第二次调研考试题数学附答案

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河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。

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南通市2023届高三第二次调研测试数学参考答案与讲评建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若M ，N 是U 的非空子集，M ∩N = M ，则A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．U ðM =ND ．U ðN = M【答案】A2．若i z = (1- 2i )2，则z =A ．4+ 3iB ．4- 3iC ．- 4+ 3iD ．- 4- 3i【答案】C3．已知(x 3+ 22x)n 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A ．60B ．80C ．100D ．120【答案】B4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100m ，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）A ．49.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m【答案】B5．在▱ABCD 中，12BE BC = ，13AF AE =．若AB mDF nAE =+ ，则m + n =A ．12B ．34C ．56D ．43【答案】D6．记函数f (x )= sin (ωx + π4)(ω>0)的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且f (x )≤|f ( π3)|，则ω=A ．34B ．94C ．154D ．274【答案】C7．已知函数f (x )的定义域为R ，y =f (x )+e x 是偶函数，y =f (x )- 3e x 是奇函数，则f (x )的最小值为A ．eB ．C ．D ．2 e【答案】B8．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(00)y x a b a b-=>>，的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：22229()4x y a b +=+，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为A ．54B ．85C D ．【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题含答案解析

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题一、单选题(共24 分)1已知集合A={x|1≤x≤3}B={x|y=ln(2−x)}则A∩B=（）A[1,2)B(1,2)C(1,3)D(1,3]【答案】A【分析】先求集合B中的x的取值范围再根据交集运算求解即可【详解】∵B={x|y=ln(2−x)}∴B={x|x<2}则A∩B=[1,2)故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算属于基础题2复数z满足iz=2+i其中i为虚数单位则|z|=（）A1B√3C2D√5【答案】D【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得z=2+ii=1−2i|z|=√1+4=√5故选：D3已知向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)．若a⃗∥b⃗⃗则m=（）A6B−6C−32D2 3【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解【详解】由向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)且a⃗∥b⃗⃗则−3×2−m=0解得m=−6．故选：B4已知a=ln12,b=(12)−3,c=tan15°1−tan215°则abc的大小关系是（）A a>b>cB c>b>aC b>c>aD a>c>b 【答案】C【分析】分别化简a,b,c即可明显比较出三者大小关系【详解】因为a=ln12=−ln2<0b=(12)−3=8c=tan15°1−tan215°=12tan30°=√36<1所以b>c>a故选：C5在一次篮球比赛中某支球队共进行了8场比赛得分分别为：2930382537404232那么这组数据的第75百分位数为（）A375B38C39D40【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52而8×75%=6故第75百分位数为38+402=39故选：C6金针菇采摘后会很快失去新鲜度甚至腐烂所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mln(t+a)(a>0)．若采摘后1天金针菇失去的新鲜度为40%采摘后3天金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知√2≈1.414结果取一位小数）（）A40天B43天C47天D51天【答案】C【分析】由已知条件两式相除求出a设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知{mln(1+a)=0.4mln(3+a)=0.8相除得ln(3+a)ln(1+a)=2ln(3+a)=2ln(1+a)(1+a)2=3+a因为a>0故解得a=1设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1又mln(1+1)=0.4所以ln(t+1)ln2=10.42ln(t+1)=5ln2=ln32(t+1)2=32t+1=√32=4√2=4×1.414=5.656t=4.656≈4.7．故选：C．7已知F1F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点点P在椭圆上且在第一象限过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线垂足为AO为坐标原点若|OA|=√3b则该椭圆的离心率为（）A2√23B√63C√33D√23【答案】B【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系再由离心率的概念求解．【详解】设F1P与F2A交于点Q由题意PA⊥F2APA平分∠F2PQ则|PQ|=|PF2|A是F2Q中点|QF1|=|PF1|+|PQ|=2a 而O是F1F2中点故OA是△F1F2Q的中位线|QF1|=2|OA|则2a=2√3ba=√3bc2=a2−b2=23a2e=ca=√63故选：B8已知函数f (x )=e |x|−12g (x )={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0若关于x 的方程g(f (x ))−m =0有四个不同的解则实数m 的取值集合为（） A (0,ln22) B (ln22,1) C {ln22} D (0,1)【答案】A 【分析】设t =f(x)根据f(x)的解析式可得f(x)的单调性、奇偶性即可作出f(x)的图象即可求得t 的最小值利用导数判断g(x)的单调性结合t 的范围作出g(t)的图象数形结合可得 m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意即可得答案【详解】设t =f(x)则g(t)−m =0有四个不同的解因为f(−x)=e |−x|−12=e |x|−12=f(x)所以t =f(x)为偶函数且当x >0时f(x)=e x −12为增函数所以当x ≤0时t =f(x)为减函数所以t min =f(0)=e 0−12=12即t ≥12当x >0时g(x)=(x −1)lnx则g ′(x)=lnx +1x(x −1)=lnx −1x+1令g ′(x)=0解得x =1所以当x ∈(0,1)时g ′(x)<0g(x)为减函数当x ∈(1,+∞)时g ′(x)>0g(x)为增函数又g (12)=−12ln 12=ln22作出x >0时g(x)的图象如图所示：所以当m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点且设为t 1,t 2作出t =f(x)图象如下图所示：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意综上实数m 的取值范围为(0,ln22)故选：A 【点睛】解题的关键是根据解析式利用函数的性质作出图象将方程求根问题转化为图象求交点个数问题考查分析理解数形结合的能力属中档题二、多选题(共 9 分)9已知数列{a n }的前n 项和为S n =11n −n 2则下列说法正确的是（） A {a n }是递增数列B a 2=8C数列{S n}的最大项为S5和S6D满足S n>0的最大的正整数n为10【答案】BCD【分析】由a n与S n关系求通项判断AB由二次函数性质判断CD．【详解】由S n=11n−n2得当n=1时a1=10当n≥2时a n=S n−S n−1=11n−n2−11(n−1)+(n−1)2=−2n+12n=1时也满足故a n=−2n+12a2=8A错误B正确故当n=5或n=6时S n最大故C正确由二次函数y=11x−x2的对称轴为112满足S n>0得0<n<11最大的正整数n为10故D正确故选：BCD10某班级到一工厂参加社会实践劳动加工出如图所示的圆台O1O2在轴截面ABCD中AB=AD= BC=2cm且CD=2AB则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为3√3cm2cm3C该圆台的侧面积为6πcm2D该圆台的体积为7√3π3【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项【详解】如图作BE⊥CD交CD于E易得CE=CD−AB2=1则BE=√22−12=√3则圆台的高为√3cm A错误；圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3cm2B正确；圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π故C正确；圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π⋅4π)=7√3π3cm3D正确故选：BCD11某校高二年级在一次研学活动中从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观要求所有景点全部参观且不重复记“第k站参观甲地的景点”为事件A k k=12…7则（）A P(A6)=37B P(A2∣A1)=13C P(A1+A2)=27D P(A2A3)=1249【答案】AB【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项继而根据条件概率的计算公式可判断B选项结合对立事件判断D选项【详解】由题意可得P(A6)=C31A66A77=37,A正确；P(A1)=C31A66A77=37,P(A2A1)=A32A55A77=17,P(A2∣A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13故B正确；由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57C错误；P(A2A3)=C31C41A55A77=1242=27,所以D错误故选：AB三、单选题(共3 分)12已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)则ω的可能取值为（）A127B95C67D35【答案】ABD【分析】由三角函数的性质判断周期后求解．【详解】f(x)在[−π3,π6]上单调则T2≥π6−(−π3),T≥π而f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)有以下情况①4π3−π6=7π6=kT,k∈Z而T≥π则k=1T=7π6ω=2πT=127②4π3−(−π3)=5π3=kT+T2,k∈Z而T≥π则k=1T=10π9ω=2πT=95或k=0T=10π3ω=2πT=35综上ω的可能取值为1279 5 3 5故选：ABD四、填空题(共12 分)13在(x+2x )5的展开式中x3的系数是___________【答案】10【分析】由二项式定理求解．【详解】(x+2x )5的展开通项为T r+1=C5r x5−r(2x)r=C5r⋅2r x5−2r当r=1时x3的系数为10故答案为：1014已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l与x轴平行的直线与l和C分别交于AB两点若|AF|= |BF|则|AB|=______【答案】4【分析】抛物线的定义结合题意得到△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H |AB |=2|FH |即可得出答案【详解】由抛物线的定义可知|AF |=|BF |=|AB |△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H 则|FH |=2|AB |=2|FH |=4 故答案为：415已知点A (2,−1,3)若B (1,0,0)C (1,2,2)两点在直线l 上则点A 到直线l 的距离为______ 【答案】3 【分析】先求与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量u ⃗⃗然后由公式d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2可得【详解】依题意AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,−3)而BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2) 故与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量为u ⃗⃗=√2√2)则所求距离d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2=√11−2=3 故答案为:316已知正四面体ABCD 的棱长为2P 为AC 的中点E 为AB 中点M 是DP 的动点N 是平面ECD 内的动点则|AM|+|MN|的最小值是_____________【答案】√33+36【分析】取CE中点O先由OP⊥面CDE得N在线段DO上再把△PDO沿PD翻折到平面APD上得到|AM|+ |MN|的最小值即A到OD的距离再借助三角函数的知识求出最小值即可【详解】取CE中点O连接DO,OP由正四面体可知DE⊥AB,CE⊥AB又DE∩CE=E∴AB⊥面CDE又OP∥AB∴OP⊥面CDE当|AM|+|MN|最小时MN⊥面CDE故N在线段DO上由OP⊥面CDE可得OP⊥OD又OP=12AE=14AB=12DP=√22−12=√3OD=√3−14=√112将△PDO沿PD翻折到平面APD上如图所示：易知∠ADP=30∘sin∠ODP=OPDP =2√3cos∠ODP=ODDP=√112√3,则sin∠ODA=sin(∠ODP+30∘)=sin∠ODPcos30∘+cos∠ODPsin30∘=3+√3312故|AM|+|MN|的最小值即A到OD的距离即AD⋅sin∠ADO=2×3+√3312=3+√336故答案为：√33+36五、问答题(共6 分)已知{a n}为等差数列{b n}是公比为正数的等比数列a1=b1=2a2=2b1−1b3=2a2+217 求数列{a n}和{b n}的通项公式；18 设数列{c n}满足c n=1a n log2b n记{c n}的前n项和为S n求S2023【答案】17 a n=n+1,b n=2n18 20232024【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解（2）由裂项相消法求解．【17题详解】设{a n}的公差为d{b n}的公比为q(q>0)由题得{2+d=2×2−12q2=2(2+d)+2解得{d=1q=2则a n=n+1,b n=2n【18题详解】c n=1a n log2b n=1n(n+1)=1n−1n+1S2023=1−12+12−13+⋯+12023−12024=20232024六、解答题(共18 分)如图已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中所有棱长均为2底面ABCD是正方形侧面ADD1A1是矩形点P为D1C1的中点且PD=PC19 求证：DD 1⊥平面ABCD ；20 求平面CPB 与平面DPB 的夹角的余弦值【答案】19 证明详见解析 20√55【分析】（1）通过证明DD 1⊥AD,DD 1⊥CD 来证得DD 1⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求得平面CPB 与平面DPB 夹角的余弦值【19题详解】设Q 是CD 的中点连接PQ 由于P 是C 1D 1的中点所以DD 1//PQ 由于PD =PC 所以PQ ⊥CD 所以DD 1⊥CD 由于四边形ADD 1A 1是矩形所以DD 1⊥AD 由于CD ∩AD =D,CD,AD ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥平面ABCD 【20题详解】由于四边形ABCD 是正方形结合（1）的结论可知AD,CD,DD 1两两相互垂直以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D (0,0,0),P (0,1,2),B (2,2,0),C (0,2,0)DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)设平面DPB 的法向量为m ⃗⃗⃗=(x,y,z )则{m ⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y +2z =0m ⃗⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y =0 故可设m ⃗⃗⃗=(2,−2,1)设平面CPB 的法向量为n ⃗⃗=(a,b,c ) 则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a =0n ⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b +2c =0故可设n ⃗⃗=(0,2,1) 设平面CPB 与平面DPB 的夹角为θ 则cosθ=|m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=3×√5=√55已知函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 21 求a,b ；22 若过点(1,m )存在三条直线与曲线y =f (x )相切求买数m 的取值范围【答案】21 a =2,b =−3 22 (−14,0) 【分析】（1）根据题意可得f ′(1)=0,f (1)=0即可得解；（2）切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)根据导数的几何意义可得切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)从而可得m =−4x 03+9x 02−6x 0+1再根据过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根利用导数求出函数y =−4x 3+9x 2−6x +1的单调区间及极值即可得解【21题详解】由题意知f ′(x )=3ax 2+2bx因为函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 所以f ′(1)=3a +2b =0,f (1)=a +b +1=0解得a =2,b =−3 经检验符合题意所以a =2,b =−3；【22题详解】由（1）可知函数f (x )=2x 3−3x 2+1所以f ′(x )=6x 2−6x设切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)所以切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)因为切线过点(1,m ) 所以m −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(1−x 0)即m =−4x 03+9x 02−6x 0+1令ℎ(x )=−4x 3+9x 2−6x +1则ℎ′(x )=−12x 2+18x −6=−6(2x −1)(x −1) 令ℎ′(x )=0解得x =12或x =1当x 变化时ℎ′(x ),ℎ(x )的变化情况如下表所示因此当x =12时ℎ(x )有极小值ℎ(12)=−14 当x =1时ℎ(x )有极大值ℎ(1)=0过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根则−14<m <0 所以实数m 的取值范围是(−14,0) 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导根据导数的方法求出函数的单调区间与极值根据函数的基本性质作出图象然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题突出导数的工具作用体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由f (x )=0分离变量得出a =g (x )将问题等价转化为直线y =a 与函数y =g (x )的图象的交点问题23ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已知asin A+C 2=bsinA ．（1）求B ；（2）若ΔABC 为锐角三角形且c =1求ΔABC 面积的取值范围．【答案】(1) B =π3;(2)(√38,√32) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式得到关于B 的三角方程最后根据A,B,C 均为三角形内角解得B =π3 (2)根据三角形面积公式S △ABC =12ac ⋅sinB 又根据正弦定理和c =1得到S △ABC 关于C 的函数由于△ABC 是锐角三角形所以利用三个内角都小于π2来计算C 的定义域最后求解S △ABC (C)的值域【详解】 (1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得A+C 2=π2−B2此时asinA+C 2=bsinA 就变为asin (π2− B2)=bsinA ．由诱导公式得sin (π2−B2)=cos B2所以acos B2=bsinA ．在△ABC 中由正弦定理知a =2RsinA,b =2RsinB 此时就有sinAcos B2=sinAsinB 即cos B2=sinB再由二倍角的正弦公式得cos B2=2sin B2cos B2解得B =π3． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB 的值可得∠B 的值】由解法1得sinA+C 2=sinB 两边平方得sin 2A+C 2=sin 2B 即1−cos(A+C)2=sin 2B ．又A +B +C =180°即cos(A +C)=−cosB 所以1+cosB =2sin 2B 进一步整理得2cos 2B +cosB −1=0 解得cosB =12因此B =π3．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C 的比例关系】根据题意asinA+C 2=bsinA 由正弦定理得sinAsinA+C 2=sinBsinA因为0<A <π故sinA >0 消去sinA 得sin A+C 2=sinB ． 0< B <π0<A+C 2<π因为故A+C 2=B 或者A+C 2+B =π而根据题意A +B +C =π故A+C 2+B =π不成立所以A+C 2=B又因为A +B +C =π代入得3B =π所以B =π3 (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围然后由面积函数求面积的取值范围】因为△ABC 是锐角三角形又B =π3所以π6<A <π2,π6<C <π2 则S △ABC =12acsinB= 12c 2⋅ac⋅sinB =√34⋅sinA sinC=√34⋅sin(2π3−C)sinC= √34⋅sin2π3cosC−cos 2π3sinC sinC=38tanC+√38．因为C ∈(π6,π2)所以tanC ∈(√33,+∞)则1tanC ∈(0,√3) 从而S △ABC ∈(√38,√32)故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a ．因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3 所以{cosA =b 2+1−a 22b >0,cosC =b 2+a 2−12ab >0,即{b 2+1−a 2>0，b 2+a 2−1>0. 又由余弦定理得b 2=a 2+1−a 所以{2−a >0,2a 2−a >0, 即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法三]【数形结合利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图在△ABC 中过点A 作AC 1⊥BC 垂足为C 1作AC 2⊥AB 与BC 交于点C 2．由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3所以点C 位于在线段C 1C 2上且不含端点从而c ⋅cosB <a <ccosB 即cos π3<a <1cosπ3即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用24已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合且双曲线的离心率为√5(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆C1,C2它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上过双曲线右焦点且斜率为−1的直线l与圆C1,C2都相切求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）5x2−54y2=1；（2）(−2,2)【分析】（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=ca=√5及a2+ b2=c2即可解得ab；（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切利用点到直线的距离公式可得√2=√2经过化简可得n与t的关系再利用斜率计算公式即可得出k=2t+2nt−n把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．【详解】解：（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．又e=ca=√5a2+b2=c2解得a2=15b2=45．∴双曲线的方程为5x2−54y2=1．（2）直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切所以√2=√2得直线l与t+2t−1=n−2n−1或t+2t−1=−n+2n+1即n=−3t或n=3t−2设两圆C1C2圆心连线斜率为k则k=2t+2nt−n 当n=−3t时k=2t−6t4t=−1；当n=3t−2时k=2t+2nt−n =4t−2−t+1∵t>0n<0∴0<t<23故可得−2<k<2综上：两圆C1C2圆心连线斜率的范围为(−2,2)．七、应用题(共6 分)某企业对生产设备进行优化升级升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1）各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时设备正常运行否则设备停止运行记设备正常运行的概率为p k（例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）25 若p=23当k=2时求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望并求p2；26 已知设备升级前单位时间的产量为a件每件产品的利润为4元设备升级后在正常运行状态下单位时间的产量是原来的2倍且出现了高端产品每件产品成为高端产品的概率为14每件高端产品的利润是8元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（i）请用p k表示E（Y）；（ii）设备升级后若将该设备的控制系统增加2个相同的元件请分析是否能够提高E（Y）【答案】25 分布列见解析数学期望为2P2=202726 （i）E(Y)=10ap k；（ii）当12<p<1时E(Y)提高；当0<p≤12时E(Y)没有提高【分析】（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望从而求得p2（2）（i）求得Y的分布列从而求得E(Y)（ii）通过差比较法对p进行分类讨论来分析能否提高E(Y)【25题详解】因为k=2所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3因为每个元件的工作相互独立且正常工作的概率均为p =23所以X ∼B (3,23) 所以P (X =0)=C 30⋅(23)0⋅(13)3=127P (X =1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=29P (X =2)=C 32⋅(23)2⋅(13)1=49P (X =3)=C 33⋅(23)3⋅(13)0=827所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为：控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E (X )=3×23=2p 2=P (X =2)+P (X =3)=49+827=2027【26题详解】（i ）设备升级后在正常运行状态下单位时间内的利润为a2×8+3a 2×4=10a所以Y 的分布列为：所以E (Y )=10a ×p k +0×(1−p k )=10ap k（ii ）若控制系统增加2个元件则至少要有k +1个元件正常工作设备才能正常工作设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作其概率为P (ξ≥k +1)=p k −C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作新增2个元件中至少有1个正常工作其概率为P (ξ=k )=C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1⋅[1−(1−p )2]=C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )；第三类：原系统中恰好有k −1个元件正常工作新增2个元件全部正常工作其概率为P (ξ=k −1)=C 2k−1k−1⋅p k−1⋅(1−p )k ⋅p 2=C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k所以p k+1=p k −C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1+C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )+C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k=p k +C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以p k+1−p k =C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以当12<p <1时p k+1−p k >0p k 单调递增即增加2个相同元件设备正常工作的概率变大；当0<p ≤12时p k+1−p k ≤0即增加2个相同元件设备正常工作的概率没有变大因为E (Y )=10ap k所以当12<p <1时E (Y )提高；当0<p ≤12时E (Y )没有提高。

