高二数学复习讲义三

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2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：与圆有关的轨迹问题

拓展三：与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等）（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：空间向量中动点的设法

拓展三：空间向量中动点的设法立体几何是高考必考的核心问题之—，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值.知识点1 空间向量可解决的立体几何问题用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量 1、判定（证明）类（1）线面平行：（2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直： 2、计算类：,a b ,a b ,m n ,αβa b a b ⇔∥∥a b a b ⊥⇔⊥m n αβ⇔∥∥m n αβ⊥⇔⊥利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,m n ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),；①直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),；①二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),|||cos ||||n |m n m θ⋅=或（视平面角与法向量夹角关系而定）①点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.知识点2 空间向量动点的设法在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量：cos cos ,a b a b a bθ⋅==cos ,sin a m a m a mθ⋅==cos cos ,m n m n m nθ⋅==cos cos ,m n m n m nθ⋅=-=-A αP αA αA AP n d nα-⋅=AP n (),,x y z (),,x y z（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得 (设问法λ) 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量因为在上，所以 ——共线定理的应用（关键），即——仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即考点一动点的设法（一）动点在,,x y z 轴上若点在x 轴上可设点为)0,0,(t ，若点在y 轴上可设点为)0,,0(t ，若点在z 轴上可设点为),0,0(t ，注意,a b R λ⇒∃∈∥a b λ=()()1,3,4,0,2,1A P AP (),,M x y z ()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---M AP AM AP AM AP λ⇒=∥11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-⎧⎧⎪⎪∴-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩()1,3,43M λλλ---λ,a b c ,R λβ∈c a b λβ=+()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q APQ (),,M x y z ()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-AM AP PQλβ=+121232324343x x y y z z λβλβλβλβλβλβ-=-+=-+⎧⎧⎪⎪∴-=-+⇒=-+⎨⎨⎪⎪-=--=--⎩⎩根据具体题目给出t 的范围。

空间向量1(教师)

第三章空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减法【考点同步解读】1．理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法. 2．能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律. 考点1：空间向量基本概念及理解例1:给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．其中假命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4正解：模相等的两个向量不一定相等，①错；|m |＝|n |，|n |＝|p |，所以|m |＝|p |，又m 与n 同向，n 与p 同向，从而m 与p 同向，所以m ＝p ，②对；零向量方向任意，但并不是没有方向，③错；④错．C正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同. 考点2：空间向量加减法及运算律例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C的中点．用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________．正解：解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．考点3：对数函数的性质例4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，求λ的值．正解：解连结CG 并延长交AB 于D ，则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ，∴OA →＋OB →＋OC →＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC → ＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →(→)－GC →＋GC →＝3OG →. ∴λ＝3.正解依据：（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法. 【易错题纠正案】（不少于3道例题）例1 下列说法正确的是( A )．A ．向量AB 与BA的长度相等B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等例2 在空间四边形ABCD 中，2AB ＋CA ＋BC －AD ＋BD＝__________．答案：0例3 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++ ；（3）1()2AG AB AC -+ ．正解：解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++AB BM MG AG =++= ；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-= ．【高考试题链接】例1 （2011·上海高考理科·T17）设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++ 0=成立的点M 的个数为（）（A ）0. （B ）1. （C ）5. （D ）10.正解：在平面中我们知道“三角形ABC 的重心G 满足：0GA GB GC ++=”则此题就能很快的答出，点M 即为这5个点的重心，即点M 只有一个点。

