标准正态分布曲线N
正态分布公式中各符号的意思
在正态分布N(μ，σ^2)中，μ表示均值，就是钟形曲线的对称轴，σ^2为方差，σ为标准差μ决定正态曲线的中心位置，标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
定理由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
将一般正态分布转化成标准正态分布。
若服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。
）一维正态分布若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
,σ ( x ) =
Y
1 2π σ
e
( x )2 2σ
2
ห้องสมุดไป่ตู้
, x ∈ ( ∞ , +∞ )
O
想 一 想
X
的解析式及概率的性质, 结合 ,σ (x) 的解析式及概率的性质 你能说说正态曲线的特点吗? 你能说说正态曲线的特点吗
正态分布密度曲线(简称正态曲线 的特点 正态分布密度曲线 简称正态曲线)的特点 简称正态曲线 的特点:
,σ ( x ) =
1 2π σ
e
( x )2 2σ
2
, x ∈ ( ∞ , +∞ )
Y
(1)曲线在x轴上方, (1)曲线在x轴上方,与x轴不相交； 曲线在 轴不相交； (2)曲线是单峰的 它关于直线x= 对称； 曲线是单峰的, x=μ (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值 (3)曲线在x=μ处达到峰值 曲线在x=μ
,σ ( x)dx
特别地有“ 原则 原则” 特别地有“3σ原则” 区 间 （μ－σ，μ＋σ] （μ－2σ，μ＋2σ] 2σ， （μ－3σ，μ＋3σ] 3σ， 取值概率 68.26% 95.44% 99.74%
发生概率一般不超过5％的事件，即在一次试验中几乎不 发生概率一般不超过5 的事件， 可能发生的事件 的事件． 可能发生的事件．
x=μ
1 2πσ
；
(4)曲线与x轴之间的面积为１ (4)曲线与x轴之间的面积为１； 曲线与 (5)当 一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定. σ越小,曲线越“瘦高”,表 (6)当 一定时,曲线的形状由σ确定. 越小,曲线越“瘦高” 示总体的分布越集中， 越大,曲线越“矮胖” 示总体的分布越集中，σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布 越分散。 越分散。
正态分布概念
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
正态分布讲解含标准表
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线,可求出总体在区间a ,b 内取值的概率等于总体密度曲线,直线x =a ,x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数,分别表示总体的平均数与标准差,,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：一般地,如果对于任何实数a b <,随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布normal distribution ．正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布,则记为X ～),(2σμN .经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布．例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布．在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用n 的近似公式得到了正态分布．之后,德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2σμN 是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：1曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交2曲线关于直线x=μ对称3当x=μ时,曲线位于最高点4当x ＜μ时,曲线上升增函数；当x ＞μ时,曲线下降减函数 并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近5μ一定时,曲线的形状由σ确定σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π,-∞＜x ＜+∞其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N0,1在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ和标准差σ１),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π２),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π３22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：10,1；21,2；3-1,例2求标准正态总体在-1,2内取值的概率． 