2016_2017学年高中数学学业分层测评14向量的加法含解析新人教B版必修42017100316
人教B版高中数学-必修4-课时跟踪检测(十四)向量的加法(Word)
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是()
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
A．2B．4
C．12D．6
解析：选B因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是()
A．①③B．②③
C．②④D．①②
解析：选A∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
最新北师大版高中数学必修4《向量的加法》课时练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义．2．能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量______叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝______．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝____＋____＝____． (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以____，____为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝______．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝__________．一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行2 km D ．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．已知a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3二、填空题7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________．8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 10．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________．三、解答题11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．能力提升13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______． 14．在水流速度为43 km/h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法答案知识梳理1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC →2．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．A 2．C 3．D 4．A5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →) ＝BC →＋0＝BC →．]6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →| ＝|AD →|＝2．]7．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0． 8．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213．9．8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8． ∴|a ＋b |的最大值为8．10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 (km/h)． ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53 (km/h)，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km/h)，∴水流速度大小为53 km/h ，船实际速度为10 km/h ．12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0． 14．解如图，设AB →表示水流速度，则AC →表示船航行的实际速度，作AD 綊BC ，则AD →即表示船航行的速度．因为|AB →|＝43，|AC →|＝12，∠CAB ＝90°，所以tan ∠ACB ＝4 312＝33，即∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°． 所以|AD →|＝83，∠BAD ＝120°．即船航行的速度大小为8 3 km/h ，方向与水流方向所成角为120°．。
2016_2017学年高中数学学业分层测评22向量数量积的坐标运算与度量公式含解析新人教B版必修420171003115
学业分层测评(二十二) 向量数量积的坐标运算与度量公式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·开封质检)已知向量a＝(3,1)，b＝(x，－2)，c＝(0,2)，若a⊥(b－c)，则实数x的值为()4 3A. B.3 43 4C.－D.－4 3【解析】b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，4∴x＝.故选A.3【答案】 A2.(2016·马鞍山质检)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|＝()A.5 3B.3 5C.2 5D.2 2【解析】∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝3 5.故选B.【答案】 B3.已知向量a＝(1，3)，b＝(－2,23)，则a与b的夹角是()ππA. B.6 4ππC. D.3 2【解析】设a与b的夹角为θ，a·b1，3·－2，2 3 1则cos θ＝＝＝，|a||b| 2 × 4 2π 解得θ＝.故选C.3【答案】 C4.若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()65A. B.5 6513C. D.5131a·b 2，3·－4，7【解析】a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝＝＝|b | －42＋722 ×－4＋3 × 76565＝.5【答案】 A5.已知正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，则∠DOE的余弦值为()1A. B. 2 3 23 4C. D.5 5【解析】以点O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，设边长为1，则1 1D(1，2 )，E(，1 )，于是cos∠DOE＝21 1 (1，2 )·(，1 )21 112＋(2 )2 (2 )2＋124＝.5【答案】 D二、填空题→→→→→→6.已知O A＝(－2,1)，O B＝(0,2)，且A C∥O B，B C⊥A B，则点C的坐标是________.→【解析】设C(x，y)，则A C＝(x＋2，y－1)，→→B C＝(x，y－2)，A B＝(2,1).→→→→ 由A C∥O B，B C⊥A B，得Error!解得Error!∴点C的坐标为(－2,6).【答案】(－2,6)7.(2016·德州高一检测)若向量a＝(－2,2)与b＝(1，y)的夹角为钝角，则y的取值范围为________.【解析】若a与b夹角为180°，则有b＝λa(λ<0)1即Error!解得y＝－1且λ＝－，所以b≠λa(λ<0)时y≠－1；①2π若a与b夹角θ∈(，π)时，则只要a·b<0且b≠λa(λ<0).22当a·b<0有－2＋2y<0解得y<1.②由①②得y<－1或－1<y<1.【答案】(－∞，－1)∪(－1,1)三、解答题→→→8.已知AB＝(6,1)，BC＝(4，k)，CD＝(2,1).(1)若A，C，D三点共线，求k的值；→→(2)在(1)的条件下，求向量BC与CD的夹角的余弦值.【导学号：72010068】→→→【解】(1)因为AC＝AB＋BC＝(10，k＋1)，由题意知A，C，D三点共线，→→所以AC∥CD，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.→→BC·CD→→→12(2)因为CD＝(2,1)，设向量BC与CD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝→→4 2 × 5|BC||CD|3 10.109.已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，(1)k a－b与a＋b共线；(2)k a－b与a＋b的夹角为120°.【解】∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，k a－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1).(1)∵k a－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.即当k＝－1时，k a－b与a＋b共线.(2)∵|k a－b|＝k2＋k＋22，|a＋b|＝12＋－12＝2，(k a－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而k a－b与a＋b的夹角为120°，k a－b·a＋b∴cos 120°＝，|k a－b||a＋b|31 －2即－＝，2 2·k2＋k＋22化简整理，得k2＋2k－2＝0，解之得k＝－1± 3.即当k＝－1± 3时，k a－b与a＋b的夹角为120°.[能力提升]1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()7 7 7 7A.( 3 )B.(－9)，，－9 37 7 7 7C.(9 )D.(－3)，，－3 9【解析】设c＝(x，y)，又因为a＝(1,2)，b＝(2，－3)，所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，又因为(c＋a)∥b，所以有(x＋1)·(－3)－2·(y＋2)＝0，即－3x－2y－7＝0，①又a＋b＝(3，－1)，由c⊥(a＋b)得：3x－y＝0，②由①②解得Error!7 7因此有c＝(－.，－3)9【答案】 D2.(2016·徐州高一检测)在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：→→(1)AB，AC的坐标；→→(2)|AB－AC|的值；(3)cos∠BAC的值.→【解】(1)AB＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，→AC＝(2,5)－(1,0)＝(1,5).→→(2)因为AB－AC＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，→→所以|AB－AC|＝－22＋－42＝2 5.→→(3)因为AB·AC＝(－1,1)·(1,5)＝4，4→→|AB|＝2，|AC|＝26，→→AB·AC4 2 13cos∠BAC＝＝＝.→→ 2 ×26 13|AB||AC|5。
2019-2020人教B版数学必修4课时分层作业14 向量的加法
课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)， 因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3，∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第二章 平面向量 学业分层测评16 含答案 精品