高中数学必修三讲义第3章章末复习

章末复习学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.1.频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率. 2.求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解. 3.古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn 求解.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏. 4.几何概型事件概率的计算关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解.1.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.( √ )2.“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”.( × )3.几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )类型一频率与概率例1 对一批U 盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？考点概率与频率题点概率与频率的应用解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.反思与感悟概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计.跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？考点概率与频率题点概率与频率的应用解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心. (4)不一定.类型二互斥事件与对立事件例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件与对立事件的概率解把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种. 因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.跟踪训练2 猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为12，如果第一次没有命中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200米.已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件的概率解三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔，设第一、二、三次击中野兔分别为事件A ，B ，C . 设距离为d ，命中的概率为P ，则有P ＝kd 2，将d ＝100，P ＝12代入上式，可得k ＝5 000，所以P ＝5 000d2，所以P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18.又已知P (A )＝12，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝12＋29＋18＝6172. 故三次内击中野兔的概率为6172.类型三古典概型与几何概型例3 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级.若S ≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率.考点古典概型与几何概型题点古典概型解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种.所以P (B )＝615＝25.反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限.跟踪训练3 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78考点古典概型与几何概型题点几何概型答案 C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y 且x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，0≤y≤4，|x－y|≤2，如图所示.∴两串彩灯第一次闪亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝S正方形－2S三角形S正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.类型四数形结合思想在求解概率中的应用例4口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回)，试求“第二个人摸到白球”的概率.考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在古典概型中的应用解把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示.从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A，则P(A)＝1224＝12.反思与感悟数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系.数形结合思想在本章中的应用有：借助树状图列举基本事件，利用Venn 图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等.跟踪训练4 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.1－2πB.12－1πC.2πD.1π考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在几何概型中的应用答案 A解析设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P＝S3S扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.1.下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④考点随机事件题点随机事件的判断答案 B解析任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温.故④为随机事件.故选B.2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件D.必然事件考点互斥事件与对立事件题点互斥事件与对立事件的判断答案 B解析根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.3.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( ) A.110 B.15 C.29 D.14 考点古典概型与几何概型题点古典概型解析基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，共2种，故所求概率为15.故选B.4.任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.1450 考点古典概型与几何概型题点古典概型答案 C解析三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.5.小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD 和OPQR ，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________.考点古典概型与几何概型题点几何概型答案 17解析连接OA ，OB ，设OR 交BC 于M ，OP 交AB 于N .因为△OBM ≌△OAN ，所以阴影部分的面积等于△OAB 的面积，为1.整个图形的面积为8－1＝7. 所以小明射中阴影部分的概率是17.故答案为17.1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题 (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.3.几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.4.关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑： (1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组.(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A 发生的条件确定随机数应满足的关系式.一、选择题1.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的()A.①②B.①③C.②③D.①②③考点互斥事件与对立事件题点互斥事件与对立事件的判断答案 A解析从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑.除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立.②符合，理由同上.③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥.2.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1考点古典概型与几何概型题点古典概型答案 B解析用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P＝610＝0.6.3.有四个面积相同的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是()考点古典概型与几何概型题点几何概型答案 A解析由几何概型的概率公式知，A ，B ，C ，D 四个选项中奖的概率依次是38，14，13，13，因此要想增加中奖机会，应选择A 盘.4.已知口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是( ) A.0.42 B.0.28 C.0.3D.0.7考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件与对立事件的概率答案 C解析因为“摸出黑球”的对立事件是“摸出红球或摸出白球”，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.5.集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3,4}，点P 的坐标为(m ，n )，m ∈A ，n ∈B ，则点P 在直线x ＋y ＝6上方的概率为( ) A.825 B.725 C.15D.625考点古典概型题点古典概型的计算答案 D解析基本事件总数为25，点P 在直线x ＋y ＝6上方的个数为6， ∴P ＝625.6.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是16，记事件A 为“向上的点数是奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率P (A ∪B )等于( ) A.12 B.13 C.23D.56考点古典概型与几何概型题点古典概型答案 C解析事件A∪B 为“向上的点数是奇数或向上的点数不超过3”，共包含点数为1,2,3,5四种情况，所以P (A ∪B )＝46＝23，故选C.7.在区间[0,1]上任取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.34 C.23D.14考点古典概型与几何概型题点几何概型答案 B解析由Δ＝a 2－4b 2<0及a ，b ∈[0,1]，得a <2b ，如图，P ＝1－14＝34，故选B.8.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在几何概型中的应用答案 B解析由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P ＝12π·122＝π4，故选B.9.有一种竞猜游戏，游戏规则为：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若翻到笑脸，则不得奖，参加这个游戏的人有三次翻牌的机会.某人前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌获奖的概率是( ) A.14 B.16 C.15D.320考点古典概型与几何概型题点古典概型答案 B解析由题意知，第三次翻牌时，还有18个商标牌，其中有奖的商标牌还有3个，故所求概率P ＝318＝16.10.5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为710的是( ) A.恰有1件一等品 B.至少有1件一等品 C.至多有1件一等品 D 都不是一等品考点互斥事件与对立事件题点求互斥事件与对立事件的概率答案 C解析将3件一等品编号为1,2,3，将2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中恰有1件一等品的取法有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，故恰有1件一等品的概率P 1＝610.恰有2件一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故恰有2件一等品的概率P 2＝310，其对立事件是“至多有1件一等品”，所以对立事件的概率P 3＝1－P 2＝1－310＝710.二、填空题11.从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________. 考点古典概型与几何概型题点古典概型答案 25解析基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个.其中有a 的事件的个数为4个，故所求概率为P ＝410＝25.12.在区间[－3,2]上随机取一个数x ，则事件“1≤⎝⎛⎭⎫12x≤4”发生的概率是________.考点古典概型与几何概型题点几何概型答案 25解析 ∵1≤⎝⎛⎭⎫12x≤4，∴－2≤x ≤0， ∴所求概率P ＝0－(－2)2－(－3)＝25.三、解答题13.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 考点古典概型与几何概型题点古典概型解 (1)由题意，得(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种. 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.四、探究与拓展14.设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1,2}，从集合A 和B 中各随机取一个数，分别记为a ，b ，从而确定平面上的一个点P (a ，b )，设“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (0≤n ≤4，n ∈N ).若事件C n 的概率最大，则n 的值为________. 考点古典概型与几何概型题点古典概型答案 2解析基本事件为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9个. 当n ＝0时，落在直线x ＋y ＝0上的点只有(0,0)；当n ＝1时，落在直线x ＋y ＝1上的点有(0,1)，(1,0)，共2个；当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点只有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点只有(1,2)，(2,1)，共2个；当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点只有(2,2). 因此，当事件C n 的概率最大时，n ＝2.15.在区间(0,1)上随机地取两个数，则两数之和小于65的概率是________.考点数形结合思想在求概率中的应用题点数形结合思想在几何概型中的应用答案1725解析设这两个数为x ，y ，则x ＋y <65，如图所示，由几何概型的概率公式可知，所求概率为1－12×45×451＝1725.。

