江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题 数学 Word版含答案
江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题 数学 Word版含答案
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S ←0 I ←1While I<10 S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print S(第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG→＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________． 14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x －1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC ＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；(2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x .(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．2020届高三模拟考试试卷(十三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 710 6. －8 7. 3 8. π129. y ＝±2x 10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分)由A ∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分) 又由B ∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0， 从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分)由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分) 因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分) 因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分) 16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.(2分) 又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM ∥NH ， 所以CM ，NH 共面．(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM ∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM ∥NH ，且CM ＝NH ， 所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分)(证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM ∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ，所以CM ∥NH.(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ，所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH ∥AC ∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点， 所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25.令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c ×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1， 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0.设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0. 设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k8k 2＋1)＝24×4k 3＋k （2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k ＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t ≥21k ×4k ＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163， 故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m 2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分) 19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x .令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x ，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x .因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点， 所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x ＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x . 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分)因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b ≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，1)或x ∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(1，－b －3)； 当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，－b －3)或x ∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(－b －3，1)．(7分)综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x ≤2x ＋2对任意x ≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ≤0对任意x ≥0恒成立．令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ，p(0)＝0， 由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a ≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x .①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故p(x)≤p(0)＝0，得a ≤0符合题意．(10分)②当0<a ≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x ，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x ， 当x ≥0时，2(x ＋3)e x ≥6， 2a －2(x ＋3)e x ≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0，所以对任意x ≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a ≤2时，对任意x ≥0，G(x)＝p′(x)≤0， 得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以，对任意x ≥0，p(x)≤p(0)＝0恒成立， 得0<a ≤2符合题意．(13分) 当2a －4>0，即2<a ≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减， 由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x ∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x ∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符． 综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分)20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n2， 所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn.因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分) 消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2，所以n 2＝16k2k 2－1.因为n ≥3，所以16k2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分)(3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立， 两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln xx ，求导f′(x)＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n ≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，lnq>ln 33.(13分)设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x ≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n ≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立． 所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y 24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎨⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD ＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC.又AD ∥BC 可得DE ⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分)则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分)(2) 猜想：a n ＝2n .证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C k k ＋k2k ＝2k .则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C k n 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，a k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ) ＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k2k )．(7分) 又C k ＋1k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)， 于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n ，n ∈N *.(10分)。
江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考英语试题 Word版含答案
南京市六校联合体2020 届高三第二学期5月联考英语试题满分：120分，时间：120分钟第一部分听力（共两节，满分 30分）做题时，现将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题 1.5分，满分 7.5分）听下面 5 段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A,B,C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有 10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A.￡19.15B.￡9.18C.￡9.15答案是C.1.What are the speakers talking about?A.Having a birthday party.B.Doing some exercise.C.Getting Lydia a gift.2.What is the woman going to do?A.Help the man.B.Take a bus.C.Get a camera.3.What does the woman suggest the man do?A.Tell Kate's to stop.B.Call Kate's friends.C.Stay away from Kate.4.Where does the conversation probably take place?A.In a wine shop.B.In a supermarket.C.In a restaurant.5.What doer the woman mean?A.Keep the window closed.B.Go out for fresh air,C.Turn on the fan.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题+地理
2020届高三模拟考试试卷地理2020.5本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(综合题)两部分。
满分120分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(共60分)(一) 单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
日晷是古代人们利用日影测得时刻的一种计时仪器。
北京故宫养心殿院内，存有一架清代日晷，属赤道日晷，即晷面与赤道平行。
晷盘两面都有刻度，冬夏须分别视不同盘面，阳光照射铁针，针影投于盘面，视针影变化而知时刻。
读图回答1～2题。
1. a、b、c所示为二分二至日正午时刻太阳方位，a表示的节气为()A. 春分B. 夏至C. 秋分D. 冬至2. 下列有关该地日晷说法正确的是()A. 针影长度和针影方位均随时光变化B. 一天有12个时辰，卯时是指6时C. 清明至谷雨期间每天针影在盘面上的移动的角度变小D. 五一劳动节当天日出时，针影偏盘面下方澳大利亚威廉湾国家公园绿水潭以其碧绿的海水和花岗岩巨石环绕的海滩而享有盛名。
下图为绿水潭景区局部景观示意图。
据此回答3～4题。
3. 图示景区的岩石()A. 由变质作用形而B. 可能含有化石C. 由岩浆冷凝形成D. 多气孔构造4. 图示岩体景观的形成过程大致是()A. 变质作用→地壳抬升→沉积作用B. 沉积作用→外力侵略→地壳抬升C. 岩浆侵入→地壳抬升→外力侵蚀D. 岩浆喷发→地壳下沉→沉积作用下图是我国南方某流域部分地区地层分布图，图中实线为地层分界线，虚线为等地下水位线。
据此回答5～6题。
5. 下面四幅地层剖面图能正确反映沿甲、乙线地层分布状况的是()6. 图示区域内地下水与河流的补给关系为()A. 东岸河流补给给地下水B. 河流补给给两岸地下水C. 两岸地下水均补给给河流D. 西岸补给给河流，东岸河流补给给地下水读亚洲东部某月16日18时等压线(单位：hPa)分布图，回答7～8题。
7. 图中P气压中心正日益增强，推测该月是()A. 1月B. 5月C. 7月D. 9月8. 此时各地天气状况说法正确的是()A. 银川晴朗少云B. 马尼拉可能发布暴雨警报C. 广州将经历冷锋天气过程D. 平壤风力较上海大下图为某岛国四处山地植被分布示意图，图中①②③④分别代表常绿林、落叶阔叶林、混交林、针叶林。
2020年5月江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期高考模拟联合考试英语试题及答案
绝密★启用前江苏省南京市六校联合体2020届高三毕业班下学期高考模拟联合考试英语试题2020年5月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共85分)第一部分：听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
()1. What does the man want to do?A. Send mail to Sally.B. Contact Mary.C. Get Mary's address.()2. How long will it take the woman to reach Beijing by train?A. 5 hours.B. 7 hours.C. 10 hours.()3. What are the speakers mainly talking about?A. A new dress.B. The weather.C. A recent event.()4. What can we learn about the man's new roommate?A. He really likes potatoes.B. He is fond of watching TV.C. He seldom visits his parents.()5. What is the man looking for?A. Gloves.B. Bus tickets.C. A pen.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
江苏南京六校联合体高三下学期5月联考试题 物理 含答案
