高二数学复习讲义三

高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》

<知识点>

1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是2

1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）

2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f

x '

，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，

这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0

lim

x y f x y x

∆→∆'='=∆

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。

3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；

（2）求平均变化率()()

00f x x f x y x

x

+∆-∆=

∆ ；（3）取极限，得导数()00lim

x y

f x x →∆'=∆ 。

4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点

()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是

()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒：（1）在求曲线的切线

方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处

的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。

5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）

()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：(

)

112

2

11,x x x x '

'

-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''= 。

6、多项式函数的单调性：

（1）多项式函数的导数与函数的单调性：

①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。

②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。

（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x ；（3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数cx bx ax x f ++=2

3

)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）

7、函数的极值：

（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有

0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附

近所有的点，都有0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。记作y 极小值＝

0()f x 。极大值和极小值统称为极值。

（2）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；

（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；

“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值。特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 8、函数的最大值和最小值：

（1）定义：函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。

（2）求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在（,a b ）内的极值（极大值或极小值）；（2）将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。如（1）函数512322

3

+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15-）；（2）用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m 。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（答：高为1.2米时，容积最大为

395

cm ）

特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。

<练习题>

一、填空题

1．下列求导运算正确的是________．

①⎝

⎛

⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 ②(log 2x )′＝1x ln2

③(5x )′＝5x log 5e ④(x 2cos x )＝2x sin x

2．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．

3．函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a 等于________．

4．若函数f (x )＝13

x 3

－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为________．