教案----微积分基本定理

第三节 微积分基本公式

在第一节的例1，我们学习了利用定积分的定义来计算定积分

⎰

1

2dx x 。通过这个例子我们看到，虽

然被积函数只是简单的二次函数2

()f x x =，但是直接按定义来计算它的定积分

⎰1

2

dx x

已经很复杂了。如

果被积函数是其它更复杂的函数，则复杂程度更大了。于是，我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法。下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法。先来下面这个例子：

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体作直线运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴。时刻t 时物体所在的位置为)(t s ，速度为()v t 。（为讨论方便，假设()0v t ≥。）

物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即

⎰

2

1

)(T T dx t v ；

另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 上的增量来表示，即

21()()s T s T -。

于是，位置函数)(t s 与速度函数()v t 之间有如下关系：

2

211

()()()T T v t dx s T s T =-⎰

。

注意到()()s t v t '=（我们称)(t s 是)(t v 的原函数）。上式表明，()t v 在区间],[21T T 上的定积分⎰

2

1

)(T T dx t v 恰

好等于其原函数()t s 在区间],[21T T 上的增量21()()s T s T -。

上面提到了)(t s 是)(t v 的原函数，对于一般情况，我们给出如下定义： 定义： 设函数()(),F x f x 在区间I 上有定义，I x ∈∀，若有()='x F ()x f ，则

称()x F 是()x f 在区间I 上的一个原函数。也称)(x f 为)(x F 在区间I 上的的导函数。原函数与导函数是一种互逆关系。

问题：引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下是否具有普遍性？

下面介绍微积分基本定理（也叫Newton —Leibniz 公式）：

牛顿莱布尼兹（Newton —Leibniz ）公式 设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且)(x F 是)(x f 在区间[,]a b 上的一个原函数，即对[,]x a b ∀∈，有()()x f x F ='，则

()()a F b F dx x f b a

-=⎰

)(

也称作微积分基本公式。 证明见本节附录。 注：

（1）为了计算中书写方便，通常将Newton —Leibniz 公式写作：

()()a F b F x F dx x f b

a b a

-==⎰

)()(；

（2）牛顿－莱布尼茨公式表明：一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间

[,]a b 上的增量，这给计算定积分提供了一个简洁又有效的方法；

（3）牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。

阅读材料 牛顿莱布尼兹公式的证明

一、 积分上限函数及其导数

设函数)(x f 在],[b a 上连续，并且设x 为],[b a 上任一点，考察定积分

()x

a

f t dt ⎰

如果上限x 在区间],[b a 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分

()x

a

f t dt ⎰

有一个对应值，所以它

在],[b a 上定义了一个函数，记为

()()x

a

x f t dt Φ=⎰()a x b ≤≤

我们称它为积分上限函数。

问题：

（1）积分上限函数()()x

a

x f t dt Φ=⎰

具有怎样的性质，是否可导？

（2）积分上限函数()()x

a

x f t dt Φ=⎰

与被积函数)(x f 有怎样的关系？

（i ）当),(b a x ∈时，

设x 有增量x ∆，其绝对值足够小，使得(,)x x a b +∆∈，则积分上限函数()x Φ在x x +∆处的函数值为

()()x x

a

x x f t dt +∆Φ+∆=⎰

由此我们得到()x Φ的增量为

)()()(x x x x Φ-∆+Φ=∆Φ

()()x x

x

a

a

f t dt f t dt +∆=

-⎰

⎰

()()()x x x x

a

x

a

f t dt f t dt f t dt +∆=+-⎰⎰

⎰

=

()x x

x

f t dt +∆⎰

。

由积分中值定理，则在x 与x x +∆之间至少存在一点ξ，使得

()()x x

x

f t dt f x ξ+∆=∆⎰

，

即

()()x f x ξ∆Φ=∆。

上式两端同除以x ∆，得

)()

(ξf x

x =∆∆Φ。 由于ξ位于x 与x x +∆之间，所以当0→∆x 时，有x ξ→。于是，对上式两端取极限(0)x ∆→，可得

00()

lim lim ()lim ()x x x x f f x

ξξξ∆→∆→→∆Φ==∆

又因为函数)(x f 在],[b a 上连续，故有

lim ()()x

f f x ξξ→=

于是，结合上面两式，可得

()()x f x 'Φ=

这说明()x Φ在点x 处可导，并且有()()x f x 'Φ=；

（ii ）当x a =或x b =时，

考虑其单侧导数，类似可得

()()a f a +'Φ=，()()b f b -'Φ=。