2020届高三模拟考试试卷物理2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题共31分)一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1. 如图所示为教室里可以沿水平方向滑动的黑板，一位老师用粉笔在其中某块可移动的黑板上画直线．若粉笔相对于地面从静止开始向下先做匀加速直线滑动后做匀减速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画出的轨迹，可能为下列图中的()2. 左图为手机及无线充电板．右图为充电原理示意图．充电板接交流电源，对充电板供电，充电板内的送电线圈可产生交变磁场，从而使手机内的受电线圈产生交变电流，再经整流电路转变成直流电后对手机电池充电，下列说法正确的是()A. 手机外壳用金属材料制作可以减少能量损耗B. 如果图示方向的磁场在变强，受电线圈中c点的电势高于d点的电势C. 在送电线圈电压不变的情况下，增加送电线圈匝数可以提高受电线圈的电压D. 受电线圈中交变电流的频率与发射线圈中交变电流的频率相同3. 如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则()A. 两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍B. 甲球在P点速度与乙球在最高点的速度相等C. 乙球相对于M点上升的最大高度为PM长度一半D. 两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍4. 质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角θ的粗糙斜面顶端的轻滑轮，斜面左端固定在水平桌面上，通过改变AB边的高度可使AO绕O点转动，如图所示．已知滑轮与转轴之间的摩擦不计，m1＝2m2，现在使O缓慢地从60°变为15°，m1始终相对斜面处静止状态，m2始终悬空(未与AB、地面接触)，下列说法正确的是()A. 细绳的拉力在逐渐变小B. m1和m2系统的机械能一定守恒C. m1受到的摩擦力先减小再增加D. 斜面对m1的支持力始终不变5. 如图所示，电源为交流恒压源，即无论电路中的电阻如何变化，接入电路的交流电压始终保持恒定．R1、R2阻值保持不变，理想交流电压表与理想交流电流表的示数分别为U、I.当恒压交流源的频率变大时，理想电压表与理想电流表的示数变化量分别为ΔU、ΔI，下列说法正确的是( )A. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ΔU ΔI ＝R 1B. U 变大，I 变大C. 灯泡变暗，I 变小D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ΔU ΔI ＝R 1＋R 2二、 多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6. 我国在酒泉发射中心成功发射了神舟十一号载人飞船，并随后与天宫二号对接形成组合体．如图所示，圆轨道1为天宫二号的运行轨道，圆轨道2为神舟十一号开始的运行轨道，半径为R ，神舟十一号经过时间t ，通过的弧长为s.已知引力常量为G ，则( )A. 天宫二号内的物体处于平衡状态B. 神舟十一号要完成与天宫二号对接必须适时加速C. 发射神舟十一号时的速率一定大于7.9 km/sD. 可算出地球质量为s2GRt27. 如图甲所示是某工厂烟囱静电除尘机原理图，放电极和集尘极加上高压电场，使尘埃带上静电(电荷性质未知)，尘埃在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，达到除尘目的，图乙是俯视图，图中实线为电场线．不考虑尘埃在迁移过程中的相互作用和电荷量变化，则()A. 进入除尘区前应使尘埃带上负电荷B. 图中A点电势高于B点电势C. 图中A点电场强度大于B点电场强度D. 尘埃在迁移过程中电势能增加8. 如图所示，在光滑水平面上叠放着甲、乙两物体．现对甲施加水平向右的拉力F，通过传感器可测得甲的加速度a随拉力F变化的关系如右图所示．已知重力加速度g＝10 m/s2，由图线可知()A. 乙的质量m乙＝6 kgB. 甲、乙的总质量m总＝8 kgC. 甲、乙间的动摩擦因数μ＝0.3D. 甲、乙间的动摩擦因数μ＝0.19. 如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器．加速电场的加速压为U ，静电分析器通道中心线半径为R ，通道内有均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E ；磁分析器中分布着方向垂直于纸面，磁感应强度为B 的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行．由离子源发出一个质量为m 、电荷量为q 的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN 做匀速圆周运动，而后由P 点进入磁分析器中，最终经过Q 点进入收集器．下列说法正确的是( )A. 磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向外B. 磁分析器中圆心O 2到Q 点的距离d ＝1B2mER q C. 不同粒子经相同的加速压U 加速后都可以沿通道中心线安全通过静电分析器D. 静电分析器通道中心线半径为R ＝2U E第Ⅱ卷(非选择题 共89分)三、 简答题：本题分必做题(第10、11、12题)和选做题(第13题)两部分，共42分．请将解答填写在相应的位置．【必做题】10. (8分)如图甲所示是某同学在做“探究加速度与力、质量的关系”实验初始时刻的装置状态图，如图乙所示是该同学得到一条用打点计时器打下的纸带．甲乙(1) 写出图甲中错误的地方：________________________________________________________________________；__________________________________________________.(至少写出两点)(2) 如图甲所示中打点计时器应该用以下哪种电源________．A. 直流4～6 VB. 电流220 VC. 交流4～6 VD. 交流220 V(3) 已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz，纸带上每两个相邻计数点之间还有4个打出的点未画出，根据纸带求出物块运动时的加速度大小为________m/s2(结果保留两位有效数字)．丙(4) 该同学在教师指导下，将实验装置调试正确．实验中，保持所挂砂和砂桶的总质量m 不变，改变小车的质量M ，并测出所对应的加速度a ，以小车的质量M 为横坐标，以1a为纵坐标，在坐标纸上作出如图丙所示的关系图线，已知当地的重力加速度为g ，结果发现图像不过原点，根据牛顿第二定律认为在拉力不变的情况下1a与M 应该成正比，该同学百思不得其解，请你告诉该同学图中纵轴上的截距的物理意义________(用题中所给的字母表示)．甲11. (10分)某一实验小组用如图甲所示电路测量电源E 的电动势和内阻，图中电压表的量程是 3 V，虚线框内为用电流计改装的电流表．(1) 已知电流计的满偏电流I g＝200 mA、内阻r g＝1.0 Ω，电路中已将它改装为量程400 mA的电流表，则R1＝________Ω.(2) 通过移动变阻器R的滑片，得到多组电压表的读数U和电流计的读数I，作出如图乙所示的图像．(3) 某次测量时，电压表的示数如图丙所示，则此时通过电源E的电流为________mA.(4) 根据图乙得出电源E的电动势等于________V，内阻等于________Ω(小数点后保留两位)．(5) 本实验中电压表的内阻对实验的测量结果________(选填“有”或“无”)影响．12. [选修35](12分)(1) 下列关于四幅图说法中，正确的是________A. 玻尔原子理论的基本假设认为，电子绕核运行轨道的半径是任意的B. 光电效应产生的条件为：入射光的频率大于极限频率C. 电子束通过铝箔时的衍射图样证实了运动电子具有波动性D. 发现少数α粒子发生了较大偏转，说明金原子质量大而且很坚硬(2) 质量为4 kg的物体B静止在光滑水平面上，一质量为1 kg的物体A以2.0 m/s的水平速度和B发生正碰，碰撞后A以0.2 m/s的速度反弹，则碰撞后物体B的速度大小为________；此过程中系统损失的机械能等于________．(3) 铝的逸出功为W0＝6.72×10－19J，用波长λ＝200 nm的光照射不带电的铝箔，发生光电效应，普朗克常量h＝6.63×10－34J·s，电子电量为e＝1.6×10－19C.求：①发生光电效应时，铝箔的电性；②若用铝箔制作光电管，则它的遏止电压U c(结果保留两位有效数字)．【选做题】13. 本题包括A、B两小题，请选定其中一小题作答．若多做，则按A小题评分．A. [选修33](12分)(1) 下列关于物质属性的微观认识的说法中，正确的是________．A. 液体的分子势能与体积无关B. 单层云母片导热性能具有各向异性C. 温度升高，每个分子的速率都增大D. 一定质量的理想气体，在绝热膨胀的过程中，分子平均动能一定减少(2) 如图所示，绝热气缸A与导热气缸B均固定于地面，由刚性杆连接的绝热活塞与两气缸间均无摩擦．两气缸内装有处于平衡状态的理想气体，开始时体积均为V0、温度均为T0.缓慢加热A中气体，停止加热达到稳定后，A中气体压强为原来的1.2倍．设环境温度始终保持不变，则气缸B中气体的体积V B＝________；气缸A中气体温度T A＝________．(3) 在“油膜法估测分子直径”的实验中，实验室配备的器材有：面积为0.25 m2的蒸发皿、滴管、量筒(60滴溶液滴入量筒体积约为1毫升)、纯油酸和无水酒精若干等．已知分子直径数量级为10－10m，若老师为本实验配制油酸酒精溶液，则该老师配制的油酸酒精溶液浓度(油酸与油酸酒精溶液的体积比)至多为多少？B. [选修34](12分)(1) 下列关于四幅图的说法中，正确的是________．A. 由两个简谐运动的图像可知：它们的相位差为π2或πB. 当球与横梁之间存在摩擦的情况下，球的振动不是简谐运动C. 频率相同的两列波叠加时，某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱D. 当简谐波向右传播时，此时质点A 的速度沿y 轴正方向(2) 如图所示为某一简谐横波在t ＝0时刻的波形图，此时质点a 振动方向沿y 轴正方向．从这一时刻开始，质点a 、b 、c 中第一次最先回到平衡位置的是________点．若t ＝0.02 s 时，质点c 第一次到达波谷处，从此时刻起开始计时，质点c 的振动方程y ＝________cm.(3) 如图所示，△ABC 为等腰直角三棱镜的横截面，∠C ＝90°，一束激光a 沿平行于AB 边射入棱镜，经一次折射后射到BC 边时，刚好能发生全反射，求该棱镜的折射率n.四、 计算题：本题共3小题，共47分，解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14. (15分)如图所示，间距为H 的两水平线MN 、PQ 间存在匀强磁场，磁感应强度为B ，有一质量为m 边长为L 的正方形线框(L ＜H)，从有界的匀强磁场上方由静止自由下落，线框电阻为R ，线框下落过程中ab 边与磁场界面平行．已知ab 边刚进入磁场和刚穿出磁场时都做减速运动，且加速度大小均为a ＝g5.求：(1) ab 边刚进入磁场时线框中的电流强度I ； (2) 线框穿过磁场的全过程中产生的热量Q ； (3) cd 边刚进入磁场时，线框速度的大小v.15. (16分)如图所示，竖直平面内有一半径R ＝0.45 m 的光滑14圆弧轨道AB ，一质量m＝2 kg 的物块(可视为质点)，从A 点由静止滑下，无能量损失地滑上静止的长木板的左端(紧靠B 点)，此后两者沿光滑水平向右运动，木板与弹性挡板P 碰撞后立即以原速率反向弹回，最终物块和木板均静止．已知木板质量M ＝1 kg ，板长L ＝1 m ，初始时刻木板右端到挡板P 的距离为x ＝2 m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.5，设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2.求：(1) 物块滑至B 点时对轨道的压力大小F N ；(2) 木板第一次速度为零时，物块的速度大小v 1； (3) 物块最终距挡板P 的距离．16. (16分)如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy ，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，还有沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ＝2 N/C ，第一象限空间有沿y 轴负方向的、场强大小也为E 的匀强电场，并在y ＞h ＝1.6 m 的区域有磁感应强度也为B 垂直于纸面向外的匀强磁场．一个带电荷量为q 的油滴从图中第三象限的P 点获得一初速度v 0＝4 2 m/s ，恰好能沿PO 做匀速直线运动(PO 与x 轴负方向的夹角为θ＝45°)，并从原点O 进入第一象限．已知重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1) 油滴所带电性以及磁场磁感应强度B ； (2) 油滴第二次经过y 轴的坐标；(3) 若第一象限内是磁感应强度仍为B ，位置可变的矩形磁场，能让油滴在第一象限内回到x 轴的磁场区域最小面积S.2020届高三模拟考试试卷(南京) 物理参考答案及评分标准1. C2. D3. B4. C5. A6. BC7. AB8. BD9. ACD10. (1) 小车释放时距打点计时器过远；细线没有放在滑轮上；细线没有与木板平行；细线不够长等(写出一条得1分，答出两条即可得2分)(2) D(2分) (3) 0.75(0.72～0.78)(2分) (4) 1g(2分)11. (1) 1.0 (3) 200 (4) 2.93(2.92～2.96) 1.17(1.13～1.22) (5) 无(每空2分) 12. (1) BC(4分) (2) 0.55 m/s(2分) 1.375 J(2分) (3) ① 正(2分) ② 2.0(2分) 13. A (1) BD(4分) (2) 56V 0(2分) 1.4T 0(2分)(3) 1.5×10－3或0.15%(4分) B. (1) BC(4分)(2) c(2分) －8cos(50πt)(2分)(3) 解：如图所示n ＝sin 45°sin α(1分)n ＝1sin C (1分) C ＋α＝90°(1分) 解得n ＝62(1分) 14. (15分)解：(1) 由牛顿第二定律得F A －mg ＝ma(2分) F A ＝BIL(2分) 解得I ＝6mg5BL(1分) (2) 由能量守恒可知，线框穿过磁场的全过程线框产生的总热量Q 总＝2mgH(4分)(3) 由题意知，ab 边刚穿出磁场时的速度v 2等于ab 边刚进入磁场时的速度v 1 E ＝BLv 1(1分) I ＝E R 又I ＝6mg 5BL (1分) 解得v 1＝6mgR5B 2L2(1分)从cd 边刚进入磁场到ab 边刚穿出磁场过程中v 21－v 2＝2g(H －L)(1分)则cd 边刚进入磁场时，线框速度v ＝36m 2g 2R 225B 4L 4－2g （H －L ）(2分)15. (16分)解：(1) 设物块滑到圆弧轨道最低点B 的速度为v 0 由动能定理得mgR ＝12mv 20(2分)根据牛顿第二定律得F′N －mg ＝mv 20R(2分)解得F′N ＝3mg ＝60 N(1分)由牛顿第三定律可知，物块滑至B 点时对轨道的压力大小F N ＝F′N ＝60 N(1分) (2) 物块滑到水平板上受到向左的摩擦力 对物块用牛顿第二定律μmg ＝ma 1(1分) 对木板用牛顿第二定律μmg ＝Ma 2(1分) 设物块和木板第一次共速时的速度为v 则有v ＝v 0－a 1t 1 v ＝a 2t 1解得v ＝2 m/s t 1＝0.2 s 之后物块和木板一起撞向挡板(2分) 木板撞向挡板到速度为零用时t 2＝va 2(1分)则物块此时的速度v 1＝v －a 1t 2 解得v 1＝1 m/s(1分)(3) 设物块最终相对于木板相对位移为s 根据能量守恒有μmgs ＝12mv 20(2分)解得s ＝0.9 m(1分)所以物块最终距挡板的距离为d ＝L －s ＝0.1 m(1分)16. (16分)解：(1) 由题意可知，油滴在第一象限运动时所受合力为零 根据三力平衡可以判断油滴带负电(2分)mg ＝qE(1分)Bqv 0＝2qE(1分)解得B ＝0.5 T(1分)(2) 由题意可得mg ＝qE ，则Bqv 0＝mv 20r(2分) 解得r ＝825m(2分) 油滴第二次经过y 轴的坐标y ＝1.6＋1.6＋825＝16＋825m(2分)(3) 满足条件的油滴在磁场内的运动轨迹如图所示则最小面积S ＝2r ×(r ＋rcos 45°)(3分)解得S ＝128（2＋2）25 m 2(2分)。
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题 Word版含解析