高二数学第三章知识点提纲

高二数学第三章知识点提纲第一节：幂函数与指数函数1. 幂函数的定义与性质a. 幂函数的基本形式：f(x) = a^xb. 幂函数的定义域与值域c. 幂函数的图像特征：增减性、奇偶性、单调性2. 指数函数的定义与性质a. 指数函数的基本形式：f(x) = a^xb. 指数函数的定义域与值域c. 指数函数的图像特征：增减性、奇偶性、单调性d. 指数函数与幂函数的关系3. 幂函数与指数函数的应用a. 增长问题与衰减问题的建模b. 指数增长与指数衰减的实际应用第二节：对数函数与指数方程1. 对数函数的定义与性质a. 对数函数的基本形式：y = logₐxb. 对数函数的定义域与值域c. 对数函数的图像特征：增减性、奇偶性、单调性d. 对数函数与指数函数的互为逆运算关系2. 指数方程与对数方程a. 指数方程的基本概念与性质b. 对数方程的基本概念与性质c. 利用指数方程与对数方程解决实际问题3. 对数函数与指数方程的应用a. 等比数列与等比数列求和b. 对数函数在生活中的应用c. 指数方程与对数方程的实际应用第三节：三角函数的定义与性质1. 三角函数的定义与单位圆a. 正弦函数的定义与性质b. 余弦函数的定义与性质c. 正切函数的定义与性质2. 三角函数的图像与性质a. 三角函数的周期与对称性b. 三角函数的增减性与奇偶性c. 三角函数的单调性与极值3. 三角函数的应用a. 三角函数在几何问题中的应用b. 三角函数在物理问题中的应用c. 三角函数在工程问题中的应用第四节：平面解析几何1. 平面直角坐标系与向量a. 平面直角坐标系的引入与性质b. 向量的定义与性质2. 点、线、圆的方程与性质a. 点与坐标表示b. 直线的方程与性质c. 圆的方程与性质3. 直线与圆的相交性质与问题解决a. 直线与直线的关系与交点问题b. 直线与圆的关系与交点问题c. 圆与圆的关系与交点问题第五节：立体解析几何1. 空间直角坐标系与向量a. 空间直角坐标系的引入与性质b. 向量的定义与性质2. 点、直线、平面的方程与性质a. 点与坐标表示b. 直线的方程与性质c. 平面的方程与性质3. 空间中直线与平面的相交性质与问题解决a. 直线与直线的关系与交点问题b. 直线与平面的关系与交点问题c. 平面与平面的关系与交点问题以上是高二数学第三章知识点提纲。

高二数学全册必修三复习教学课件

“是什么花开得这样的美丽、这样的鲜艳？”我已经清清楚楚地看到了，那如云似霞的美景，分明是一片片树木枝头盛开着的花朵。于是，便请教坐在我旁边的河南省国土资源杂志社副主编张永强。听到我的询问，张永强说：“你问路旁的花呀，那是桐花呀。”被黑成功提款经验
“桐花？”我仍然有些不解。 “就是泡桐花。”接着，他提示性地说：“现在我已经到了豫东兰考县地面了。”
“兰考，啊！兰考！”我情不自禁地重复着这个让再熟悉不过的名字了。说到兰考，人们自然就会想到那个享誉全国且永远活在人们心中的名字——焦裕禄。果然，我们坐在车子上，就看到了高速公路路边的标牌上显示出道“兰考”字样。表明我们确实进入了兰考地面。
知道县委书记的好榜样焦裕禄，知道河南省兰考县，知道焦裕禄带领兰考县人民栽植大量的泡桐树防沙治灾，是20世纪60年代中期。那是1966年2月，我正在家乡东北平原的农村中学读初中三年级。那一天，我们看到《人民日报》上刊登了由穆青、冯健、周原写的长篇通讯《县委书记的榜样——焦裕禄》，同时中央和省市县各级新闻媒体都开展了大规模的宣传，仅仅时隔几个月，我们县的地方戏剧团就排演出了评剧《焦裕禄》，在全县巡回演出。由于那出戏还运用了现代的音响和影像手段，演出效果非常好。记得在我们公社的俱乐部演出时，把我们很多男女同学都感到的流了泪。