解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有=1)1()2(-Φ+Φ=＋－1=．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N0,1,)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率, 即 )()(00x x P x <=Φ,其中00>x ,图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时,)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时,Φ0=2.标准正态分布表 标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位,为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中,对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率,即 )()(00x x P x <=Φ,)0(0≥x ．若00<x ,则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率,即直线1x x =,2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体,然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差,然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序,即“三步曲”一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入μ-3σ,μ+3σ； 三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N 0,1,求l P <x <；2Px >2. 解：1P <x <=- =-1-==.2Px >2=1-Px <2=1-2==.例2．利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率： 1在N1,4下,求)3(F 2在N μ,σ2下,求Ｆμ－σ,μ＋σ； Ｆμ－σ,μ＋σ；Ｆμ－2σ,μ＋2σ； Ｆμ－3σ,μ＋3σ解：１)3(F ＝)213(-Φ＝Φ1＝ ２Ｆμ＋σ＝)(σμσμ-+Φ＝Φ1＝Ｆμ－σ＝)(σμσμ--Φ＝Φ－1＝１－Φ1＝１－＝Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝－＝ Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝ Ｆμ－2σ,μ＋2σ＝Ｆμ＋2σ－Ｆμ－2σ＝ Ｆμ－3σ,μ＋3σ＝Ｆμ＋3σ－Ｆμ－3σ＝ 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间μ-σ,μ+σ、μ-2σ,μ+2σ、μ-3σ,μ+3σ内取值的概率分别为%、%、% 因此我们时常只在区间μ-3σ,μ+3σ内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间－,之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ,它是偶函数,说明μ＝0,)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21,所以σ＝1,这个正态分布就是标准正态分布教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 ,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞, σ＞0由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x 轴,但永不与x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征;由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究带来一定的困难 发现,许多正态分布中,重点研究N0,1,其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化为N0,1,我们把N0,1称为标准正态分布,其密度函数为22121)(x ex F -=π,x ∈-∞,+∞,从而使正态分布的研究得以简化;结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质;8 3 9 4 5 7 0 1 9 3 3 9 2 2 2 2 4 1 3 2 1 827111685997534898681585429216862743663734973785872642428478149354895912512838678682439194554598482664234415421965863654387648772856368434736597265522431794923915791536777。
