中北大学精品课程-2_连续时间信号与系统的时域分析
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d2 v(t ) 1 dv(t ) 1 d i (t ) C + + v(t ) = S dt 2 R dt L dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。 并联电路系统的二阶微分方程。 这是一个代表 并联电路系统的二阶微分方程
2 连续时间信号与系统的时域分析 n阶线性时不变系统的描述 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统， 一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之 间的关系， 间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
完全解:齐次解和特解相加, 完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. 在系统分析中， 在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
2 连续时间信号与系统的时域分析 .一组边界条件可以给定为在此区间内任一 一组边界条件可以给定为在此区间内任一 要求解满足
B(常数 常数 )
tp eα t
cos(ω t )
b t p + b2t p−1 +L+ bpt + bp+1 1
beα t
b cos(ω t ) + b2 sin (ω t ) 1
p p−1 1 2 p p+1
sin(ω t )
t peα t sin(ω t ) t peα t
(b t +b t +L+b t +b )e cos(ω t) cos(ω t ) + (d t + d t +L+ d t + d )e sin (ω t )
2 连续时间信号与系统的时域分析 在电流、电压取关联参考方向条件下， 在电流、电压取关联参考方向条件下，常用元件 的电压电流关系如下： 的电压电流关系如下：
2 连续时间信号与系统的时域分析
【例】求图示电路的端电压与激励源之间的关系. 求图示电路的端电压与激励源之间的关系.
电阻 电感 电容 根据KCL 根据
2 连续时间信号与系统的时域分析 2 冲激函数匹配法 配平的原理： 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡. 及各阶导数应该平衡.
【例】
d 知 y y(t ) + 3y(t ) = 3δ ′(t ) 已 y(0− ), 求 (0+ ) dt
该过程可借助数学描述
2 连续时间信号与系统的时域分析
dt dt
2 连续时间信号与系统的时域分析 •对于一个具体的电网络，系统的 0状态就是系统中 对于一个具体的电网络， 对于一个具体的电网络 − 储能元件的储能情况; 储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 换路定则： 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
考虑已知初始条件， 考虑已知初始条件，得
2 连续时间信号与系统的时域分析
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定， 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。 齐次解只与系统本身特性有关。
vC (0− ) = vC (0+ ), iL (0− ) = iL (0+ ).
•当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 作用于电感， 0 到 状态就会发生跳变。 0 状态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 0− 到 0+ 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 δ (t ) 及 其各阶导数项。
2 连续时间信号与系统的时域分析
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型 •许多实际系统可以用线性系统来模拟。 许多实际系统可以用线性系统来模拟。 许多实际系统可以用线性系统来模拟 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 若系统的参数不随时间而改变， 若系统的参数不随时间而改变 线性常系数微分方程来描述。 线性常系数微分方程来描述。 来描述
时刻
的各值。通常取 的各值。 条件。 条件。 数.
相对应的一组条件就称为初始
通过求解联立的方程组，可得齐次解中的待定系 过求解联立的方程组， 过求解联立的方程组
2 连续时间信号与系统的时域分析 几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 激励函数
E(常数 ) 常数
响应函数r(t)的特解 响应函数 的特解
1 i (t ) = v(t ) R
R
iR
iL L C
ic
+
a
1 t iL (t ) = ∫ v(τ ) dτ L −∞ dv(t ) iC (t ) = C dt
is (t )
R
v( t )
−
b
iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) = iS (t )
代入上面元件伏安关系， 代入上面元件伏安关系，并化简有
− +
2 连续时间信号与系统的时域分析 【例】 设线性时不变系统微分方程为 已知 求
考虑到 将
有 代入上式得
2 连续时间信号与系统的时域分析
对于具体的系统， 对于具体的系统，系统的起始状态往往容易求 为求解描述线性时不变系统的微分方程， 得。为求解描述线性时不变系统的微分方程，就需 状态. 要从已知的 状态设法求得 状态. 当系统用微分方程表示时， 当系统用微分方程表示时，从 到 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含 及其各阶导数项， 及其各阶导数项，包含则说明响应 及各阶导数发 状态的跳变.这时， 生了从 到 状态的跳变.这时，如果要确定 、 等状态， 等状态，可以利用微分方程两端各奇异函数项 的系数相平衡的方法来判断， 的系数相平衡的方法来判断，并对方程从 到 积分， 时刻的初始值。 积分，从而求得 时刻的初始值。
αt
p p−1 1 2 p p+1
αt
2 连续时间信号与系统的时域分析
【例】 已知给定的线性时不变系统微分方程为
其中激励 ,并且 求系统的完全响应。 求系统的完全响应。 特征方程为 ，
当激励
时,微分方程的特解为
2 连续时间信号与系统的时域分析 将 及其导数和 代入系统微分方程， 代入系统微分方程，得
2 连续时间信号与系统的时域分析 2 求解系统微分方程的经典方法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 分析系统的方法：列写方程，求解方程。
, 列写方程: 根据元件约束网络拓扑约束 经典法 应 零输入响应和零状态响 零输入: 可利用经典法求解 解方程 零状态: 利用卷积积分法求解 变换域法 求解方程时域经典法就是： 求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解
dn y(t) dn−1 y(t) d y(t) an + an−1 +L+ a1 + a0 y(t) n n−1 dt dt dt dm x(t) dm−1 x(t) d x(t) = bm + bm +L+ b1 + b0 x(t) m m−1 dt dt dt