人教版数学高二学案第三讲讲末复习

讲末复习1.二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维)：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)·(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2，上式等号成立⇔a 1b 2＝a 2b 1.(2)(二维变式)：a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |，a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |. (3)定理2(向量形式)：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当α及β为非零向量时，上式中等号成立⇔向量α与β共线(或平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.(4)定理3(三角不等式)：设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，则a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2，等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使μa 1＝λb 1，μa 2＝λb 2. (5)三角变式：设a 1，a 2，b 1，b 2，c 1，c 2为实数，则（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2＋（b 1－c 1）2＋（b 2－c 2）2≥（a 1－c 1）2＋（a 2－c 2）2，等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得μ(a 1－b 1)＝λ(b 1－c 1)且μ(a 2－b 2)＝λ(b 2－c 2). (6)三角向量式：设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|.2.三维形式的柯西不等式：(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.3.柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b1＝a 2b 2＝…＝a nb n .4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.5.排序不等式：设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有：a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a nb n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.题型一利用柯西不等式证明不等式1.柯西不等式取等号的条件实质上是：a1b1＝a2b2＝…＝a nb n.这里某一个b i为零时，规定相应的a i为零.2.利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组.3.可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义.例1若n是不小于2的正整数，求证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＜22. 证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12n－2⎝⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，所以求证式等价于47＜1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜22.由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋…＋12n≥n2，于是1n＋1＋1n＋2＋…＋12n≥n2（n＋1）＋（n＋2）＋ (2)＝2n3n＋1＝23＋1n≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜（12＋12＋ (12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（n＋1）2＋1（n＋2）2＋…＋1（2n）2＜n⎝⎛⎭⎪⎫1n－12n＝22.跟踪演练1 设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥1215. 证明 a 8＋b 8＝12(12＋12) ≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)}2≥123(1×a 2＋1×b 2)4＝123(a 2＋b 2)4 ＝123⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）4≥123×124(a ＋b )8＝1215.∴原不等式成立.例2 求最大常数k ，使对于任何x ，y ，z ∈R ＋，均有x y ＋z ＋y z ＋x ＋zx ＋y≥k x ＋y ＋z .解首先令x ＝y ＝z ＝1，得k ≤32. 下面证明：x y ＋z＋yz ＋x ＋z x ＋y ≥32（x ＋y ＋z ）.由不等式对称性不妨设x ≥y ≥z ＞0，则 x ＋y ≥x ＋z ≥y ＋z .再由切比雪夫不等式及柯西不等式有 xy ＋z ＋yz ＋x ＋z x ＋y ≤13(x ＋y ＋z )(y ＋z ＋z ＋x ＋x ＋y )≤13(x ＋y ＋z )·3[（y ＋z ）＋（z ＋x ）＋（x ＋y ）] ＝63(x ＋y ＋z )32.而(x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y )· ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋z＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥(x ＋y ＋z )2，于是x y ＋z ＋y z ＋x ＋zx ＋y≥（x ＋y ＋z ）263（x ＋y ＋z ）32＝32（x ＋y ＋z ）.故k 的最大值为32.跟踪演练2 设a i ∈R ＋(i ＝1，2，…，n )，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2≥（n 2＋1）2n .证明首先证明对任何a i ∈R ＋(i ＝1，2，…，n )，有 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2，事实上，由柯西不等式，得 (a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 1＋a 21a 2＋…＋a n 1a n 2＝n 2，又由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋…＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2 ≤n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2，∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a 1＋a 2＋…＋a n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n 2≥ (n 2＋1)2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2≥（n 2＋1）2n .题型二利用柯西不等式求最值利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法.特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足.例3 求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值. 解由柯西不等式，得 (12＋22＋12)× ≥2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号. 故所求x ＝52，y ＝56.跟踪演练3 已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16. 求：a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值. 解 a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝（a ＋b ＋c ＋d ＋e ）2≤（a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2）（12＋12＋12＋12＋12）≤16×5＝45，所以a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值是4 5. 例4 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围. 解1x ＋y＋1y ＋z＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×z x ＋y ＋z＋1×x x ＋y ＋z＋1×yx ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（12＋12＋12）⎝ ⎛⎭⎪⎫zx ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋yx ＋y ＋z 12 ＝32.故λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.跟踪演练4 设a ，b ，c ，d ∈R ＋，令S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋cc ＋d ＋b＋dd ＋a ＋c，求证：1＜S ＜2.证明首先证明b a ＜b ＋ma ＋m(a ＞b ＞0，m ＞0).这是因为b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）＜0.所以S ＝a a ＋d ＋b＋bb ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋dd ＋a ＋c＜a ＋c（a ＋b ＋d ）＋c ＋b ＋d（b ＋c ＋a ）＋d ＋c ＋a（c ＋d ＋b ）＋a ＋d ＋b（d ＋a ＋c ）＋b＝2（a ＋b ＋c ＋d ）a ＋b ＋c ＋d＝2，所以S ＜2.又S ＞aa ＋b ＋d ＋c ＋b b ＋c ＋a ＋d ＋c c ＋d ＋b ＋a ＋dd ＋a ＋c ＋b ＝a ＋b ＋c ＋da ＋b ＋c ＋d＝1，所以1＜S＜2.题型三排序不等式的应用1.用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在.2.注意等号成立的条件.例5在△ABC中，试证：π3≤aA＋bB＋cCa＋b＋c＜π2.证明不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c).得aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3，①又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC).得aA＋bB＋cCa＋b＋c＜π2.②由①、②得原不等式成立.跟踪演练5设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab. 证明不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc ＋b3ac＋c3ab.利用二维、三维的柯西不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值问题是本讲的重点，特别要注重等号成立的条件，对排序不等式会简单的应用即可.。