2023-2024学年河北省邯郸市高三上学期第二次调研监测数学试题(邯郸二调)+答案解析

2023-2024学年河北省邯郸市高三上学期第二次调研监测数学试题（邯郸二调）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B.C.D.2.若角为第二象限角，，则()A. B. C.D.3.设，为两个不同的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，，，则4.已知复数z 满足，则()A. B. C.1D.25.直线被圆截得的弦长的最小值为()A.4B.C. D.6.在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则() A.4 B.5C.6D.77.已知函数，若，则实数a 的取值范围是()A.B. C.D.8.在棱长为4的正方体中，P ，Q 分别为AB ，的中点，则平面截此正方体所得的截面周长为()A. B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则下列描述正确的是()A.函数的最小正周期为B.是函数图象的一个对称轴C.是函数图象的一个对称中心D.若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，则为奇函数10.已知实数a ，b ，m 满足，则以下大小关系正确的是()A. B.C.D.11.已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则下列叙述正确的是()A. B.C.D.数列的前10项和为12.已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列叙述正确的是()A.若椭圆C 的离心率为，则B.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，且，则C.当时，过点B 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最大值为D.当时，椭圆C 上存在异于B 的两点P ，Q ，满足，则直线PQ 过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(数学答案)2024年高考素养调研模拟试卷二模答案

