5正弦定理训练

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2022版高考数学一轮复习第5章第6讲正弦定理余弦定理及解三角形训练含解析

第五章第6讲[A 级基础达标]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若a ＝3b ，A ＝120°，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A2．(2019年某某模拟)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝2b sin A ，则a ＝( )A ．2B ．22 C ．1 D ．2 2【答案】B3．(2019年某某模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π 【答案】C4．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋C2＝b sin A ，则角B ＝( )A ．π6或5π6B ．π3或2π3C ．π6D ．π3【答案】D5．a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，若a 2＋b 2＝2 021c 2，则2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝( )A ．1 010B ．2 019C ．2 020D ．2 021【答案】C 【解析】由a 2＋b 2＝2 021c 2，得a 2＋b 2－c 2＝2 020c 2，即2 020c 2＝2ab cos C ，得cos C ＝1 010c 2ab .所以2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin A sin B cos A cos B sin C cos C ·sin (A ＋B )cos A cos B ＝2sin A sin B cos C sin 2C ＝2ab cos Cc 2＝2ab ·1 010c 2ab c 2＝2 020.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.【答案】30° 【解析】将sin C ＝23sin B 利用正弦定理化简得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，可得a 2＝7b 2，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32.因为A为三角形的内角，所以A ＝30°.7．(2019年某某期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D ＝________.【答案】277【解析】因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB＝32AC ．由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，S 四边形ABCD ＝S △ACD＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D －332cos D ＝9＋274sin(D ＋φ)＋1383，其中tan φ＝－32.当φ＋D ＝π2时，S 四边形ABCD 最大，此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277. 8．(2019年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ．又因为b ＝6，a ＝2c ，B＝π3，所以36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，所以c ＝23，a ＝43，故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3. 9．已知△ABC 中，sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ． (1)求角A 的大小；(2)若AB ＝2AC ，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，AD ＝2＋2，求AB ．解：(1)由sin B ＝sin A cos C ＋22sin C ，得sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋22sin C ，即cos A sin C ＝22sin C ．因为0＜C ＜π，所以cos A ＝22，解得A ＝π4. (2)如图，设AC ＝t ，则AB ＝2t .在AB 上取一点E ，使得BE ＝2EA ，连接DE ，则DE ∥AC ．在△ADE 中，∠AED ＝π－∠BAC ＝3π4，AE ＝13AB ＝2t 3，ED ＝23AC ＝2t 3.由余弦定理得AD 2＝AE 2＋DE 2－2·AE ·DE cos ∠AED ，即2＋2＝4t 29＋4t 29－2×2t 3×2t 3×⎝⎛⎭⎫－22，解得t ＝32.所以AB ＝2t ＝3.10．(2020年某某模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2c ＝a ＋2b cos A ．(1)求角B ；(2)若a ＋c ＝5，b ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由题知2sin C ＝sin A ＋2sin B cos A ，则2sin ()A ＋B ＝sin A ＋2sin B cos A ，则2sin A cos B ＝sin A ．在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，则B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋c 2－ac ＝()a ＋c 2－3ac . 又a ＋c ＝5，所以ac ＝163.所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝433.[B 级能力提升]11．(2020年某某月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝6，A ＝π6，若该三角形有两解，则a 的取值X 围是( )A ．(3,6)B ．(0,3)C ．(32，6)D ．(32，＋∞)【答案】A 【解析】因为在△ABC 中，b ＝6，A ＝π6，所以由正弦定理得sin B ＝b ·sin Aa ＝6×12a ＝3a .因为A ＝π6，所以0＜B ＜5π6.要使三角形有两解，则π6＜B ＜5π6，且B ≠π2，即12＜sinB ＜1，所以12＜3a＜1，解得3＜a ＜6.12．