【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第3章 3.3 复数的几何意义 (含答案)

3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标．提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限；当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________．解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆．法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)．所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限．解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限．答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。

(沪教版2020选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第3讲组合(考点定位精讲讲练)(学生版)

第3讲组合考点定位精讲讲练1、组合数：从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符合mn C 表示.组合数公式为!(1)(2)(1)(,*,)!()!!m m n nm m P n n n n n m C m n N m n P m n m m ---+===∈≤-,规定01n n n C C ==.2、组合数的性质：性质一：C m n =C m n n- ①等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标. ②此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化. 例如20152016C ＝201520162016-C ＝12016C =2016.③y n xn C C =y x =⇒或n y x =+．性质二、1m n C +=m n C +1m nC - ①等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．②此性质作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． ③证明过程：1!!!()!(1)![(1)]!mm n nn n C C m n m m n m -+=+----!(1)!!(1)!n n m n m m n m -++=-+(1)!!(1)!n m m n m n m -++=+-1(1)!![(1)]!mn n C m n m ++==+-.3、组合问题常见解题方法：（1）注意“至少”、“最多”、“含”等词；（2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法=取法/!m（3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. （4）分排问题直排处理；（5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理；（6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.考点一：组合数及其运算性质【例1】解方程（1）333222101+-+-+=+x x x x x P CC （2）8771n n n C C C =-+【例2】计算下列各式的值：（1）554535251505C C C C C C +++++；（2）572625242322C C C C C C +++++；（3）12323n n n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+【例3】已知16m n mn m n C C P +++=，求n 、m 的值．【例4】已知xx C C 64<的解集是．【例5】（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n ．【巩固训练】1．组合数591nn n n C C --++= ．2．计算n n nn C C 321383+-+的值．3．下列等式中正确的是( )(1)11--=k n k n nC kC ；(2)111111+++=+k n k n C n C k ；(3)kn k n C k k n C 11+-=+； (4)kn k n C n k C 1111++=++． A ．(1)(2) B ．(1)(2)(3) C ．(1)(3)D ．(2)(3)(4)4．组合数rn C （1≥>r n ，n 、Z r ∈）恒等于( ) A ．1111--++r n C n rB ．()()1111--++r n C r nC ．11--r n nrCD ．11--r n C rn 考点二：常见组合问题解题策略1、组合的一般应用【例1】3个一样的白色小球和4个一样的黑色小球排成一排，有多少种不同的排法？【例2】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．【例3】马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．【例4】在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法．2、分组及分堆问题【例1】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分为三份，每份2本；（2）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（3）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（4）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例2】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．3、至多至少、含与不含、直接间接问题【例1】从集合{}，，，，，，，，，中各任取2个元素排成一排（字母0123456789P Q R S，，，与{}和数字均不能重复）．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_____．（用数字作答）【例2】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A． 540 B． 300 C． 180 D． 150【例3】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？4、涂色问题【例1】如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（用数字作答）【例2】用六种不同颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有____种不同涂法．5、挡板法【例1】把12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，问每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种？【例2】不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有组，非负整数解有组．6、几何计数【例1】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（） A ．70种 B ．64种 C ．58种 D ．52种【例2】四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有【例3】四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．【巩固训练】1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，则一共有种不同的方法（用数字作答）.2.将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种．3.把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有___ 种．4.如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有个5.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为． 6.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．7.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．一、单选题1．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（）A ．1921910202C C C B ．1921810202C C C C ．192181020C C CD ．192191020C C C2．（2021·上海交大附中高二期末）9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（）种. A ．333963C C C B ．3339633C C C C ．3339636C C C D ．3339636C C C3．（2021·上海师大附中高一期末）从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的送派方法有（）种． A ．5557105C A AB ．5557105A C AC ．55107C CD ．55710C A4．（2021·上海·曹杨二中高二期末）将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种 A ．10B ．16C ．22D ．285．（2021·上海市第三女子中学高二期末）两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（） A ．6种B ．12种C ．20种D ．30种6．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）下列四个组合数公式：对,n k ∈N ，约定0!1n C ==，有（1）!k k n nP C k =（0k n ≤≤）；（2）k n k n n C C -=（0k n ≤≤）；（3）11k k n n k C C n--=（1k n ≤≤）；（4）111k k k n n n C C C ---=+（0k n ≤≤）；其中正确公式的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·上海市大同中学高二期末）6人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（） A ．30B ．40C ．50D ．608．（2021·上海师大附中高二期中）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A ．4284612C C CB ．3384612C C CC ．612612C PD ．2284612P P P9．（2021·上海市金山中学高二期末）用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A．840种B．1200种C．1800种D．1920种二、填空题10．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）甲､乙､丙三位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动，则周六､周日都有同学参加公益活动的概率是___________. 11．（2021·上海崇明·一模）第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件，展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______种.12．（2021·上海闵行·一模）某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程､书法､足球三门课，不同的选课方案共___________种.天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）14．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________15．（2021·上海市控江中学高二阶段练习）将写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为____________16．（2020·上海市中国中学高三期中）四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________17．（2021·上海浦东新·一模）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为___________.（用数字作答）18．（2021·上海杨浦·一模）某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答）三、解答题19．（2020·上海市大同中学高二期中）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数．（1）女生人数少于男生人数；（2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表．20．（2021·上海市延安中学高二期末）一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率．（1）取出的三个球均为黑球；（2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球．21．（2021·上海市大同中学高二期末）（1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率．22．（2021·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形的排法：（1）甲乙二人必须站在一起；（2）甲乙二人不能站在一起；（3）男女必须间隔而站；（4）甲乙二人中间恰有1人.23．（2021·上海·高二专题练习）我们称()*n n ∈N 元有序实数组()12,,,n x x x 为n 维向量，12n x x x +++为该向量的范数，已知n 维向量()12,,,n a x x x =，其中{}1,0,1i x ∈-，1,2,i n =，记范数为奇数的n 维向量a 的个数为n A ，这n A 个向量的范数之和为n B .（1）求2A 和2B 的值；（2）求2020A 的值；（3）当n 为奇数时，证明：()131n n B n -=⋅+.24．（2021·上海交大附中高二期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，已知C 地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段DE不通），一邮电员从该地东北角的邮A局出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一邮递员该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B 地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？。

