2020届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题1.2 逻辑用语及充分必要条件(解析版)

第二讲逻辑用语及充分必要条件一、命题及其关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二．充分条件、必要条件三．逻辑连接词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定考向一 命题及其关系【例1】（1）命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若x ≥1且x ≤－1，则x 2>1 C ．若－1<x <1，则x 2<1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1（2）在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． （3）已知命题“若m −1<x <m +1，则1<x <2”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】(1)D (2)3 (3)D【解析】由“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，得“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．故选D.(2)原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3. (3)命题的逆命题为：若1<x <2，则m −1<x <m +1成立，则{m −1≤1m+1≥2得{m ≤2m≥1，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]，故选：D ．【举一反三】1．原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 【答案】B【解析】先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，∴原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴逆命题为假，故否命题也为假．故选B.2．以下四个命题中是真命题的有________(填序号)．①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题； ③命题“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 【答案】 ①②【解析】对于①，命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，它是真命题；对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；对于③，命题“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②.考向二 充分条件、必要条件【例2】(1)设x ∈R ，则“2x>2”是“1x<1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)（2）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围 ．【答案】（1）充分不必要 （2）[0,3]【解析】（1）解不等式2x >2，得x >1；不等式1x <1，即为x －1x>0，解得x >1或x <0.∵{x |x >1}⊆{x |x >1或x <0}，∴“2x>2”是“1x<1”的充分不必要条件． （2）由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}． 由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]【举一反三】1.已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则P ⌝是q ⌝的____________条件．【答案】充分不必要【解析】由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3.所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以P ⌝⇒q ⌝，P ⌝⇏q ⌝，所以P ⌝是q ⌝的充分不必要条件．2.设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________．【答案】(0,2]【解析】由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，∴－m ＋12<x <m －12.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. ∵p 是q 的充分不必要条件，又m >0，∴m －12≤12，∴0<m ≤2.3.设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【答案】3或4【解析】由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3， 当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 4.不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0或x >1B ．x <－1或0<x <1C ．x >－1D ．x >1 【答案】D【解析】由x －1x >0可知x 2－1x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x <0，解得x >1或－1<x <0，不等式x －1x>0的解集为{x |x >1或－1<x <0}，故不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是x >1.故选D.考向三 逻辑连接词【例3-1】（1）命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2（2）若命题“∃x 0∈R,3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 【答案】（1）D (2)C【解析】(1)由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2”．(2) 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则“∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”为真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得a ∈[－3，3]．故选C.【例3-2】（1）己知命题p ：若ΔABC 为锐角三角形，则sinA <cosB ；命题q:∀x,y ∈R ，若x +y ≠5，则x ≠−1或y ≠6．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∨(¬q)B ．(¬p)∧qC ．p ∧qD ．(¬p)∧(¬q)（2）已知命题p ：对任意x ∈R ，不等式2x +|2x −2|>a 2−a 恒成立；命题q ：关于x 的方程x 2+2ax +1=0有两个不相等的实数根.若“(¬p)∨q ”为真命题，“(¬p)∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围 . 【答案】（1）B （2）{−1}∪(1,2)【解析】（1）命题p ：若△ABC 为锐角三角形，则0<C<π2，∴π＞A +B ＞π2，因此π2＞A ＞π2−B ＞0， 则sin A ＞sin （π2−B ）＝cos B ，可知p 是假命题；命题q ：∀x ，y ∈R ，若x +y ≠5，则x ≠﹣1或y ≠6，其逆否命题：若x ＝﹣1且y ＝6，则x +y ＝5，是真命题，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p ）∧q ．故选：B ． （2）令f(x)=2x +|2x −2|，则f(x)={2,x ≤12x+1−2,x >1 ， ∵y =2x+1−2是增函数，∴f(x)有最小值2， 若命题p 为真命题，则a 2−a <2，−1<a <2.若命题q 为真命题，则Δ=4a 2−4>0，a <−1或a >1. ∵(¬p)∨q 为真命题，(¬p)∧q 为假命题，∴¬p 与q 一真一假. 若p 真，则q 真，此时1<a <2；若p 假，则q 假，此时{a ≤−1或a ≥2−1≤a ≤1 ，即a =−1.故a 的取值范围是{−1}∪(1,2). 【举一反三】1.若命题“∀x ∈[2,3]，x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，4]【解析】由题意得a ≤x 2在[2,3]上恒成立，而当x ∈[2,3]时，4≤x 2≤9，∴a ≤4.故实数a 的取值范围是(－∞，4]．2.若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.3.已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．【数学套路】1.判断命题真假的步骤2.根据复合命题真假求参数的步骤(1) 根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况) (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围 3.对全(特)称命题进行否定的方法(1) 改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词 (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定。