 么 要 付 ," $ . 元 ， 应 该 付 ," $ (. 元。一石激起千层浪， 其他学生也纷纷提出了同 用学生身边的事情， 呈现教学内容， 增加了数学 教学的趣味性和现实性， 使学生在学习积的近似 值时， 不再感到枯燥乏味， 从而增强了教学实效。
负， 从而由整数分拆和乘法原则有
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合问题， 分法有
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（四） 分配问题
种分法。第 # 个问题是组 种， 即
+ " ( , - , $ , ( ! , $ , ( # , $ , ( * , " ( ! ’( # " ( ! ’( * " ( #’( * $ ( !’( #’( * ( * " $ *・# " " * 。
!""# 年第 $ 期
联让 系数 生学 活生 实活 际化
! 陈丽群
二 、借 助“ 生 活 经 验 ” ，思 考 数 学 问题 一切科学知识都来自生活， 受生活 的 启 迪 。小 学 数 学 知 识 与 学 生 生 活 有 着 密切的联系，学生生活经验是否丰富， 在一定程度上影响其学习的效果。因 此， 在教学时， 教师要注重联系学生实 际， 借助他们头脑中已经积累的生活经 验， 让学生学会思考数学问题， 从而强 化学生的数学意识， 培养学生的数学能 力。在教 “简单条形统计图” 时， 笔者设 计了这样一道题： 出示两张统计图/问0 “上面条形统计图中，哪一张统计图是 销 售 游 泳 衣 的 ？哪 一 张 统 计 图 是 销 售 羊 毛衫的？” 学生借助自己的生活经验， 知道游泳衣的销
， 则 ,! ,*" ! # 。 $）
#*#
乘法原则
已知做一件事要依次经过 $ 个
步骤， 且 在 已 完 成 前 面 # &$ （# ## #$ ） 个步骤的 情况下， 完 成 第 # 个 步 骤 有 ’# 种 方 法 ， 则做这件
!2
（! ） 方 程 !!"!#" … "!"#$ 的 非 负 整 数 解 的 个数是
+ "( * $ ( !% ( #% ( * ， ,( %,(#"， ( ! ’( # ( ( ! ’( * ( ( # ’ ( * (!+ ( !’ ( #’ ( * ( ’ 。
由容斥原理得
! # " … " ! !’ # ! 且 ! ! " ! # " … " ! !’ # " ， 其 中 ! % ， &! 非
个小孩， 使得每个小孩至少分得一件物品的不同 方法数， 求 +" 的 计 数 公 式 。 解 以 * 表示把 " 件相异物品分给 * 个小 孩的不同方法的集合， 则 , * , ( * "。以 (（ #， % %(!， 表示 * 中使得第 % 个小孩没有分得物品的分配 *） 方法所成的集合， 则
""$ $! ! " $
羊毛衫的销售高峰 售高峰在第三季度— —— 夏 天 ， 在 第 四 季 度— —— 入 冬 ， 迅速得出前一张条形统计 图是销售游泳衣的， 后一张条形统计图是销售羊 毛 衫 的 正 确 结 论 。因 此 ， 教师在进行教学设计时， 题外，还要为学生在生活中寻找解题的依据， 使 学生能借助生活经验来思考数学问题。 三、 以 “生活实践” 的回归， 解决数学问题 学以致用是数学教学的一个基本原则。 《数 学课程标准》 中也明确指出： “教师应该充分利用 学生已有的生活经验， 引导学生把所学的数学知 识应用到现实中去， 以体会数学在现实生活中的 应用价值。” 因此， 在数学生活化的学习过程中， 教师要注重引导学生领悟数学 “源于生活， 又用 数学知识， 学会从生活实践中解决数学问题。在 教 “长方形和正方形的面积” 时， 笔者创设了这样 宽 - 米的客厅， 妈妈准 一个情境： 有一间长 ( 米、
（六） &’()*+ 定 理 鸽笼原理是组合数学中最简单也是最基本 的原理， 也叫抽屉原理。 即 “若有 " 个鸽子巢， ", 则至少有一个巢内有至少 # 只鸽子。” % 只鸽子， 将此鸽笼原理加以推广，就得到如下鸽笼原理： 并 有 -!"-#" … "-"" -!+-#+ … +-" 都 是 正 整 数 ，
’-# 场 比 赛 才 可 以 决 出 冠 军 。
加法原则和乘法原则是组合数学中 $ 个最 基本的计数法则， 由它们可以导出一些排列组合 公式， 并且可以直接用其解决实际问题。 （二） ! 个基本的计数公式 公式 ! 公式 " 公式 # 公式 $
’ 元 集 的 +-排 列 数 为
’. 。 /’-+0. ’. 。 +./’-+0.