学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·德州高一检测)若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B.－6a C.6aD.－65a【解析】 由题意得：2x －3x ＋6a ＝0， 所以有x ＝6a . 【答案】 C2.设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0【解析】 因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确. 【答案】 B3.(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】 因为AB →＝a ＋2b ，又DC →＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形.【答案】 B4.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →【解析】 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD →，所以AO →＝OD →.【答案】 A5.如图2-1-28，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )图2-1-28A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →【解析】 EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________. 【解析】 因为P 1P →＝23PP 2→， 所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25. 【答案】 －257.已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. 【解析】 |a ||b |＝63＝2，∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2. 【答案】 －28.(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)【解析】 AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 【答案】 (1－t )OA →＋tOB →三、解答题9.设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ).【导学号：72010050】【解】 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b )＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋29＋76b ＝53a －118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .10.如图2-1-29所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形.又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.图2-1-29【解】 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →) ＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM → ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .[能力提升]1.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.－23C.25D.13【解析】 由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 【答案】 A2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A.2B.3C.4D.5【解析】 因为MA →＋MB →＋MC →＝0， 所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →＝0，从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →，故有m ＝3. 【答案】 B3.(2016·济宁高一检测)若OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量OP →用e 1，e 2可表示为OP →＝________.【解析】 如图， OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝13×3e 2＋23×3e 1＝2e 1＋e 2. 【答案】 2e 1＋e 24.如图2-1-30所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.图2-1-30【证明】 ∵点P 在直线AB 上， ∴AP →∥AB →，设AP →＝xAB →， ∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →， ∴OP →－OA →＝x (OB →－OA →)， ∴OP →＝(1－x )OA →＋xOB →.又OP →＝λOA →＋μOB →，∴λ＝1－x ，μ＝x ，∴λ＋μ＝1.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第
学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →的相反向量是( ) A.a －b B.b －a C.a ＋bD.－a －b【解析】 ∵BD →＝AD →－AB →＝b －a ， ∴BD →的相反向量为－(b －a )＝a －b . 【答案】 A2.已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( ) A.M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点 B.M ，N ，P 是一条直线上的三个点 C.M ，N ，P 是平面内的任意三个点 D.以上都不对【解析】 因为MN →－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，MN →＋NP →＋PM →＝0对任意情况是恒成立的.故M ，N ，P 是平面内的任意三个点.故选C.【答案】 C3.(2016·天津和平区期末)在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.AB →＋BC →＝CA →B.BC →＋CD →＝BD →C.AB →＋AD →＝AC →D.AB →－AD →＝BD →【解析】 由向量加减法法则知AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，C 项只有四边形ABCD 是平行四边形时才成立，AB →－AD →＝DB →.故选B.【答案】 B 4.给出下列各式：①AB →＋CA →＋BC →；②AB →－CD →＋BD →－AC →；③AD →－OD →＋OA →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1【解析】 ①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 【答案】 A5.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )【导学号：72010047】图2-1-23A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0【解析】 因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →， 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立.BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立. AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立. BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立. 【答案】 A 二、填空题6.如图2-1-24所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)图2-1-24【解析】 由题意，在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BA →＝OA →－OB →＝a －b ，所以CD →＝BA →＝a －b ， 所以OD →＝OC →＋CD →＝a －b ＋c . 【答案】 a －b ＋c7.在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，且|a ＋b|＝|a －b|，则四边形ABCD 的形状是________.【解析】 由平行四边形法则知，|a ＋b|，|a －b|分别表示对角线AC ，BD 的长，当|AC →|＝|BD →|时，平行四边形ABCD 为矩形.【答案】 矩形 三、解答题 8.图2-1-25如图2-1-25，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →. (2)用b ，c 表示DB →. (3)用a ，b ，e 表示EC →. (4)用d ，c 表示EC →.【解】 因为AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ， 所以(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ； (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c ； (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e ； (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .9.(2016·泰安高一检测)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.【证明】 如图，在等腰Rt △ABC 中，由M 是斜边AB 的中点， 得|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b . 于是由|AM →|＝|CM →|， 得|a －b |＝|a |.(2)在△MCB 中，MB →＝AM →＝a －b ， 所以CB →＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b ). 从而由|CB →|＝|CA →|， 得|a ＋(a －b )|＝|b |.[能力提升]1.平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A.A ，B ，C 三点必在同一直线上B.△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D.△ABC 必为等腰直角三角形 【解析】如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴四边形ABCD 是矩形，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 【答案】 C2.已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a|＝|b|＝|a －b|＝2，求|a ＋b|与△OAB 的面积.【解】 由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a|＝|b|＝|a －b|，则OA ＝OB ＝BA ， ∴△OAB 为正三角形， ∴|a ＋b|＝|OC →|＝2×3＝23， S △OAB ＝12×2×3＝ 3.。
人教B数学必修四课时分层作业 向量的加法 含解析