(2020年抚州模拟)平面内不共线的三点O ，A ，B 满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，若|OC →|＝32，则∠AOB ＝( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】C 【解析】延长OC 到D ，使得CD ＝OC ＝32，连接AD ，BD ，则四边形OADB 为平行四边形．所以OD ＝ 3.所以cos ∠OBD ＝12＋22－(3)22×1×2＝12.所以∠OBD ＝π3.所以∠AOB ＝π－∠OBD ＝π－π3＝2π3.13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．【答案】27【解析】由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角．由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.14．(一题两空)(2020年梅河口模拟)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知2a －3b cos B ＝3c cos C ，则C ＝________，a 2＋c 2－b 2ac的取值X 围是________．【答案】π6 (－3，0)∪(0,2) 【解析】因为2a －3b cos B ＝3c cos C ，所以(2a －3b )cos C ＝3c cos B (cos B cos C ≠0)，所以(2sin A －3sin B )cos C ＝3sin C cos B ，即2sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ．又sin A ＞0，所以cos C ＝32，则C ＝π6.因为cos B ≠0，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，5π6.而a 2＋c 2－b 2ac ＝2cos B ，故a 2＋c 2－b 2ac∈(－3，0)∪(0,2)．15．(2020年池州月考)设函数f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1． (1)求f (x )的单调增区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)f (x )＝cos 2x －2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1 ＝cos 2x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝cos 2x －12cos 2x ＋32sin 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫2×A 2＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1．因为A 是锐角，所以A ＋π6＝π2，得A ＝π3.因为a ＝1，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . 所以bc ≤1，当且仅当b ＝c 时取等号，则S △ABC ＝12bc sin A ≤12×1×32＝34，即△ABC 面积的最大值为34. [C 级创新突破]16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且ac sin A ＋4sin C ＝4c sin A ．圆O 为△ABC 的外接圆(O 在△ABC 内部)，△OBC 的面积为33，b ＋c ＝4，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】由正弦定理可知sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ，则ac sin A ＋4sin C ＝4c sinA ⇔a 2c ＋4c ＝4ac .因为c ≠0，所以a 2c ＋4c ＝4ac ⇔a 2＋4＝4a ⇔(a －2)2＝0，得a ＝BC 的中点为D ，则OD ⊥BC ，所以S △OBC ＝12BC ·O D ．又S △OBC ＝33，BC ＝2，所以OD ＝33.在Rt △BOD中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝12BC OD ＝133＝ 3.又0°＜∠BOD ＜180°，所以∠BOD ＝60°，所以∠BOC ＝2∠BOD ＝120°.因为O 在△ABC 内部，所以∠A ＝12∠BOC ＝60°.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，得4＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc .又b ＋c ＝4，所以bc ＝4，所以b ＝c ＝2，所以△ABC 为等边三角形．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆的半径是1，且满足2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sinB ．(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，所以sin A ＝a 2，sin B ＝b 2，sin C ＝c2.又2(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，所以2⎝⎛⎭⎫a 24－c 24＝(2a －b )·b 2，即a 2＋b 2－c 2＝2ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)因为C ＝π4，所以A ＋B ＝3π4，即B ＝3π4－A ．因为a sin A ＝bsin B ＝2，即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2sin A sin B sin π4＝2sin A sin B ＝2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A＝sin A cos A ＋sin 2A ＝12sin 2A ＋12 (1－cos 2A )＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2A －22cos 2A ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12. 当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，△ABC 的面积取得最大值22＋12.。