2024年高考素养调研第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1~4．DABB 5~8．BADB1．选D ．【解析】因为{}{}|13,2,3A x x B =<<=，所以{}|13A B x x =<≤；故选：D 2．选A ．【解析】22z i z i =−=+，，故选A ． 3. 选B ．【解答】解：由11x>，得10x x −>，解得01x <<，则选项中的x 的范围组成的集合是()0,1的真子集，由选项知，选项ACD 不满足，选项B 满足，故使“11x>”成立的一个充分不必要条件可以是“102x <<”.故选B ． 4. 选B ．【解析】圆224470x y x y +−−+=化为()()22221x y −+−=,圆心为()2,2C ，半径为1，如图，直线20x y −+=上的点向圆224470x y x y +−−+=引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，min PC ==．1=．故选B ．5．选B ．【解析】由椭圆的定义知3,2a b ==,121226,26AF AF a BF BF a +==+== 所以2ABF ∆的周长为22121212AF AB BF AF AF BF BF ++=+++=，所以当AB 最小时，22AF BF +最大．又当AB x ⊥时，AB 最小，此时2283b AB a ==，所以22AF BF +的最大值为8281233−=．故选：B ．6．选A ．【解析】因为函数()()952411mm f x m m x −−=−−为幂函数，所以211m m −−=,∴2m =或1m =−，对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠满足()()12120f x f x x x −>−，则函数在()0,+∞为增函数，则95410m m −−>，验证2m =满足题意，所以()9542212015f x x x ⨯−−==是定义在R 上的奇函数，且是增函数，因为,,0a b a b ∈+>R ，∴a b >−，所以()()()f a f b f b >−=−，∴()()0f a f b +>，故选A ．7．选D ．【解析】110.620.611110.52222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即122a ⎛∈ ⎝⎭，sin 45sin 551b =︒<=︒<，即2b ⎫∈⎪⎪⎝⎭，3310log log 2c <=<=，即10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故b a c >>.故选:D8．选B ．【解析】对于A ，∵2112,1n n n a a a a a ++=+==，∴345672,3,5,8,13a a a a a =====，∴337=S ，∴A 错误；对于B ，斐波那契数列数列中不大于34的数依次是1,1,2,3,5,8,13,21,34其中偶数有3个，所以任取一个数字，取到的偶数的概率为3193=，所以B 正确；对于C ，由12342564202320242022,,,,,a a a a a a a a a a a ==−=−=−135********a a a a a ++++=，∴C 错误；对于D ，由21n n n a a a ++=+，得()()2221122231231233423423,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==−=−=−=−，()220232023202420222023202420222023a a a a a a a a =−=−，∴2222135202320232024a a a a a a ++++=，∴D 错误，故选B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题 6分，共计 18 分. 9．BC ． 10．ABD ． 11．AC ．9．选BC ．【解析】解：配重X (单位：kg )符合正态分布()27.5,4N ，可得配重的平均数为27.5kg ，即27.5,2μσ==，故C 正确；又()()25.529.50.6827,23.531.50.9545P X P X <≤=<≤=，则()0.95450.682723.529.50.68270.81862P X −<≤=+=，故B 正确；又()()10.997321.533.50.9973,33.50.001352P X P X −<≤=>==，1000个使用该器材的人中，配重超过33.5kg 的有1.35人，故D 错误．故选：BC ．10．选ABD )cos cos 2sin a B b A c C +=，)2sin cos sin cos 2sin A B B A C +=()22sin A B C +=，22sin C C =，根据题意，有3C π=，又sin sin A B =，可得a b =，∴3A B C π===，∴ABC ∆为等边三角形，故A 正确；∵2,6DC DA ==，在ADC ∆中，22262226cos 4024cos AC D D =+−⨯⨯=−，当AC =时，1cos 2D =−，∴23D π=，即B D π+=，∴,,,A B C D 共圆，B 正确．又1sin 6sin 2ADC S AD CD D D ∆=⋅=，∴四边形ABCD 面积)26sin 4024cos 6sin ABC ADC S S S AC D D D ∆∆=+=+=−+12sin 3D π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，0D π<<，∴2,333D πππ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，则sin 3D π⎛⎤⎛⎫−∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以四边形ABCD 的面积没有最小值，C 错误．当32D ππ−=，即56D π=时，四边形ABCD 面积取最大值12，故D 正确；故选ABD ．11．选AC ．【解析】由()()13f x f x +=−得，()()()()11134f x f x f x f x =−+=−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故函数()f x 的周期为4，A 正确；由()()13f x f x +=−可得()()22f x f x +=−，所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称，且关于直线4x =对称，B 不正确；作出函数()f x 在[]0,8上的大致图象如图所示，由图可知，当06x ≤≤时，函数()f x 有5个零点，C 正确；当68x ≤≤时，函数()f x )的最小值为1511224f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：AC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12．填4【解析】原式22sin15cos15sin 15cos 15124cos15sin15sin15cos15sin15cos15sin 30︒︒︒+︒=+====︒︒︒⋅︒︒⋅︒︒13．填54【解析】取AB 的中点F ，连接CF ，则由题意可得CF ∥AD ，且CF AD =.∵()111131222242AE AB BE AB BC AB FC FB AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=+=+−=+−=+ ⎪⎝⎭， ∴31,42λμ==，54λμ+=．14【解析】三棱锥P ABC −为正三棱锥，不妨设2PA PB PC a ===，底面外接圆半径为r ，外接球半径为R ，由题意可得，,EF a CF ==在PAC ∆中，由余弦定理可得224441cos 2222a a PAC a a+−∠==⨯⨯，故在EAC ∆中，222142222EC a a a a =+−⋅⋅=+，又90CEF ∠=︒，根据勾股定理可得222,EC EF CF +=即2223,2a a +==即PC =，在1Rt PO C ∆中，223436R R =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−,即26=R ，故体积为ππ6343=R ．（注：把这个椎体放入正方体中,更简洁）四、解答题： 15.（本小题13分）⑴()()()12x x xf x e x e x e '=++=+，令()0f x '=，可得2x =−，当2x <−时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x >−时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以，当2x =−时，()f x 取得极小值为()22f e −−=−，无极大值；┉6分⑵如图，当2a e −<−时，方程()f x a =无解；当0a ≥或2a e −=−时，方程()f x a =有一解；当20e a −−<<时，方程()f x a =有两解． ┉13分16.（本小题15分）⑴设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件A ，则()2511004P A ==，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则14,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故恰好抽到2个礼品果的概率为()22243127244128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ┉7分⑵用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，现从中抽取2个，则精品果的数量X 服从超几何分布，X 所有可能的取值为0,1,2，则()()()11221288122222020203348140,1,2959595C C C C P X P X P X C C C =========，所以X 的分布列为：故X 的数学期望()3348140120.8959595E X =⨯+⨯+⨯= ┉15分 17.（本小题15分）⑴取BC 的中点O ，连结1,AO B O ，在1B BC ∆中，11,3AB BB B BC π=∠=，所以1B O BC ⊥∵平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，1B O ⊂平面11BCC B ，∴1B O ⊥平面ABC ，∵AO ⊂平面ABC ，∴1B O AO ⊥，在等边三角形ABC 中，AO BC ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系．则()(()(111,,1,0,0,,2A A C B E ⎛ ⎝⎭∴()(110,3,3,0,AB A C =−=，∴110AB A C ⋅=，即11AB A C ⊥，故11AB AC ⊥； ┉6分 ⑵()12,0,0,,2BC EC ⎛== ⎝⎭，设平面EBC 的法向量为()111,,x y z =m ，则有11110102x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴11y =，则()0,1,2=−m 设平面1AB C 的法向量为(),,xy z =n ，()()10,3,3,1,AB AC =−=−则有00x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以y z x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =，则)=n ，设平面EBC 与平面1AB C 夹角为θ，则1cos cos ,5θ⋅===m n m n m n ． ┉15分 18.（本小题17分）⑴由题意知，动点E 到定点()1,0D 的距离等于E 到直线1x =−的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以()1,0D 为焦点，以1x =−为准线的抛物线，故曲线C 的方程为24y x =； ┉6 分⑵证明：由题意可知直线12,l l 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．设()()1122,,,A x y B x y ，直线1l 的方程为()12,0y k x k =−+≠，直线2l 的方程为()12y k x =−−+，由()2124y k x y x ⎧=−+⎪⎨=⎪⎩，得()()222224420k x k k x k −−++−=，由题意知此方程的一个根为1，∴()22122244k k k x k k −−+==，同理()()()222224444k k k k x k k −−−+++==−，∴21212222888,k k x x x x k k k +−+=−==− ∴()()()121212812122y y k x k x k x x k k −=−+−−−+=+−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴1212818ABy y k k x x k−===−−−，∴直线AB 的倾斜角为定值34π．┉17分 19.（本小题17分）⑴设{}n a 的公差为d ，∴()42114,4642T T a d a d =+=+， ()()21121,21211n n a a a n d a n d =++−=+−+⎡⎤⎣⎦，解得：11,2a d ==，∴21n a n =−；┉5分⑵①22212mmn <−<，即2212122m m n ++<<，∴121112222m m n −−+<<+， ∵*n ∈N ，∴121212m m n −−+≤≤，∴21122m m m b −−=− ②由①得212122m m m C −−⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴12121411212m m m T ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦−，由111m m t T t T t C +−=−+得：11m t m T t C T t +−=+−，111m m t m T t C C T t ++−+=+− ∴111m t m C C T t ++=+−，∴1m t m C C T t +=−，∴1112m tm m t C T t C +−+⎛⎫−== ⎪⎝⎭∴111144222m m tt −⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⋅−=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1142142mtt −−⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵1110,4022m t−⎛⎫⎛⎫>+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴40t −>，∴{}1,2,3t ∈，1t =时，解得12133log 255mm ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭Z （舍）；2t =时，解得12111log 233mm ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭Z （舍）；3t =时，解得11328mm ⎛⎫=⇒=∈ ⎪⎝⎭Z ；所以存在这样的33m t =⎧⎨=⎩，满足所给的条件，9mt =．┉17分。

广东省惠州市2024届高三第二次调研考试数学试题及参考答案

广东省惠州市2024届高三第二次调研考试数学试题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1.已知集合{}31≤≤=x x A ，(){}x y x B -==2ln ,则=B A ()A.[1,2]B.(1,2)C.(1,3)D.[1,3]2.复数z 满足i iz +=2,其中i 为虚数单位，则=z ()A.1B.3C.2D.53.已知向量()1,3-=a，()2,m b = .若b a ∥,则=m ()A.6B.-6C.23-D.324.已知21ln =a ，321-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，︒-︒=15tan 115tan 2c ,则实数a，b，c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b5.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29,30,38,25,37,40,42,32，那么这组数据的第75百分位数为（）A.37.5B.38C.39D.406.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t (天)满足的函数解析式为()()0ln >+=a a t m h ,若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%,采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%,那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知√2≈1.414,结果保留一位小数)()A. 4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天7.已知F 1，F 2分别是椭圆C：()0,012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过F 2互作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为A。