课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.]2.如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →C [设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.]3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形D [根据题意，由于在四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋BC →. 又∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故其为平行四边形．]4．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝ 2|AO →|＝2|AB →|＝2.]5．下列结论中，正确结论的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；(2)在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；(4)若a ，b 均为非零向量，则a ＋b 的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B [当a ＋b ＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A ，B ，C 三点共线时知③不正确；当向量a 与向量b 方向不相同时|a ＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确．]二、填空题6．若|a |＝|b |＝1，则|a ＋b |的取值范围为________． [0,2] [由||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |，知0≤|a ＋b |≤2.]7．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．8 2 km 东北方向 [如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. 所以|a ＋b |＝|OB →| ＝82＋82＝82(km)，因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]8．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角．|a|＝|b| [当|a|＝|b|时，以a 与b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a ＋b 平分此菱形的内角．]三、解答题9.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.[证明] 连接EF (图略)，由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知，EF →＝CD →，BF →＝F A →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →) ＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →) ＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0 ＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0， ∴AD →＋BE →＋CF →＝0.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．[解] 如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|OC →|＝300 (N)，所以|OA →|＝|OC →|·cos 30°＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|·cos 60°＝150(N)，故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[等级过关练]1．在以下各命题中，不正确的命题个数是( ) (1)任一非零向量的方向都是唯一的； (2)|a |－|b |<|a ＋b |；(3)若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；(4)已知A 、B 、C 为平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．]2．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A.AE →＝AD →＋F A →B.DE →＋AF →＝0C.AB →＋BC →＋CA →≠0D.AB →＋BC →＋AC →≠0D [容易判断AB →＋BC →＋AC →＝2AC →≠0.故选D.]3．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________，3 [如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.]4.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.2 [∵AD DB ＝AE EC ＝12， ∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1. 如图所示，作CF →＝ED →，连接DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2.]5．如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.。
2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第
学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线.【答案】 A2.(2016·临沂高一检测)设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －2b ，则下列关系式中正确的是( )A.AD →＝BC →B.AD →＝2BC →C.AD →＝－BC →D.AD →＝－2BC →【解析】 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.【答案】 B3.设a ，b 是不共线的向量，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k ，m ∈R )，则当A ，B ，C 三点共线时，有( )A.k ＝mB.km －1＝0C.km ＋1＝0D.k ＋m ＝0【解析】 ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝nAC →，∴a ＋k b ＝mn a ＋n b ，∴⎩⎨⎧mn ＝1，k ＝n ， ∴mk －1＝0. 【答案】 B4.(2016·济南高一检测)已知向量e 1，e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于( )A.±1B.1C.－1D.0【解析】 ∵a 与b 共线，∴a ＝λb . 即k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧k ＝λ，kλ＝1，解得k ＝±1. 【答案】 A5.(2016·佛山高一检测)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a ∥b ，则( ) A.λ＝0 B.e 2＝0 C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或λ＝0【解析】 ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使得a ＝k b ，即(2k －1)e 1＝λe 2.∵e 1≠0，∴若2k －1＝0，则λ＝0或e 2＝0； 若2k －1≠0，则e 1＝λ2k －1e 2，此时e 1∥e 2，又0与任何一个向量平行，∴有e 1∥e 2或λ＝0.【答案】 D 二、填空题6.已知A ，B ，C 三点在数轴上，且点B 的坐标为3，AB ＝5，AC ＝2，则点C 的坐标为________.【解析】 设A ，C 的坐标分别为x A ，x C ，则AB ＝3－x A ＝5，∴x A ＝－2，又AC ＝x C －x A ＝x C －(－2)＝2，∴x C ＝0. 【答案】 07.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.【解析】 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ， ∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.【答案】 128.(2016·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当A ，B ，C 三点共线时，实数t 的值为________.【导学号：72010053】【解析】 ∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AB →＝OB →－OA →＝t b －a ，AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ，∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →， 即t b －a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －23a .由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A ，B ，C 三点共线. 【答案】 12 三、解答题9.已知数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，根据下列题中的已知条件，求点A 的坐标x 1.(1)x 2＝－5，BA ＝－3；(2)x 2＝－1，|AB |＝2. 【解】 (1)BA ＝x 1－(－5)＝－3，所以x 1＝－8. (2)|AB |＝|－1－x 1|＝2，所以x 1＝1或x 1＝－3.10.已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】 假设存在这样的实数λ，μ使得d ＝λa ＋μb 与c 共线， ∴d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2. 要使d 与c 共线.则有实数k ，使得d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， ∴⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，所以λ＝－2μ. 故存在这样的λ，μ，使d 与c 共线.[能力提升]1.设e 1，e 2是不共线向量，若向量a ＝3e 1＋5e 2与向量b ＝m e 1－3e 2共线，则m 的值等于( )A.－95B.－53C.－35D.－59【解析】 ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使得b ＝λa ， 即m e 1－3e 2＝λ(3e 1＋5e 2)，∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎨⎧m ＝3λ，－3＝5λ，解得m ＝－95. 【答案】 A2.(2016·枣庄校级月考)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A.aB.bC.cD.0【解析】 ∵a ＋b 与c 共线， b ＋c 与a 共线， ∴a ＋b ＝λc ，b ＋c ＝μa ， 两式相减得a －c ＝λc －μa ， 移项得(1＋λ)c ＝(1＋μ)a . ∵向量a ，c 不共线， ∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0. 即λ＝－1，μ＝－1. 也就是a ＋b ＝－c ， 即a ＋b ＋c ＝0. 【答案】 D3.已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.【解析】 ∵a ∥b ， ∴存在实数μ，使得a ＝μb . 即2e 1－e 2＝μe 1＋λμe 2， ∴⎩⎨⎧2＝μ，－1＝λμ，解得λ＝－12. 【答案】 －124.如图2-1-35，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证：1m ＋1n ＝3.图2-1-35【证明】 设AB →＝a ，AC →＝b ，∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连接AG 并延长交BC 于D ， 则AD 为△ABC 一边BC 的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )， ∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b ) ＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b .又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ， 即1m ＋1n ＝3.。
2018_2019学年高中数学学业分层测评14向量的加法(含解析)新人教B版必修4
) 【导学号：72010044】
①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 a＋b 的方向必与 a，b 之一的方向相同；②在△ABC 中， → → → → → → 必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则 A，B，C 为一个三角形的三个顶点；④若 a，b 均为非零向量， 则 a＋b 的长度与 a 的长度加 b 的长度的和一定相等. A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个
→ → → → → |BC＋AB|＝|AB＋BC|＝|AC|， → → ∴|BD|＝|AC|，∴▱ ABCD 是矩形. 【答案】 B
二、填空题 6.若 a 表示“向东走 8 km”，b 表示“向北走 8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b 的方向是________.