高中数学正弦定理教案5篇

高中数学正弦定理教案5篇高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。

在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。

即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。

学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。

已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。

正弦定理训练测试题(含答案)

正弦定理一、单选题（共15题；共30分）1.（2020高一下·大庆期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则等于（）A. B. C. D.2.（2020高一下·六安期末）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为（）A. B. π C. 2π D. 4π4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）A. B. C. D.5.（2020高一下·抚顺期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°6.（2020高一下·南昌期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.7.（2020高一下·牡丹江期末）已知的内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.8.（2020高一下·哈尔滨期末）在中，，那么（）A. B. C. 或 D.9.（2020高一下·台州期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. 2 D.10.（2020高一下·金华月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.11.（2020·南昌模拟）已知中角所对的边分别为，若，则角A等于( )A. B. C. D.12.（2020·漯河模拟）设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13.（2020高一下·太原期中）在锐角三角形中，已知，则的范围是( )A. B. C. D.14.（2020高一下·怀仁期中）在△ABC中，，则三角形解的情况是（）A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解15.（2020高一下·沈阳期中）的内角的对边分别为,且, ，，则角C=( )A. B. C. 或 D. 或二、填空题（共4题；共5分）16.（2020高二下·嘉兴期末）已知中，，是的中点，且，则________.17.（2020高一下·哈尔滨期末）已知中，，则角A等于________.18.（2020高一下·温州期末）在中，，，点M在上，且，则________，________．19.（2020高一下·六安期末）在中，角所对的边分别是，若，则角C的大小为________.三、解答题（共5题；共35分）20.（2020高一下·深圳月考）在中，已知，，，求的值．21.（2019高三上·杭州期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，且.（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若，求的面积.22.（2019高二上·榆林月考）在中，，，分别是角，，的对边，且，，．求：（1）的值．（2）的面积．23.（2019·贵州模拟）在中，内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的面积为，求的周长.24.（2018·天津）在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得,所以,因为在中, ,所以,因为,所以,故答案为：D【分析】利用正弦定理化边为角可得,则,进而求解.2.【答案】B【解析】【解答】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三角形为直角三角形，故答案为：B.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得A，判断出三角形的形状.3.【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故答案为：B.【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.4.【答案】C【解析】【解答】为使此三角形有两个，即bsinA＜a＜b，∴2 × ＜a＜2 ，解得：3＜a＜2 ，故答案为：C．【分析】为使此三角形有两个，只需满足bsinA＜a＜b，即可求a范围．5.【答案】D【解析】【解答】由c＝2，b＝2 ，C＝30°，由正弦定理可得：，，由大边对大角可得：，解得60°或120°．故答案为：D.【分析】由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值．6.【答案】C【解析】【解答】∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，B为锐角，∴．故答案为：C【分析】由已知利用正弦定理可得，结合，可得B为锐角，可求．7.【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】利用正弦定理可求的值.8.【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得，因为，∴，所以，从而．故答案为：D．【分析】由正弦定理求C，然后再得A角．9.【答案】B【解析】【解答】根据正弦定理可得，即，解得，故答案为：B.【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.10.【答案】D【解析】【解答】解：在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，利用正弦定理：，整理得：．故答案为：D．【分析】直接利用正弦定理的应用和三角函数值的应用求出结果．11.【答案】B【解析】【解答】由及正弦定理可得，又，所以，解得或（舍），又，所以.故答案为：B【分析】由正弦定理可得，结合解方程组即可得到答案.12.【答案】A【解析】【解答】且为锐角三角形，，，又，，，，，由正弦定理得：，.故答案为：A.【分析】根据锐角三角形的特点和可确定的取值范围，进而求得的取值范围；利用正弦定理可得到，进而求得结果.13.【答案】C【解析】【解答】，又，，锐角三角形，∴，故，故.故答案为：C.【分析】根据正弦定理得到，计算，得到答案.14.【答案】D【解析】【解答】过点A作AD⊥BD．点D在∠B的一条边上，∵h＝csinB＝6 3 3＝b＝AC，因此此三角形无解．故答案为：D．【分析】由csinB＞b，即可得出解的情况．15.【答案】B【解析】【解答】由正弦定理，，所以，又，则，所以，故答案为：B。