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研数学试题一、填空题1. 已知集合{}2|20,{|1}A x x x B x x =-<=<，则AB =______________.【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解法求得集合A ，根据并集定义可求得结果. 【详解】(){}()200,2A x x x =-<=，{}()1,1B x x =<=-∞，(),2A B ∴=-∞.故答案为：(),2-∞.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数(2)(1)z a i i =++的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z =_____________.【答案】4i - 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得a ，进而根据共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122z a i i a a i =++=-++的实部为0，20a ∴-=，解得：2a =，4z i ∴=，4z i ∴=-.故答案为：4i -.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．【答案】143【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为2222(2)(1)(3)1492,33x s -+-+===考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_____________.【答案】25 【解析】 【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入0S =，1I =，满足10I <，循环； 则011S =+=，123I =+=，满足10I <，循环； 则134S =+=，325I =+=，满足10I <，循环； 则459S =+=，527I =+=，满足10I <，循环； 则9716S =+=，729I =+=，满足10I <，循环；则16925S =+=，9211I =+=，不满足10I <，结束循环，输出25S =. 故答案为：25.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________. 【答案】710【解析】 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中任选2名学生，共有2510C =种选法，至多有一名男生的情况有211223167C C C +=+=种选法，∴至多有一名男生的概率710p =. 故答案为：710. 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5102S S =，则5151054S S S S +=-_____________.【答案】8- 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质可得到5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，根据等比数列性质可推导得到15534S S =，代入所求式子可整理得到结果. 【详解】由5102S S =得：()5510510552222S S S S S S S -=-=-=-，此时由等比数列性质知：5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，设其公比为q ，105512S S q S -∴==-， ()151010551124S S S S S ∴-=--=，1510551344S S S S ∴=+=，515551055543812S S S S S S S S ++∴==---. 故答案为：8-.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3 【解析】 【分析】由抽象函数关系式可确定()f x 关于1x =对称，结合函数为奇函数可知()f x 是周期为4的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果. 【详解】()()2f x f x =-，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数()2sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则ϕ的最小值为_____________. 【答案】12π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得ϕ. 【详解】()2sin sin 2sin cos 63623f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin cos sin 2663x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴向左平移ϕ个单位得：()sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()f x ϕ+为偶函数，()232k k Z ππϕπ∴+=+∈，解得：()122k k Z ππϕ=+∈， 又0ϕ>，ϕ∴的最小值为12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F ，，过2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A B ，两点，若12F F =，则双曲线的渐近线方程为_____________.【答案】y = 【解析】 【分析】利用通径长和焦距的关系可构造,a c 齐次方程，从而求得离心率e ，利用2221be a-=可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】AB x ⊥轴且直线AB 过焦点2F ，AB ∴为通径，则22b AB a=，12F F=，)222c a c a-∴==2220ac --=，23230e e∴--=，解得：3e=，又2221bea-=，222ba∴=，2ba∴=，∴双曲线渐近线方程为2by x xa=±=±.故答案为：2y x=±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE△是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.3【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程3h r=，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果. 【详解】设正方形BCDE的边长为r，AB长为h，则圆锥的侧面积221S r r hπ=+222S rπ=，由12S S得：2222r r h rππ+=，解得：3h r=，∴圆锥和圆柱的体积之比为23133r hrππ⋅=3【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD 中，6,3AD AB ==，160,2DAB DE EC ∠==，12BF FC =，若2FG GE =，则AG BD ⋅=__________.【答案】21 【解析】 【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到BD AD AB =-，5799=+AD AG AB ，然后得出22752999⋅=-⋅-AG BD A B AD B A AD ，代入数据即可. 【详解】如图所示：因为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =，1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ，又BD AD AB =-，所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ，6,3AD AB ==，60DAB ∠=，所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ，代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若3cos a b C =，则111tan tan tan A B C++的最小值为_____________.【解析】 【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得tan 2tan C B =，利用()tan tan A B C =-+和两角和差正切公式可得到23tan tan 12tan BA B=--，代入所求式子后可化简为关于tan B 的函数，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】3cos a b C =，由正弦定理可得：sin 3sin cos A B C =，()sin sin sin cos cos sin 3sin cos AB C B C B C B C ∴=+=+=，cos sin 2sin cos B C B C ∴=，tan 2tan C B ∴=， A B C π++=，()()()2tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B C Bπ+∴=-+=-+=-=---，221112tan 1114tan 7tan tan tan 3tan tan 2tan 6tan B B A B C B B B B-+∴++=++=2tan 736tan BB =+，ABC 为锐角三角形，0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()tan 0,B ∴∈+∞，2tan 736tan 3B B ∴+≥=（当且仅当2tan 736tan B B =，即tan 2B =时取等号）， 111tan tan tan A B C ∴++. . 【点睛】本题考查解三角形中的最值问题的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆22:4O x y+=点()2,2A，直线l与圆O交于P Q，两点，点E在直线l上且满足2PQ QE→→=.若22248AE AP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________. 【答案】1717---+⎝⎭【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为y kx m=+，利用直线与圆有交点可求得2244m k<+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE→→=和22248AE AP+=可整理得到12x x+，12x x，12y y+，12y y满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m=-；当0m=时，知0Mx=；当0m≠时，可将Mx 表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M MM x y，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0l x=，此时()0,2P-，()0,2Q，2PQ QE→→=，()0,4E∴，2448AE∴=+=，241620AP=+=，满足22248AE AP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：y kx m=+，l与圆O有两个不同交点，221mk<+，即2244m k<+()*，由224y kx mx y=+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m+++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-， 当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，k <<， 212222441442111M x x km k k kx k k k+-+∴==-==-+⨯+++， 4713->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+，当4433k +<<时，()211y k k =+++单调递增， ∴()442121y k k=-+++-+在⎝⎭上单调递减，11,22M x ⎛--+∴∈ ⎝⎭，综上所述：弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为⎝⎭.故答案：⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【解析】 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可.【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ， 记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0gx >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >.所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减. 因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数yg x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤，0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题. 二、解答题15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值.【答案】（1）3π （2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得tan B ，进而得到结果； （2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得b 和sin A ，由大边对大角的特点可知A 为锐角，得到cos A ，根据二倍角公式得到sin 2,cos 2A A ，利用()2sin sin 23A C A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，1sin sin 2B B B ∴=+1sin 2B B =，tan B ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，b ∴=，由正弦定理得：sin sin 7a B A b ==，a c <，A ∴为锐角，cos 7A ∴=，sin 22sin cos A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭1127⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧面11BCC B 是矩形，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求证：M 是棱1CC 中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，由线面垂直性质可证得结论； （2）连接1A B 交1AB 于点H ，可知112NH BB =且1//NH BB ，根据平行关系可知,CM NH 共面，利用线面平行的性质可证得//CN MH ，从而得到四边形CNHM 为平行四边形，由长度关系可证得结论. 【详解】（1）侧面11BCC B 是矩形，1BC CC ∴⊥又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，BC ⊂平面11BCC B ，BC ∴⊥面11ACC A ，又AM ⊂面11ACC A ，BC AM ⊥∴.（2）连接1A B 交1AB 于点H ，连接,MH NH ，四边形11ABB A 为平行四边形，H ∴为1AB 中点，又N 为AB 中点，1//NH BB ∴且112NH BB =，11//BB CC ，//NH CM ∴，,CM NH ∴共面，//CN 平面1AB M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM 平面1AB MMH =，//CN MH ∴，∴四边形CNHM 为平行四边形，111122CM NH BB CC ∴===，即M 是棱1CC 中点. 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型. 17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，30OA =米，50AB =米，6COD π∠=，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角3EOF π∠=，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上.设FOC θ∠=.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；（2）求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值. 【答案】（1）()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，3tan 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）34【解析】 【分析】（1）分别求得扇形EOC 和四边形OCBF 的面积，加和得到()S θ，根据矩形长和宽可确定tan θ最小值，进而确定tan θ的范围；（2）设()925tan h θθθ=+，利用导数可求得()h θ的单调性，通过求得()min h θ可求得()max S θ，并确定所求的θ的正切值.【详解】（1）扇形EOC 的面积为211250501250233ππθθ⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 四边形OCBF 的面积为13045030503015002tan tan θθ⨯-⨯⨯=-,∴阴影部分的面积为()12509150050253tan S πθθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. 0,3πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中03tan 5θ=，3tan ,35θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）设()925tan h θθθ=+，则()22229sin 9cos 92525sin sin h θθθθθ--'=+=-， 令()0h θ'=，解得：3sin 5θ=，33tan ,345θ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦， 设其解为1θ，即13tan 4θ=，则()h θ在[)01,θθ上单调递减，在1,3πθ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()()1min h h θθ∴=，()()1max 12501500503S h πθθ∴=+-，此时13tan 4θ=∴监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34. 【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点,A B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线1PF 的倾斜角为4π，12=PF ，已知椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,M N 为椭圆上异于,A B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）163【解析】 【分析】（1）根据离心率可求得2a c =，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得c ，进而确定b ，由此得到椭圆方程；（2）设AM 方程为()2y k x =+，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得M 点坐标，同理可得N 点坐标，由()12142S y y =⨯⨯-整理可得关于k 的函数的形式，利用对号函数可求得S 的最大值. 【详解】（1）椭圆C 的离心率2c e a ==，2a c ∴=， 设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则21222PF a PF a =-=-，在12F PF △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅∠，即()22224442a c c -=+-，又2a c =()22442222c c c ∴+-=- 解得：2c =2a ∴=，222b a c =-=∴椭圆C 的方程为22142x y+=. （2）由（1）知：()2,0A -，()2,0B ，设直线AM 斜率为k ，则直线AM 方程为()2y k x =+，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128840k x k x k +++-=，则()()4226441284160k kk∆=-+-=>，设()11,M x y ，则21284212k x k --=+，2122412k x k-∴=+，12412k y k ∴=+，222244,1212k kM k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭， 由2BN AM k k =可得直线BN 方程为()22y k x =-，同理可求得：2221628,1818k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由对称性，不妨设0k >，则四边形AMBN 的面积：()()()()312222224414842212181218k k k k S y y k k k k +⎛⎫=⨯⨯-=+= ⎪++++⎝⎭2221112442442442411112116108244214k k k k k k k k k k k k k k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+， 令14t k k=+，则4t ≥=（当且仅当14k k =，即12k =时取等号）， 24241621342S t t ∴=≤=++，S ∴的最大值为163. 