若系统为时不变的， 均为常数， 若系统为时不变的，则 均为常数，此方程 为常系数的n阶线性常微分方程 阶线性常微分方程。 为常系数的 阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件个数决定。 阶次 方程的阶次由独立的动态元件个数决定。 方程的阶次由独立的动态元件个数决定
方 右 含 δ ′(t ) 程 端 3
d y(t ) y(t )中 含 δ (t ) 包 3 3 中必含 δ ′(t ) dt d y(t ) 必含− 9δ (t )以平衡 y(t )中的 δ (t ) 3 9 dt
δ 方程右端不含 (t )
d y(t ) 中的 − 9δ (t ) dt
在 y(t )中t = 0 时刻有 − 9∆u(t )
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
1.系统的起始状态和初始状态 1.系统的起始状态和初始状态
0−
O
0+
t
系统在激励信号加入前瞬间的状态 起始状态包含了响应的全部过去信息， 起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映 系统中储能元件的储能状况。 系统中储能元件的储能状况。
2 连续时间信号与系统的时域分析
用卷积积分只能求到系统的零状态响应， 用卷积积分只能求到系统的零状态响应，零输入响 应仍需用经典法求得。 应仍需用经典法求得。 本章在经典法求解微分方程的基础上， 本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论 系统的零输入响应和零状态响应。 系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应 和卷积积分等概念， 和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。
2 连续时间信号与系统的时域分析 •根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络 对于电路系统， 对于电路系统 拓扑约束列写系统的微分方程。 拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 元件特性约束：表征元件特性的关系式。 件电阻、电容、 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系 KCL，KVL。 ， 。
的相对跳变函数，所以， ∆u(t ) 表示 0− 到 0+ 的相对跳变函数，所以，
y(0+ ) − y(0− ) = −9 即 y(0+ ) = y(0− ) −9
2 连续时间信号与系统的时域分析
d 由方程 y(t ) + 3r(t ) = 3δ ′(t )可知 dt d 方 右 含δ ′(t )项 它一定属于 y(t ) 程 端 ， dt d y(t ) = aδ ′(t ) + bδ (t ) + c∆u(t ) 设
2 连续时间信号与系统的时域分析 齐次解：由特征方程→求出特征根 求出特征根→写出齐次解形式 齐次解：由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 注意重根情况处理方法。 特 根据微分方程右端函数式形式， 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程， 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 定出特解。
2 连续时间信号与系统的时域分析
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统的经典时域解法 零输入响应与零状态响应 2.2 零输入响应与零状态响应 2.3 冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积积分 2.5 相关
2 连续时间信号与系统的时域分析 采用输入输出描述时， 采用输入输出描述时，系统的时域解法包含两 方面内容，一方面是经典法直接求解微分方程, 方面内容，一方面是经典法直接求解微分方程,另一方 面是卷积法求解微分方程。 面是卷积法求解微分方程。 利用经典法求解描述系统的微分方程， 利用经典法求解描述系统的微分方程，这种解 法将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分， 法将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分， 也可以按照产生响应原因的不同将系统响应分解为零 输入响应和零状态响应。 输入响应和零状态响应。 卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和， 卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和，借 助系统的冲激响应， 助系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励 信号的零状态响应。 信号的零状态响应。
d y(0− ) d2 y(0− ) dn−1 y(0− ) y (0− ) = y(0− ), , ,L 2 dt dt dt n−1
(k )
来自百度文库
0+ 状 响应区间内 态
dt
时刻的一组状态 d y(0+ ) d2 y(0+ ) dn−1 y(0+ ) (k ) y (0+ ) = y(0+ ), , ,L 2 n−1
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。 并联电路系统的二阶微分方程。 这是一个代表 并联电路系统的二阶微分方程
2 连续时间信号与系统的时域分析 n阶线性时不变系统的描述 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统， 一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之 间的关系， 间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
完全解:齐次解和特解相加, 完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. 在系统分析中， 在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
2 连续时间信号与系统的时域分析 .一组边界条件可以给定为在此区间内任一 一组边界条件可以给定为在此区间内任一 要求解满足
B(常数 常数 )
tp eα t
cos(ω t )
b t p + b2t p−1 +L+ bpt + bp+1 1
beα t
b cos(ω t ) + b2 sin (ω t ) 1
p p−1 1 2 p p+1
sin(ω t )
t peα t sin(ω t ) t peα t
(b t +b t +L+b t +b )e cos(ω t) cos(ω t ) + (d t + d t +L+ d t + d )e sin (ω t )
2 连续时间信号与系统的时域分析 在电流、电压取关联参考方向条件下， 在电流、电压取关联参考方向条件下，常用元件 的电压电流关系如下： 的电压电流关系如下：
2 连续时间信号与系统的时域分析
【例】求图示电路的端电压与激励源之间的关系. 求图示电路的端电压与激励源之间的关系.