正弦定理余弦定理基础训练

正弦定理、余弦定理练习1、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆。

2、在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆。

3、在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆。

4、在ABC ∆中，5,15,135===a C B , 则此三角形的最大边长为_____.____,6,3,605=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，、6、已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .7、______,4,13,60====∠∆︒b c a A ABC 则中，若在.8、______,sin 2=∠=∆C B c b ABC 则中，若在9、已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则 a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶310、已知ABC ∆ 中，sin A:sin B:sin C =1:2:3，则 a:b:c=11、在A B C ∆中，则3,60==a A ，sin sin sin A B C a b c ++++的值为________. 12、在A B C ∆中，34tan =C ,c=8, 则A B C ∆的外接圆半径R= 13、在A B C ∆中，21sin =B ，23sin =C ，则a:b:c 为（） A. 2:3:1 B. 3:1:1 C. 3:2:1 D. 3:1:2或3:1:1 14、已知060,1,3===A c b ，求a ； 15、已知6,5,4===c b a ，求cosA.16、在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小.17、a 7b 43c 13===已知，，，则最小内角的大小为_________.18、在ABC ∆中，已知1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦值是______19、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____20、证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222a b c +>；当C ∠为钝角时，222a b c +< 21、已知锐角三角形的边长分别是1、3、a ，则a 的取值范围是_______22、△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若ABC ∆ 的面积 22)(c b a S --=，则 2tan A等于（） A.21B.41C.81D.123、在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b 。

必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新

正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.3．余弦定理：222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－.余弦定理可以变形为：cos A ＝222b c a2bc+-，cos B ＝222a c b 2ac +-，cos C ＝222a b c 2ab+-.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ 1 .2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.3．在△AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.222sin sin sin a b cR A B C===题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解: 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则A ＝6π解析 ∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12.题型二利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝b2a c-+.（1）求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2A2cos+cos A=02. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2A 2cos+cos A=02，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12. ∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bcsin A ＝ 3.题型三正、余弦定理的综合应用例3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边22sin )()sin ,A C a b B -=-已知△ABC 外接圆半径为（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.解: （1）∵△ABC 22sin )()sin ,A C a b B -=-且22))(,A C a b B -=-即∴由正弦定理得：22(),a c a b b -=-即222,a b c ab +-=由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-=2ab ab =12=，(0,)C π∈Q ，.3C π∴=（2）max 2S =+探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．变式训练3在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．思想方法感悟提高方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．过关精练一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 2．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°3．在ABC ∆中，ABC S bc ABC ∆∆,35,20==的外接圆半径为3，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．234．在ABC ∆中，已知,45,1,2ο===B c b 则a 等于（）A ．226- B ．226+ C1 D ．23-5．在ABC ∆中2,3,3,AB AC BA AC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则A ∠等于（）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 6．在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则这个三角形的最大角为（）A ．ο30 B ．ο90 C ．ο120 D ．ο60 7．在△ABC 中,已知三边之比4:3:2::=cb a ，则=-CB A 2sin sin 2sin （）A ．1B ．2C ．2-D ．21 8．ABC ∆中，边c b a ,,的对角分别为A 、B 、C ，且A=2B ，32a b =，cos B =（）A ．21B ．31C ．32D ．43二、填空题9．在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是三角形10．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________. 11．在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+。

正弦定理练习题(经典)

正弦定理训练题之阳早格格创做1．正在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝2，则b等于()A.6B. 2C. 3 D．26 2．正在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 33．正在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对于的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝()A．1 B.12C．2 D.144．正在△ABC中，角A、B、C的对于边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为()A．45°或者135° B．135° C．45° D．以上问案皆分歧过失5．△ABC的内角A、B、C的对于边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.26．正在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．没有决定7．正在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．曲角三角形D．等腰三角形或者曲角三角形8．正在△ABC中，角A、B、C所对于的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.9．正在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.10．正在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a ＋c ＝________.11．正在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．12 . 推断谦脚下列条件的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解正弦定理1．正在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．26剖析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B，供得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．正在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323剖析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．正在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对于的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14剖析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 4．正在△ABC 中，角A 、B 、C 的对于边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或者135°B ．135°C ．45°D ．以上问案皆分歧过失a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对于边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6B ．2 C.3D.26sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为钝角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.6．正在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．没有决定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．正在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．曲角三角形 D ．等腰三角形或者曲角三角形剖析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或者2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或者A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的里积为( )A.32B.34C.32或者3D.34或者32剖析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，供出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有二解，即∠C ＝60°或者120°，∴∠A ＝90°或者30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可供里积． 9．正在△ABC 中，角A 、B 、C 所对于的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 剖析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 问案：π610．正在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.剖析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 问案：3211．正在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.剖析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.问案：8312．正在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．剖析：∵B b C c sin sin =，有B sin 3430sin 2=︒，得sinB=13＞∴此三角形无解．问案：0一，二，二，无。