【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，()xg x e =.（1）若1a b ==，1c =-，求函数()()()f x h xg x =在1x =处的切线方程； （2）若1a =，且1x =是函数()()()m x f x g x =的一个极值点，确定()m x 的单调区间；（3）若2b a =，2c =且对任意0x ≥，()()22f x x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）210x ey --=；（2）当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；（3）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求得()1h 和()1h '后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定23c b =--，由此可得()()()31x m x x b x e '=++-⋅，分别在4b <-和4b >-两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成立的不等式化为()()222220x sx ax ax x e =++-+≤，①当0a ≤时，由()0s x '≤恒成立可知()()00s x s ≤=，满足题意；②当0a >时，由02a <≤时()0s x '≤可知()()00sx s ≤=，满足题意；由零点存在定理可验证出23a <≤和3a >时存在()()00s x s >=的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1a b ==，1c =-时，()21xx x h x e+-=， 则()11h e =，()()()2212x xx x x x h x e e --+-++'==，()21h e '∴=， ()h x ∴在1x =处的切线方程为()121y x e e-=-，即210x ey --=.（2）当1a =时，()()2xm x x bx c e =++⋅，()()()()22xm x x b x b c e '∴=++++⋅，1x =是()m x 的一个极值点，()()1230m b c e '∴=++=，23c b ∴=--， ()()()()()()22331x x m x x b x b e x b x e '∴=++-+⋅=++-⋅，令()0m x '=，解得：11x =，23x b =--，1x =是一个极值点，31b ∴--≠，即4b ≠-，①当31b -->，即4b <-时，若(),1x ∈-∞和()3,b --+∞，()0m x '>；若()1,3x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；②当31b --<，即4b >-时， 若(),3x b ∈-∞--和()1,+∞，()0m x '>；若()3,1x b ∈--，()0m x '<，()m x ∴的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --；综上所述：当4b <-时，()m x 的单调递增区间为(),1-∞，()3,b --+∞，单调递减区间为()1,3b --；当4b >-时，()m x 的单调递增区间为(),3b -∞--，()1,+∞，单调递减区间为()3,1b --.（3）当2b a =，2c =时，()()22222xf x ax ax xg x e++=≤+对任意0x ≥恒成立， 即()222220x ax ax x e ++-+≤对任意0x ≥恒成立.令()()22222x sx ax ax x e =++-+，则()()()()222222124x x x s x ax a e x e a x x e '=+--+=+-+，()()()2224226x x x s x a e x e a x e ''=--+=-+，()()()22628x x x s x e x e x e '''=--+=-+，①当0a ≤时，对任意0x ≥，()0s x '≤恒成立，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；②当0a >时， 当0x ≥时，()0s x '''<，()s x ''∴在[)0,+∞上单调递减，()()026s x s a ''''∴≤=-，⑴当03a <≤时，()0s x ''≤，()s x '∴在[)0,+∞上单调递减，()()024s x s a ''∴≤=-，i.当02a <≤时，()0s x '≤，()s x ∴在[)0,+∞上单调递减，()()00s x s ∴≤=，满足题意；ii.当23a <≤时，由()00s '>，()1461260s a e e '=-≤-<，()00,1x ∴∃∈，使得()00s x '=，则()s x 在()00,x 上单调递增， ∴当()00,x x ∈时，()()00s x s >=，不满足题意；⑵当3a >时，由()0260s a ''=->，当x →+∞时，()s x ''→-∞，()10,x ∴∃∈+∞，使得()10s x ''=，()0s x ''∴>在()10,x 上恒成立，()s x '∴在()10,x 上单调递增，()()0240s x s a ''∴>=->， ()s x ∴在()10,x 上单调递增，()()00s x s ∴>=，不满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列{}n a （任意项都不为零）的前n 项和为n S ，首项为1，对于任意n *∈N ，满足12n n n a a S +⋅=. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在(),,k m n Nk m n *∈<<使得,,kmn a aa 成等比数列，且4216,,k m n a a a 成等差数列？若存在，试求k m n ++的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列{}b ，()1,21,,2,0n n n a n k k Nb q n k k N q *-*⎧=-∈⎪=⎨=∈>⎪⎩，若由{}n b 的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值. 【答案】（1）()n a n n N *=∈；（2）存在，7k m n ++=；（3）8 【解析】 【分析】（1）代入1n =求得2a ，利用1n n n a S S -=-可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到21n a -和2n a ，进而得到n a ； （2）假设存在(),,k m n Nk m n *∈<<满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到221621kn k =-，由28n >可求得k 的范围，结合k *∈N 得到k ，进而求出,m n ；（3）将问题转化为当n 为偶数时，()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，构造函数()ln xf x x =和()()()ln 21x g x x x+=≥，可利用导数说明()f x 与()g x 的单调性，进而确定q 的取值，同时得到n 的范围，从而求得结果. 【详解】（1）数列{}n a 是非零数列，0n a ∴≠.当1n =时，12112a a a S ==，22a ∴=； 当2n ≥且n *∈N 时，11122n n n nn n n a a a a a S S +--=-=-，112n n a a +-∴-=，{}21n a -∴是首项为1，公差为2的等差数列，{}2n a 是首项为2，公差为2的等差数列， ()2112121n a a n n -∴=+-=-，()22212n a a n n =+-=， ()n a n n N *∴=∈.（2）设存在(),,k m n Nk m n *∈<<，满足题意，,,k m n a a a 成等比数列，2m kn ∴=；4216,,k m n a a a 成等差数列，42216m k n ∴=+，消去m 可得：222216k n k n =+，221621kn k ∴=-，k m n <<，3n ∴≥，216821k k ∴>-，解得：102k +<<， k N *∈，1k ∴=，4n ∴=，2m =，7k m n ∴++=.（3）若{}n b 是单调递增数列，则n 为偶数时，111n n q n --<<+恒成立，两边取自然对数化简可得：()()ln 1ln 1ln 11n n q n n -+<<--，显然1q >， 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， ∴当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()f x ∴在x e =处取得极大值，∴当4n ≥时，()ln 11n n --是递减数列，又ln1ln313<，ln 33∴是()ln 11n n --的最大值， ln 3ln 3q ∴>； 设()()()ln 21x g x x x+=≥，则()()()222ln 21ln 2220x x x x x g x x x -+--+++'==<， ()ln 11n n +∴-是递减数列，当6n =时，ln 7ln 353>，当8n =时，ln 9ln 373<， ∴当26n ≤≤时，存在133q >，使得111n n q n --<<+恒成立；当8n =时，11n qn -<+不成立，∴至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆22:1164x y C +=在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C '的方程. 【答案】221x y += 【解析】 分析】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆C 上的点()1,P x y ''满足42x xy y ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆C 方程即可得到结果. 【详解】设(),P x y 是曲线C '上的任一点，它是椭圆22:1164x y C +=上的点()1,P x y ''在矩阵104102A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应变换作用下的对应点，则10441022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，42x x y y '=∴='⎧⎨⎩，代入221164x y +=得：221x y +=. 即曲线C '的方程为221x y +=.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型. 22. 在极坐标系中,已知圆C经过点4P π⎫⎪⎭，圆心为直线sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 【答案】2cos ρθ= 【解析】 【分析】将直线方程和P 点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：1sin cos 222ρθρθ+=， ∴0y +=，∴直线与x 轴交点为()1,0，又P 的直角坐标为()1,1，∴圆C 的半径1r =，∴圆C 的方程为：()2211x y -+=，即2220x y x +-=，22cos 0ρρθ∴-=，0ρ∴=或2cos ρθ=，又0ρ=表示极点，也在圆上，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数,,a b c 满足1abc =，求()()()222a b c +++的最小值. 【答案】27 【解析】【分析】根据()()()()()()222111111a b c a b c +++=++++++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】()()()()()()33332221111113332727a b c a b c a b c abc +++=++++++≥⋅⋅==（当且仅当1a b c ===时取等号），()()()222a b c ∴+++的最小值为27.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值. 【答案】（17342）105【解析】 【分析】（1）根据菱形的特点可证得DE AD ⊥，则以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果； （2）利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，60BAD ∠=，E 为BC 的中点， DE BC ∴⊥，又//AD BC ，DE AD ∴⊥.则以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A ，()3,2M ,()13,4C -，()3,0E ，()113,2A M →∴=--，()11,0,4C E →=-，111111734cos ,2217A M C E A M C E A M C E→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅， ∴异面直线1A M 与1C E 734.（2）由（1）得：()1,0,2N ，()2,0,0A ，则()10,0,4A A →=-，()13,2A M →=--，()13,2A N →=--，()0,3,0MN →=-， 设(),,m x y z →=为平面1A MA 的法向量，则1132040m A M x z m A A z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则3x 0z =，)3,1,0m →∴=；设(),,n p q r →=为平面1A MN 的法向量，则130320n MN q n A N p q r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1r =-，则2p =，0q =，()2,0,1n →∴=-；2315cos ,25m nm n m n→→→→→→⋅∴<>===⋅ ∴二面角1A MA N --21510155⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222nn n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =.（1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.【答案】（1）1m =，12a =；（2）猜想：()2n n N a n *=∈，证明见解析【解析】 【分析】（1）代入2n =可构造方程求得m ，代入1n =得到1a ； （2）根据数列中的项可猜想()2nn N a n *=∈，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1）123123232222n n n n n n n n C C C C a m ++++=++++⋅⋅⋅+，123423424C C a m m ∴=++=+=，解得：1m =，121122C a m m ∴=+=+=.（2）由12a =，24a =，38a =可猜想：()2n n N a n *=∈.证明：①当1n =时，由（1）知结论成立；②假设n k =时，结论成立，则有12312323122222k k k k k k k k k C C C C a ++++=++++⋅⋅⋅+=，那么当1n k =+时，123111121311123112222k k k k k k k kC C C C a ++++++++++++=++++⋅⋅⋅+. 由111k k kn n n C C C +++=+得：10213211112233111231122222k k k k k k k k k k k k k k k k kkC C C C C C C C C a -++++++++++++++++++=++++⋅⋅⋅++0121112311231222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++++++=++++⋅⋅⋅++=12110231111211222222k k k k k k k k k k k k C C C C C -++++++++-⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭1211023111111211222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++-+++++-⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭又()()()()()()()()()()11111121!2221!21!112!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++++++====+++++ 1211023111111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -+++++-++++++-+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+，112k k a ++∴=，故1n k =+时结论也成立. 由①②得，()2nn N a n *=∈.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.。
江苏省南京市十校2020届高三下学期5月调研试题数学含附加题(含答案)
（2）在 △ABC 中，由余弦定理及 a 2, c 3, B π ， 3
得 b2 a2 c2 2accosB 7 ，故 b 7 ．………………………………7 分
联合调研答案 第 1 页 共 12 页
由
a sin
A
b sin B
，得
2 sin
A
7 3 ，解得 sinA
3 ．因为 a c ，故 cosA 2 ．
又 ABB1 中 N 是 AB 的中点 所以 H 是 AB1 的中点
所以
NH
1 2
BB1
CM
所以 M 是棱 CC1 中点.