标准正态分布示意图
lgG = lg(12571032040)=lg(571032040)1/12=1/1 2(7lg5+3lg10+lg20+lg40)=0.89966
为简化计算, 可两边取对数
G = lg-1(lgG)= lg-10.89966 = 7.94
加权法: G=lg-1( lgx/ ), 当变量值个数 较多或变量值为频数表资料时
(3） （4）=（2）（3） （5）=（2）（4）
1 127
16129
• 129 131
4 524
68644
• 133 135
9 1215
164025
• 137 139
28 3829
540988
• 141 143
35 5005
715715
• 145 147
27 3969
583443
• 149 151
11 1661
250811
• 153 155
4 620
96100
• 157161 159 • 合计 •
1 159
120 17172
（ƒ）（ ƒx）
25181
2461136
（ ƒx2）
•
2461136 - （17172）2/120
• s=
•
120 - 1
•
• 三、变异系数: 又称离散系数。代号为CV。
甲的变异程度>乙组
一、极差和四分位间距
• （一）全距: R(range), 亦称极差。即一组变量 值中最大值与最小值之差。
• R甲=4.0 - 2.8 = 1.2 • R乙=3.8 - 3.0 = 0.8 • 优点: 简单明了 • 缺点: 仅考虑了资料的最大值与最小值, 不能反
医学统计学-正态分布
37
习题
三、最佳选择题
❖ 1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（ ）指标较好。
A.全距 B.标准差
C.变异系数
D.四分位间距 E.方差
❖ 2、用均数和标准差可以全面描述（ ）资料的特征/
A.正偏态分布 B.负偏态分布 C.正态分布
D.对称分布 E.对数正态分布
❖ 3、各观察值均加（或减）同一数后（ ）。
2. 制定医学参考值范围
x 2s
3. 控制实验误差：上下警戒限：x 3s
上下控制限：
2021年9月29日星期三
23
四、医学参考值范围
❖参考值范围（reference ranges）
❖医学参考值(reference value)是指正常人的各种 生理、生化数据，组织或排泄物中各种成分的含 量。
❖ 正常人测定值的波动范围，称为参考值范围。参 考值范围在诊断方面可用于划分正常或异常。
是一种很重要的连续分布
2021年9月29日星期三
f(x)
x
μ 4
1.正态分布的概念和特征
❖ 正态分布的密度函数，即正态分布的方程
f(x)
1
1 ( xμ )2
e2 σ
σ 2π
x
π、e分别为圆周率和自然对数的底， μ为总体参数，σ为总体标准差
X 为连续随机变量
当x确定后，就可由此式求得其密度函数f(x), 即纵坐标的高度了，嘿嘿
2021年9月29日星期三
34
小结
❖ 3.正态分布用N(μ, σ2) 表示，为了应用方便，常对变量x 作 u 变x 换 ，使μ=0，σ =1，则正态分布转换为标准 正态分布，用N(0,1)表示。
❖ 4.正态曲线下面积的分布有一定规律。理论上μ±1σ， μ±1.96σ和μ±2.58σ区间的面积（观察单位数）各占总 面积的（总观察单位数）的68.27%，95%和99%，可 用来估计医学参考值范围和质量控制等方面。
标准正态分布性质
标准正态分布性质标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它具有许多独特的性质，对于理解和应用正态分布至关重要。
本文将从均值、标准差、形状等方面来介绍标准正态分布的性质。
首先，标准正态分布的均值为0，这意味着在标准正态分布曲线中，对称轴即为均值所在的位置。
这也符合正态分布的性质，即分布曲线呈现对称的特点。
其次，标准正态分布的标准差为1，这意味着在标准正态分布中，数据点相对于均值的分散程度是固定的，这也是为什么标准正态分布曲线能够被标准化的原因。
除此之外，标准正态分布还具有一个非常重要的性质，即68-95-99.7法则。
这个法则指出，在标准正态分布中，大约68%的数据点落在均值加减一个标准差的范围内，大约95%的数据点落在均值加减两个标准差的范围内，而大约99.7%的数据点落在均值加减三个标准差的范围内。
这个法则在实际应用中非常有用，可以帮助我们快速了解数据的分布情况。
此外，标准正态分布的曲线呈现出典型的钟形，两头逐渐变陡，中间较为平缓的形状。
这种形状反映了数据集中在均值附近，而远离均值的数据点较少的特点。