【解析】
→ → 如图所示，作OA＝a，AB＝b，
学业分层测评(十四) 向量的加法
(建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 a，b，c 是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量
a＋b＋c 相等的个数为(
A.5 C.3 【解析】 【答案】
) B.4 D.2
依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与 a＋b＋c 相等，故选 A. A )
→ → → 则 a＋b＝OA＋AB＝OB. → 所以|a＋b|＝|OB|
2 2 ＝ 8 ＋8 ＝8 2(km)，
因为∠AOB＝45°， 所以 a＋b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向
7.(2016·济南高一检测)当非零向量 a，b 满足________时，a＋b 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内 角. 【解析】 内角. 【答案】 当|a|＝|b|时，以 a 与 b 为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量 a＋b 平分此菱形的
2015-2016学年高中数学必修4分层演练：2.2.1 向量的加法(含答案)
2．2 向量的线性运算2．2.1 向量的加法情景：请看如下问题：(1)如图(1)，某人从A到B，再从B按原来的方向到C，则两次位移的和AB→＋BC→应该是________．(2)如图(2)，飞机从A到B，再改变方向从B到C，则两次位移的和AB→＋BC→应该是________．(3)如图(3)，船的速度是AB→，水流速度是BC→，则两个速度的和AB→＋BC→应该是________．思考：从(1)(2)(3)的解答，你发现了一个什么规律？基础巩固1．在四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，则( )A．ABCD一定为矩形B．ABCD一定为菱形C．ABCD一定为正方形D．ABCD一定为平行四边形答案：D2．下列结论中，不正确的是( )A．0＋a＝aB.AB→＋BA→＝2AB→C．对于任意向量a，b，|a＋b|≥0D．对于任意向量a，b，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|答案：B3．在矩形ABCD中，AC→等于_____________________________．答案：AD→＋DC→或AB→＋BC→或AB→＋AD→4.如右图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB、CD的中点，则EF→等于________．答案：AG→＋DH→5．(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→化简后等于________．答案：AC→6.AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝________.答案：0能力升级7．已知△ABC是正三角形．则在下列各等式中不成立的是( ) A．|AB→＋BC→|＝|BC→＋CA→|B．|AC→＋CB→|＝|BA→＋BC→|C．|AB→＋AC→|＝|CA→＋CB→|D．|AB→＋BC→＋AC→|＝|CB→＋BA→＋CA→|解析：作出正三角形ABC，AD、CE分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：|AB→＋AC→|＝2|AD→|，|CA→＋CB→|＝2|CE→|.又∵△ABC为正三角形，∴|AD→|＝|CE→|，故C项正确．A、D两项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有B项不正确．答案：B8．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°.则在下列各结论中，正确的结论个数为________．①|AB→＋AC→|＝|BC→|②|AB→＋BC→|＝|CA→|③|AB→＋CA→|＝|BC→|④|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2解析：以AB→、AC→为邻边作平行四边形ABDC，则ABDC为矩形，而矩形的对角线相等，故①③均正确，另外两个可直接求解也是正确的．答案：4个9．向量a、b满足|a|＝6，|b|＝10，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：当a、b不共线时，如图(1)，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a ＋b.由向量加法的几何意义知|a＋b|＜|a|＋|b|＝16.当a、b共线同向时，如图(2)，作AB→＝a，BC→＝b，AC→＝a＋b，由向量加法的几何意义可知|AC→|＝|a＋b|＝|a|＋|b|＝16.当a、b共线反向时：如图(3)所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a ＋b，由向量加法的几何意义可知|a＋b|＝|b|－|a|＝10－6＝4，∴|a＋b|的最大值为16，最小值为4.本题也可以直接利用||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解．答案：16 410．如图所示，用两根绳子把重为10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解析：设CE→，CF→分别表示A，B处所受的力，10 N的重力用CG→表示，则CE→＋CF→＝CG→.因为∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|CE→|＝|CG→|cos 30°＝10×32＝53(N)，|CF→|＝|CG→|cos 60°＝10×12＝5(N)．故A和B处所受力的大小分别为5 3 N,5 N.11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，求证：|BC→|2＝|DB→＋DA→|2＋|DC→＋DA→|2.解析：如图，由于∠BAC＝90°，AD⊥BC，因此，若以DB，DA 为邻边作矩形ADBE，则|AB→|＝|DE→|，且DB→＋DA→＝DE→.所以|DB→＋DA→|2＝|DE→|2＝|AB→|2，同理|DC→＋DA→|2＝|AC→|2，所以|DB→＋DA→|2＋|DC→＋DA→|2＝|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2，即|BC→|2＝|DB→＋DA→|2＋|DC→＋DA→|2.12．如下图：平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P 为平面内任意一点，求证：PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4PO→.证明：PO→＝PA→＋AO→，①PO→＝PD→＋DO→，②PO→＝PB→＋BO→，③PO→＝PC→＋CO→，④∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴AO→＝OC→＝－CO→，BO→＝OD→＝－DO→，①＋②＋③＋④，得4PO→＝PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋(AO→＋CO→)＋(BO→＋DO→)＝PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋0＋0，∴PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4PO→.。
2016-2017学年高中数学人教a高一必修4学业分层测评14_向量数乘运算及其几何意义_word版含解析AKAlnw