………………14 分
17．(本小题满分 14 分)
解：（1）扇形
EOC
的面积为
1
(
)502
2500
2500
．
…………2 分
23
6
2
四边形 OCBF
的面积为 3050
1 30 2
联合调研答案 第 2 页 共 12 页
所以
CM
1 2
BB1
1 2
CC1
所以 M 是棱 CC1 中点.
………………14 分
法二：
因为 在三棱柱 ABC A1B1C1 中
所以 BB1 / /CC1 ，且 BB1 CC1
因为 CM / /BB1 CM 面ABB1A1 BB1 面ABB1A1
所以 CM / /面ABB1A1
所以 BC 面ACC1A1
……………… 4 分
又 AM 面ACC1A1
所以 BC AM
………………6 分
（2） 法一：
取 AB1 中点 H ，联结 NH , HM
因为 N 是 AB 的中点
【2020南京六校联考】江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题 数学 Word版含答案
2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S ←0 I ←1While I<10 S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print S(第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG→＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________． 14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x －1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC ＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；(2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x .(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．2020届高三模拟考试试卷(十三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 710 6. －8 7. 3 8. π129. y ＝±2x 10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分)由A ∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分) 又由B ∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0， 从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分) 因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分) 因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分) 16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.(2分) 又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM ∥NH ， 所以CM ，NH 共面．(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM ∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM ∥NH ，且CM ＝NH ， 所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分)(证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM ∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ，所以CM ∥NH.(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH ∥AC ∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点，所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25.令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增， 所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4， 由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c ×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1， 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0.设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0. 设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k 8k 2＋1)＝24×4k 3＋k（2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k ＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t ≥21k ×4k ＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163， 故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m 2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分) 19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x .令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x ，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x .因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点， 所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x ＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x . 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分)因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b ≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，1)或x ∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(1，－b －3)； 当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，－b －3)或x ∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(－b －3，1)．(7分)综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x ≤2x ＋2对任意x ≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ≤0对任意x ≥0恒成立．令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ，p(0)＝0， 由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a ≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x .①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故p(x)≤p(0)＝0，得a ≤0符合题意．(10分)②当0<a ≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x ，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x ， 当x ≥0时，2(x ＋3)e x ≥6， 2a －2(x ＋3)e x ≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0， 所以对任意x ≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a ≤2时，对任意x ≥0，G(x)＝p′(x)≤0， 得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以，对任意x ≥0，p(x)≤p(0)＝0恒成立， 得0<a ≤2符合题意．(13分)当2a －4>0，即2<a ≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减， 由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x ∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x ∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符． 综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分)20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n2， 所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn.因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分) 消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2，所以n 2＝16k2k 2－1.因为n ≥3，所以16k2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分)(3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立， 两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln xx ，求导f′(x)＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n ≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，lnq>ln 33.(13分)设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x ≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n ≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立．所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y 24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎨⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD ＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC.又AD ∥BC 可得DE ⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分)则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分)23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分)(2) 猜想：a n ＝2n .证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C k k ＋k2k ＝2k .则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k ＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1， a k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ) ＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k )．(7分)又C k ＋1k ＋1＋k＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)， 于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n ，n ∈N *.(10分)。
2020届江苏省南京市六校联合体高三下学期5月联考试题 数学(文科) PDF版
又在三棱柱 ABCA1B1C1 中， 所以 BB1∥CC1，且 BB1＝CC1. 又 M 为棱 CC1 上的一点，所以 CM∥NH， 所以 CM，NH 共面．(10 分) 又 CN∥平面 AB1M，CN⊂平面 CNHM，平面 CNHM∩平面 AMB1＝MH， 所以 CN∥MH， 所以四边形 CNHM 为平行四边形，(12 分) 所以 CM∥NH，且 CM＝NH，
16. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 是矩形，平面 ACC1A1⊥平面 BCC1B1，M 是棱 CC1 上的一点． (1) 求证：BC⊥AM； (2) 若 N 是 AB 的中点，且 CN∥平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1 中点．
17. (本小题满分 14 分) 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成，OA＝30 米， AB＝50 米，∠COD＝π6 ，经营者决定在 O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝π3 ，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点 E 在弧 CD 上，点 F 在线段 AB 上，设∠FOC ＝θ. (1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积 S 关于 θ 的函数关系式，并求出 tan θ 的取 值范围； (2) 求监控区域面积 S 最大时，角 θ 的正切值．
＋…＋f(50)＝________．
8.
将函数
f(x)＝2sin(x＋π6
π )sin( 3
－x)图象向左平移
φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的
函数恰为偶函数，则 φ 的最小值为________． 9. 已知双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且与 x 轴垂直的直
(含答案)江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试
开始否输出S结束是第4题图江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．设集合{|32,}M m m m =-<<∈Z , Ｎ=R , 则N M I = ． 2．复数i1iz =+复平面上对应的点位于第 象限 3．某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为 ．4．执行如下图（右）所示的程序框图，输出的S 值为 ． 5．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是 ．6．函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 ．7．已知双曲线22135x ym m +=-+的离心率为43，那么此双曲线的准线方程为8．已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9．已知函数若则函数的最小正周期为 .10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲ 11．设函数π()3π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅=u u u u r u u u r▲ ．12．设()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈，若()f x 5a b +的取值范围),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f ,1)32(=πf )(x f y =为 ．13．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，．已知2b =，且cos 2cos cos(C)1B B A ++-=，则2a c +的最小值为 .14．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量)sin ,1(),,(sin B n a A m ==ρρ （1）当A n m sin 2=⋅ρρ时，求b 的值； （2）当n m ρρ//时，且a C 21cos =，求B A tan tan ⋅的值.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥A BCDE -中，AB BC BE 、、两两垂直且AB BC BE ==，//DE BC ，=2DE BC ，F 是AE 的中点.（1）求证：//BF ACD 面； （2）求证：ADE ACD ⊥面面.17．(本小题满分14分)为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ． （1）求两站点,A B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？18．(本小题满分16分)已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，NP DM ⋅u u u r u u u u r=0，动点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值．19．(本小题满分16分) 设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（1）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小； （3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.20．(本小题满分16分)已知函数(),()ln (xxf x e axg x e x e =+=是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值； （2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.N江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A .（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分） 设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.B .（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．C ．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(12)，，其中a b ∈，R ，求函数()((f x a b =--[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级一模联考数学试卷解析版
1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a的取值范围[；故答案为：[．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy OPAM Nl9CA D联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大以最大航速航行．问：航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值10范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ；11（2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或，12当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．13（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212} 当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN * 当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。
江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试试题与答案
