探究“一边及其对角大小确定”的三角形的运动规律

2
(2)
当 α ̸=
π 2
时, 为了严格说明 ⃝1 式仍然表示一段椭
圆弧, 下面简要介绍关于二次曲线分类的相关结论 [1].
2.“滑落的梯子”上任一点的运动轨迹
已知二次曲线方程的一般形式是 Ax2 + 2Bxy + Cy2 +
设“一 边 及 其 对 角 大 小”对 应 相 等 的 三 角 形 △OAB, △OCD, △OKL, △OM N ,...... 的“等边”的长度为 d (下同),
2019 年第 3 期 (上)
中学数学研究
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上任一点的轨迹是以原点 O 为中心的一段椭圆弧或圆弧.
X = d cos3 t. 从而, 最远点也即边界曲线上的点 B 的坐标
(X, Y ) 为
X = d cos3 t,
( π)
Y = d sin3 t,
t ∈ 0, 2
⃝2
将 ⃝2 式中的 t 视为参数, 从而 ⃝2 式即表示边界曲线的参数
所有三角形, 按相等的角重合在一起, 其相等角的对边 (梯子)
*基金项目: 新疆师范大学重点实验室课题“支持初中数学可移动连续性学习资源开发研究”(课题编号 XJNUSYS082017B05). 新疆师范大学重点实 验室课题“支持小学数学可移动连续性学习资源开发研究”(课题编号 XJNUSYS082017B06). 杨军为本文通讯作者.
界曲线的交点为 B(X, Y ), 则点 B(X, Y ) 理应是直线 x = X 上距离点 A 最远的点. 若直线 x = X 上还存在点 B′(X, y)
在点 B(X, Y ) 的上方, 那么点 B(X, Y ) 就不可能是边界曲
么规律呢? 这个问题等价于在角 α 的两边上各有一个动点 M 、N , 线段 M N 的长度为定值 d, 则 M N 上任一点 (除去端 点, 下同) 的运动轨迹具有什么规律?
图3
图4
以 点 O 为 原 点, OM 所 在 直 线 为 x 轴, 建 立 如 图 4
的 平 面 直 角 坐 标 系,
MN

I2 = I3 =
d4(1 − λ)2 −λ4
d4(1 − λ)2
> 0, < 0,
即 I2 > 0 且 I1I3 < 0, 故方程 ⃝1 表示的是一段椭圆弧, 从而
表明点 P 的轨迹是以 O 为中心的一段椭圆弧, 如图 6.
综上可知, 如果把满足“一边及其对角大小”对应相等的
(0 < λ < 1). 下面求点 P (x, y) 的轨迹方程.
有三角形, 按相等的角重合在一起, 其相等角的对边的运动
变化又有什么规律可循呢? 也即一部“滑落的梯子”具有什
么样的运动规律呢? 本文拟探究这个问题.
从而表明此时点 P 的轨迹是以原点 O 为中心, 以坐标轴为
对称轴的一段椭圆弧 (如图 5, 这也是椭圆规的数学原理). 特 别地, 当 λ = 1 , 即点 P 为 M N 中点时, 其轨迹为一段圆弧.
方程, 其形状如图 9 所示.
图5
图6
3.“滑落的梯子”运动区域的边界曲线
把满足“一边及其对角大小”对应相等的所有三角形, 按 相等的角重合在一起, 这些不全等三角形的“相等边”扫过区 域的边界曲线 (图 9、图 12、图 13) 的方程是什么呢? 也就是 “滑落的梯子”运动区域的边界曲线的方程是什么呢?
(1) 当 α = π 时, ⃝1 式化简为
2
x2
y2
(dλ)2 + d2(1 − λ)2 = 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
轨迹是一段圆弧 (图 2). 这也就揭示了三角形中的正弦定理 a = b = c = 2R 中外接圆及其比值 2R 的由来.
sin A sin B sin C 进一步, 如果把满足“一边及其对角大小”对应相等的所
3.1 相等角 α 是直角
3.1.1 求边界曲线的基本思路 —最远点与最大值
当“一 边 及 其 对 角 大 小 对 应 相 等”的 三 角 形 其“等 角” α = π 时, 建系如图 7 所示, 其中 M N = M ′N ′ = M ′′N ′′ =
2 · · · = d 均为相等边. 设直线 x = X 与 x 轴的交点为 A, 与边
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中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
探究“一边及其对角大小确定”的三角形的运动规律*
新疆维吾尔自治区新疆师范大学数学科学学院 (830017) 张 琼 杨 军
1. 问题提出
注意到运动的等边 M N 的位置可由 ∠N M O 唯一确
如果一组三角形满足“一边及其对角大小”对应相等, 显 然这样的三角形不一定全等. 那么这样的三角形的运动变化 有什么规律可循呢?
A 2Dx+2Ey+F = 0, 记 I1 = A+C, I2 =
B = AC−B2,
BC
“等角”大小为 α (下同). 把这些三角形按相等的角 α 重合在 一起 (图 3). 这些三角形其相等边上的点的运动变化具有什
ABD I3 = B C E . 则当 I2 > 0 且 I1I3 < 0 时, 该曲线表示
图1
图2
定, 故引入参数 ∠N M O = t. 在 △OM N 中, 由正弦定理
OM
ON d
可知 sin(t + α) = sin t = sin α . 从而, 点 M (d cot α sin t +
−−→ −−→
d cos t, 0), N(d cot α sin t, d sin t). 由 N P = λN M 求得点 P
上任一点
P
满足
−−→ NP
=
−−→ λN M
DEF
椭圆; 当 I2 < 0 且 I3 ̸= 0 时, 该曲线表示双曲线; 当 I2 = 0
且 I3 ̸= 0 时, 该曲线表示抛物线. 由方程 ⃝1 得

I1 =
( 1
cot2 α + λ2 )
d2 1 + (1 − λ)2 > 0,
λ2
x = d(cot α sin t + λ cos t),
的坐标为 y = d(1 − λ) sin t,
消去参数 t, 得到
点 P 的轨迹方程为
x2 d2
−
2xy cot α d2(1 − λ)
+
cot2 α + λ2 d2(1 − λ)2
y2
−
λ2
=
0
⃝1
把满足“一边及其对角大小”对应相等的所有三角形, 按 相等的边重合在一起 (图 1), 根据“同弧或等弧所对的圆周 角相等”的逆命题, 可以发现这些三角形第三个顶点的运动