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P A →＋PB→＝0 B ．PC →＋P A →＝0 C ．PB →＋PC →＝0 D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 【解析】 因为BC→＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确． 【答案】 B2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【解析】 BD→＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．【答案】 A3．(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB→＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形【解析】 因为AB→＝a ＋2b ， 又DC→＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB→|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形．【答案】 B4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A ．AO→＝OD → B ．AO →＝2OD → C ．AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →【解析】 由2OA→＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD →，所以AO →＝OD→. 【答案】 A5.如图2－2－20，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→＝( )图2－2－20A ．12AB →－13AD →B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →【解析】 EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →. 【答案】 D二、填空题6．(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________． 【解析】 因为P 1P →＝23PP 2→，所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25.【答案】 －257．(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________．(用OA→，OB→表示) 【解析】 AP→＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP→＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.【答案】 (1－t )OA→＋tOB → 三、解答题8.如图2－2－21所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM→，ON →，MN →. 【导学号：00680044】图2－2－21 【解】 BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 9．(2016·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA→＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解】 ∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AB→＝OB →－OA →＝t b －a ， AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ， ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λAC →， 即t b －a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －23a .由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．[能力提升]1．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 设BC 的中点为M ，则AB →＋AC →＝2AM →，又因为OP →－OA →＝AP →，且由题有OP→－OA →＝λ(AB→＋AC →)，所以AP →＝2λAM →，即AP →与AM →共线，又因为AM 为△ABC 的BC 边上中线，过重心，所以点P 的轨迹通过△ABC 的重心．【答案】 C2．点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC→＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF→. 【解】 如图：取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线，所以PE →＝12BC →＝12a ， 在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线，所以PF →＝12AD →＝－12b ， 在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．。
2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十四向量的加法新人教B版必修4
因此点B在以A为圆心的单位圆上(如下图)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
因此| |即|a＋e|最大，最大值是3.
A． ＋ ＝
B． ＋ ＋ ＝0
C． ,＋ ＝
D． ＋ ＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法那么可知， ＋ ＝ ≠ .
2．以下命题错误的选项是( )
A．两个向量的和仍是一个向量
B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b|
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
5．O为三角形ABC内一点，假设 ＋ ＋ ＝0，那么O是三角形ABC的________心．
解析：∵ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－ ＝ ，
现在 与 共起点，
∴以 ， 为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则 ＋ ＝2 ，
即2 ＝ ，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．假设a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，那么|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
10．如下图，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝ (j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为 ＋ ＝0，
因此a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝( ＋ )＋( ＋ )＋
＝ ＝b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D，E，F别离是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么以劣等式中不正确的选项是( )
＝( ＋ )＋( ＋ ＋ )
＝ ＋0 .
3．以下各式不必然成立的是( )
2016-2017学年高中数学必修4学业分层测评 2.2 从位移的合成到向量的加法 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
如图2－2－6，在▱ABCD中，下列结论错误的是（）图2－2－6A．错误!＝错误!B.错误!＋错误!＝错误!C.错误!＋错误!＝错误!D.错误!＋错误!＝0【解析】根据向量的概念及加法的法则知错误!＋错误!＝错误!，故C错误．【答案】C2.如图2－2－7，在正六边形ABCDEF中,错误!＋错误!＋错误!＝（）图2－2－7A．0 B．错误!C。
错误!D．错误!【解析】错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
【答案】D3．化简错误!＋错误!－错误!－错误!＝（）A．错误!B．错误!C。
错误!D．0【解析】错误!＋错误!－错误!－错误!＝错误!－（错误!＋错误!)＝错误!－错误!＝0。
【答案】D4。
如图2－2－8，在四边形ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!等于（)图2－2－8A．a－b＋cB．b－（a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c【解析】错误!＝错误!－错误!＝（错误!＋错误!）－错误!＝a＋c－b。
【答案】A5．已知正方形的边长为1,错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则｜a＋b＋c｜等于（）【导学号:66470043】A．0 B．3C。