$
事情的方法共有
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#%$
#
种。
相等原则是组合数学 中一个非常重要的原则， 是 进 行 模 型 转 换 的 基 础 。当 直 接求取一个集合的基数遇 到困难时， 可以采取迂回战术， 可用相等原则把 例 ! 解 需 ’ 名选手参加乒乓球单打淘汰赛， 用 " 表 用 ! 表示全部比赛组成的集合， 组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。 问题转化为求另一个集合的基数。 要打多少场比赛才可以产生冠军？ 示除冠军之外的选手组成的集合， 则 ,",*’-#。 作 从 ! 到 " 的 映 射 (： 设 )$! ， 若在比赛 ) 中选手 * 被淘汰， 则 ( & )’ % * ， 显然是 ! 到 " 上的 一个一一对应映射。 由相等原则， ,! ,*,",*’-#， 所 以 要 进 行
；
（# ） 方 程 !!"!#" … "!"#$ 的 正 整 数 解 的 个 数为
"$! ! " $ $!
例 !
。 有纪念章 % 枚、 纪念册 & 本， 分送给
问有多少种分法？如果限制每人得一 !’ 位 同 学 ， 件物品， 则又有多少种分法？ 解 设 !% 是 分 给 第 % 个 同 学 的 纪 念 章 ， &! 是 则第 ! 个问题为： 分给第 ! 个同学的纪念册， !!"
设 ! 为有限集， ! #!! （# *#+$+
!!
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， 且 ! #"! !%% （# ## #! #
%) 个 。
（$） 万位数大于 ) 的 2 位数。 属 于 此 类 的 2 位 数 的 万 位 数 字 必 为 !， 2 或 故 此 类 2 位 数 有 )3%! 个 。 %， 由 加 法 原 则 得 , * $ 3 % ) 1 ) 3 % ! * ! )$" 。 （三） 整数分拆 整数分拆表现为下列 $ 个方面：
!’ ! " %
种分法。
分 配 问 题 可 以 用 生 成 函 数 来 解 决 。许 多 组 合 计数问题可以转化为球到盒子的分配， 转化后盒 子的限制只能是容量限制， 对球的限制则可分为 前者对应 所有球均不相同和所有球均相同 # 类， 排列计数问题， 后 者 对 应 组 合 计 数 问 题 。# 种 分 配 分别利用常生成函数和指数生成函数求解。 另外， 许多组合计数问题往往归结为求某个 （"!’） 的通项公式， 但直接求通项公式 数列 # ’" $ 往往比较困难， 这时可考虑先求数列的生成函数 然后求出幂级数展开式， 则 ’" 就 是 展 开 式 ( #)$， 中 的 )" 系 数 。 （五） 容斥原理 容斥原理又称为包含排斥原理， 它是解决组 合 计 数 问 题 的 一 个 重 要 工 具 。容 斥 原 理 的 一 般 形 式如下： （%(!+#+ … ， ， 设 * 为有限集， ( %"* "， "!#） 则
其一切 0 元子集都属于 !，或者 * 有一个 / 元子 集， 其一切 0 元子集都属于 "。 组合数学中基本的计数问题如上所述， 此
在解计数问题时， 有时间接计算比直接计算 要简单得多， 这也是容斥原理被广泛使用的原因。 例 " 以 +" 表 示 把 " 件 不 同 的 物 品 分 给 *
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西江教育论丛
.， /， 0 的 最 小 正 整 数 1 #. ， /， 0 $ 。当 有 限 集 * 的 元
素 个 数 2!1 #. ， 对 30#*$ 的 任 一 个 #$ 分 /， 0$ 时 ，
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( %!’( %#’… ’( %$ 。 划 ： 3 0 # * $ ( ! % " # ! ’" # , $ ， * 有一个 . 元子集，
西江Biblioteka Baidu育论丛
!""# 年第 $ 期
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组合数学教学中的重点和难点分析
% 赵玉明
一、 概述 据传说， 大 禹 在 ! """ 多 年 前 就 观 察 到 神 龟 背 上 的 幻方， 这 是 有 关 组 合 数 学 的 最 早 记 录 。我 国 古 代 数学家在组合数学方面取得了举世瞩目的成就。 贾宪著有 《黄帝九章细 北宋数学家 （ 约 ## 世 纪 ） 草》 、 《 算 法 学攴 古 集 》 ， 现都已失传。杨辉所著 《详 中， 曾 引 用 贾 宪 的“ 开 方 解九章算法》 （ #$%# 年 ） 作法本源” 图 （即指数为正整数的二项式展开系 数表， 现称 “杨辉三角形” ） 和 “增乘开方法” （求 高次幂的正根法） 。 前 者 比 帕 斯 卡 三 角 形 早 %"" 年， 后者比霍纳的方法 （ #&#’ 年 ） 早 ((" 年 。 莱布尼兹所著的 《组合学论文》 一书 #%%% 年 ， 问世， 这 是 组 合 数 学 的 第 # 部 专 著 。书 中 首 次 使 用了 “组合论” 一词。 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和 普 及 之 后 。由 于 组 合 数 学 涉 及 面 广 、 内容庞杂， 并 且仍在很快地发展着， 因而还没有一个统一而有 效的理论体系。这与数学分析形成了对照。 组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最 主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换， 但是， 要学好组合数学并非易事， 这既需要 一定的数学修养， 也要进行相当的训练。 二、 组合数学中的重点和难点 （一） ) 个基本的计数原则 相等原则 设 !， " 为 $ 个有限集，如果存 在 ! 到 " 上的一个一一对应映射 （即双射） ， 则 ! 的基数等于 " 的基数。 加法原则 …， ， 如果 !% $）