O为坐标原点，若b OA 3=,则该椭圆的离心率为()A.322 B.36 C.33 D.328.已知函数()21-=xex f ，()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=0,ln 10,121x x x x x x g ，若关于x的方程()()0=-m x f g 有四个不同的解，则实数m的取值集合为()A.⎪⎭⎫⎝⎛22ln 0，B.⎪⎭⎫⎝⎛1,22ln C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧22ln D.(0,1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 函数的单调递增区间是A．B．C．D．2. 在中，角的对边分别为．已知，，．则的值为( )A．B．C．D．3. 函数的定义域是（）A．B．C．D ．R4. 已知，则（）A．B．C．D．5. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．6. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7. 三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．8. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．9. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（）A ．对一切恒成立B ．在区间上不单调C．在区间上恰有1个零点广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题三、填空题四、解答题D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称10. 已知双曲线E ：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线l 与E 的右支交于点P ，若，则（）A ．E的离心率为B ．E的渐近线方程为C ．P 到直线x ＝1的距离为D ．以实轴为直径的圆与l 相切11.已知数列满足，且，等差数列的前n 项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（）A ．－36B ．－54C ．－81D ．－10812. 给出下列说法，错误的有（）A．若函数在定义域上为奇函数，则B ．已知的值域为，则a的取值范围是C ．已知函数满足，且，则D．已知函数，则函数的值域为13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.14. 已知命题：“”的否定是真命题，则的取值范围是 .15. 如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.16. 已知，函数.(1)记，求的最小值；(2)若有三个不同的零点，求的取值范围.17. 交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：分组回答正确人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组（1）分别求出，，，的值．（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法共抽取人，则第，，组每组应分别抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．18. 已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19. 为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：）.根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径服从正态分布.如果加工的零件内径小于或大于均为不合格品，其余为合格品.（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少；（2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损.已知每件产品的利润（单位：元）与零件的内径有如下关系：.求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润.附：若随机变量服从正态分布，有，，.20. 在中，角、、的对边分别是、、，满足．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若为的中点，，，求的面积．21. 设函数．(1)求函数的单调递增区间及对称中心；(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．。

浙江省富阳二中2025届高三第二次调研数学试卷含解析

浙江省富阳二中2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．132．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（）A ．1B ．-1C ．0D ．23．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（）A ．8B ．6C ．8D ．64．设命题:p 函数()x x f x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( )A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,17．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（）A ．2eB ．4eCD 8．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)9．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（） A ．1(0,)e B ．1(0,)2e C ．1(,)2e -∞ D ．11(,)2e e12．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

二调数学试题分析及答案

二调数学试题分析及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次方程的解？A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 3【分析】首先，我们需要确定哪个选项能使二次方程成立。

假设二次方程为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，将每个选项代入方程中检验。

【答案】B2. 计算下列表达式的值：\( (x + y)^2 - (x - y)^2 \)A. \( 4xy \)B. \( 2x^2 - 2y^2 \)C. \( 2x + 2y \)D. \( 4y^2 \)【分析】利用平方差公式 \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \)，将表达式展开并简化。

【答案】A二、填空题1. 已知 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \)，求 \( a + b \)的值。

【分析】根据已知条件，我们可以将等式两边同时乘以 \( ab \)，然后求解 \( a + b \)。

【答案】\( a + b = ab \)2. 若 \( \sin \theta = \frac{1}{3} \)，求 \( \cos \theta \)的值。

【分析】利用勾股定理，\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)，可以求出 \( \cos \theta \)。

【答案】\( \cos \theta = \pm \sqrt{1 -\left(\frac{1}{3}\right)^2} \)三、解答题1. 解不等式 \( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

【分析】首先，我们需要考虑绝对值不等式的不同情况，然后分别求解不等式。

【答案】不等式的解集为 \( x < -4 \) 或 \( x > 5 \)。

2. 证明：若 \( a, b, c \) 是三角形的三边长，且 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形是直角三角形。

第二次调研考试数学参考答案

第二次调研考试数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．A 9．B 10．B二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．11．－5 12．5313．（－∞，0] 14．f (x )，v (x )三、解答题：本大题共6小题；共84分．15．解：（1）若q =1，S 3=3 a 1，S 9=9 a 1，S 6=6 a 1，a 1≠0，则S 3+ S 6≠2S 9，这与S 3，S 9，S 6成等差数列相矛盾． ………………………2分若q ≠1，由S 3+ S 6=2S 9，得369111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q ---+=⋅---． ……………6分整理，得 3692q q q +=。

所以 63210q q --=，即331(1)()02q q -+=．由于1q ≠，故q =． ……………………………………………………8分（2）由于36334711111()(1)222a a a q a q a q q +=+=+，由（1）可知，312q =-，所以94711110111(1)2428a a a a a q a +=--=-==．故a 4，a 7的等差中项是数列{ a n }的第10项．…………………………………14分16．解：（1）x = a +(t 2+1)b =（－2t 2－1，t 2+3），y =－k a +t1b =（－k －t 2，－2k +t1），………………………………………2分由x ⊥y ，得x·y =0，即(－2 t 2－1)(－k －t 2) +(t 2+3) (－2k +t 1)=0．整理，得 tt k 12+=． ……………………………………………………………5分 ∵ t >0，∴tt k 12+=≥2，当且仅当t =1时，k =2．所以k 的最小值为2 ．……………………………………………………………7分（2）假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2 t 2－1) (－2k +t 1) =(t 2+3) (－k －t2)．整理，得 t k (t 2+1)+1=0．…………………………………………………………12分满足上述等式的正实数k 、t 不存在，所以不存在k 、t ，使x ∥y ． ………………14分17．解法一：（１）由已知AD ⊥AB ，PD ⊥AB ，得AB ⊥平面P AD ．点M 、N 分别是P A 、PB 的中点，∴ MN ∥AB ．∴MN ⊥平面P AD ，MN ⊥PM ，MN ⊥DM ．∴∠PMD 为二面角P —MN —D 的平面角．………………………………………4分 Rt △P AD 中，由已知∠P AD=60° ，故∠MPD=30°．∵MD 是Rt △P AD 斜边P A 上的中线，∴MD=MP ．∴△PMD 为等腰三角形，∴∠PMD=120° ．故二面角P —MN —D 的大小为120° ． ……………………………………………8分（２）① 若∠CDN=90º，则CD ⊥平面PDN ，而CD ⊥平面P AD ，故平面PDN 与平面P AD 重合，与题意不符．……………………………………………………10分 ②若∠DCN=90º，由MN ∥CD ，CD ⊥DM ，DM ⊥MN ，得四边形CDMN 是矩形，所以 MN=CD ，即12CD AB =．………………………………………………………………12分 ③ 若∠DNC=90º，连结BD ．设AD=a ，由已知，得AB=2a ，从而BD=3a ．又PD=AD tan60°=3a ，∴PD=BD ．从而DN ⊥PB ，DN ⊥平面PBC ．∴DN ⊥BC ．又PD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PBD ，∴BD ⊥BC ．∵CD ∥AB ，∴∠ABD=∠CDB ，∴Rt △ABD ∽Rt △CDB ． ∴.23,,222====AB BD AB CD AB BD CD AB BD BD CD …………………………………15分（2）另解：令,(0),CD AD a x x AB==>则,.AB CD = ∵PD ⊥平面ABCD ，∴Rt △P AD 中，可得MD=a ．连结DB ，在Rt △PDB 中，可得.2DN a =∵点M 、N 分别是P A 、PB 的中点，∴ MN ＝1.22AB a = 在直角梯形MNDC 中，22222223())(22).22NC MD DC MN a a x x a =+-=+-=-+……10分 ① 若∠CDN=90º，则222.NC ND DC =+ ∴2233222,0,22x x x x -+=+=解得这不可能． ②若∠DNC=90º，则222.DC ND NC =+ ∴22333222,.222x x x x =+-+=解得即32CD AB =．③ 若∠DCN=90º，则222.ND NC DC =+∴2233222,22x x x =-++解得x=0(不合题意，舍去)，1.2x = 即12CD AB =．………………………………………………………………………15分解法二：（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AD=a ，则，A （a ，0，0），B （a，0），C （0，ta ，0），P （0，0），M （2a ，0），N （2a）， ∴MN =（0，0）=12AB ，所以MN ∥AB ．由AB ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ∩P A=D ，得AB ⊥平面P AD ，所以∠PMD 就是二面角P －MN －D 的平面角．cos ,||||MD MP MD MP MDMP ⋅<>=⋅=(,0,)()a a -⋅-=－12，即二面角P －MN －D 的大小为120º． …………………………………………… 8分（2）① 若∠CDN=90º，则CD ⊥平面PDN ，而CD ⊥平面P AD ，故平面PDN 与平面P AD 重合，与题意不符．…………………………………………………………10分 ②若∠DCN=90º，DC CN ⋅=0，即（0，ta ，0）·（2a－ ta）=0．解得，所以 12CD AB =． …………………………………………………12分 ③ 若∠DNC=90º，则DNCN ⋅=0，即（2a）·（2a－ ta）=0．所以1130422++=．解得．所以32CD AB =． ……………………………………………………15分 18．解：方法一由条件知∠CMB=30 º，∠AMB=45º．又AB =BC ，所以△CBM 和△ABM 面积相等，即 12MC ·MB ·sin30 º=12MA ·MB ·sin45º ．从而可得．……………………………………………………………5分在△ACM 中，由余弦定理，得 4=MC 2+MA 2－2MA ·MC ·cos75°．所以MA 2=︒75cos 2234－．………………………………………………………8分设点M 到直线ABC 的最小距离为h ， h 即△ACM 的高，由面积关系，得︒⋅=︒⋅⋅=⋅=∆75sin 2275sin 21212MA MA MC h AC S ACM ． ………11分（第18题）1335775cos 22375sin 422+=︒-︒⋅=h ．答：塔到直路ABC的最短距离为713+千米．……………………………13分方法二以点B 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设(,0),(,),M a A b c 则(,).C b c -- ……………………………………………2分可得221,1,3b c c b a c b a ⎧⎪+=⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪+⎩解得2c =．故(1AB c k b ==-+ 直线AB的方程为(10x y +=．……………………………………………8分设点M 到直线AB 的距离为|MD |，则22124||169MD +==所以||MD = 答：塔到直路ABC的最短距离为713+千米．………………………………13分 19．解（1）∵函数(1)y f x =+图象向右平移1个单位即得到y =f (x )的图象，并且y=f (x+1)的图象关于点(－1，0)对称，∴y =f (x )的图象关于点（0，0）对称，从而对任意实数x ，有()()f x f x -=-， ∴43201234a x a x a x a x a -+-+=43201234a x a x a x a x a -----，即420240a x a x a ++=对任意实数x 恒成立．∴0240a a a ===，313(),f x a x a x =+213()3f x a x a '=+．1x =-时，)(x f 取极大值23，∴(1)02(1).3f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即131330,2.3a a a a +=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得131,13a a ==-．故31().3f x x x =-………………………………………………………………5分（2）设(,)A A A x y ，(,)B B B x y 是函数f (x )图象上的两点，则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为22121,1A B k x k x =-=-，且22(1)(1)1AB x x -⋅-=-．∵,[A B x x ∈，∴22111,111,A B x x -≤-≤-≤-≤2211,11A B x x ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩；或2211,1 1.A Bx x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 从而可求得两点为（0，0），)3-，或（0，0），()3． ………10分（3）证明：∵211122n n n n x -==-( n ∈N +) ， ∴11n x x ≤<，即112n x ≤<．又)1333n n n n y -==，∴1n y y <≤，即3n y <≤-．由2()10f x x '=-<，得11x -<<；由()0f x '>，得11x x ><-或．∴()f x 在（－1，1）上递减，在（－∞，－1）和（1，＋∞）上递增．又22((1),(1)333f f f =-==-，max 2,()(1)3x f x f ⎡⎤∈=-=⎣⎦时，min 2()(1)3f x f ==-，而,[n n x y ∈， ∴4|()()|(1)(1)3n n f x f y f f -<--=．……………………………………15分 20．解：设M (x 1，y 1)为椭圆C 上的任意一点（x 1y 1≠0），N (x 2，y 2)，动点E 的坐标为（x ，y ），则P (－x 1，y 1)，Q (－x 1，－y 1)，T (x 1，－y 1)．…………………………………1分所以14122121=+y x ，……(1) 14122222=+y x ． ……(2) …………3分 (1)－(2)，得04))((12))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．所以31))(())((21212121-=-+-+x x x x y y y y ，即13MN QN k k ⋅=-． …………………………6分又MN ⊥MQ ，1MN QM k k ⋅=-，11y x k MN -=，所以113NQ y k x =．直线QN 的方程为1111)(3y x x x y y -+=，直线PT 的方程为x x y y 11-=． …10分从而得 1121,21y y x x -==．所以y y x x 2,211-==．由（1），可得)0(1322≠=+xy y x ，此即为所求的轨迹方程．………………13分。

