控制工程基础-总复习

9 由状态空间描述求传递函数 10 典型信号的时间、拉氏变换表达形式 11 各种动态性能指标的定义 12 一阶、二阶系统单位阶跃响应及性能指标计算 13 一阶、二阶系统的标准传递函数形式，系数与各参 数的对应关系 14 带有零点的二阶系统定性分析，与无零点时的区别 15 状态方程的求解
控制工程基础总复习（3）
交点 （2）由劳斯阵列求得（及kg相应的值）；
8 走向 当 nm2,kg时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
根轨迹上任一点处的kg：
9 kg计算
k g G 1 (s 1 ) 1 H 1 (s 1 )＝ 开 开 环 环 极 零 点 点 至 至 向 向 量 量 s s 长 长 度 度 的 的 乘 乘 积 积
1Gks01kgN Dss0
即：
N(s) 1 D(s) kg
n
(s zi )
i 1
n
(s pj )
j1
zi
开环的零点
pi
开环的极点
180°根轨迹幅值条件和相角条件
幅值条件:
n
n
1 kg
(s zi )
i1
n
(s pj )
(s zi ) i1
n
(s pj )
j1
j1
相角条件:
m
n
G(s)
i1 n1
j1 n2
s (pks1) (ql2s22lqls1)
系统类型
k1
l1
其中 Ti，j，pk，ql —时间常数
m1
m2
Kg (sai) (s22jwjsw2j )
G(s)
i1 n1
j1 n2
s (spk) (s22llsl2)
k1
系统类型
l1
m1 2m2 m;
n1 n2 n.
•
x
p1
y c1
1
x
u
pn 1
cn x
状态方程与传递函数之间的关系 p输入q输出的对象的状态方程和输出方程
x(t) Ax(t)Bu(t) y(t) Cx(t)Du(t)
其中A为n×n的矩阵。 在零初值条件下，系统的传递函数:
G(s)=C(sIn-A)-1B+D 对于p=q=1的情形，则给出的是标量传递函 数。
状态空间的基本概念
状态变量——一组能够完全表征系统运动状态的相互 独立的最小个数的变量。
x1(t), x2(t),…, xn(t)
状态向量——以状态变量为分量构成的向量，维数与
状态变量的个数相同，一般等于系统中储能元件的个
数。
xT(t)=(x1(t), x2(t),…, xn(t))
状态空间——以状态变量x1(t), x2(t),…, xn(t)为坐标轴 构成的欧氏空间。
x
a0
y 1 0
n1
1 an1
x
0
u
0 x nu
状态空间的建立 微分方程
传递函数
并联分解 (极点互异的情况) G(s)b(sz1) (szm) (sp1) (spn)
n
G(s)
ci
i1 s pi
其中 ci sl im pi(spi)G(s) i 1, ,n.
约当标准 型
频率特性的定义
线性定常系统在正弦输入信号作用下的稳态输出。
Xr Xr ()Sint Xr ()e j0
系统或 对象
Xc Xc()Sin(t()) Xc()ej()
称
A()
Xc () Xr ()
为系统的幅频特性。
static
称 ( )为系统的相频特性。
已知系统的传递函数，令s=jω，可得系统的频率特性。
控制工程基础总复习（1）
1 控制系统的基本结构 2 闭环控制与开环控制的区别 3 控制系统的时域模型（微分方程、状态方程） 4 传递函数与微分方程的关系 5 R-L-C电路的模型建立（微分方程、传递函数） 6 方框图、信号流图、梅森公式应用 7 状态空间的基本概念 8 状态空间表达式建立方法
控制工程基础总复习（2）
可利用拉氏变换法求eAt
eA t (t)L 1 sIA 1
eAt的性质
1） (t)( ) (t ) e Ate A ＝e A(t )
2） e A (t t) e A 0 I (t t) I
3） e A t 1 e A t e A ( t) ( t) 1 ( t)
G(S)c(SIA)1b的极点全部位于s的左半平面。
劳斯稳定判据
系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均 大于零。 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特 征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳 定的。 ③如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符 号的变化次数等于该特征方程式的根在S的右半平 面上的个数，相应的系统为不稳定。
传递函数（0初始条件）
G (s)U Y ( (s s) )b a m n s sm n a b m n 1 1 s sn m 1 1 ...... a b 1 1 ss a b 0 0
传递函数标准形式——时间常数形式、零极点形式
m1
m2
K (Tis1) (2js22jjs1)
5、画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统 开环相频特性。
利用Bode图求剪切频率ωc，相角裕度γ，幅值裕度GM
剪切频率 c —对应于 G(j)H(j)1的频率，记为 c
即幅频特性与0dB的交点的ω值。
(s zi) (s p i) (1 2 k ),k 0 ,1 ,2 ,3 ....
i 1
j 1
绘制180°根轨迹图的法则
序 内容 号
规则
1 起点 终点
起始于开环极点（含无限极点）， 终止于开环零点（含无限零点）。
2 分支数、分支数等于开环传递函数的极点数 n（n m），
对称性、 或开环传递函数的零点数 m（m > n）。 连续性 对称于实轴且具有连续性。
渐近线 n – m条渐近线相交于实轴上的同一点：
3
坐标为： n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
倾角为：
a
180 (2k 1) nm
k 0,1, 2, , n m 1
4 实轴上 实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零 的分布 点、极点数之和必为奇数。
序 内容 号
规则
5 分离 实轴上的分离（会合）点
实现负反馈
用来实现一调般节由作传动装置要和进调行控 用流器，，或如也调放称节节 构 象 所大为环机 直 ， 要、调节构 接 使 求整节组 作 被 的成用控数。于制值执控量制 或行制达的 过机对到设 程备
1—给定环节；2—比较环检 并节测 将；被 其3控 转—校制 换正量 为环， 与节；4—放大环节； 5—执行机构；6给—定被控量对相象同；的7物—检测装置
Hale Waihona Puke Baidu
状态空间的建立
➢由微分方程建立 ➢由传递函数建立
微分方程不含有输入项的导数项
能控标准 型
能观标准型
0 0
.