《正弦定理》限时训练题

《正弦定理》限时训练题时间：45分钟分值：100分一、选择题1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( A )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定2．在△ABC 中，A ＝45°，AB ＝2，则AC 边上的高等于( B )A ．2 B.2 C ．2 2 D ．不确定3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( D )A ．－223 B.223 C ．－63 D.634．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( B ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有(B)A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于(C)A.36B.34C.33D.328.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( B ) A.833 B.2393 C.2633D ．2 3 二、填空题9．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝___25_____.10．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝___1∶1∶3_____.11．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝___1_____. 12.在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝____102______. 13．在△ABC 中，若AB ＝3，B ＝75°，C ＝60°，则BC ＝_6_______.14．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＋c ＝2＋1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，则c ＝____1____.三、解答题15．△ABC中，若acos A＝bcos B＝ccos C，判断△ABC的形状．解：由a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C及acos A＝bcos B＝ccos C，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C.又A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC是等边三角形．16．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A＝3 5，sin B＝10 10.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a、b、c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝1010，∴cos B＝1－sin2B＝31010.又cos2A＝1－2sin2A＝35，∴sin A＝55，cos A＝1－sin2A＝255.∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4.(2)由(1)知C＝3π4，∴sin C＝22.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝ 5.。

正、余弦定理专题训练题

所以
因为，
由正弦定理，得
（2）由得．
由余弦定理，得
解得或（舍负）．
所以
考点：正弦定理和余弦定理．
14．（I），b=1 (2)
【解析】（I）解：在中，由，可得 .又由及a=2，，可得 .
由，得 .因为，故解得b=1.
所以，b=1.
（II）解：由，，得 .
所以，
视频
15．⑴ (2)
7．D
【解析】
【分析】
先由余弦定理求出a=7,再利用正弦定理求出此三角形外接圆的半径 .
【详解】
由余弦定理可得，所以，即，故选D．
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角ห้องสมุดไป่ตู้，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．C
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得，进而可得解.
【详解】
在中，，， ,
19．在△ABC中，A＝，a＝，b＝4，则满足条件的△ABC有_____个.
20．在△ABC中，的对边分别为，若，，，
则 ______．
21．一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于______km.
17．（1） ;(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，根据三角形为锐角三角形求得的大小.（2）直接利用三角形的面积公式，列式计算出三角形的面积.
【详解】
（1）由正弦定理得，故，由于三角形为锐角三角形，故 .（2）由三角形的面积公式得 .

正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

正弦定理、余弦定理综合训练题1．[2016·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．3[解析] D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010 C.55 D.31010[解析] D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A，解得sin A ＝3×225＝31010. 3．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5[解析] D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ·15，即b 2－125b 4．[2016·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．[解析] 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113. －13＝0，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 5．[2015·全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C.(1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2，所以△ABC 的面积为1.6．[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2D C.(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 8.[2016·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A＝1，即A ＝π4. 9.[2015·广东卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22 C ．2 D. 3 [解析] C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.10.[2016·上海卷] 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 11.[2016·北京卷] 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________．[解析] 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得b c 2＋b c－2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．12.[2016·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.。

正弦定理基础训练题(有详解)