开始否输出S结束是第4题图江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．设集合{|32,}M m m m =-<<∈Z , Ｎ=R , 则N M I = ． 2．复数i1iz =+复平面上对应的点位于第 象限 3．某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为 ．4．执行如下图（右）所示的程序框图，输出的S 值为 ． 5．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是 ．6．函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 ．7．已知双曲线22135x ym m +=-+的离心率为43，那么此双曲线的准线方程为8．已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9．已知函数若则函数的最小正周期为 .10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲ 11．设函数π()3π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅=u u u u r u u u r▲ ．12．设()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈，若()f x 5a b +的取值范围),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f ,1)32(=πf )(x f y =为 ．13．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，．已知2b =，且cos 2cos cos(C)1B B A ++-=，则2a c +的最小值为 .14．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，向量)sin ,1(),,(sin B n a A m ==ρρ （1）当A n m sin 2=⋅ρρ时，求b 的值； （2）当n m ρρ//时，且a C 21cos =，求B A tan tan ⋅的值.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥A BCDE -中，AB BC BE 、、两两垂直且AB BC BE ==，//DE BC ，=2DE BC ，F 是AE 的中点.（1）求证：//BF ACD 面； （2）求证：ADE ACD ⊥面面.17．(本小题满分14分)为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ． （1）求两站点,A B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？18．(本小题满分16分)已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =u u u u r u u u r ，NP DM ⋅u u u r u u u u r=0，动点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值．19．(本小题满分16分) 设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（1）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小； （3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.20．(本小题满分16分)已知函数(),()ln (xxf x e axg x e x e =+=是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值； （2）若对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.N江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A .（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分） 设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.B .（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．C ．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(12)，，其中a b ∈，R ，求函数()((f x a b =--[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。
江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考 物理试题 含答案
2020届高三模拟考试试卷物理2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题共31分)一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1. 如图所示为教室里可以沿水平方向滑动的黑板，一位老师用粉笔在其中某块可移动的黑板上画直线．若粉笔相对于地面从静止开始向下先做匀加速直线滑动后做匀减速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画出的轨迹，可能为下列图中的()2. 左图为手机及无线充电板．右图为充电原理示意图．充电板接交流电源，对充电板供电，充电板内的送电线圈可产生交变磁场，从而使手机内的受电线圈产生交变电流，再经整流电路转变成直流电后对手机电池充电，下列说法正确的是()A. 手机外壳用金属材料制作可以减少能量损耗B. 如果图示方向的磁场在变强，受电线圈中c点的电势高于d点的电势C. 在送电线圈电压不变的情况下，增加送电线圈匝数可以提高受电线圈的电压D. 受电线圈中交变电流的频率与发射线圈中交变电流的频率相同3. 如图所示，曲线1和2分别为甲、乙两小球的运动轨迹，甲球从P点水平抛出的同时乙球从M点斜向上抛出，经过一段时间后两球在N点相遇，若M点在P点正下方，M点与N点在同一水平线上，不计空气阻力，可将球视为质点，则()A. 两球相遇时甲的速度大小为乙的两倍B. 甲球在P点速度与乙球在最高点的速度相等C. 乙球相对于M 点上升的最大高度为PM 长度一半D. 两球相遇时甲的速度与水平方向的夹角为乙的两倍4. 质量分别为m 1和m 2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角θ的粗糙斜面顶端的轻滑轮，斜面左端固定在水平桌面上，通过改变AB 边的高度可使AO 绕O 点转动，如图所示．已知滑轮与转轴之间的摩擦不计，m 1＝2m 2，现在使O 缓慢地从60° 变为15°，m 1始终相对斜面处静止状态，m 2始终悬空(未与AB 、地面接触)，下列说法正确的是( )A. 细绳的拉力在逐渐变小B. m 1和m 2系统的机械能一定守恒C. m 1受到的摩擦力先减小再增加D. 斜面对m 1的支持力始终不变5. 如图所示，电源为交流恒压源，即无论电路中的电阻如何变化，接入电路的交流电压始终保持恒定．R 1、R 2阻值保持不变，理想交流电压表与理想交流电流表的示数分别为U 、I.当恒压交流源的频率变大时，理想电压表与理想电流表的示数变化量分别为ΔU 、ΔI ，下列说法正确的是( )A. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ΔU ΔI ＝R 1B. U 变大，I 变大C. 灯泡变暗，I 变小D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ΔU ΔI ＝R 1＋R 2二、 多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6. 我国在酒泉发射中心成功发射了神舟十一号载人飞船，并随后与天宫二号对接形成组合体．如图所示，圆轨道1为天宫二号的运行轨道，圆轨道2为神舟十一号开始的运行轨道，半径为R ，神舟十一号经过时间t ，通过的弧长为s.已知引力常量为G ，则( )A. 天宫二号内的物体处于平衡状态B. 神舟十一号要完成与天宫二号对接必须适时加速C. 发射神舟十一号时的速率一定大于7.9 km/sD. 可算出地球质量为s 2GRt 27. 如图甲所示是某工厂烟囱静电除尘机原理图，放电极和集尘极加上高压电场，使尘埃带上静电(电荷性质未知)，尘埃在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，达到除尘目的，图乙是俯视图，图中实线为电场线．不考虑尘埃在迁移过程中的相互作用和电荷量变化，则( )A. 进入除尘区前应使尘埃带上负电荷B. 图中A 点电势高于B 点电势C. 图中A 点电场强度大于B 点电场强度D. 尘埃在迁移过程中电势能增加8. 如图所示，在光滑水平面上叠放着甲、乙两物体．现对甲施加水平向右的拉力F ，通过传感器可测得甲的加速度a 随拉力F 变化的关系如右图所示．已知重力加速度g ＝10 m/s 2，由图线可知( )A. 乙的质量m 乙＝6 kgB. 甲、乙的总质量m 总＝8 kgC. 甲、乙间的动摩擦因数μ＝0.3D. 甲、乙间的动摩擦因数μ＝0.19. 如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器．加速电场的加速压为U ，静电分析器通道中心线半径为R ，通道内有均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E ；磁分析器中分布着方向垂直于纸面，磁感应强度为B 的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行．由离子源发出一个质量为m 、电荷量为q 的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN 做匀速圆周运动，而后由P 点进入磁分析器中，最终经过Q 点进入收集器．下列说法正确的是( )A. 磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向外B. 磁分析器中圆心O 2到Q 点的距离d ＝1B2mERqC. 不同粒子经相同的加速压U 加速后都可以沿通道中心线安全通过静电分析器D. 静电分析器通道中心线半径为R ＝2UE第Ⅱ卷(非选择题 共89分)三、 简答题：本题分必做题(第10、11、12题)和选做题(第13题)两部分，共42分．请将解答填写在相应的位置．【必做题】10. (8分)如图甲所示是某同学在做“探究加速度与力、质量的关系”实验初始时刻的装置状态图，如图乙所示是该同学得到一条用打点计时器打下的纸带．甲乙(1)写出图甲中错误的地方：________________________________________________________________________；__________________________________________________.(至少写出两点) (2) 如图甲所示中打点计时器应该用以下哪种电源________． A. 直流4～6 V B. 电流220 V C. 交流4～6 V D. 交流220 V(3) 已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz ，纸带上每两个相邻计数点之间还有4个打出的点未画出，根据纸带求出物块运动时的加速度大小为________m/s 2(结果保留两位有效数字)．丙(4) 该同学在教师指导下，将实验装置调试正确．实验中，保持所挂砂和砂桶的总质量m 不变，改变小车的质量M ，并测出所对应的加速度a ，以小车的质量M 为横坐标，以1a 为纵坐标，在坐标纸上作出如图丙所示的关系图线，已知当地的重力加速度为g ，结果发现图像不过原点，根据牛顿第二定律认为在拉力不变的情况下1a 与M 应该成正比，该同学百思不得其解，请你告诉该同学图中纵轴上的截距的物理意义________(用题中所给的字母表示)．甲11. (10分)某一实验小组用如图甲所示电路测量电源E的电动势和内阻，图中电压表的量程是3 V，虚线框内为用电流计改装的电流表．(1) 已知电流计的满偏电流I g＝200 mA、内阻r g＝1.0 Ω，电路中已将它改装为量程400 mA 的电流表，则R1＝________Ω.(2) 通过移动变阻器R的滑片，得到多组电压表的读数U和电流计的读数I，作出如图乙所示的图像．(3) 某次测量时，电压表的示数如图丙所示，则此时通过电源E的电流为________mA.(4) 根据图乙得出电源E的电动势等于________V，内阻等于________Ω(小数点后保留两位)．(5) 本实验中电压表的内阻对实验的测量结果________(选填“有”或“无”)影响．12. [选修35](12分)(1) 下列关于四幅图说法中，正确的是________A. 玻尔原子理论的基本假设认为，电子绕核运行轨道的半径是任意的B. 光电效应产生的条件为：入射光的频率大于极限频率C. 电子束通过铝箔时的衍射图样证实了运动电子具有波动性D. 发现少数α粒子发生了较大偏转，说明金原子质量大而且很坚硬(2) 质量为4 kg的物体B静止在光滑水平面上，一质量为1 kg的物体A以2.0 m/s的水平速度和B发生正碰，碰撞后A以0.2 m/s的速度反弹，则碰撞后物体B的速度大小为________；此过程中系统损失的机械能等于________．(3) 铝的逸出功为W0＝6.72×10－19J，用波长λ＝200 nm的光照射不带电的铝箔，发生光电效应，普朗克常量h＝6.63×10－34J·s，电子电量为e＝1.6×10－19C.求：①发生光电效应时，铝箔的电性；②若用铝箔制作光电管，则它的遏止电压U c(结果保留两位有效数字)．【选做题】13. 本题包括A、B两小题，请选定其中一小题作答．若多做，则按A小题评分．A. [选修33](12分)(1) 下列关于物质属性的微观认识的说法中，正确的是________．A. 液体的分子势能与体积无关B. 单层云母片导热性能具有各向异性C. 温度升高，每个分子的速率都增大D. 一定质量的理想气体，在绝热膨胀的过程中，分子平均动能一定减少(2) 如图所示，绝热气缸A与导热气缸B均固定于地面，由刚性杆连接的绝热活塞与两气缸间均无摩擦．两气缸内装有处于平衡状态的理想气体，开始时体积均为V0、温度均为T0.缓慢加热A 中气体，停止加热达到稳定后，A中气体压强为原来的1.2倍．设环境温度始终保持不变，则气缸B 中气体的体积V B＝________；气缸A中气体温度T A＝________．(3) 在“油膜法估测分子直径”的实验中，实验室配备的器材有：面积为0.25 m2的蒸发皿、滴管、量筒(60滴溶液滴入量筒体积约为1毫升)、纯油酸和无水酒精若干等．已知分子直径数量级为10－10m ，若老师为本实验配制油酸酒精溶液，则该老师配制的油酸酒精溶液浓度(油酸与油酸酒精溶液的体积比)至多为多少？B. [选修34](12分)(1) 下列关于四幅图的说法中，正确的是________．A. 由两个简谐运动的图像可知：它们的相位差为π2或πB. 当球与横梁之间存在摩擦的情况下，球的振动不是简谐运动C. 频率相同的两列波叠加时，某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱D. 当简谐波向右传播时，此时质点A 的速度沿y 轴正方向(2) 如图所示为某一简谐横波在t ＝0时刻的波形图，此时质点a 振动方向沿y 轴正方向．从这一时刻开始，质点a 、b 、c 中第一次最先回到平衡位置的是________点．若t ＝0.02 s 时，质点c 第一次到达波谷处，从此时刻起开始计时，质点c 的振动方程y ＝________cm.(3) 如图所示，△ABC 为等腰直角三棱镜的横截面，∠C ＝90°，一束激光a 沿平行于AB 边射入棱镜，经一次折射后射到BC 边时，刚好能发生全反射，求该棱镜的折射率n.四、 计算题：本题共3小题，共47分，解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14. (15分)如图所示，间距为H 的两水平线MN 、PQ 间存在匀强磁场，磁感应强度为B ，有一质量为m 边长为L 的正方形线框(L ＜H)，从有界的匀强磁场上方由静止自由下落，线框电阻为R ，线框下落过程中ab 边与磁场界面平行．已知ab 边刚进入磁场和刚穿出磁场时都做减速运动，且加速度大小均为a ＝g5.求：(1) ab 边刚进入磁场时线框中的电流强度I ； (2) 线框穿过磁场的全过程中产生的热量Q ； (3) cd 边刚进入磁场时，线框速度的大小v.15. (16分)如图所示，竖直平面内有一半径R ＝0.45 m 的光滑14圆弧轨道AB ，一质量m ＝2 kg 的物块(可视为质点)，从A 点由静止滑下，无能量损失地滑上静止的长木板的左端(紧靠B 点)，此后两者沿光滑水平向右运动，木板与弹性挡板P 碰撞后立即以原速率反向弹回，最终物块和木板均静止．已知木板质量M ＝1 kg ，板长L ＝1 m ，初始时刻木板右端到挡板P 的距离为x ＝2 m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.5，设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2.求：(1) 物块滑至B 点时对轨道的压力大小F N ； (2) 木板第一次速度为零时，物块的速度大小v 1； (3) 物块最终距挡板P 的距离．16. (16分)如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E＝2 N/C，第一象限空间有沿y轴负方向的、场强大小也为E的匀强电场，并在y＞h＝1.6 m的区域有磁感应强度也为B垂直于纸面向外的匀强磁场．一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点获得一初速度v0＝4 2 m/s，恰好能沿PO做匀速直线运动(PO与x轴负方向的夹角为θ＝45°)，并从原点O进入第一象限．已知重力加速度g＝10 m/s2.求：(1) 油滴所带电性以及磁场磁感应强度B；(2) 油滴第二次经过y轴的坐标；(3) 若第一象限内是磁感应强度仍为B，位置可变的矩形磁场，能让油滴在第一象限内回到x轴的磁场区域最小面积S.物理参考答案及评分标准1. C2. D3. B4. C5. A6. BC7. AB8. BD9. ACD10. (1) 小车释放时距打点计时器过远；细线没有放在滑轮上；细线没有与木板平行；细线不够长等(写出一条得1分，答出两条即可得2分)(2) D(2分)(3) 0.75(0.72～0.78)(2分)(4) 1g(2分)11. (1) 1.0(3) 200(4) 2.93(2.92～2.96) 1.17(1.13～1.22)(5) 无(每空2分)12. (1) BC(4分)(2) 0.55 m/s(2分) 1.375 J(2分)(3) ①正(2分)② 2.0(2分)13. A (1) BD(4分)(2) 56V0(2分) 1.4T0(2分)(3) 1.5×10－3或0.15%(4分)B. (1) BC(4分)(2) c(2分)－8cos(50πt)(2分)(3) 解：如图所示n ＝sin 45°sin α(1分)n ＝1sin C (1分) C ＋α＝90°(1分) 解得n ＝62(1分) 14. (15分)解：(1) 由牛顿第二定律得F A －mg ＝ma(2分) F A ＝BIL(2分) 解得I ＝6mg5BL(1分)(2) 由能量守恒可知，线框穿过磁场的全过程线框产生的总热量Q 总＝2mgH(4分) (3) 由题意知，ab 边刚穿出磁场时的速度v 2等于ab 边刚进入磁场时的速度v 1 E ＝BLv 1(1分) I ＝E R 又I ＝6mg 5BL (1分) 解得v 1＝6mgR5B 2L2(1分)从cd 边刚进入磁场到ab 边刚穿出磁场过程中v 21－v 2＝2g(H －L)(1分)则cd 边刚进入磁场时，线框速度v ＝36m 2g 2R 225B 4L 4－2g （H －L ）(2分)15. (16分)解：(1) 设物块滑到圆弧轨道最低点B 的速度为v 0 由动能定理得mgR ＝12mv 20(2分)根据牛顿第二定律得F′N －mg ＝mv 20R (2分)解得F′N ＝3mg ＝60 N(1分)由牛顿第三定律可知，物块滑至B 点时对轨道的压力大小F N ＝F′N ＝60 N(1分) (2) 物块滑到水平板上受到向左的摩擦力 对物块用牛顿第二定律μmg ＝ma 1(1分)对木板用牛顿第二定律μmg ＝Ma 2(1分)设物块和木板第一次共速时的速度为v则有v ＝v 0－a 1t 1v ＝a 2t 1解得v ＝2 m/s t 1＝0.2 s 之后物块和木板一起撞向挡板(2分)木板撞向挡板到速度为零用时t 2＝v a 2(1分) 则物块此时的速度v 1＝v －a 1t 2解得v 1＝1 m/s(1分)(3) 设物块最终相对于木板相对位移为s根据能量守恒有μmgs ＝12mv 20(2分) 解得s ＝0.9 m(1分)所以物块最终距挡板的距离为d ＝L －s ＝0.1 m(1分)16. (16分)解：(1) 由题意可知，油滴在第一象限运动时所受合力为零 根据三力平衡可以判断油滴带负电(2分)mg ＝qE(1分)Bqv 0＝2qE(1分)解得B ＝0.5 T(1分)(2) 由题意可得mg ＝qE ，则Bqv 0＝mv 20r(2分) 解得r ＝825m(2分) 油滴第二次经过y 轴的坐标y ＝1.6＋1.6＋825＝16＋825m(2分)(3) 满足条件的油滴在磁场内的运动轨迹如图所示 则最小面积S ＝2r ×(r ＋rcos 45°)(3分)解得S ＝128（2＋2）25m 2(2分)。
江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考 数学(含答案)
江苏省南京市六校联合体2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A∪B＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S←0 I ←1 While I<10 S←S＋I I←I＋2 End While Print S(第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG→＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________．14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x－1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC⊥AM；(2) 若N 是AB 的中点，且CN∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围； (2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x.(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 求椭圆C ：x 216＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n 2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．2020届高三模拟考试试卷(南京)数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 7106. －87. 38. π12 9. y ＝±2x10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分) 由A∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分)又由B∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0， 从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分)因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分)因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分)16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC⊥CC 1.(2分)又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以BC⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM∥NH， 所以CM ，NH 共面．(10分)又CN∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN∥MH，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM∥NH，且CM ＝NH ， 所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分) (证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ， 所以CM∥NH.(10分)又CN∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN∥MH，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH∥AC∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点，所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25. 令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0. 设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0.