中北大学精品课程-2_连续时间信号与系统的时域分析

的相对跳变函数，所以， ∆u(t ) 表示 0− 到 0+ 的相对跳变函数，所以，
y(0+ ) − y(0− ) = −9 即 y(0+ ) = y(0− ) −9
2 连续时间信号与系统的时域分析
d 由方程 y(t ) + 3r(t ) = 3δ ′(t )可知 dt d 方 右 含δ ′(t )项 它一定属于 y(t ) 程 端 ， dt d y(t ) = aδ ′(t ) + bδ (t ) + c∆u(t ) 设
1 i (t ) = v(t ) R
R
iR
iL L C
ic
+
a
1 t iL (t ) = ∫ v(τ ) dτ L −∞ dv(t ) iC (t ) = C dt
is (t )
R
v( t )
−
b
iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) = iS (t )
代入上面元件伏安关系， 代入上面元件伏安关系，并化简有
2 连续时间信号与系统的时域分析 在电流、电压取关联参考方向条件下， 在电流、电压取关联参考方向条件下，常用元件 的电压电流关系如下： 的电压电流关系如下：
2 连续时间信号与系统的时域分析
【例】求图示电路的端电压与激励源之间的关系. 求图示电路的端电压与激励源之间的关系.
电阻 电感 电容 根据KCL 根据
dt dt
2 连续时间信号与系统的时域分析 •对于一个具体的电网络，系统的 0状态就是系统中 对于一个具体的电网络， 对于一个具体的电网络 − 储能元件的储能情况; 储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 换路定则： 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
2 连续时间信号与系统的时域分析 2 求解系统微分方程的经典方法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 分析系统的方法：列写方程，求解方程。
, 列写方程: 根据元件约束网络拓扑约束 经典法 应 零输入响应和零状态响 零输入: 可利用经典法求解 解方程 零状态: 利用卷积积分法求解 变换域法 求解方程时域经典法就是： 求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解
完全解:齐次解和特解相加, 完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得. 在系统分析中， 在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
2 连续时间信号与系统的时域分析 .一组边界条件可以给定为在此区间内任一 一组边界条件可以给定为在此区间内任一 要求解满足
2 连续时间信号与系统的时域分析
用卷积积分只能求到系统的零状态响应， 用卷积积分只能求到系统的零状态响应，零输入响 应仍需用经典法求得。 应仍需用经典法求得。 本章在经典法求解微分方程的基础上， 本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论 系统的零输入响应和零状态响应。 系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应 和卷积积分等概念， 和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。
d2 v(t ) 1 dv(t ) 1 d i (t ) C + + v(t ) = S dt 2 R dt L dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。 并联电路系统的二阶微分方程。 这是一个代表 并联电路系统的二阶微分方程
2 连续时间信号与系统的时域分析 n阶线性时不变系统的描述 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统， 一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之 间的关系， 间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
考虑已知初始条件， 考虑已知初始条件，得
2 连续时间信号与系统的时域分析
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定， 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。 齐次解只与系统本身特性有关。
vC (0− ) = vC (0+ ), iL (0− ) = iL (0+ ).
•当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 作用于电感， 0 到 状态就会发生跳变。 0 状态就会发生跳变。 •当系统用微分方程表示时，系统从 0− 到 0+ 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 δ (t ) 及 其各阶导数项。
B(常数 常数 )
tp eα t
cos(ω t )
b t p + b2t p−1 +L+ bpt + bp+1 1
beα t
b cos(ω t ) + b2 sin (ω t ) 1
p p−1 1 2 p p+1
sin(ω t )
t peα t sin(ω t ) t peα t
(b t +b t +L+b t +b )e cos(ω t) cos(ω t ) + (d t + d t +L+ d t + d )e sin (ω t )
时刻
的各值。通常取 的各值。 条件。 条件。 数.
相对应的一组条件就称为初始
通过求解联立的方程组，可得齐次解中的待定系 过求解联立的方程组， 过求解联立的方程组
2 连续时间信号与系统的时域分析 几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 激励函数
E(常数 ) 常数
响应函数r(t)的特解 响应函数 的特解
2 连续时间信号与系统的时域分析 2 冲激函数匹配法 配平的原理： 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡. 及各阶导数应该平衡.
【例】
d 知 y y(t ) + 3y(t ) = 3δ ′(t ) 已 y(0− ), 求 (0+ ) dt
该过程可借助数学描述
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d y(0− ) d2 y(0− ) dn−1 y(0− ) y (0− ) = y(0− ), , ,L 2 dt dt dt n−1
(k )
0+ 状 响应区间内 态
dt
时刻的一组状态 d y(0+ ) d2 y(0+ ) dn−1 y(0+ ) (k ) y (0+ ) = y(0+ ), , ,L 2 n−1
2 连续时间信号与系统的时域分析 •根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络 对于电路系统， 对于电路系统 拓扑约束列写系统的微分方程。 拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 元件特性约束：表征元件特性的关系式。 件电阻、电容、 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系 KCL，KVL。 ， 。
方 右 含 δ ′(t ) 程 端 3
d y(t ) y(t )中 含 δ (t ) 包 3 3 中必含 δ ′(t ) dt d y(t ) 必含− 9δ (t )以平衡 y(t )中的 δ (t ) 3 9 dt
δ 方程右端不含 (t )
d y(t ) 中的 − 9δ (t ) dt
在 y(t )中t = 0 时刻有 − 9∆u(t )
− +
2 连续时间信号与系统的时域分析 【例】 设线性时不变系统微分方程为 已知 求
考虑到 将
有 代入上式得
2 连续时间信号与系统的时域分析
对于具体的系统， 对于具体的系统，系统的起始状态往往容易求 为求解描述线性时不变系统的微分方程， 得。为求解描述线性时不变系统的微分方程，就需 状态. 要从已知的 状态设法求得 状态. 当系统用微分方程表示时， 当系统用微分方程表示时，从 到 状态有 没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含 及其各阶导数项， 及其各阶导数项，包含则说明响应 及各阶导数发 状态的跳变.这时， 生了从 到 状态的跳变.这时，如果要确定 、 等状态， 等状态，可以利用微分方程两端各奇异函数项 的系数相平衡的方法来判断， 的系数相平衡的方法来判断，并对方程从 到 积分， 时刻的初始值。 积分，从而求得 时刻的初始值。
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2.1.2 从 到 状态的转换
1.系统的起始状态和初始状态 1.系统的起始状态和初始状态
0−
O
0+
t
系统在激励信号加入前瞬间的状态 起始状态包含了响应的全部过去信息， 起始状态包含了响应的全部过去信息，能够反映 系统中储能元件的储能状况。 系统中储能元件的储能状况。
2 连续时间信号与系统的时域分析 齐次解：由特征方程→求出特征根 求出特征根→写出齐次解形式 齐次解：由特征方程 求出特征根 写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 注意重根情况处理方法。 特 根据微分方程右端函数式形式， 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程， 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 定出特解。