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………正弦定理基础训练题（有详解)一、单选题1．在△ABC 中，4a =，52b =，5cos(B C)30++=，则角B 的大小为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．6π或56π 2．在△ABC 中，若2sin b a B =，则A =( )A ．π6或5π6 B ．π3或2π3C ．π4或π3D ．π4或3π4 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22a =，4b =，45B =，则A =（） A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1204．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定5．ABC ∆中，若sin cos cos a b cA B C==，则ABC ∆中最长的边是（） A ．aB ．bC ．cD ．b 或c6．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知 26a b =＝，，A 4π=，则B =（） A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π7．在中，，，，则的面积是（）A ．B ．C ．或D ．或8．已知ABC 中，满足3,2,30a b B ==∠=︒，则这样的三角形有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9．在△ABC 中,6A π=,4B π=,a=1,则b=（）A ．1B ．2C ．2D ．310．在△ABC 中，所对的边为a ，b ，c ，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．11．在中，所对的边分别为，若，，，则等于（） A ．B ．C ．D ． 12．在中，若，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若4cos 5A =，5cos 13C =，13a =，则b =____．14．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 成等差数列，且 2AB =， 3AC =，则cos C 的值是__________. 15．在中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，，则的面积_____．16．在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若a b >，且22sin a b A =，则B =_____．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ：B ：C =1：2：3，则a ：b ：c =______．18．在ABC ∆中,43,22,33C c b π===，那么A =__________. 19．在ABC ∆中, 若13,cos 2a A ==-,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____.20．在中，已知，那么的形状______三角形．参考答案1．A 【解析】【分析】首先根据三角形内角和为π，即可算出角A 的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B 【详解】在△ABC 中有A B C π++=,所以B C A +=π-,所以()35cos(B C)305cos 30cos 5A A π++=⇒-+=⇒=,又因为0A π<<,所以02A π<<，所以4sin 5A ==,因为4a =，52b =，所以由正弦定理得sin 1sin 2b A B a ==，因为a b A B >⇒>,所以6B π=。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

正弦定理、余弦定理综合训练题1. ［2016全国卷I ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2，则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1［解析］D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去)，故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ，贝U sin A =( )D.S 10D ，设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2，由余弦定理得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. ［2013新课标全国卷I ］已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6，贝U b =( A . 101［解析］D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A =. 51 12在A ABC 中，根据余弦定理，得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ ［2016全国卷n ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1，贝U b= .4 53 12［解析］因为cos A = 5, cos C = 13，且A , C 为三角形的内角，所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ，所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. ［2015 全国卷 I ］已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边，sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°，且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ，所以可得b = 2c , a = 2c.2. ［2016全国卷川］在厶ABC 中, ［解析］D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°，所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ； ⑵若/ BAC = 60°，求/ B. 解：(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ，所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3，即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2，故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. ［2016 山东卷］△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1，即 A = 4. 9.［2015广东卷］设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3［解析］C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ，所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈，即卩 b 2— 6b + 8= 0，解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. ［2016上海卷］已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1［解析］利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2，所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|，所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ ［2016 北京卷］在厶 ABC 中，/ A =〒，a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b［解析］由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得，3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3，整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?［解析］C解得b= 1或c=—2（舍去）.12. [2016浙江卷]在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明：A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解：⑴证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n )，故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ，所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。

人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)

1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

高中数学正弦定理和余弦定理训练题(一)

正弦定理和余弦定理训练题（一）A 级——保大分专练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝a c ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cosB ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sinB cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6. 6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cosB )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4.答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a·sin A ＝27×32＝217. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B，所以a ＝2b cosB .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ，即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34. 又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级——创高分自选1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A 及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin Aa＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin Cc cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.。

中职教育数学《正、余弦定理练习》

c2= a_2_+_b_2_-_2_a_b_c_o_s__C_
定理
正弦定理
余弦定理
解决的问题
①已知两角和任一边，求其他边和角 ②已知两边和其中一边的对角，求其他边和角
①已知三边,求各角 ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角
【解析】(1)正确.∵A＞B,∴a＞b,∴ a ＞1,
b
由正弦定理可得 a sin A＞1.
【加固训练】在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且
cos B b . cos C 2a c
(1)求角B的大小.
(2)若 b 13，a+c=4，求a,c的值.
【解析】(1)由余弦定理知：
cos B a2 c2 b2 , 2ac
cos C a2 b2 c2 . 2ab
2
②由①得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得因为0°<B<90°,0°<C<90°, sin B sin故CB=12C.=30°, 所以△ABC是等腰的钝角三角形.
【互动探究】变式：“sin B=cos Asin C”，则△ABC的形状如何？
将上式代入 cos B 得：b
cos C 2a c
a2 c2 b2 2ac
2ab a2 b2 c2
b , 2a c
整理得：a2+c2-b2=-ac.
∴ cos B a2 c2 b2 ac 1 .
2ac
2ac 2
∵B为三角形的内角,
∴ B 2 .
3
(2)将 b 13，a c 代4,入B b22=a2+c2-2accos B,