高三数学下学期第二次质量普查调研考试试题文含解析试题

2021年高三年级第二次质量普查调研考试制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

文科数学一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕.1.设集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质得到集合，根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得集合，又由，所以，应选B.【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，以及指数函数的性质的应用，其中解答中根据指数函数的性质，准确求解集合B是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.2.瑞士著名数学家欧拉发现公式时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“HY创造的公式〞.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】令，那么，又由，根据复数的表示，即可得到答案.【详解】由题意，根据公式〔为虚数单位〕，令，那么，又由，所以复数表示的点位于第一象限，应选A.【点睛】此题主要考察了复数的表示，以及三角函数的符号的应用，其中解答中合理赋值，根据复数的几何意义及复数的表示求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.3.向量，，假设与互相垂直，那么〔〕A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】写出的坐标，利用两个向量垂直的条件计算可得答案.【详解】假设与互相垂直,那么2-m+4m+6=0,解得，应选：D【点睛】此题考察两个向量垂直的坐标运算，属于根底题.4.直线的倾斜角为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【分析】由直线方程可得tan，由正弦的二倍角公式和同角三角函数关系式计算可得答案.【详解】直线的倾斜角为,可得斜率k=tan那么，应选：B【点睛】此题考察直线的斜率和倾斜角的关系，考察正弦的二倍角公式的应用，考察齐次式的计算，属于根底题.5.函数，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，令，那么，即可求解.【详解】由题意，函数，令，那么，应选C.【点睛】此题主要考察了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.6.双曲线与双曲线有一样的离心率，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【分析】由双曲线方程可知k>0,分别写出曲线和的离心率，由离心率相等可得k值，从而得到渐近线方程. 【详解】由双曲线方程可知k>0,双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，由题意得=，解得k=6, 双曲线，那么渐近线方程为，应选：B【点睛】此题考察双曲线的离心率公式的应用，考察渐近线方程的求法，属于根底题.7.一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都一样的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，假设从中任取两个球，那么取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】6个球中任取两个球的种数为15种，满足条件的有4种，由古典概型概率公式可得答案.【详解】盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都一样的小球，其中1到4号球是红球，5,6号是黄球，从中任取两个球,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，一共15种情况，恰有1个球的号码是偶数有16,25,36,45一共有4种情况，故所求概率P=．【点睛】此题考察古典概型的概率公式的应用，属于根底题.8.设，假设，那么实数是〔〕A. 1B. -1C.D. 0【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】解得a=-1,应选：B【点睛】此题考察分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原那么.9.执行如下图的程序框图，假如输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故假如输出S=3，那么只能进展六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故答案为：k≤7故答案为：C.10.用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高,应选：B【点睛】此题考察圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.11.函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，方程恰有两个不同的实根，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式，化简得到函数的解析式，再根据三角函数的图象变换，得到函数的解析式，再把方程恰好有两个不同的实数解，转化为与有两个不同的交点，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，根据辅助角公式，可得函数，把函数的图象向右平移个单位，得到，再把函数图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数，因为，那么，令，解得，即函数在上单调递增，令，解得，即函数在上单调递减，且，要使得方程恰好有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点，结合图象，可得实数的取值范围是，即.【点睛】此题主要考察了三角函数的图象与性质的综合应用，以及三角函数的图象变换与三角恒等变换的应用，其中解答中合理利用三角函数的图象与性质，把方程恰好有两个不同的实数解，转化为与有两个不同的交点是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.12.过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为、.假设，那么的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】过点M作圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A和B，分别连接CA、CB、CM、AB，根据圆的性质可得，要使得，那么满足，列出不等式，即可求解.【详解】根据题意，画出图形，如下图，由圆，可得圆心坐标，半径，过点M作圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A和B，分别连接CA、CB、CM、AB，根据圆的性质可得，当，因为，所以为等腰直角三角形，所以,又由，所以，所以，所以，要使得，那么满足，即，整理得，解得或者，即的取值范围是，应选C.【点睛】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意得出时，使得，进而得出要使得，那么满足，利用两点间的间隔公式，列出不等关系式是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在答题卡的相应位置.〕13.假设函数的图象在点处的切线平行于轴，那么________. 【答案】【解析】【分析】求函数的导数，可得切线斜率，由切线平行x轴，得到斜率为0，可得t值.【详解】可得函数在x=-1处的切线斜率为2+2t,由切线平行于轴，可得解得t=-1,故答案为：-1【点睛】此题考察导数的几何意义的应用，属于根底题.14.，满足不等式，那么最大值为________.【答案】11【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目的函数的最优解，求得目的函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如下图，又由目的函数，可化为直线，当直线过点A时，目的函数获得最大值，又由，解得，所以目的函数的最大值为.【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目的函数的最优解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，及推理与计算才能，属于根底题．15.四棱锥，底面为边长为4的正方形，垂直于底面，假设四棱锥外接球的外表积和外接球的体积数值相等，四棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，由外接球的外表积和体积相等,可求R,设PA=a，由外接球的直径为长方体的体对角线，可得a值，再利用棱锥体积公式可得结果.【详解】四棱锥的底面为边长为4的正方形且垂直于底面，那么棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，设PA=a,外接球的半径为R,那么16+16+,由外接球的外表积和体积相等，即,解得R=3,即32+，解得a=2,那么四棱锥的体积V=,故答案为：【点睛】此题考察棱锥外接球问题，求外接球半径的常见方法有：①假设三条棱两两垂直那么用〔a,b,c为三棱的长〕；②假设面ABC〔SA=a〕，那么〔r为外接圆半径〕；③可以转化为长方体的外接球.16.，，分别为三个内角，，的对边，假设，，的面积为，那么的值等于________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式，求得，利用余弦定理求得，再根据正弦定理，即可求解的值，得到答案.【详解】在中，因为，所以，又由的面积为，且，所以，解得，由余弦定理可得，解得，又由正弦定理得.【点睛】此题主要考察了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数根本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考察了转化思想与运算、求解才能，属于根底题．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕17.设是等比数列的前项和.，，成等差数列，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设.假设，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，求得，再由，求得，即可得到等比数列的通项公式；〔2〕由〔1〕，得到，利用裂项法，即可求解数列的前n 项和.【详解】〔1〕设等比数列的公比为，由题意知，即，即，解得：，又由，解得，所以〔2〕由〔1〕，所以所以，数列的前项和为.【点睛】此题主要考察等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项相消〞求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算才能要求较高，解答中确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，属于根底题.18.在如下图的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，，，为的中点.〔1〕平面平面〔2〕求点到平面的间隔【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】(1)由题目中的数据结合勾股定理可得，又，可证得平面，从而得到证明；〔2〕利用计算可得结果.【详解】〔1〕在菱形中，为的中点，那么又由，，那么，故又且，那么平面又因为平面所以，平面平面〔2〕由题设，连接，在中，，在中，，在中，由余弦定理,所以的面积：的面积：设点到平面的间隔为那么三棱锥的体积：,解得：【点睛】此题考察线面垂直的断定定理和面面垂直的断定定理的应用，考察利用等体积思想求点到面的间隔问题，考察空间想象才能和计算才能，属于根底题.19.某现有学生800名，其中200名学生参加过短期实习〔称为组学生〕，另外600名学生参加过长期实习〔称为组学生〕，从该的学生中按分层抽样一共抽查了80名学生，调查他们的学习才能得到组学生学习才能的茎叶图，组学生学习才能的频率分布直方图.〔1〕问组、组学生各抽查了多少学生，并求出直方图中的；〔2〕求组学生学习才能的中位数，并估计组学生学习才能的平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔3〕假设规定学习才能在内为才能优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的【答案】〔1〕20,60,0.027；〔2〕见解析(3)见解析【解析】【分析】〔1〕由分层抽样可得组抽查人数20名，B组抽查60名，由频率分布直方图的频率和为1可得x值；〔2〕茎叶图中根据中位数的定义得结果，频率分布直方图中利用每个矩形的底边的中点横坐标与对应的小矩形的面积的乘积，然后作和，可得结果；〔3〕由公式计算出的观测值，结合临界值表，可得结论.【详解】〔1〕由茎叶图知组学生中抽查人数为20名，组学生中应抽查〔名〕,由频率分布直方图得，得.〔2〕由茎叶图知组学生学习才能的中位数为121由〔1〕及频率分布直方图，估计组学生学习才能的平均数为〔3〕由〔1〕及所给数据得才能与实习的2×2列联表，由上表得因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习才能与实习时间是长短有关.【点睛】此题考察频率分布直方图和HY性检验的应用，考察学生的分析与计算才能，属于根底题.20.椭圆的一个焦点与的焦点重合且点为椭圆上一点〔l〕求椭圆方程；〔2〕过点任作两条与椭圆相交且关于对称的直线，与椭圆分别交于、两点，求证：直线的斜率是定值【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】(1)由列出关于a和b的等量关系，可得方程；〔2〕写出直线AP和直线AQ的方程，将直线AP和直线AQ 与椭圆方程联立，得P,Q的横坐标，利用斜率公式和韦达定理进展计算即可得到答案.【详解】〔1〕抛物线的焦点为，那么椭圆的一个焦点为,故把点带入椭圆方程得：解得：所以，椭圆方程为〔2〕由题意，可设直线的方程为，那么直线的方程为设，，那么，把直线的方程与椭圆方程联立得：，故同理可得所以所以，直线的斜率是定值【点睛】此题考察椭圆的HY方程的求法，考察直线与椭圆的位置关系的应用和韦达定理以及斜率公式的应用，考察学生的推理和计算才能，属于中档题.21.函数.〔1〕当时，求函数在上的最大值和最小值〔2〕讨论函数零点的个数.【答案】〔1〕，；〔2〕见解析【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，写出函数的单调区间，由单调性可得函数的最值；〔2〕令那么，变量别离得构造函数，对函数g(x)求导，判断函数单调性，画出函数的图像，由图像可得结果.【详解】由题设，〔1〕当时，显然令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减，在上，，，所以，，〔2〕由〔1〕知，在上单调递减，在上单调递增，令那么①当时，，所以不是的零点.当时，①式化为：设，那么令得，那么在上单调递增，令，得，那么在上单调递减，当时，当时，.当时，，且当时，.故的图像如图所以，当时有两个零点，当时，有一个零点【点睛】此题考察利用导数研究函数的最值和函数的零点个数问题，考察函数单调性的应用，属于中档题.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，〔l〕设为参数，假设，求直线的参数方程；〔2〕直线与曲线交于，设，且，务实数的值.【答案】〔1〕〔为参数〕；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；〔2〕根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】〔1〕直线的极坐标方程为即，因为为参数，假设，代入上式得，所以直线的参数方程为〔为参数〕〔2〕由，得，由，代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.〔*〕那么且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.那么，，，由题设得.那么有，得或者.因为，所以【点睛】此题主要考察了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.23.设函数.〔1〕当时，求不等式的解集；.〔2〕对，，，恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕当时，分类讨论去掉绝对值，得分段函数，进而可求解不等式的解集.〔2〕由绝对值的三角不等式，求得，转化为对任意，总有，即，即可求解.【详解】〔1〕当时，，即，当时，不等式的解集为空集；当时，由，即，解得，所以解集为；当时，不等式恒成立，所以解集为，故不等式的解集为.〔2〕由：，那么，对任意，总有，那么对任意，总有，即，解得实数的取值范围为.【点睛】此题主要考察了含绝对值不等式的求解，以及绝对值的三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，合理应用绝对值的三角不等式求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.制卷人：打自企；成别使；而都那。