设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k8k 2＋1) ＝24×4k 3＋k（2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k ＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k ＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t≥21k ×4k＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163， 故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2， 令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分)19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x. 令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x. 因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点， 所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x. 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分) 因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x∈(－∞，1)或x∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(1，－b －3)； 当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x∈(－∞，－b －3)或x∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(－b －3，1)．(7分)综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x≤2x ＋2对任意x≥0恒成立， 即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x≤0对任意x≥0恒成立． 令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x，p(0)＝0， 由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x.①当a≤0时，对任意x≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故p(x)≤p(0)＝0，得a≤0符合题意．(10分)②当0<a≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x， 当x≥0时，2(x ＋3)e x≥6，2a －2(x ＋3)e x≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0，所以对任意x≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a≤2时，对任意x≥0，G(x)＝p′(x)≤0， 得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以，对任意x≥0，p (x)≤p(0)＝0恒成立， 得0<a≤2符合题意．(13分) 当2a －4>0，即2<a≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减， 由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符． 综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分) 20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n 2，所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn. 因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分) 消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2， 所以n 2＝16k 2k 2－1.因为n≥3，所以16k 2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分) (3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立，两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln x x ，求导f′(x)＝1－ln xx 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，lnq>ln 33.(13分) 设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立． 所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤140012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE⊥BC.又AD∥BC 可得DE⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分) 则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分) (2) 猜想：a n ＝2n.证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C kk ＋k 2k ＝2k.则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C kk ＋k ＋C k －1k ＋k 2k＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1 ＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，a k ＋1＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k) ＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k2k)．(7分) 又C k ＋1k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C kk ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)，于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n，n ∈N *.(10分)。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级一模联考数学试卷解析版
1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „221a+，解可得：33a ，即a 的取值范围3[3； 故答案为：3[3]．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以923221862PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当32PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()10sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=， 解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()cos A B -==， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点(e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点(e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy O PAM Nl9联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．10解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=，故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁11 区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <． ①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， ①若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，12解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4． （2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}13当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ∈N *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ∈N * 当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。
2020年南京市六校联合体高三数学5月模拟联考卷附答案解析
2020年南京市六校联合体高三数学5月模拟联考卷(满分160分，考试时间120分钟) 2020．05一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S ←0 I ←1 While I<10 S ←S ＋I I ←I ＋2 End WhilePrint S (第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG →＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________．14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x －1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC ＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围； (2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x .(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 710 6. －8 7. 3 8. π129. y ＝±2x 10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分)由A ∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分) 又由B ∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0， 从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分) 因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分) 因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分) 16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.(2分)又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM ∥NH ， 所以CM ，NH 共面．(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM ∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM ∥NH ，且CM ＝NH ， 所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分) (证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM ∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ， 所以CM ∥NH.(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH ∥AC ∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点， 所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25.令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c ×2×cosπ4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0. 设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0. 设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k8k 2＋1)＝24×4k 3＋k（2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k ＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t ≥21k ×4k ＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163， 故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4.设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m 2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分) 19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x .令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x ，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x . 因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点， 所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x ＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x . 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分)因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b ≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，1)或x ∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(1，－b －3)； 当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，－b －3)或x ∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(－b －3，1)．(7分) 综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x ≤2x ＋2对任意x ≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ≤0对任意x ≥0恒成立． 令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ，p(0)＝0， 由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a ≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x .①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故p(x)≤p(0)＝0，得a ≤0符合题意．(10分)②当0<a ≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x ，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x ， 当x ≥0时，2(x ＋3)e x ≥6， 2a －2(x ＋3)e x ≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0， 所以对任意x ≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a ≤2时，对任意x ≥0，G(x)＝p′(x)≤0， 得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以，对任意x ≥0，p(x)≤p(0)＝0恒成立， 得0<a ≤2符合题意．(13分) 当2a －4>0，即2<a ≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减， 由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x ∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x ∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符． 综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分) 20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n2， 所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn.因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分)消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2， 所以n 2＝16k2k 2－1.因为n ≥3，所以16k2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分)(3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立， 两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln xx ，求导f′(x)＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n ≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，ln q>ln 33.(13分)设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x ≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n ≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立． 所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y 24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎨⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立， 所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD ＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC.又AD ∥BC 可得DE ⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分) 则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分) (2) 猜想：a n ＝2n .证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C k k ＋k2k ＝2k .则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，a k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ) ＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k )．(7分)又C k ＋1k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)，于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n ，n ∈N *.(10分)。
江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题 化学 Word版含答案
2020届高三模拟考试试卷化学2020.5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分120分，考试时间100分钟。
可能用到的相对原子质量：H—1C—12N—14O—16Na—23S—32Cr—52Cu—64第Ⅰ卷(选择题共40分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1. 下列我国科技成果所涉及物质的应用中，发生的不是化学变化的是()A. 甲醇低温所制氢气用于新能源汽车B. 氘、氚用作“人造太阳”核聚变燃料C. 偏二甲肼用作发射“天宫二号”的火箭燃料D. 开采可燃冰，将其作为能源使用2. 下列化学用语正确的是()A. 中子数为10的氧原子：18 8OB. Al3＋的结构示意图：C. CCl4分子的比例模型：D. Na2O2的电子式：Na··O······O······Na3. 下列有关物质性质与用途具有对应关系的是()A. Na2SiO3易溶于水，可用于生产黏合剂和防火剂B. CO2不支持燃烧，可用作镁着火时的灭火剂C. NaHCO3能与碱反应，可用作食品膨松剂D. ClO2具有强氧化性，可用于饮用水消毒4. 室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是()A. pH＝12的溶液：Al3＋、K＋、Cl－、SO2－4B. 无色透明的溶液：Na＋、Mg2＋、NO－3、Br－C. 加入铁粉放出H2的溶液：NH＋4、Fe3＋、CH3COO－、SO2－4D. c(NaClO)＝0.1 mol·L－1的溶液：H＋、NH＋4、MnO－4、I－5. 下列反应的离子方程式正确的是( )A. Al 2O 3溶于NaOH 溶液：Al 2O 3＋2OH －===2AlO －2＋2H 2OB. AgNO 3溶液中加入过量氨水：Ag ＋＋NH 3·H 2O===AgOH ↓＋NH ＋4C. 用惰性电极电解0.1 mol·L －1 CuCl 2溶液：2Cl －＋2H 2O=====电解H 2↑＋Cl 2↑＋2OH －D. 过量NaHCO 3溶液和澄清石灰水混合：Ca 2＋＋HCO －3＋OH －===CaCO 3↓＋H 2O 6. 下列实验装置进行相应实验，设计正确且能达到实验目的的是( )A. 用图1所示装置制取少量氢气B. 用图2所示装置制备乙烯C. 用图3所示装置验证Na 和水反应的热效应D. 用图4所示装置制取并收集氨气 7. 下列图像与描述相符的是( )A. 图1是C(s)＋H 2O(g)CO(g)＋H 2(g)的平衡常数与反应温度的关系曲线，说明该反应的ΔH<0B. 图2表示SO 2氧化反应分别在有、无催化剂的情况下反应过程中的能量变化C. 图3是室温下AgCl 和AgI 的饱和溶液中离子浓度的关系曲线，说明该温度下反应AgCl(s)＋I －(aq)AgI(s)＋Cl －(aq)的平衡常数K ＝2.5×106D. 图4表示向BaCl 2溶液中滴加稀硫酸至过量的过程中溶液导电性的变化8. 短周期主族元素X 、Y 、Z 、W 的原子序数依次增大，其中Y 是金属元素，X 原子的最外层电子数是其电子层数的2倍，Z 原子的最外层有6个电子，X 、Y 、W 原子最外层电子数之和等于13。