这也是为什么正态分布在自然界和社会现象中广泛存在的原因之一。
总的来说，标准正态分布具有均值为0，标准差为1，对称性强，以及68-95-99.7法则等重要性质。
这些性质使得标准正态分布在统计学中有着重要的地位，也为我们理解和分析数据提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对数据进行正态化处理的情况，即将数据转化为符合标准正态分布的形式。
这样做的好处在于可以方便地进行统计分析和比较，同时也符合许多统计方法的要求。
总之，标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它具有许多独特的性质，对于理解和应用正态分布至关重要。
通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解标准正态分布的性质，为实际应用提供更多的帮助和指导。
正态分布
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]
正态分布密度曲线(简称正态曲线)
正态分布密度函数是连续的，且在整个实数域上 都是非负的。
可微性
正态分布密度函数是可微的，这意味着其导数存 在，可以用于计算概率密度函数的积分。
概率性质
概率密度函数
正态分布的概率密度函数表示随机变量取某个值的概率，其值等 于该点处的曲线下的面积。
概率计算
通过正态分布的概率密度函数，可以计算随机变量取任意区间的概 率。
正态分布密度曲线(简称正态 曲线)
目录
• 正态分布的简介 • 正态分布密度曲线的绘制 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用 • 正态分布与其他分布的关系 • 正态分布的假设检验
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种概率分布，描述 了许多自然现象的概率分布形态 ，其概率密度函数呈钟形曲线， 又称为正态曲线。
非参数检验
通过检验样本数据的某些统计量（如 偏度、峰度）是否符合正态分布的特 征，来判断总体是否服从正态分布。
假设检验的应用场景
金融领域
用于检验投资组合收益率、股票 价格等是否服从正态分布，以评 估风险和制定投资策略。
生物医学领域
用于检验生理指标、遗传变异等 是否符合正态分布，以评估治疗 效果和制定治疗方案。
在统计学中的应用
1 2 3
描述数据分布
正态分布是描述数据分布形态的重要工具，尤其 在统计分析中，正态分布用于描述数据的集中趋 势和离散程度。
参数估计
正态分布的参数估计在统计学中具有重要意义， 如均值和方差等参数的估计有助于了解数据分布 的特征。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布用于检验数据 的分布是否符合预期，如正态性检验等。
05
正态分布与其他分布的关系
标准正态分布曲线N课件
特性
2. 曲线在x轴上方，且与x轴的距离表示概率密度。
4. 随着x的增大或减小，概率密度逐渐减小，并趋近于 0。
曲线形状与性质
曲线形状：标准正态分布 曲线的形状呈钟形，左右 对称，且逐渐向上收敛， 在x=0处达到峰值。
性质
1. 曲线的对称性：由于正 态分布是对称的，因此当 x取相反数时，曲线仍然 是对称的。
线性回归
利用标准正态分布曲线的性质，可以建 立线性回归模型，用以描述两个变量之 间的关系。
VS
最小二乘法
通过最小化误差的平方和，利用标准正态 分布曲线进行参数估计，以获得最佳的线 性回归模型。
04
标准正态分布曲线的软件实现
Excel表格制作
打开Excel，新建一 个表格
绘制散点图，选择数 据和图表类型，生成 标准正态分布曲线图
药物研发
在新药研发过程中，药物 的有效性和副作用通常会 根据标准正态分布进行评 估。
工程领域的应用
可靠性工程
标准正态分布被用于可靠 性工程领域，描述产品的 寿命和可靠性。
Hale Waihona Puke 质量控制在生产过程中，标准正态 分布被用于质量控制，描 述产品质量的波动和一致 性。
系统安全评估
标准正态分布可以用来评 估系统的安全性能，如风 险分析、安全系数计算等 。
2. 概率密度函数的性质： 概率密度函数f(x)是一个 连续函数，其值在全实数 范围内均为正，且随着x 的增大或减小，函数值逐 渐减小并趋近于0。
标准正态分布与实际分布的关系
01
标准正态分布是实际分布的一种 特殊形式，当实际分布的均值为0 ，标准偏差为1时，实际分布就变 成了标准正态分布。
标准正态分布曲线的计算公式为
标准正态分布曲线的计算公式为正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。
证明；因为X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。
注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。
而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。
所以p（y）=F'（y）=F'x（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。