电阻 电感 电容 根据KCL 根据
2 连续时间信号与系统的时域分析 2 冲激函数匹配法 配平的原理： 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡. 及各阶导数应该平衡.
【例】
d 知 y y(t ) + 3y(t ) = 3δ ′(t ) 已 y(0− ), 求 (0+ ) dt
该过程可借助数学描述
2 连续时间信号与系统的时域分析
dt dt
2 连续时间信号与系统的时域分析 •对于一个具体的电网络，系统的 0状态就是系统中 对于一个具体的电网络， 对于一个具体的电网络 − 储能元件的储能情况; 储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 换路定则： 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
考虑已知初始条件， 考虑已知初始条件，得
2 连续时间信号与系统的时域分析
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定， 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。 齐次解只与系统本身特性有关。
vC (0− ) = vC (0+ ), iL (0− ) = iL (0+ ).
•当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 作用于电感， 0 到 状态就会发生跳变。 0 状态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 0− 到 0+ 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 δ (t ) 及 其各阶导数项。
2 连续时间信号与系统的时域分析
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型 •许多实际系统可以用线性系统来模拟。 许多实际系统可以用线性系统来模拟。 许多实际系统可以用线性系统来模拟 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 若系统的参数不随时间而改变， 若系统的参数不随时间而改变 线性常系数微分方程来描述。 线性常系数微分方程来描述。 来描述
时刻
的各值。通常取 的各值。 条件。 条件。 数.
相对应的一组条件就称为初始
通过求解联立的方程组，可得齐次解中的待定系 过求解联立的方程组， 过求解联立的方程组
2 连续时间信号与系统的时域分析 几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 激励函数
E(常数 ) 常数
响应函数r(t)的特解 响应函数 的特解
1 i (t ) = v(t ) R
R
iR
iL L C
ic
+
a
1 t iL (t ) = ∫ v(τ ) dτ L −∞ dv(t ) iC (t ) = C dt
is (t )
R
v( t )
−
b
iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) = iS (t )
代入上面元件伏安关系， 代入上面元件伏安关系，并化简有
− +
2 连续时间信号与系统的时域分析 【例】 设线性时不变系统微分方程为 已知 求
考虑到 将
有 代入上式得
2 连续时间信号与系统的时域分析
对于具体的系统， 对于具体的系统，系统的起始状态往往容易求 为求解描述线性时不变系统的微分方程， 得。为求解描述线性时不变系统的微分方程，就需 状态. 要从已知的 状态设法求得 状态. 当系统用微分方程表示时， 当系统用微分方程表示时，从 到 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含 及其各阶导数项， 及其各阶导数项，包含则说明响应 及各阶导数发 状态的跳变.这时， 生了从 到 状态的跳变.这时，如果要确定 、 等状态， 等状态，可以利用微分方程两端各奇异函数项 的系数相平衡的方法来判断， 的系数相平衡的方法来判断，并对方程从 到 积分， 时刻的初始值。 积分，从而求得 时刻的初始值。
αt
p p−1 1 2 p p+1
αt
2 连续时间信号与系统的时域分析
【例】 已知给定的线性时不变系统微分方程为
其中激励 ,并且 求系统的完全响应。 求系统的完全响应。 特征方程为 ，
当激励
时,微分方程的特解为
2 连续时间信号与系统的时域分析 将 及其导数和 代入系统微分方程， 代入系统微分方程，得
2 连续时间信号与系统的时域分析 2 求解系统微分方程的经典方法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 分析系统的方法：列写方程，求解方程。
, 列写方程: 根据元件约束网络拓扑约束 经典法 应 零输入响应和零状态响 零输入: 可利用经典法求解 解方程 零状态: 利用卷积积分法求解 变换域法 求解方程时域经典法就是： 求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解
dn y(t) dn−1 y(t) d y(t) an + an−1 +L+ a1 + a0 y(t) n n−1 dt dt dt dm x(t) dm−1 x(t) d x(t) = bm + bm +L+ b1 + b0 x(t) m m−1 dt dt dt