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2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S ←0 I ←1While I<10 S ←S ＋I I ←I ＋2 End While Print S(第4题)5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15S 10－S 5＝________．7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋π6)sin(π3－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．9. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝32AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG→＝2GE →，则AG →·BD →＝________．12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________． 14. 若函数f(x)＝(x 3－3a 2x ＋2a)·(e x －1)的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π3－B)．(1) 求角B 的大小；(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若N 是AB 的中点，且CN ∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF ＝π3，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC ＝θ.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围；(2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为22.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x .(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）g （x ）在x ＝1处的切线方程；(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x ≥0，f （x ）g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．20. (本小题满分16分)设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n ∈N *，满足S n ＝a n ·a n ＋12. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，使得a k ，a m ，a n 成等比数列，且16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；(3) 设数列{b n }，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ＝2k －1，k ∈N *，q n －1，n ＝2k ，k ∈N *(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．2020届高三模拟考试试卷(十三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C′的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，n ∈N *，其中m 为常数，a 2＝4.(1) 求m ，a 1的值；(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准1. (－∞，2)2. －4i3. 1434. 255. 710 6. －8 7. 3 8. π129. y ＝±2x 10.33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋72) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，得sin Bsin A ＝sin Asin(2π3－B)．(2分)由A ∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π3－B)，展开得sin B ＝sin2π3cos B －cos 2π3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分) 又由B ∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0， 从而有tan B ＝3，可得B ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分)由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.(9分) 因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.(11分) 因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π3，所以sin(A －C)＝sin(2A －2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π3＝437×(－12)－17×32＝－5314.(14分) 16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.(2分) 又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分)又AM ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝12BB 1.又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.又M 为棱CC 1上的一点，所以CM ∥NH ， 所以CM ，NH 共面．(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNHM ，平面CNHM ∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM ∥NH ，且CM ＝NH ， 所以CM ＝12BB 1＝12CC 1，所以M 是棱CC 1中点．(14分)(证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.因为CM ∥BB 1，CM ⊄平面ABB 1A 1，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ∥平面ABB 1A 1.(8分)所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ⊂平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ，所以CM ∥NH.(10分)又CN ∥平面AB 1M ，CN ⊂平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ，所以CN ∥MH ，所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH ∥AC ∥BB 1.又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点， 所以NH ＝12BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502＝2 500π6－2 5002θ.(2分)四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30tan θ.(4分)故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9tan θ＋25θ)．(6分)因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[35，3]．(8分)(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2θ－9cos 2θsin 2θ＋25＝－9sin 2θ＋25.令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[35，3]．(10分)记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π3]上单调递增，所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π6－50h(θ1)，此时tan θ1＝34.(13分)答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为34.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a ＝2c.设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π4，由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2－2×2c ×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1， 整理得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－4)>0.设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 22k 2＋1，从而y 1＝4k2k 2＋1.(8分)由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k （x －2），x 24＋y 22＝1，整理得(8k 2＋1)x 2－32k 2x ＋32k 2－4＝0，Δ＝322k 4－4(8k 2＋1)(32k 2－4)>0. 设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2－28k 2＋1，从而y 2＝－8k8k 2＋1.(12分)由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k8k 2＋1)＝24×4k 3＋k （2k 2＋1）（8k 2＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1k＋4k 16k 2＋1k2＋10＝24×1k＋4k （1k ＋4k ）2＋2＝241k ＋4k ＋21k ＋4k .令t ＝1k＋4k ，则t ≥21k ×4k ＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12＝163， 故S 的最大值为163.(16分)(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 21)，A(－2，0)，B(2，0)，则 k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 21x 21－4＝－12.(6分)由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y 22＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，即t 2<2m 2＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2.(9分)由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2代入整理得(m 2＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23，满足t 2<2m 2＋4.(12分)则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2－4m 2＋2＝839m 2＋16（m 2＋2）2，令u ＝m 2＋2，则S ＝839u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为163.(16分) 19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2＋x ＋2e x .令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2＋bx ＋c)e x ，m ′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x .因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点， 所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，则m′(x)＝[x 2＋(b ＋2)x －b －3]e x ＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x . 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分)因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b ≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，1)或x ∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(1，－b －3)； 当－b －3<1，即b>－4时，由m′(x)>0解得x ∈(－∞，－b －3)或x ∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x ∈(－b －3，1)．(7分)综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2＋2ax ＋2e x ≤2x ＋2对任意x ≥0恒成立，即ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ≤0对任意x ≥0恒成立．令p(x)＝ax 2＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x ，p(0)＝0， 由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a ≤4e －23.(9分)p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x .①当a ≤0时，对任意x ≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故p(x)≤p(0)＝0，得a ≤0符合题意．(10分)②当0<a ≤4e －23时，令G(x)＝p′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x ，则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x ， 当x ≥0时，2(x ＋3)e x ≥6， 2a －2(x ＋3)e x ≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3<0，所以对任意x ≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以G(x)≤G(0)＝2a －4.当2a －4≤0，即0<a ≤2时，对任意x ≥0，G(x)＝p′(x)≤0， 得函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以，对任意x ≥0，p(x)≤p(0)＝0恒成立， 得0<a ≤2符合题意．(13分) 当2a －4>0，即2<a ≤4e －23时，由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减， 由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x ∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x ∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符． 综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分)20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 22，a 2＝2；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n2， 所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝n.(4分)(2) 设k ，m ，n ∈N *(k<m<n)，因为a k ，a m ，a n 成等比数列，所以m 2＝kn.因为16a k ，a 4m ，a 2n 成等差数列，所以2m 4＝16k ＋n 2.(6分) 消去m 可得2k 2n 2＝16k ＋n 2，所以n 2＝16k2k 2－1.因为n ≥3，所以16k2k 2－1>8，0<k<1＋32，k ∈N *.(8分)因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分)(3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1<q n －1<n ＋1恒成立， 两边取自然对数，化简可得ln （n －1）n －1<ln q<ln （n ＋1）n －1(*)，显然q>1.(11分)设函数f(x)＝ln xx ，求导f′(x)＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当0<x<e 时，f ′(x)>0，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．所以，当n ≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11<ln 33，所以ln 33是ln （n －1）n －1的最大值，lnq>ln 33.(13分)设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝xx ＋2－ln （x ＋2）x 2<0(x ≥1)，所以ln （n ＋1）n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372<ln 33.(15分)所以当2≤n ≤6时，存在q>313，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立． 所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 216＋y 24＝1上的点P 1(x′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应变换作用下的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′4y′2，(4分) 即⎩⎨⎧x ＝x′4，y ＝y′2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y.(6分)将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝32，∴12y ＋32x ＝32，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(6分) ∵ x 2＋y 2－2x ＝0，ρ2－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD ＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE ⊥BC.又AD ∥BC 可得DE ⊥AD.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分)则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为73468.(4分)(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0)．(6分)设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1)．(8分)于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝232×5＝155，所以二面角AMA 1N 的正弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C n n ＋n2n ，所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分)(2) 猜想：a n ＝2n .证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，则有a k ＝1＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C k k ＋k2k ＝2k .则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C k n 得a k ＋1＝1＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，a k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ) ＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k2k )．(7分) 又C k ＋1k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝12（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1＝2k ＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1)， 于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1，故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得a n ＝2n ，n ∈N *.(10分)。