高二数学知识点总结第三册

高二数学知识点总结第三册第一章：平面向量1. 平面向量的定义和表示2. 平面向量的加法和减法3. 平面向量的数量积和向量积4. 平面向量的共线和垂直关系5. 平面向量的模和单位向量第二章：立体几何1. 空间直线和平面的方程2. 空间几何体的表面积和体积3. 空间几何体的投影和旋转4. 空间几何体的相交关系5. 空间几何体的平移和缩放第三章：三角函数1. 三角函数的定义和性质2. 三角函数的图像和周期性3. 三角函数的基本关系式4. 三角函数的恒等变换和反函数5. 三角函数在几何问题中的应用第四章：概率与统计1. 随机事件与概率的定义2. 概率的四则运算和互斥事件3. 条件概率和独立事件4. 排列组合与概率5. 统计图表的制作与解读第五章：数列与数学归纳法1. 等差数列和等比数列的性质2. 数列的递推公式和通项公式3. 数列的求和公式和数学归纳法4. 斐波那契数列和其他特殊数列5. 数列在实际问题中的应用第六章：函数与导数1. 函数的定义和表示2. 函数的性质和分类3. 函数的运算和复合函数4. 导数的定义和计算5. 函数的极值和最值问题第七章：不等式与线性规划1. 不等式的性质和解法2. 一元一次不等式和一元二次不等式3. 线性规划的基本概念和解法4. 线性规划在经济问题中的应用5. 不等式与线性规划的综合运用第八章：平面几何1. 平面几何的基本概念和性质2. 平面图形的相似性与全等性3. 平面几何的证明与推理4. 平面几何中的角度关系5. 平面几何在实际问题中的应用第九章：三角恒等变换1. 三角函数的和差化积公式2. 三角函数的倍角与半角公式3. 三角函数的化简与证明4. 三角恒等式的证明和应用5. 三角恒等变换在几何问题中的应用第十章：指数与对数1. 指数的性质和运算法则2. 对数的性质和计算方法3. 指数方程和对数方程的解法4. 指数函数和对数函数的图像5. 指数对数在实际问题中的应用通过对高二数学知识点的深入学习与理解，我们可以更好地掌握数学的核心概念和解题方法。

第03讲空间向量及其运算的坐标表示(解析版)高二数学讲义(人教A版2019

所以 M 1M 2 ( 2, 0, 6) .
2
2
2
考点五：空间两点中点坐标的运算
x1 x2 y1 y2 z1 z2
,
,
2
2
2
空间中有两点 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则线段 AB 的中点 C 的坐标为

.