若系统为时不变的， 均为常数， 若系统为时不变的，则 均为常数，此方程 为常系数的n阶线性常微分方程 阶线性常微分方程。 为常系数的 阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件个数决定。 阶次 方程的阶次由独立的动态元件个数决定。 方程的阶次由独立的动态元件个数决定
方 右 含 δ ′(t ) 程 端 3
d y(t ) y(t )中 含 δ (t ) 包 3 3 中必含 δ ′(t ) dt d y(t ) 必含− 9δ (t )以平衡 y(t )中的 δ (t ) 3 9 dt
δ 方程右端不含 (t )
d y(t ) 中的 − 9δ (t ) dt
在 y(t )中t = 0 时刻有 − 9∆u(t )
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
1.系统的起始状态和初始状态 1.系统的起始状态和初始状态
0−
O
0+
t
系统在激励信号加入前瞬间的状态 起始状态包含了响应的全部过去信息， 起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映 系统中储能元件的储能状况。 系统中储能元件的储能状况。
2 连续时间信号与系统的时域分析
用卷积积分只能求到系统的零状态响应， 用卷积积分只能求到系统的零状态响应，零输入响 应仍需用经典法求得。 应仍需用经典法求得。 本章在经典法求解微分方程的基础上， 本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论 系统的零输入响应和零状态响应。 系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应 和卷积积分等概念， 和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。
2 连续时间信号与系统的时域分析 •根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络 对于电路系统， 对于电路系统 拓扑约束列写系统的微分方程。 拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 元件特性约束：表征元件特性的关系式。 件电阻、电容、 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系 KCL，KVL。 ， 。
的相对跳变函数，所以， ∆u(t ) 表示 0− 到 0+ 的相对跳变函数，所以，
y(0+ ) − y(0− ) = −9 即 y(0+ ) = y(0− ) −9
2 连续时间信号与系统的时域分析
d 由方程 y(t ) + 3r(t ) = 3δ ′(t )可知 dt d 方 右 含δ ′(t )项 它一定属于 y(t ) 程 端 ， dt d y(t ) = aδ ′(t ) + bδ (t ) + c∆u(t ) 设
2 连续时间信号与系统的时域分析 齐次解：由特征方程→求出特征根 求出特征根→写出齐次解形式 齐次解：由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 注意重根情况处理方法。 特 根据微分方程右端函数式形式， 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程， 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 定出特解。
2 连续时间信号与系统的时域分析
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统的经典时域解法 零输入响应与零状态响应 2.2 零输入响应与零状态响应 2.3 冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积积分 2.5 相关
2 连续时间信号与系统的时域分析 采用输入输出描述时， 采用输入输出描述时，系统的时域解法包含两 方面内容，一方面是经典法直接求解微分方程, 方面内容，一方面是经典法直接求解微分方程,另一方 面是卷积法求解微分方程。 面是卷积法求解微分方程。 利用经典法求解描述系统的微分方程， 利用经典法求解描述系统的微分方程，这种解 法将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分， 法将系统的全响应分为自由响应和强迫响应两部分， 也可以按照产生响应原因的不同将系统响应分解为零 输入响应和零状态响应。 输入响应和零状态响应。 卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和， 卷积法是将信号分解成许多冲激信号之和，借 助系统的冲激响应， 助系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励 信号的零状态响应。 信号的零状态响应。
d y(0− ) d2 y(0− ) dn−1 y(0− ) y (0− ) = y(0− ), , ,L 2 dt dt dt n−1
(k )
来自百度文库
0+ 状 响应区间内 态
dt
时刻的一组状态 d y(0+ ) d2 y(0+ ) dn−1 y(0+ ) (k ) y (0+ ) = y(0+ ), , ,L 2 n−1