2023年吉林省吉林市考数学第二次调研试卷+答案解析(附后)

2023年吉林省吉林市考数学第二次调研试卷1. 已知集合，，则的子集个数( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 对于事件A与事件B，下列说法错误的是( )A. 若事件A与事件B互为对立事件，则B. 若事件A与事件B相互独立，则C. 若，则事件A与事件B互为对立事件D. 若，则事件A与事件B相互独立3. 下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是( )A. B. C. D.4. 已知抛物线C：的焦点F与椭圆E：的一个焦点重合，则下列说法不正确的是( )A. 椭圆E的焦距是2B. 椭圆E的离心率是C. 抛物线C的准线方程是D. 抛物线C的焦点到其准线的距离是45. 已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是( )A. B.C. D.6. 已知，，若直线：与直线：垂直，则的最小值为( )A. 1B. 3C. 8D. 97. 近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观，某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21m的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1m的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为( )A. 15mB. 16mC.D.8. 已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至当直线与AD所成的角最大时，三棱锥的体积为( )A. B. C. D.9. 已知复数，则下列说法正确的是( )A. z的共轭复数是B. z的虚部是iC.D. 若复数满足，则的最大值是10. 如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在处，质点B在第一象限，且质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则( )A. 经过1s后，扇形AOB的面积为B. 经过2s后，劣弧的长为C. 经过6s后，质点B的坐标为D. 经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇11. 如图，函数的图象称为牛颌三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则( )A.B.C.D.12.如图，正四棱柱中，，动点P满足，且a，则下列说法正确的是( )A.当时，直线平面B. 当时，的最小值为C. 若直线BP与BD所成角为，则动点P的轨迹长为D. 当时，三棱锥外接球半径的取值范围是13. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______ .14. 已知向量，的夹角为，且，，则______.15. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作已知，，且若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列，则______ .若，则______ .16. 已知函数，点M、N是函数图象上不同的两个点，则为坐标原点的取值范围是______ .17. 坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和，女生的平均数和方差分别为和求抽取的总样本的平均数；试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总样本的平均数为，样本方差为，18. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求边a；若是锐角三角形，且_____，求的面积S的取值范围.要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且，四边形BDEF 为矩形，，AC与BD交于O点，求证：平面BDEF；求二面角的余弦值.20. 已知数列的前n项和为，，数列是以2为公差的等差数列.求的通项公式；设，求数列的前2n项和21. 在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数求动点M的轨迹方程；若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且为坐标原点，求的最小值.22. 已知函数判断的单调性；设函数，记表示不超过实数x的最大整数，若参考数据：，答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为圆的圆心，半径2，则圆心在直线上，故直线与圆相交，即有两个元素，故的子集个数为故选：先判断中元素个数，然后可求子集个数．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生，，故A正确；根据独立事件的性质知，故B正确；由，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则，事件B表示选中b，c 两球，则，，但A，B不是对立事件，故C错误；对于D，由相互独立事件的定义可知：D正确．故选：根据对立事件和独立事件的定义和性质逐项分析．本题主要考查对立事件和独立事件的定义和性质，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：对于A，由幂函数性质可知，定义域为且在定义域内单调递增，即A正确；对于B，由正切函数图像可知，为周期函数，在定义域内不是单调递增，即B错误；对于C，在其定义域，上分别单调递减，即C错误；对于D，由指数函数性质可知，在上为单调递减，所以D错误．故选：根据幂函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误．本题主要考查了指数函数和幂函数的单调性，考查了正切函数的单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A：椭圆E：的焦点为，，故椭圆E的焦距是2，故A正确；对于B：椭圆E：，则，，，故椭圆E的离心率，故B 正确；对于C：抛物线C：的焦点F与椭圆E：的一个焦点重合，，解得，故抛物线C的准线方程是，故C正确；对于D：抛物线C的焦点，抛物线C的准线方程是，故抛物线C的焦点到其准线的距离是2，故D错误，故选：根据题意可得，，，则，求出p，逐一分析选项，即可得出答案．本题考查抛物线的性质和椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q，当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；因为，则，由等比数列的定义可知：数列是等比数列，故选：主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能构成等比数列，当不为0时，根据等比数列的定义确定．本题主要考查了等比数列的定义的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题可知，两条直线斜率一定存在．因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，整理可得，所以，当且仅当时，等号成立，因此的最小值为故选：根据两直线方程表达式及其位置关系，可得，再利用基本不等式，求出的最小值即可．本题主要考查了直线垂直的性质和利用基本不等式求解最值，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意可得，，，所以，设塔顶为点D，作于E，如下图所示：易知，所以，所以，同理，即塔高，所以该塔的高度为故选：根据题意即可求得为直角三角形，计算出C点与塔顶的高度差，即可求得塔高．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：异面直线最大角为直角，当时，与AD所成角最大，四边形ABCD是矩形，，又，且，平面，又平面，，在中，，，，又，，，故选：先判断当与AD所成角最大时，，进而证得面，再证得是直角三角形，故可由，从而求得结果．本题考查线面垂直的判定定理，异面直线所成角问题，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，复数z的虚部为1，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，令，，则，即在圆心为，半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D 对．故选：利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：由题意可知：经过1s后，，所以此时扇形AOB的面积为，故A错误；经过2s后，，所以此时劣弧的长为，故B正确；经过6s后，质点B转过的角度为，结合题意，此时质点B为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故C错误；经过后，质点B转过的角度为，质点A转过的角度为，因为，所以经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故D正确．故选：根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解．本题主要考查三角函数的应用，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：，令，则；令，则且；的增区间为：，减区间为：与，对于A选项：且有三个零点，，即A选项正确；对于B选项：当时，，即，，，在上单调递减，，即，即B选项错误；对于C选项：令，，在上递减，即，，，，又在上单调递增，，即，即C选项正确；对于D选项：，，即，，，，令，，则，令，则，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为，故，故D选项正确．故选：对于选项A：根据导数得出其单调性，则根据零点的定义结合图像得出时，才有三个零点；对于选项B：根据解析式得出当时，，即可结合已知得出根据单调性得出答案；对于选项C：令，，根据导数得出其单调性与最值，即可得出，即可结合已知得出，即可根据单调性得出答案；对于选项D：根据已知得出，代入解析式转化得出，令，，，即可根据导数求出其最值，即可得出答案．本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于较难题目．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设AC，BD相交于点O，的中点为，如图所示，，当时，即，由平面向量线性运算法则可知，点P在线段上，正四棱柱，，且平面ABCD，又平面ABCD，，又，平面，即平面，正确；对于B，当时，由利用共线定理可得，P，C，三点共线，由对称性可知，线段上的点到，两点之间的距离相等，；取平面进行平面距离分析，如右图所示，，当且仅当P，B，三点共线时，等号成立，此时点P为线段的中点，即的最小值为，故B正确；对于C，由图可知，BA，BC与BD所成角都为，由可知，点P在平面内，若直线BP与BD所成角为，在线段上取点，使，则直线与BD所成角为，点P的轨迹是以O为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如图中细虚线所示，动点P的轨迹长为，故C正确；对于D，当时，取的中点为E，即；由可知，P，C，E三点共线，如图所示：易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为，；作于点Q，设，易知，由相似比可得，设外接球半径为R，则，解得，，易知当时，半径最小为；当时，半径最大为，又，半径的取值范围是错误．故选：当时，由平面向量线性运算法则可知点P在线段上，根据正四棱柱特征利用线面垂直判定定理即可证明直线平面；当时，由共线定理可得点P在线段上，根据对称性将的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线BP与BD所成角为，可知点P的轨迹是以O为圆心，半径为的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当时，取的中点为E，由共线定理可知P，C，E三点共线，几何法找出球心位置写出半径的表达式，利用函数单调性求其取值范围即可得出结果．本题考查线面垂直的判定定理，空间中距离的最值，异面直线所成角的概念，轨迹弧长的求解，三棱锥外接球的最值问题的求解，方程思想，化归转化思想，运动变化思想，属难题．13.【答案】【解析】解：由题意可知，命题“，”为真命题．当时，由可得，不合乎题意；当时，由题意可得，解得，因此实数a的取值范围是故答案为：分析可知命题“，”为真命题，对实数a的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围．本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为向量的夹角为，所以，所以，所以故答案为：由平面向量数量积的定义可得，再由，结合平面向量数量积的运算律即可得解．本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由题意，，则，，则，由，则除以4的余数为，即，由，则除以4的余数为，即，由，则除以4的余数为，即，由，则除以4的余数为，即，由，则除以4的余数为，即，由，则除以4的余数为，即，故由斐波那契数除以4的余数按原顺序构成的数列，是以6为最小正周期的数列，因为，所以；由斐波那契数的递推关系可知：时，且，，所以故答案为：2697；根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案；利用递推公式，结合裂项相消，可得答案．本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：当时，，则，所以，函数在上为增函数；当时，由可得，即，作出函数的图象如下图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，设切点为，所以切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，即，构造函数，其中，则，所以函数在上单调递增，且，由，解得，所以，，而函数的渐近线方程为，设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，则，结合图形可知，故答案为：作出函数的图形，求出过点过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围．本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：设在男生、女生中分别抽取m名和n名，则，解得：，，记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：，所以抽取的总样本的平均数为14cm；男生样本的平均数为，样本方差为，女生样本的平均数为，样本方差为，由知，总样本的平均数为，记总样本的样本方差为，则所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为【解析】根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为60，40，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数；根据中求得数据代入计算即可得出结果．本题主要考查了分层抽样的定义，考查了平均数和方差的计算，属于中档题．18.【答案】解：解法一：因为，由余弦定理，得；解法二：因为，由正弦定理，得，，，即选择①：因为，所以，，所以，因为是锐角三角形，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，即的面积S的取值范围是选择②，因为，则，因为是是锐角三角形，所以，即，解得，因为，所以，所以，，设，由二次函数的性质可得当时，取最大值为，当时，，又，所以即所以所以，即的面积S的取值范围是【解析】解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；若选择①，利用正弦定理得到，，则，将其转化为关于B的三角函数，结合是锐角三角形，求出B范围，再结合正弦函数的性质求出的面积的取值范围；若选择②，依题意可得，由为锐角三角形利用余弦定理求出b的取值范围，利用余弦定理表示出，即可得到，将转化为关于b的函数，结合二次函数的性质计算可得．本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：因为四边形ABCD为菱形，所以，因为，且O为AC中点，所以，，平面BDEF，平面BDEF，所以平面BDEF；因为四边形BDEF为矩形，连接OE，因为，，且O为BD中点，所以，，故，即，由可知平面BDEF，平面BDEF，、所以，因为，平面AEC，平面AEC，所以平面AEC，又平面AEC，所以，过O作，垂足为G，连接GF，因为，平面OFG，平面OFG，所以平面OFG，因为平面OFG，所以，所以为二面角的平面角，在直角中，根据面积相等有，所以，因为平面AEC，平面AEC，所以，所以为直角三角形，所以，则，所以二面角的余弦值为【解析】根据四边形ABCD为菱形，可得，根据可得，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；连接OE，过O作，连接GF，先由勾股定理可证明，由的结论可得，根据线面垂直的判定定理证明平面AEC，即，根据线面垂直的判定定理可证明平面OFG，即有，根据二面角的定义可得为二面角的平面角，在直角中根据面积相等求出OG，再在直角中即可求出结果．本题考查线面垂直的判定以及二面角的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：，，又数列为以2为公差的等差数列，，即，时，，时，符合上式，数列的通项公式为由可得，所以，数列的前2n项和【解析】首先根据等差数列的定义得到的通项公式，即可得到，再根据计算可得；由可得，利用裂项相消法计算可得．本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由已知可得：，整理化简可得：，即，所以动点M的轨迹方程为：；由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，由，可得，所以，同理可得，又由且，可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为【解析】根据题意列出等式化简即可；设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，联立直线OP的方程与M的方程，可得，同理可得，进而可得，，再利用基本不等式求解即可．本题主要考查了动点轨迹方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：函数的定义域是，易知恒成立，在上单调递减．，定义域是，则，令，则；令，则在上单调递增，在上单调递减．，，存在，使，即当时，；当或时，，，当时，；当或时，和是方程的两个不等实数根．，由韦达定理，，，即，，又由，，又，，所以其中，由知在区间上单调递减，且，即【解析】对函数求导判断出导函数恒小于等于0，即可得在上单调递减；利用导函数判断出函数的单调性，并根据不等式可得出以及n的取值范围，代入整理可得，再根据函数的定义和参考数据即可求得结果．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，综合考查了函数性质，解题的关键在于求出函数最值以后，将不等式恒成立问题转化成研究二次函数的根的分布情况，得出参数m，n的关系式，然后对进行化简求解即可．。