正弦定理和余弦定理(强化训练)

正弦定理和余弦定理〔强化训练〕1、△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a,b ，且∠A=60°，6a =，4b =，那么满足条件的△ABC 〔〕A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定答案：C2、在△ABC 中，假设b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC ，那么此三角形为〔〕A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案：A解析：此题是余弦定理的应用①假设sin 2A=sin2B ，那么△ABC 是等腰三角形；②假设sinA=cosB ，那么△ABC 是直角三角形；③假设cosAcosBcosC<0，那么△ABC 是钝角三角形；④假设cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，那么△ABC 是等边三角形. 〕A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③答案：B解析：正弦定理、余弦定理的应用4、在△ABC 中, 假设A = 60︒, B = 75︒, c = 6 , 那么a = 答案：36解析：正弦定理的应用5、在△ABC 中，BC=3，AB=2，且sin 2(61)sin 5C B =+，A= 答案：120° 6、在∆ABC 中，20a =cm ，28b =cm ，40A =︒，解三角形〔角度精确到01，边长精确到1cm 〕。

解析：根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B⑴ 当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ， 00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A⑵ 当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A。

正弦定理和余弦定理习题课

在ABC中，已知 a b c , cos A cos B cos C
判断这个三角形形状。
考点三平面图形中的计算问题
B组第1题：已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6,CD=AD=4,求四边形ABCD的面积。
B组第2题:已知ABC中，AB=4 3, AC 2 3, AD为BC边上的中线，且BAD 300,求BC的边长。
变式：．已知△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，则此
三角形的最大内角为
(C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，
∴a∶b∶c＝1∶1∶ 3，易知 C 为最大内角，
设 a＝m，则 b＝m，c＝ 3m.
∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝m2＋2mm2－2 3m2＝－12， ∴C＝120°.
[解题技法]
平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[熟记常用结论]
1．在斜△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B.
定理

余弦定理、正弦定理同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理同步训练一、选择题1.在△ABC中，已知a=5，b=2，C=60∘，则边c等于( )A．√17B．√19C．2√6D．√302.在△ABC中，b=5，∠B=π4，tanA=2，则a的值是( )A．10√2B．2√10C．√10D．√23.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30∘方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75∘方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )A．2km B．3√2km C．3km D．2√2km4.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则a+2b+csinA+2sinB+sinC=( )A．2√393B．26√33C．8√33D．2√35.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边．若cb<cosA，则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2ab =2sinB−sinAsinA，则角C等于( )A．π6B．π3C．π4D．2π37.△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p⃗=(1,−√3)，q⃗=(cosB,sinB)，p⃗∥q⃗且bcosC+ccosB=2asinA，则C=( )A．30∘B．60∘C．120∘D．150∘8.在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，则当△ABC的面积取得最大值时，AC= ( )A．2√5B．2√53C．4√5D．4√53二、多选题9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2√2，b=√2，则角B可以是( )A．15∘B．30∘C．45∘D．75∘10.在200m高的山顶上，测得山对面一塔顶与塔底的俯角分别为30∘，60∘，山脚与塔底在同一水平面，则下列说法中正确的有( )A．山顶和塔顶之间的水平距离为200√3mB．塔高4003mC．山顶和塔顶之间的水平距离为200√33mD．塔高400√33m11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A．若a2+b2<c2，则C>π2B．若ab>c2，则C≥π3C．若a3+b3=c3，则C<π2D．若a+b=2c，则C>π212.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有( )A．若a=8，c=10，B=60∘，则符合条件的△ABC有两个B．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C．若2b=a+c，且2cos2B−8cosB+5=0，则△ABC为等边三角形D．若sin2A+sin2B+cos2C<1，则△ABC为钝角三角形三、填空题13.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60∘，则sinC=．14.在△ABC中，a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积为．15.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC中，若AF=1，FD=2，则AB=．16.在锐角三角形ABC中，若√3sinB+cosB=2，且满足关系式cosBb +cosCc=sinAsinB3sinC，则a+c的取值范围是．四、解答题17.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+b=5，c=3，是否存在以a，b，c为边的三角形？如果存在，求出△ABC的面积；若不存在，求出△ABC 的面积；若不存在，说明理由．从① cosC=13；② cosC=−13；③ sinC=2√23这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+√3bc．(1) 求角A；(2) 求2sinBcosC−sin(B−C)的值．，a=2．19.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且A=π6，求b的值；(1) 若B=π4(2) 若△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．．20.如图，△ABC是某小区内的一块绿地，其中AB=30米，BC=70米，∠A=2π3(1) 试用反三角函数值表示∠C；(2) 现要在绿地内，修建一条通道BD，D在AC上，且∠DBC=π，求BD的长（精6确到0.01米）21.已知△ABC的外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R(sin2A−sin2B)=(a−c)sinC．(1) 求角B；(2) 若b=12，c=8，求sinA的值．22.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若√3bsinC+√3csinB=4asinBsinC．(1) 求角A的大小；(2) 若2bsinB+2csinC=bc+√3a，求△ABC面积的最大值．。