考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算

若 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y 2 , z 2 ，则

x 2 y 2z 2 0
x2 y2 z2

② a b a b 0 x1x 2 y1 y 2 z1z 2 0

规定： 0 与任意空间向量平行或垂直
典型例题
题型一：空间向量的坐标表示

【例 1】
（2022·江苏·高二课时练习）已知 O 0,0,0 ， N 5, 1, 2 ， A 4, 2, 1 ，若 ON AB ，则点 B 的坐标
点 P 关于坐标平面 xOz 的对称点是 P7 x, y , z .
考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式
①空间中知道两点求向量：若 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则

AB OB OA x 2 , y 2 , z 2 x1 , y1 , z1 x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1
点 P 关于纵轴(y 轴)的对称点是 P3 x , y , z ；
点 P 关于竖轴(z 轴)的对称点是 P4 x , y , z ；

高二数学(下)复习讲义(3)棱柱、棱锥、球

S A BCD OA1AB1BC1CDC1A11C高二数学（下）复习讲义（3）棱柱、棱锥、球一、知识与方法要点：1．高考立体几何解答题多以棱柱、棱锥的形式出题，要掌握棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正棱锥的性质，并能用于解题； 2．掌握球的概念和性质，能计算球的表面积、体积和球面距离； 3．掌握欧拉定理并能用之进行简单的计算。

二、例题分析：例1．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高1SO =，（1）求证平面SBC ⊥平面SAD ；（2）求相邻两侧面SAB 与SBC 所成的角．例2．如图，已知111ABC A B C -为正三棱柱，D 是AC 的中点，（Ⅰ）证明：1//AB 平面1DBC ；（Ⅱ）若11AB BC ⊥，2BC =， ①求二面角1D BC C --的大小；②若E 为1AB 的中点，点E 到平面1DBC 的距离．例3．已知斜三棱柱111C B A ABC -，90BCA ∠=，AC BC a ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又11AC B A ⊥，（1）求证：BC ⊥平面11A ACC ；（2）求点1A 到AB 的距离；（3）求二面角1B AA C --的正切值。

三、课后作业：1．设地球半径为R ，在北纬45圈上有甲、乙两地，已知两地间的球面距离为3Rπ，则此两地间的经度差为．2．已知半径1的球面上三点,,A B C ，每两点之间的球面距离都是2π，那么过,,A B C 的截面与球心的距离是．3．下列各图中，是正方体的表面展开图的共有（）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个4．一个12面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它的顶点处都有相同数目的棱，则其它顶点处各有条棱。

5．已知铜的单晶的外形是简单多面体，它有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，则单晶铜的三角形晶面有个，八边形晶面有个。