第二次调研考试数学参考答案.doc

所以 63210q q --=，即331(1)()02q q -+=．由于1q ≠，故q =． ……………………………………………………8分（2）由于36334711111()(1)222a a a q a q a q q +=+=+，由（1）可知，312q =-，所以94711110111(1)2428a a a a a q a +=--=-==．故a 4，a 7的等差中项是数列{ a n }的第10项．…………………………………14分16．解：（1）x = a +(t 2+1)b =（－2t 2－1，t 2+3），y =－k a +t1b =（－k －t 2，－2k +t1），………………………………………2分由x ⊥y ，得x·y =0，即(－2 t 2－1)(－k －t 2) +(t 2+3) (－2k +t 1)=0．整理，得 tt k 12+=． ……………………………………………………………5分 ∵ t >0，∴tt k 12+=≥2，当且仅当t =1时，k =2．所以k 的最小值为2 ．……………………………………………………………7分（2）假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2 t 2－1) (－2k +t 1) =(t 2+3) (－k －t2)．整理，得 t k (t 2+1)+1=0．…………………………………………………………12分满足上述等式的正实数k 、t 不存在，所以不存在k 、t ，使x ∥y ． ………………14分17．解法一：（１）由已知AD ⊥AB ，PD ⊥AB ，得AB ⊥平面P AD ．点M 、N 分别是P A 、PB 的中点，∴ MN ∥AB ．∴MN ⊥平面P AD ，MN ⊥PM ，MN ⊥DM ．∴∠PMD 为二面角P —MN —D 的平面角．………………………………………4分 Rt △P AD 中，由已知∠P AD=60° ，故∠MPD=30°．∵MD 是Rt △P AD 斜边P A 上的中线，∴MD=MP ．∴△PMD 为等腰三角形，∴∠PMD=1．故二面角P —MN —D 的大小为1． ……………………………………………8分（２）① 若∠CDN=90º，则CD ⊥平面PDN ，而CD ⊥平面P AD ，故平面PDN 与平面P AD 重合，与题意不符．……………………………………………………10分 ②若∠DCN=90º，由MN ∥CD ，CD ⊥DM ，DM ⊥MN ，得四边形CDMN 是矩形，所以 MN=CD ，即12CD AB =．………………………………………………………………12分 ③ 若∠DNC=90º，连结BD ．设AD=a ，由已知，得AB=2a ，从而BD=3a ．又PD=AD tan60°=3a ，∴PD=BD ．从而DN ⊥PB ，DN ⊥平面PBC ．∴DN ⊥BC ．又PD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PBD ，∴BD ⊥BC ．∵CD ∥AB ，∴∠ABD=∠CDB ，∴Rt △ABD ∽Rt △CDB ． ∴.23,,222====AB BD AB CD AB BD CD AB BD BD CD …………………………………15分（2）另解：令,(0),CD AD a x x AB==>则,.AB CD == ∵PD ⊥平面ABCD ，∴Rt △P AD 中，可得MD=a ．连结DB ，在Rt △PDB 中，可得.2DN a =∵点M 、N 分别是P A 、PB 的中点，∴ MN ＝1.22AB a = 在直角梯形MNDC 中，22222223())(22).2NC MD DC MN a x x a =+-=+-=-+……10分 ① 若∠CDN=90º，则222.NC ND DC =+ ∴2233222,0,22x x x x -+=+=解得这不可能． ②若∠DNC=90º，则222.DC ND NC =+ ∴22333222,.222x x x x =+-+=解得即32CD AB =．③ 若∠DCN=90º，则222.ND NC DC =+∴2233222,22x x x =-++解得x=0(不合题意，舍去)，1.2x = 即12CD AB =．………………………………………………………………………15分解法二：（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AD=a ，则，A （a ，0，0），B （a，0），C （0，ta ，0），P （0，0），M （2a ，0），N （2a）， ∴MN =（0，0）=12AB ，所以MN ∥AB ．由AB ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ∩P A=D ，得AB ⊥平面P AD ，所以∠PMD 就是二面角P －MN －D 的平面角．cos ,||||MD MP MD MP MDMP ⋅<>=⋅=(,0,)()a a -⋅-－12，即二面角P －MN －D 的大小为1 …………………………………………… 8分（2）① 若∠CDN=90º，则CD ⊥平面PDN ，而CD ⊥平面P AD ，故平面PDN 与平面P AD 重合，与题意不符．…………………………………………………………10分 ②若∠DCN=90º，DC CN ⋅=0，即（0，ta ，0）·（2a－ ta）=0．解得，所以 12CD AB =． …………………………………………………12分 ③ 若∠DNC=90º，则DNCN ⋅=0，即（2a）·（2a－ ta）=0．所以1130422++=．解得．所以32CD AB =． ……………………………………………………15分 18．解：方法一由条件知∠CMB=30 º，∠AMB=45º．又AB =BC ，所以△CBM 和△ABM 面积相等，即 12MC ·MB ·sin30 º=12MA ·MB ·sin45º ．从而可得．……………………………………………………………5分在△ACM 中，由余弦定理，得 4=MC 2+MA 2－2MA ·MC ·cos75°．所以MA 2=︒75cos 2234－．………………………………………………………8分设点M 到直线ABC 的最小距离为h ， h 即△ACM 的高，由面积关系，得︒⋅=︒⋅⋅=⋅=∆75sin 2275sin 21212MA MA MC h AC S ACM ． ………11分（第18题）1335775cos 22375sin 422+=︒-︒⋅=h ．答：塔到直路ABC的最短距离为713+千米．……………………………13分方法二以点B 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设(,0),(,),M a A b c 则(,).C b c -- ……………………………………………2分可得221,1,b c c b a c b a ⎧⎪+=⎪⎪=⎨-⎪⎪=⎪+⎩解得2813c +=．故(1AB c k b==-+ 直线AB的方程为(10x y ++=．……………………………………………8分设点M 到直线AB 的距离为|MD |，则22124||169MD +==所以||MD = 答：塔到直路ABC的最短距离为713+千米．………………………………13分 19．解（1）∵函数(1)y f x =+图象向右平移1个单位即得到y =f (x )的图象，并且y=f (x+1)的图象关于点(－1，0)对称，∴y =f (x )的图象关于点（0，0）对称，从而对任意实数x ，有()()f x f x -=-，∴43201234a x a x a x a x a -+-+=43201234a x a x a x a x a -----，即420240a x a x a ++=对任意实数x 恒成立．∴0240a a a ===，313(),f x a x a x =+213()3f x a x a '=+． 1x =-时，)(x f 取极大值23，∴(1)02(1).3f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即131330,2.3a a a a +=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得131,13a a ==-．故31().3f x x x =-………………………………………………………………5分（2）设(,)A A A x y ，(,)B B B x y 是函数f (x )图象上的两点，则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为22121,1A B k x k x =-=-，且22(1)(1)1A B x x -⋅-=-．∵,[A B x x ∈，∴22111,111,A B x x -≤-≤-≤-≤2211,11A B x x ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩；或2211,1 1.A B x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 从而可求得两点为（0，0），，或（0，0），(． ………10分（3）证明：∵211122n n n n x -==-( n ∈N +) ， ∴11n x x ≤<，即112n x ≤<．又)1333n n nn y -==，∴1n y y <≤，即n y <≤．由2()10f x x '=-<，得11x -<<；由()0f x '>，得11x x ><-或．∴()f x 在（－1，1）上递减，在（－∞，－1）和（1，＋∞）上递增．又22((1),(1)333f f f =-==-，max 2,()(1)3x f x f ⎡⎤∈=-=⎣⎦时，min 2()(1)3f x f ==-，而,[n n x y ∈， ∴4|()()|(1)(1)3n n f x f y f f -<--=．……………………………………15分：设M (x 1，y 1)为椭圆C 上的任意一点（x 1y 1≠0），N (x 2，y 2)，动点E 的坐标为（x ，y ），则P (－x 1，y 1)，Q (－x 1，－y 1)，T (x 1，－y 1)．…………………………………1分所以14122121=+y x ，……(1) 14122222=+y x ． ……(2) …………3分 (1)－(2)，得04))((12))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．所以31))(())((21212121-=-+-+x x x x y y y y ，即13MN QN k k ⋅=-． …………………………6分又MN ⊥MQ ，1MN QM k k ⋅=-，11y x k MN -=，所以113NQ y k x =．直线QN 的方程为1111)(3y x x x y y -+=，直线PT 的方程为x x y y 11-=． …10分从而得 1121,21y y x x -==．所以y y x x 2,211-==．由（1），可得)0(1322≠=+xy y x ，此即为所求的轨迹方程．………………13分。