x
1
0
y 0
a0 b0
a1
x
u
1
an1
0
1 x
状态空间的建立 微分方程含有输入项的导数项
1
bn b0
an1 a0
能控标准 型
n
an1
1
0
0 1
4） 当且仅当AB=BA时，有eAteBt e(AB)t
当 A B B A ， e A te B t e (A B )t 5） deA t A eA t eA tA •(t)A (t) (t)A
d t
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义： 若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作 点，则称系统渐进稳定，简称稳定。反之，若 初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的 推移而发散，则称系统不稳定。 在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！
适用范围：输入量已 知、控制精度要求不高、
➢ 输入控制输出，输出 参与控制 ➢ 检测偏差、纠正偏差 ➢ 具有抗干扰能力 ➢ 结构复杂
扰动作用不大。
微分方程与传递函数之间的关系
微分方程
a ny(n )(t) a n 1y(n 1 )(t) ... a 1y(t) a 0y(t) b m u (m )(t) b m 1 u (m 1 )(t) ... b 1 u (t) b 0 u (t)
稳态误差计算
对稳定系统而言，
U (s) esslti m e(t)lsi m 0sE (s)lsi m 0s1G (s)
与输入信号的形式和开环传递函数的结构有关。
减小稳态误差的方法
（1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈 回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性； （2）对输入信号而言，增大开环放大系数，以提高 系统对给定输入的跟踪能力； （3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间 环节的放大系数，有利于减小稳态误差；
G(j)A()ej()
绘制系统开环频率特性（伯德图）的步骤
切记各典型环节的频率特性 1、将开环传递函数写成典型环节乘积形式；
2、如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置；
3、各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅 频特性的渐近线；
4、修正误差，画出比较精确的对数幅频特性； 一阶惯性环节，交接频率处-3dB; 二阶振荡环节，交接频率处-20lg2ξ
➢ 线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征
（结构、参数），与系统的输入信号无关。
线性定常系统
x Ax bu
y
cx
du
平衡状态 x e 0 渐近稳定的充要条件是矩阵
A的所有特征值均具有负实部。
系统输出稳定：如果系统对于有界输入u 所引起的输 出y是有界的，则称系统为输出稳定。
线性定常系统 (A,b,c) 输出稳定的充要条件是传函
（会合） 点
——（必要条件）
d[G1(s)H1(s)]0或dkg 0
ds
ds
m 1
i1 szi
n 1
j1 s pj
6 出射角 复极点处的出射角：
复零点处的入射角：
入射角
m
n
a180(2k1)i j
i1
j1
ja
n
m
b180(2k1)j i
j1
i1
ib
7 虚轴 （1）满足特征方程 1G (j)H (j)0的 j 值；
常用的典型输入信号及其拉氏变换
时域性能指标（阶跃输入信号）
上升时间tr：响应曲线从0首次上升到稳态值h(∞)所需的 时间。若响应曲线无振荡，tr是响应曲线从稳态值的10% 上升到90%所需的时间。
延迟时间td: 响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。 峰值时间tp: 响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所 需的时间。
控制工程基础总复习（5）
35 几种改进型PID控制的原理、特点 36 PID是否适用于所有被控对象？在应用PID控制时 应考虑哪些因素？
闭环控制系统的结构及基本环节
控制系统所 控制的物理 量（被控量）
设定被控将制所检测的被控制量 量的给定与值给定量进行比较， 的装置 确定两者之间的偏差
量，多用差动放大器
（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型 号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
根轨迹方程的标准形式
设系统的开环传递函数为:
Gk
s
kg N(s) D(s)
k g 为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)
其中:
n
N(s) (s zj ),
n
D(s) (s pj )
j1
j1
可得到系统的闭环特征方程式为:
16 eAt的性质 17 稳定性的定义 18 高阶微分方程、传递函数稳定性判别 19 状态方程稳定性的判别 20 劳斯判据 21 稳态误差的计算方法 22 消除稳态误差的方法 23 系统类型的概念 24 根轨迹方程的标准形式 25 幅值条件和相角条件
控制工程基础总复习（4）
26 根轨迹的画法 27 频率特性的定义 28 根据开环传递函数绘制Bode图的方法 29 利用Bode图求剪切频率ωc，相角裕度γ，幅值 裕度GM 30 利用开环传函的Bode图判断闭环系统的稳定性 31 由Bode图求传递函数 32 由Bode图分析稳态误差 33 PID控制的定义及其传递函数 34 PID对系统的稳定性有何影响
理量
开环控制：只有输入量对 闭环控制：把输出量的一
输出量产生控制作用，输 部分检测出来,反馈到输入 出量不参与对系统的控制。 端,与给定信号进行比较，
➢ 结构简单、维护容易、产生偏差,此偏差经过控制 成本低、不存在稳定性问 器产生控制作用,使输出量
题
按照要求的规律变化；
➢ 输入控制输出 ➢ 输出不参与控制 ➢ 系统没有抗干扰能力
调节时间ts: 在稳态值h(∞)附近取一误差带（5％或2％）， 取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间。
超调量σ%（σp）：响应曲线超出稳态值的最大偏差与 稳态值之比。即
%h(tp)h()100%
h()
带有零点的二阶系统响应
j
0
状态方程的求解
x(t)Ax(t)Bu(t)
x(0)x0
x (t)eA (t t0)x (t0)tt0eA (t )B u ()d