错误!D．2错误!【解析】∵a＋b＝错误!＋错误!＝错误!，∴|a＋b＋c｜＝|2错误!｜＝2错误!。
【答案】D二、填空题6。
根据图示填空,其中a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，d＝错误!。
图2－2－9（1)a＋b＋c＝________；（2)b＋d＋c＝________。
【解析】(1）a＋b＋c＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（2）b＋d＋c＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!。
【答案】(1)错误!（2）错误!7．如图2－2－10，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1,则｜错误!＋错误!＋错误!｜＝________.图2－2－10【解析】∵错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，∴｜错误!＋错误!＋错误!|＝｜错误!｜＝2。
高中数学学业分层测评13向量的概念(含解析)新人教B版必修4(2021学年)
２01６-２017学年高中数学学业分层测评１3 向量的概念（含解析)新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2016－2017学年高中数学学业分层测评13 向量的概念（含解析）新人教Ｂ版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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学业分层测评(十三）向量的概念(建议用时：４5分钟)[学业达标]一、选择题１。
下列说法正确的个数是( )(1）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2）零向量没有方向;(3)非零向量的单位向量是唯一的。
A。
0 ﻩＢ.1C。
2 D.３【解析】 (１）中温度和功不是向量;（2)零向量的方向不确定，而不是没有方向,所以(１）(2）错误。
【答案】Ｂ2。
下列结论正确的是( )A．向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C。
有向线段错误!和错误!是同一向量Ｄ。
有向线段错误!和错误!的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示,所以选项A错误;向量为自由向量,只要大小相等，方向相同就为同一个向量,而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的,选项Ｂ错误;有向线段错误!和错误!的方向相反，大小相等，不为同一向量,所以选项C错误,D正确。
【答案】 D3。
给出下列四个命题:①若|a|=0,则a＝0；②若|a｜=｜b|,则a＝ｂ或a＝－b;③若a∥ｂ,则|a|＝｜ｂ|；④若ａ=０,则－a＝0。
其中正确的命题有（）Ａ.1个ﻩ B.2个C.3个ﻩD.4个【解析】对于①，前一个零是实数,后一个应是向量０。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.2.1 向量的加法 含解析
学业分层测评（十五）向量的加法（建议用时：45分钟)[学业达标］一、填空题1．若a与b是互为相反向量，则a＋b＝________.【解析】由题意可知，a＋b＝0。
【答案】02．下列等式不成立的是________．①0错误!a＝a；②a＋b＝b＋a；③错误!＋错误!＝2错误!；④错误!＋错误!＝错误!。
【解析】∵错误!,错误!是互为相反向量，∴错误!＋错误!＝0，故③错误．【答案】③3．（2016·南通高一检测)在▱ABCD中，|错误!|＝3,｜错误!|＝4，则：（1）|错误!｜________7(填“＞"“＜”或“≥"“≤"）；(2）若|错误!|＝5，则此四边形为________．【解析】（1）三角形两边之和大于第三边；(2)由|错误!|2＋｜错误!｜2＝｜错误!|2，可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”．【答案】(1)＜（2）矩形4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点,下列结论正确的是________．图2.2.6①错误!＝错误!，错误!＝错误!；②错误!＋错误!＝错误!；③错误!＋错误!＝错误!＋错误!；④错误!＋错误!＋错误!＝错误!.【解析】因为错误!＋错误!＝错误!，错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!.【答案】③5．设E是平行四边形ABCD外一点,如图2。
2。
7所示，化简下列各式:图2.2。
7（1)错误!＋错误!＝________；(2）错误!＋错误!＋错误!＝________；（3）错误!＋错误!＋错误!＝________；（4）错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝________.【解析】（1）错误!＋错误!＝错误!;（2)错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0；（3）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!；(4）错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.【答案】(1）错误!（2)0 (3)错误!(4）错误!6．某人在静水中游泳,速度为4错误!km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿________方向前进，速度为________．【解析】如图所示，∵OB＝4错误!，OA＝4，∴OC＝8，∴∠COA＝60°.【答案】与水流方向成60°8 km/h(答案不唯一）7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|错误!｜＝1，则|错误!＋错误!｜＝________。
高中数学学业分层测评16数乘向量(含解析)新人教B版必修4(2021年整理)
学业分层测评(十六) 数乘向量（建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1.（2016·德州高一检测)若向量方程2x－3(x－2a）＝0，则向量x等于( )A.错误!aB.－6aC。
6a D。
－错误!a【解析】由题意得：2x－3x＋6a＝0,所以有x＝6a。
【答案】C2.设P是△ABC所在平面内一点，且错误!＋错误!＝2错误!,则( ）A.错误!＋错误!＝0B.错误!＋错误!＝0C.错误!＋错误!＝0 D。
错误!＋错误!＋错误!＝0【解析】因为错误!＋错误!＝2错误!，所以点P为线段AC的中点,故选项B正确。
【答案】B3。
(2016·北京高一检测）四边形ABCD中，错误!＝a＋2b，错误!＝－4a－b，错误!＝－5a－3b，其中a，b不共线,则四边形ABCD是（）A。
梯形 B.平行四边形C。
菱形D。
矩形【解析】因为错误!＝a＋2b，又错误!＝错误!－错误!＝－4a－b－（－5a－3b）＝a＋2b＝错误!。
又因在四边形ABCD中,有｜错误!｜＝｜错误!｜且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形.【答案】B4。
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2错误!＋错误!＋错误!＝0，那么( ）A。
错误!＝错误! B.错误!＝2错误!C。
错误!＝3错误! D.2错误!＝错误!【解析】由2OA，→＋错误!＋错误!＝0,得错误!＋错误!＝－2错误!，又因为错误!＋错误!＝2错误!，所以错误!＝错误!。
【答案】A5。
如图2。
1.28，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F 是BC的一个三等分点，那么错误!＝（)图2。
1。
28A.错误!错误!－错误!错误!B。
错误!错误!＋错误!错误!C。
错误!错误!＋错误!错误!D。
错误!错误!－错误!错误!【解析】错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!＝－错误!错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!。
【答案】D二、填空题6。
2016-2017学年高中数学学业分层测评16数乘向量(含解析)新人教B版必修4