从而，N（0，1）。
正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。
原本的正态分布图形有高矮胖瘦不同的形态，实际上是积分变换的必然结果，就好比是：
1.y=kx+b直线，它不一定过原点的，但是通过变换就可以了：大Y=y-b；大
X=kx；===>大Y=大X。
2.y=a*b乘积，通过变换就可以变成加法运算：Ln（y）=Lna+Lnb。
3.y=ax²+bx+c通过变换就可以变成标准形式：y=a（x+b/（2a））²+（c-b²
/（4a））。
正态分布的标准化也只不过是“积分变换”而已，虽然高矮胖瘦不同的形态，但是变量的线性伸缩变换并不改变其量化特性，虽然标准化以后都变成期望是0，方差是1的标准分布了，但这种因变量自变量的依赖关系仍然存在，不用担心会“质变”。
标准正态分布x～n
标准正态分布x～n
标准正态分布（Standard Normal Distribution）又被称为Z分布或标准高斯分布，记作X~N(0,1)。
它是正态分布的一种特殊情况，其均值μ=0，方差σ²=1。
标准正态分布的概率密度函数为：
f(x) = (1/√(2π)) * e^((-x²)/2)，其中e为自然对数的底数。
标准正态分布的特点包括：
1. 曲线呈钟形对称，以x=0为对称轴；
2. 平均值为0，即期望值E(X) = 0；
3. 标准差为1，即标准差σ(X) = 1；
4. 区间[-1,1] 中的概率值为0.6827（约等于68%）；
5. 区间[-2,2] 中的概率值为0.9545（约等于95%）；
6. 区间[-3,3] 中的概率值为0.9973（约等于99.7%）。
标准正态分布在统计学和概率论中广泛应用，可以通过标准正态分布表或计算机软件来获取其相应的概率值和统计量。
第七讲正态分布
方差，则不论的分布如何，对于任何正数 ，
都可以断言， 和 的绝E对离差大于等于 的
概率，不超过
，即
D
2
PED2 或
PE1D 2
• 例：某地进行了收入情况的调查，收入分 布不清楚，但知道平均收入为80元，标准 差为10元，问60—100元之间的概率为多少？
列给出的是对应式的
面积
e
例：
• 1、已知ξ 服从标准正态分布 N0,，1 求
1） P1.3 2）
3）
P1.3
P 1.32.3
• 2、ξ 满足 ，
，求λ 值。
• 3、ξ 满足 N0,1 P，求0.05
比较二者在班上的成绩。
• 例二： µ相同而σ不同：如果
60
1
2
10 1
2 20，比较甲、乙的成绩。
• 社会经济研究中的应用 如：比较两地的人口综合素质
（全国水平；两地的各指标水平；简化为标 准分比较）
第三节 标准正态分布表的使用
• 一、查表方法： • 附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、6、8
lim e d Pnx 1
x
t2
2
n n 2
t
2、中心极限定理的意义
• 1此），对从随理机论变上量说明的了原正有态分分布布不的做重要要求性，因
• 2）它为样本容量的确定和大样本(n大于等 于50)情况下的统计推论提供了理论依据。
• 3）在社会调查中使用价值广。 • 4）在抽样调查中有着重要意义。
二、贝努里大数定理
• 1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的次数， 而p是事件A在每次观察中出现的概率。那么，对
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（）A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.954 4﹣0.682 6）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1 000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．。
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10组 77.905-78.305
频数 3 3 12 25 38 25 3 3
…
1
相对频率 0.026 0.026 0.106 0.221 0.336 0.221 0.026 0.026
E
0.02 mL
Er
0.1%
10.00ml 0.02 mL
0.5%
2.00 mL 0.02 mL
1.0%
故 Er≤±0.1%,滴定体积V≥20.00
2. 精密度
精密度：相同条件下，多次重复测定结果 之间相符合的程度。常用偏差来衡量其高低。
偏差 平均偏差
n
(注： di 0) i 1
36.00 36.50 37.00 37.50 38.00
准确度与精密度的关系
精密度好不一定准确度高(系统误差)。
1 衡量一个测量结果的可靠性如否，既要看
精密度又要看准确度，缺1不可
2
精密度是保证准确度的先决条件
在规范实验操作的同时建立量的 概念，减少测量误差，提高测定 结果的精密度和准确确度
一、 频率分布 在相同条件下测定工业纯碱中
应有的误差。
二.准确度和精密度 1. 准确度 测定结果与“真值”接近的程度.