2024年深圳市二调数学试题参考答案

2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12． 5 13． 8π 14．π3；,)+∞（注：第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．（1）证明：1AA ⊥平面ABC ；（2）若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．证明：（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ．因为AB AC =，11A B A C =，所以BC AM ⊥，1BC A M ⊥．由于AM ，1A M ⊂平面1A MA ，且1AMA M M =，因此BC ⊥平面1A MA ．…………………………………………………2分因为1A A ⊂平面1A MA ，所以BC ⊥1A A ．又因为1//A A 1B B ，所以1B B BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，且1B B ⊂平面11BB C C ，所以1BB ⊥平面ABC ．因为1//A A 1B B ，所以1AA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………6分解：（2）（法一）因为90BAC ∠=︒，且2BC =，所以AB AC ==A BC1A 1B 1C M以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,2)A，B，(0,C，1(0,2,2)C ．所以1(2,0,2)A B =-，1(0,2)A C =-，11(0,A C =． ………………………………………8分设平面1A BC 的法向量为111(,,)x y z =m ，则110A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可得111100x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令11z =，则=m ，设平面11A BC 的法向量为222(,,)x y z =n ，则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得22200x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令21z =，则=n ，……12分设平面1A BC 与平面11A BC 夹角为θ，则||cos ||||θ⋅===m n m n ，所以平面1A BC 与平面11A BC ． …………………………………………13分（法二）将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -．连接1C D ，过点C 作1CP C D ⊥，垂足为P ，再过P 作1PQ A B ⊥，垂足为Q ，连接CQ .因为BD ⊥平面11CDD C ，且CP ⊂平面11CDD C ，所以BD CP ⊥．又因为1CP C D ⊥，由于BD ，1C D ⊂平面11A BDC ，且1BD C D D =，所以CP ⊥平面11A BDC ．由于1A B ⊂平面11A BDC ，所以1A B CP ⊥. 因为CQ ，PQ ⊂平面CPQ ，且CQ PQ Q =，所以1A B ⊥平面CPQ ．因为CQ ⊂平面CPQ ，所以1CQ A B ⊥．则CQP ∠为平面1A BC 与平面11A BC 的夹角或补角，………………………………………………11分在1A BC △中，由等面积法可得CQ =．因为11PQ A C ==cos PQ CQP CQ ∠== 因此平面1A BC 与平面11A BC ． ………………………………………………13分16．（15分）已知函数()(1)e x f x ax =+，()f x '是()f x 的导函数，且()()2e x f x f x '-=．（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线为y kx b =+，求k ，b 的值；（2）在（1）的条件下，证明：()f x kx b +．C 1ABB 1C A 1y MC 1ABB 1C A 1PQ DD 1解：（1）因为()(1)e x f x ax =+，所以()(1)e x f x ax a '=++， …………………………………………2分则()()e x f x f x a '-=．因为()()2e x f x f x '-=，所以2a =． …………………………………………4分则曲线()y f x =在点0x =处的切线斜率为(0)3f '=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31y x =+，即得3k =，1b =． ………………………………………………………………………………………6分（2）证：设函数()(21)e 31x g x x x =+--，x ∈R ，则()(23)e 3x g x x '=+-． ………………………………………………………………………………8分设()()g x h x '=，则()e (25)x h x x '=+， ………………………………………………………10分所以，当52x >-时，()0h x '>，()g x '单调递增．又因为(0)0g '=，所以，0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；502x -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减．又当52x -时，()(23)e 30x g x x '=+-<，综上()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ……………………………………13分所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g =，即(21)e 310x x x +--，所以，当x ∈R 时，()31f x x +． ……………………………………………………………15分17．（15分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A =“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B =“该大型企业把零件交给甲工厂生产”．已知0()1P B <<，证明：(|)(|)P A B P A B >．解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m 件，乙工厂试生产的这批零件有n 件，事件M =“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N =“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件C =“混合放在一起的某一零件是合格品”，则()m P M m n =+，()nP N m n=+， ()(|)()(|)(94%98%97%)m nP C P C M P M P C N P N m n m n=+=+=+⨯⨯+， ………………………2分计算得3m n =．所以1()4m P M m n ==+．…………………………………………………………………………………3分 X 的可能取值为0，1，2，3，1(3,)4X B ， …………………………………………………5分13()344E X =⨯=， …………………………………………………6分00331327(0)()()4464P X C ===，11231327(1)()()4464P X C ===，2213139(2)()()4464P X C ===，3303131(3)()()4464P X C ===．所以，X 的分布列为：………………………………………………8分证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以(|)(|)P B A P B A >．………………………………………………………………………………10分即()()()()P AB P AB P A P A >．因为()0P A >，()0P A >，所以()()()()P AB P A P AB P A >．因为()1()P A P A =-，()()()P AB P B P AB =-，所以()1())(()())()P AB P A P B P AB P A ->-(．即得()()()P AB P A P B >， ……………………………………………………………………12分所以()()()()()()()P AB P AB P B P A P B P AB P B ->-．即()(1())()(()())P AB P B P B P A P AB ->-．又因为1()()P B P B -=，()()()P A P AB P AB -=，所以()()()()P AB P B P B P AB >．因为0()1P B <<，0()1P B <<，所以()()()()P AB P AB P B P B >．即得证(|)(|)P A B P A B >． …………………………………………………………………………15分18．（17分）设抛物线2:2C x py =（0p >），直线:2l y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线2y =-于点M ．对任意k ∈R ，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．（1）求C 的方程；（2）若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN △的面积不小于．解：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题可知，当0k =时，显然有0AM BM k k +=；当0k ≠时，直线OM 的方程为1y x k=-，点(2,2)M k -．联立直线AB 与C 的方程得2240x pkx p --=， 224160p k p ∆=+>，所以122x x pk +=，124x x p =-， ………………………………………………………………………3分因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，所以121222222y y k x k x k +++=--．即121244222kx kx k x k x k +++=--，122112(4)(2)(4)(2)2(2)(2)kx x k kx x k k x k x k +-++-=--，化简得2122(2)(4)0k x x k ++-=． …………………………………………………5分将122x x pk +=代入上式得22(2)(24)0k pk k +-=，则2p =，所以曲线C 的方程为24x y =． …………………………………………………………………………8分（2）（法一）设直线:l y kx n '=+，联立C 的方程，得2440x kx n --=．由0∆=，得2n k =-，点2(2,)N k k ， …………………………………………10分设AB 的中点为E ，因为1222x x k +=，21212()42222y y k x x k +++==+，则点2(2,22)E k k +． ……………12分因为222222k k +-=，所以点M ，N ，E 三点共线，且点N 为ME 的中点，所以AMN △面积为ABM △面积的14． ……………………………………………………………14分记AMN △的面积为S ，点(2,2)M k -到直线AB ：20kx y -+=的距离2d =，所以32221||(2)228S AB d k =⨯==+，当0k =时，等号成立．所以命题得证． ………………………………………………………………………………………17分（法二）设直线:l y kx n '=+，联立C 的方程，得2440x kx n --=．由0∆=，得2n k =-，则点2(2,)N k k ．所以直线MN 与x 轴垂直． ……………………………………………………12分记AMN △的面积为S ，所以121||||22x x S MN -=⨯⨯1||4MN =⨯ …………………………………14分21|2|2k =⨯+322(2)22k =+．当0k =时，等号成立．所以命题得证． ……………………………………………………………………………………17分19．（17分）无穷数列1a ，2a ，…，n a ，…的定义如下：如果n 是偶数，就对n 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ；如果n 是奇数，就对31n +尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果n a m =且m a n =，求m ，n 的值；（3）记()n a f n =，*n ∈N ，求一个正整数n ，满足()(())n f n f f n <<<…2024(((())))ff f f n <个……．解：（1）11a =，21a =，35a =，41a =，51a =，63a =，711a =． ……………………………3分（2）由已知，m ，n 均为奇数，不妨设nm ．当1n =时，因为11a =，所以1m =，故1m n ==； ……………………………5分当1n >时，因为314n n m +<，而n 为奇数，n a m =，所以312n m +=． ………………6分又m 为奇数，m a n =，所以存在*k ∈N ，使得312km n +=为奇数．所以3(31)95231122kn n n m ++=+=+=．而95462n n n +<<，所以426k n n n <<，即426k <<，*k ∈N ，无解． …………………………7分所以1m n ==． ……………………………………………………………………………8分（3）显然，n 不能为偶数，否则()2nf n n <，不满足()n f n <．所以，n 为正奇数．又1(1)1f a ==，所以3n． …………………………………………………………………10分设41n k =+或41n k =-，*k ∈N ．当41n k =+时，3(41)1()31414k f n k k n ++==+<+=，不满足()n f n <； ……………12分当41n k =-时，3(41)1()61412k f n k k n -+==->-=，即()n f n <． ……………14分所以，取202521n k =-，*k ∈N 时，202520242024220233(21)13(321)1()321(())32122k k n f n k f f n k -+⨯-+<==⨯-<==⨯-202232023220233(321)1(((())))3212k f f f n k ⨯-+<<==⨯-………20232202420243(321)1(((())))3212k f f f n k ⨯-+<==⨯-……即()(())n f n f f n <<<…2024(((())))ff f f n <个……． ……………………………………………………17分注：只要给出21m n k =-，并满足条件*,m k ∈N ，2025m 中的其一组,m k 的值，就认为是正确的．。

八年级数学第二次学情调研考试试题

GSJY2021-2021学期八年级第二次学情调研考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学试卷〔附答案〕〔本卷满分是120分，考试时间是是100分钟〕 2021.12。

03 一. 选择题：〔本项一共8题，每一小题3分，计24分〕1．以下五家银行行标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目的在如下图的阴影区域内，那么目的的坐标可能是〔〕A ．(-3，300)B ．(9，600)C ．(7，-500)D ．(-2，-800)3．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不一样，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的〔〕A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．加权平均数4．在1010010001.0-, 7, 41, 2π- 38中，无理数的个数是〔〕A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个5．以下说法中：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形一定是平行四边形。

其中正确的说法有〔〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．点〔-4，y 1〕，〔2，y 2〕都在直线y=－ 12x+b 上，那么y 1 y 2大小关系是( )1>y 21 =y 2 C.y 1 <y 27．平行四边形的一条边长为12cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是〔〕A.5 cm 和7 cmB. 6 cm 和10 cmC.8 cm 和16 cmD. 20 cm 和30 cm8．如以下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一程度线上，圆沿该程度线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间是为t ，正方形除去圆局部的面积为S 〔阴影局部〕，那么S 与t 的大致图象为〔〕二、。

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