学业分层测评（十六）数乘向量（建议用时：45分钟）［学业达标］f【解析】 因为AB= a + 2b ,f f f又 DC= BC — BD= — 4a — b — ( — 5a — 3 b ) = a + 2b = ABff又因在四边形 ABC ［中，有 | AB = I DC 且AB// DC 所以四边形ABC 西平行四边形. 【答案】 B4.已知0是厶ABC 所在平面内一点， D 为BC 边中点，且f f B.AO= 2OD、选择题1.（2016 •德州高一检测）若向量方程2x — 3（x — 2a ） = 0,则向量x 等于（ ）6A. a 5B. — 6aC.6a6D. — a5 【解析】 由题意得：2x — 3x + 6a = 0, 所以有x = 6a . 【答案】 Cf f f2.设P 是厶ABC 所在平面内一点，且 BO BA= 2BP,则（f fA. PA^ PB= 0B.PO PA ^ 0f fC.PB+ PC = 0f f fD.PA^ PB+ PC= 0【解析】 因为BO BA= 2BP,所以点P 为线段AC 的中点，故选项 B 正确.【答案】3.(2016 -北京高一检测 f)四边形 ABCDK AB= a + 2b ,f fBC =— 4a — b , BD =— 5a — 3b ,其中a , b 不共线，则四边形A.梯形 C.菱形ABCD 是(B.平行四边形 D.矩形f f f20阳0內OC= 0,那么()f f A.AO= ODC.AO= 30D【解析】 由2OAF 0內OC= 0，得0內OC=- 2OA 又因为0內OC= 2OD 所以AO= OD【答案】 A―>入 P P 2,所以入=—D.2AO= OD5.如图 2-1-28 ,在正方形 ABCDK 点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点，那f么 EF =(1A-AB^ -AD231 1 B. 4AB+ ^AD 1 1c.—AB+—DA3 21 2Dp AB- 3AD1 2【解析】 EC^-AB CF^- CB=—- AD3 3.-*\\ T 、【答案】 D 二、填f2f6.（2016 •郑州高一检测）已知PP = 3PP ，若PP =^ P 1P 2,贝U 入等于 3.口【解析】 2 因为 PP = 3PP , 3 所以一PR =23( PP + P 1P 2),1 2所以 EF = EO CF = -AB-3AD2 3【答案】7.已知| a | = 6, b 与a 的方向相反，且| b | = 3, a = nb ,则实数 m=••• | a | = 2| b |，又a 与b 的方向相反,--a = — 2b ,…ITF — 2.【答案】 f f f f f f AP = tAB, OP - OA= t （OB- OA ,f fOP = O 用 tOB - tOA = （1 -1） O 阳 tOB f f【答案】 （1 - t ）OAF tOB三、解答题2 -9.设 a = 3i + 2j , b = 2i - j ,试用 i , j 表示向量la - 3b3【导学号：72010050】2 2 1=3（4a — 3 b ） + 9b -6（6a - 7b ） 8 2 7= 3a -2b + 9b -a +6b5115 11= 3a -8b =3（3i + 2j ）-祁1 2 3i —j ）「 10. 11. 11. 34. 71. =5i + 3j - T + 莎=刁 + 药.f f110.如图2-1-29所示，OAD 是以向量OA= a , OB= b 为邻边的平行四边形.又BM= ：BC1 f f f3CD 试用a , b 表示OM ON MN 38.（2016-南宁高一检测 f f)若AP = tAB (t € R) , O 为平面上任意一点, 则OF =.（用OA f OB 表） 【解析】+ 1b -4 6a -7b【解】j I 4a -3b + 1b -4 Sa -7b3 CN=■… 1 11 【解】 BM= -BC= 6BA= 6(0A- OB 3 6 6=6( a - b ),-A A A r1115 所以OM= OB^ BM= b + a - b = a + b ,6 6 6 6T T T1 1CNh- CD=2 OD36f f f L 厂1 1 所以 ON k 0(+ CNh-OD^-OD26T T T2 2 =§OD= 3( O 阳 OB2B.- 3 1D3TITIt图 2-1-292,22,=3(a + b ) = §a + 3b .ITTMN= ON- OM［能力提升］1.在厶ABC 中，已知若 AD= 2DB1CD= T CAF 入 CB 贝V 入=(32 A ・3【解析】 由题意知 ITTCD= CA^ AD ①D 是AB 边上一点，2 1 5 =3( a + b ) - 6a - 6b 1 1=2a - 6b -CD= C聊BD②且AD+ 2BD= 0.【答案】 AITT ITT2. 已知△ ABC 和点 M 满足MAF MBb MC= 0.若存在实数 m 使得AB+ AC = mA 成立，贝U m = （ ） A.2 B.3 C.4D.5【解析】 因为MA F MBb M = 0,T T T T T所以 MAh MAF AB+ MAh AC = 0,从而有 AB+ AC=- 3MA= 3AM= mAM 故有 m = 3. 【答案】 B3. （2016 •济宁高一检测）若OA = 3e i,OB= 3冋且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量0囲e i , e 2可表示为OP= ________ .【解析】 如图,T T T T T1OP= 0刖 AF = 0阳 §AB1=0阳 3( OB- OA31 21 2=3。
2019精选教育课时分层作业14 向量的加法.doc
课时分层作业(十四) 向量的加法(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 kmA2.如图2-2-7，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )图2-2-7A ．AB →＝CD →，BC →＝AD →B ．AD →＋OD →＝DA →C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可A4.如图2-2-8所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )图2-2-8A ．1B ．2C. 3D. 5B [BC →＝FE →， ∴AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∵AB ＝1，∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.]5．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形D [以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，则该四边形为正方形．∴∠BAC ＝90°.]二、填空题6．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.[解析] 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.[答案] 07．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.[解析] 在菱形ABCD 中，连接BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.[答案] 18．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，则|OA →＋OB →|＝________.【导学号：64012098】[解析] 以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由∠AOB ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝3，所以该四边形为正方形，则|OA →＋OB →|＝32＋32＝3 2.[答案] 3 2三、解答题 9.如图2-2-9所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：图2-2-9(1)OA →＋OC →；(2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.[解] (1)由图知，四边形OABC 为平行四边形，∴OA →＋OC →＝OB →.(2)由图知BC →＝FE →＝OD →＝AO →，∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.(3)∵OD →＝FE →，∴OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0.10.如图2-2-10，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．图2-2-10求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.