初一数学 第三讲 整式的乘除

第三讲 整式的乘除

概念总汇

1、同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103· 102

，33· 3

2

到a 3

· a 2到a m · a n

，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据

（2）同底数幂的乘法法则是： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m

· a n

= a

n

m +（字母m ，n 表示正整数）

当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即： a m · a n · a p = a p

n m ++（字母m ，n ，p 表示正整数）

说明：

（1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。两者不能混淆。

（2）、—a ²的底数a ，不是—a 。计算—a ²·a ²的结果是—（a ²·a ²）=—a 4 ，而不是（—a 2+ 2

）

=a 4 。

（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算 2、幂的乘方

（1）、幂的乘方的性质推导

当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。 （2）、幂的乘方法则

幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示就是（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）。如（103 ）2

=106

说明：

（1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。

（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。

3、积的乘方

（1）积的乘方

当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。如（2×3）2 ，（abc）3 等等。

（2）积的乘方法则

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用字母表示就是（ab）n =a n b n （n为正整数）。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。如（abc）n=a n b n c n。说明：

（1）用积的乘方的法则进行计算时，我们要认清“因式有几个？分别是什么？”特别是系数和负号这样的特殊因式不能搞错。

（2）在同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的混合运算中，要学会灵活正确的分析算式的每一部分和每一种运算，然后采取合理简捷的方法进行运算。

4、整式的乘法

（1）整式的乘法有3种：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘。其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则。

（2）单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余的字母连同它的指数不变，也作为积的因式

（3）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表示为

b·（p+q）=bp+bq或（p+q）·b=bp+bq

（4）多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为

（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn

说明：

（1）整式的乘法包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法三种。其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则 （2）在学习多项式与多项式的乘法时，要熟练地掌握公式： （x +a ）（x +b ）=x 2

+（a +b ）x +ab

这可以为以后学习乘法公式打下良好的基础 5、 同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法法则

同底数幂相除，底数不变，指数相减

n m n m a a a -=÷（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）

（2）规定任何不等于零的数的零次幂为1，即10

=a （a ≠0） 说明：

（1）始终抓住法则中的二个要素：判定同底，指数相减，并注意过程和运算结果的规范表示

6、单项式除以单项式

（1）一般地，单项式除以单项式有如下法则：

两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 说明：

（1）计算的时候分三步：①系数相除②同底数幂相除③只在被除式里的幂不变 7、多项式除以单项式

（1）多项式除以单项式有如下法则：

多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加

方法引导

1、幂的运算

例1 下列计算错误的是 ( )

(A )a 2·a 4=a 8 (B )2a 3÷a =2a 2 (C )(－a 3)2=a 6 (D )(a －1)2=

2a

1

难度等级：A 解：选A

【知识体验】根据同底数的幂的乘法法则，a 2·a 4=a 2+4=a 6，所以A 不对，根据单项式除法的运算法则，结合同底数幂的除法法则，2a 3÷a =2a 3-1=2a 2 ，所以B 是正确的；根据幂的乘方性质，(－a 3)2= a 3×

2=a 6 ， (a －

1)2= a

－1×2

= a －

2=

2

a 1

，所以C 、D 都是正确的 【搭配练习】

在下列计算中,正确的是（ ）

A .（ab 2）3=ab 6

B .（3xy ）3=9x 3y 3

C .（－2a 2）2=－4a 4

D .（－2）－2=4

1

例2 计算x 2y 3÷(xy )2的结果是( )

A ．xy

B ． x

C ．y

D . xy 2 难度等级：A 解：C

【知识体验】利用单项式除法的运算法则，结合积的乘方运算性质，可以解得，x 2y 3÷(xy )2= x 2y 3÷x 2y 2 = y ，故选C .

【搭配练习】

计算：（-2y 5）2÷（2y 3）

例3 若a a –

3=1,则

a 等于（ ）

A .1，0；

B .1，3；

C .1，-1；

D .1，-1，3.

难度等级：B 解：D

【知识体验】此题貌似简单，实际上要想解对并非易事，应该对可能出现的各种情况都考虑到，即采用分类讨论思想.

【解题技巧】

(1)因为任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，所以，当a ≠0，并且a -3=0时，a a

–

3

=1能成立，解得a =3;

(2)因为1的任何次幂都等于1，所以当a =1时，a a –

3=1也能成立；

(3)因为-1的偶数次幂等于1，所以当a =-1时，a -3=-1-3=-4，则a a –

3=1也能成立.