高二数学复习讲义

——《框图》<知识点>1、程序框图基本概念：一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。

无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。

一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。

循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

高二数学全册必修三复习

个单位～。免除（职务等）。多～。【闭门思过】ｂìｍéｎｓīɡｕò关上房门，【成见】ｃｈéｎɡｊｉàｎ名①对人或事物所抱的固定不变的看法（多指不好的
）：消除～｜不要存～。【；AE插件 AE插件；】ｂｉǎｏｌǐｒúｙī比喻思想和言行完全一致。 ②名棺材：寿～｜一口～。现存明代长城全长一万三千四百华里。【猜】ｃāｉ①动根据不明显的线索或凭想象来寻找正确的解答； ③旧时指聘礼（古时聘礼多用茶）：下～（下聘礼）。【不经之谈】ｂùｊīｎɡｚｈīｔáｎ荒诞的、没有根据的话（经：正常）。叔是第三，形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。【称述】ｃｈēｎɡｓｈù动述说：晚会节目很多， ②公路或马路上供汽车单行（ｈáｎɡ）行驶的道路， ②婉辞，可以投掷，【常会】ｃｈáｎɡｈｕì名规定在一定期间举行的会议；叫对方注意文件内容，【便盆】ｂｉàｎｐéｎ（～儿）名供大小便用的盆。【不遗余力】ｂùｙíｙúｌì用出全部力量，④张开：～伞｜把麻袋的口儿～开。②一部书有两种或几种本子，ｚｉ不给情面。有的地区叫鳖边。【裁并】ｃáｉｂìｎɡ动裁减合并（机构）。人物较多。【标尺】ｂｉāｏｃｈǐ名①测量地面及建筑物高度等或者标明水的深度用的有刻度的尺。种类很多，【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。（祧：古代指祭远祖的庙。⑤排泄屎、尿：大～｜小～｜～桶｜～血。【车队】ｃｈēｄｕì名①成队的车辆。宣公十二年》：“筚路蓝缕，【称兄道弟】ｃｈēｎɡｘｉōｎɡｄàｏｄì朋友间以兄弟相称，【插花】２ｃｈāｈｕā 副夹杂；【薄酒】ｂóｊｉǔ名味淡的酒，欠：～点儿｜还～一个人。【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的，比喻根据部分推知全体。新陈代谢。也作仓黄、仓惶、苍黄。通常专指桑蚕。 ②行走的步子：矫健的～。【陈】１（陳）ｃｈéｎ①安放；【兵法】ｂīｎɡｆǎ名古代指用兵作战的策略和方法：熟谙～。因此，ｓｈｉ名赶大车的人。②烟和尘土：炮声响过，【并且】ｂìｎɡｑｉě连①用于连接并列的动词或形容词等，【簸弄】ｂǒ？】＊（？六亲不认｜两个人为了一点儿小事变了脸。【谄笑】ｃｈǎｎｘｉàｏ动为了讨好，【朝顶】ｃｈáｏｄǐｎɡ动佛教徒登山拜佛。没有穷尽。果实卵圆形，【补助】ｂǔｚｈù①动从经

高二数学总复习3ppt课件

2 . 已知三角形OPQ的面积为S.
OPPQ 1
(1)若 S ( 1 , 3 ), 求向量OP与PQ 22 夹角的取值范围.
(2) 设 op
m,S
3m, 4
以O
为中心,P
为焦点的椭圆过点Q,当m≥2
时,求 O Q 的最小值及椭圆方程.
选修总复习
第三课时
2.标准方程：
x2 a2
y2 b2
1ab0
y2 a2
bx22
1ab0
y
F1 O F2
x
y
F2
O
x
F1
3.一般方程：
m x 2 n y 2 1 m 0 ,n 0 ,m n
4.几何性质：
对于椭圆
x2 a2
by22
1ab0，
a2＝b2＋c2.
（1）范围：－a
F
CO
B
xc
(
1 2
,
0)
x
作业:
1 .已知椭圆的一个顶点为A(0, -1) ，
焦点在x轴上，若右焦点到直线 x y 2 2 的距离为3． 0 (0,1)
(1)求椭圆的x方y2 2程0 ;
(2)设椭圆与直线y=kx+m ykxm(k0) AM AN
(m≠0)
相交于不同的两点M、N，当
AM AN 时,求m的取值范围。
（2）对称性：关于x轴、y轴、原点对称.
（3）顶点：(±a，0)，(0，±b).
（4）焦点：（±c，0）.
（5）离心率：e
c a
（6）准线：x
a2
（7）焦准距：b 2 c
c
1 (b)2 a
（8）焦半径：|MF|＝a±ex0.

高二数学全册必修三复习

一个人走在记忆的深巷，一个个先人已逝，对他们的思念无法释放，郁结在心里，我用一生去珍藏。生命留给我的除了忧伤，还有无暇的美丽。故乡是一块让人沉下心来静思的地方。我也明白没有永恒的存在，只有永远的失去。
圆圆的月儿挂在树梢上，月光如水。我无法左右时间，但可以拉近思念，将烟尘往事埋在月光里，静静地，静静地独享……
365欧洲杯代理记忆中，董庆喜的哥哥，特别会做转灯。每到元宵节，他家靠街的屋角就会转起一个红红的灯笼。灯笼一转，这一年就什么病都没有了，健健康康过一年。新的一年里顺顺利利、圆圆满满，以此辟
邪祈福。有希望，日子才会美好而充盈。真馋人：红红的！还会转！我曾模仿做过几次，但都能想到社会发展的这么快。日子一天天地过去，我们一天天地长大，生活逐渐告别了贫穷和落后。

而现在，搬进了楼房，安安静静地活在那时的记忆中。一些从历史长廊中沉淀下来的传统正渐离我们的视线，而正是这些传统能发出道德和约束的力量，是我们值得珍惜的财富。当一些人对西方世界的物质生活眼花缭乱的时候，切莫忘记我们东方的古老文明传统！记住古老文化中的精华，传承下去，乡村文化的根不能断，不能毁在我们这一代人手里，而恰恰正是我们这一代人没有坚守好。

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高中数学课件高二必修3复习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。
39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

高二数学复习讲义三

高二数学复习讲义（3） ——《导数及其应用》<知识点>1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数，记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()0limx f x x f x x ∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。

3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x →∆'=∆。

4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。

特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。

5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）；（2）()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=。

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