[证明] ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝4PO →＋0＋0＝4PO →.∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.[冲A 挑战练]1．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的是( )①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤C [a ＝0，∴a ∥b ，a ＋b ＝b ，|a ＋b |＝|a |＋|b |，故选C.]2．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →，则四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形C [AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →，∵AO →＝OC →，DO →＝OB →，∴AB →＝DC →.]3．已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中，正确的有________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|；②|AB →＋BC →|＝|CA →|；③|AB →＋CA →|＝|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.[解析] 如图，以AB →、AC →为邻边作平行四边形ABCD ，由于∠BAC ＝90°，则ABCD 为矩形．|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|，故①正确．|AB →＋BC →|＝|AC →|＝|CA →|，故②正确．|AB →＋CA →|＝|AB →－AC →|＝|CB →|＝|BC →|.故③正确．又|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，故④正确．[答案] ①②③④4．小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h.河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.[答案] 205.如图2-2-11，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.【导学号：64012099】图2-2-11[证明] 由题意知：AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何可知：EF →＝CD →，BF →＝F A →.所以AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋F A →＝0.。
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学业分层测评(十四) 向量的加法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋
a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为()
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.
【答案】 A
→→→
2.如图2115所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则OA＋BC＋AB＝()
图2115
→→
A.CD
B.OC
→→
C.DA
D.CO
→→→→→→→ 【解
析】OA＋BC＋AB＝OA＋AB＋BC＝
OC.
【答案】 B
→→
3.如图2116所示的方格中有定点O，P，Q，E，F ，G，H，则OP＋OQ＝()
图2116
→→
A.OH
B.OG
→→
C.FO
D.EO
→→
【解析】设a＝OP＋OQ，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线
→→→→ 对
应的向量即为向量a＝OP＋OQ，则a与FO长度相等，方向相同，所以a＝
FO.
1
【答案】 C
4.下列结论中，正确结论的个数为()
【导学号：72010044】
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②
→→→→→→
在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】当a＋b＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A，B，C
三点共线时知③不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.
【答案】 B
→→→→
5.在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是()
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.不确定
→→→ 【解
析】∵|BC＋BA|＝|BD|，
→→→→→
|BC＋AB|＝|AB＋BC|＝|AC|，
→→
∴|BD|＝|AC|，∴▱ABCD是矩形.
【答案】 B
二、填空题
6.若a表示“向东走8 k m”，b表示“向北走8 k m”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是
________.
→→ 【解
析】如图所示，作OA＝a，AB＝b，
→→→ 则
a＋b＝OA＋AB＝OB.
→
所以|a＋b|＝|OB|
＝82＋82＝8 2(km)，
2
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向.
【答案】8 2 km东北方向
7.(2016·济南高一检测)当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的
平行四边形的内角.
【解析】当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋
b平分此菱形的内角.
【答案】|a|＝|b|
三、解答题
→→
8.已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
→→ 【解】
如图，∵|OA|＝|OB|＝3，
∴四边形OACB为菱形.
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
→
∵∠AOB＝60°，∴AB＝|OA|＝3，
3 3 ∴
在Rt△BDC中，CD＝，
2
→ 3 3
∴|OC|＝|a＋b|＝×2＝3 3.
2
→→→
9.如图2117，已知D，E，F 分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：AD＋BE＋CF＝0.
图2117
→→→→→→→→→ 【证
明】由题意知：AD＝AC＋CD，BE＝BC＋CE，CF＝CB＋
BF.
→→→→ 由
平面几何可知，EF＝CD，BF＝FA.
→→→→→→→→→ ∴AD＋
BE＋CF＝(AC＋CD)＋(BC＋CE)＋(CB＋BF)
3
→→→→→→ ＝
(AC＋CD＋CE＋BF)＋(BC＋
CB)
→→→→→ ＝(AE
＋EC＋CD＋CE＋BF)＋0
→→→→→→ ＝AE＋
CD＋BF＝AE＋EF＋FA＝0，
→→→ ∴AD
＋BE＋CF＝0.
[能力提升]
→→→
1.在正六边形ABCDEF 中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于()
A.1
B.2
C.3
D.4
→→→
【解析】如图，∵AB＋FE＋
CD
→→→→ ＝
AB＋BC＋CD＝
AD，
→→→→→
∴|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2|AO|
→
＝2|AB|＝2.故选B.
【答案】 B
2.如图2118，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.
图2118
【解】如图，作▱OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
4
则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
→→
设向量OA，OB分别表示两根绳子的拉力，
→→
则CO表示物体的重力，且|OC|＝300(N)，
→→
∴|OA|＝|OC|cos 30°＝150 3(N)，
→→
|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N).
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.
5。