其高低用误差或相对误差来衡量
单次测定绝 对误差
对多次重 复测定
相对 误差
E= xi - xT E = x -xT Er =
绝对误差与相对误差相比，相对误差更能反 映出误差对测定结果的影响
例: 滴定的体积误差
V
20.00 mL
§3.4 提高分析准确度的方法 §3-5 有效数字及其运算规则
§ 3.1 误差的分类、准确 度与精密度
§ 3.2 随机误差的正态分布 §3.3 有限数据的统计处理
一.误差的分类
误差
系统误差（可测误差） 随机误差（偶然误差）
（一).系统误差 是由于测定过程中某些确定原因所造成的误差
1.特点：
• 对测定结果的影响比较恒定 • 同样条件下的重复测定会重复出现“重现性” • 大小正负变化有一定规律“单向性”，可以测
定 “可测性” 。 • 系统误差只影响测量的准确度,不影响精密度 。
例：重量分析中沉淀的溶 解损失、杂质的吸附，滴 定分析中指示剂选择不当
例：滴定管、移液管，容 量瓶未校正
a.方法误差：由 于分析方法本身 不够完善所造成 的误差。
c.试剂误差： 由于试剂不纯或蒸 馏水中含有微量杂 质所引起。
b.仪器误差：主要
d d1 d2 dn n
相对平均偏差
3. 准确度与精密度的关系
例：四个分析工作者对同一铁标样(WFe=
37.40%)中的铁含量进行测量，结果如图，
比较其准确度与精密度。
测量点
D C B A
平均值
真值
表观准确度高，精密度低 （不可靠）
准确度高，精密度高 准确度低，精密度高 准确度低，精密度低
小误差出现的频率 较高，而大误差出 现的频率较低;
2.产生的原因：
（1）偶然因素 (室温，气压的 微小变化)；
（2）分析人员 操作的微小差异 等(滴定管读数)
3.消除系统误差的方法
增加平行测定的次数
过失误差
由粗心大 意、操作 不正确引
起，
如加错试剂、试液 溅失，读错刻度， 运算和记录错误等。
初学者必须避免 过失误差属于不
（二）、 随机误差(偶然误差) 某些难以制的偶然原因所引起的误差
1.特点: （1）不恒定，大小正负难以预测无法校正； （2）服从正态分布规律： （3）随机误差影响测量数据的精密 度 。
概 率
0.5
的很 几大
0.4
率误
0.3
近差
0.2
于出
0.1
零现
-4
0
-2
0
2
4
。
x-u
误差正态分布图
大小相近的正误差 和 负误差出现的概 率相等;
75.33 75.39 75.40 75.40 75.45 75.45 75.47 75.47 75.47 75.50 75.50 75.51 75.60 75.63 75.98 76.01 76.07 78.17
数据有大有小，参差不齐
将数据按统计学处理方法进行分组
分组数：m=1.52（n-1)2/5 ≈ 10 113个数据分成10组
74.84
75.02
74.52
74.86
75.02
74.52
74.86
75.02
74.55
74.86
75.02
74.58
74.90
75.05
74.60
74.91
75.06
74.61
74.91
75.06
74.61
74.91
75.06
74.62
74.94
75.08
75.08 75.08 75.09 75.10 75.10 75.11 75.11 75.11 75.12 75.12 75.13 75.19 75.22 75.25 75.32 75.32 75.32 75.32 75.33
NaCO3含量，得到113个测定值如下
73.30 73.30 73.30 73.53 73.61 73.64 74.00 74.00 74.06 74.09 74.12 74.19 74.20 74.20 74.20 74.30 74.30 74.30 74.38
工业纯碱中NaCO3含量测定结果
74.38
74.62
74.97
74.38
74.62
74.97
74.40
74.62
74.97
74.40
74.67
74.97
74.40
74.70
74.97
74.45
74.71
74.97
74.45
74.75
74.98
74.49
74.83
75.00
74.50
74.83
75.00
74.51
74.84
75.00
74.51
是仪器本身不够准
2. 来
确或未经校准所引 起的。
源： d.主观误差操
作人员主观
因素造成
例：对指示剂颜色辨别偏深或 偏浅；滴定管读数不准
3.消除系统误 差的方法
俯视
仰视
a.方法误差—— 对照试验P92 b.试剂误差——空白试验P93 c.仪器误差——校正仪器P93 d.主观误差——规范操作（勤学苦练）
组距： （组中最大值和最小值之差） ΔS ≈R/m ≈ 0.400
为避免“骑墙”， 组界值比测量值多
取一位小数 频数：(每组中数据出现的个数）
相对频数=频数与数据总数之比
分组（%） 1组 73.105-73.505 2组 73.505-73.905 3组 73.905-74.305 4组 74.305-75.705 5组 74.705-75.105 6组 75.105-75.505 7组 75.505-75.905 8组 75.905-76.305