2024-2025年人教版必修第四册9.1.1正弦定理(带答案)

9．1.1 正弦定理1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59C ．53D ．1 2．已知△ABC 中，a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝60°，那么A 等于( )A ．45°B ．60°C ．120°或60°D ．135°或45°3．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，AC ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3 ，A ＝30°，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝12，A ＝120°，且b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．3D ．436．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求角A ；(2)求AC 边上的高．7．(多选)在△ABC 中，下列式子可能成立的是A ．a >b sin A B ．a <b sin AC ．a ＝b sin AD ．b <a sin B8．在△ABC 中，若AB → ·AC → ＝2且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．233 9．(多选)下列关于正弦定理或其变形的叙述正确的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C10．(逻辑推理)在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6 ，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论成立的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A >B ，则cos A <cos BC ．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则a ＝b ＝c D ．若a cos A ＝b cos B ，则A ＝B13．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试判断△ABC 的形状．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．15.已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32 c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3 ，求c 的值．9．1.1 正弦定理必备知识基础练1．答案：B解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×133 ＝59，故选B.2．答案：A解析：在△ABC 中，∵a ＝2 ，b ＝3 ，∴a <b ，∴A <B .又∵B ＝60°，∴A <60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b＝2×323 ＝22 ，则A ＝45°或135°(舍)，故选A. 3．答案：D解析：S ＝12 BC ·AC ·sin C ＝12 ×4×3×sin C ＝3，∴sin C ＝12，∵三角形为锐角三角形，∴C ＝30°.4．答案：C 解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.∵a <b ，∴B >A ＝30°.∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝a 2＋b 2 ＝1＋3 ＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.故选C.5．答案：A解析：∵△ABC 中，sin B ＝12，A ＝120°，∴B ＝30°，∴C ＝30°，又∵b ＝2，∴c ＝b ＝2.∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×2×32＝3 . 6．解析：(1)∵B 是△ABC 的内角，且cos B ＝－17， ∴B 为钝角，sin B ＝437. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得7sin A ＝8437 ，即sin A ＝32 ，∴A ＝π3.(2)由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32 ×⎝⎛⎭⎫－17 ＋12 ×437 ＝3314，则AC 边上的高＝a ·sin C ＝7×3314 ＝332. 关键能力综合练7．答案：AC解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A，∵sin B ≤1，sin A ≤1，∴a ≥b sin A ，b ≥a sin B ，故选AC.8．答案：C解析：由AB → ·AC → ＝2得AB ·AC ·cos 30°＝2，即AB ·AC ＝43，所以由三角形面积公式得S ＝12 AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12 ×43×12 ＝33 . 9．答案：ACD解析：由正弦定理易知A 、C 、D 正确，对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误，故选ACD. 10．答案：B解析：由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B＝k ，由a ＝b sin A 得k sin A ＝k sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2，故选B. 11．答案：C 解析：由正弦定理得6sin 60° ＝4sin B.∴sin B ＝2 ＞1，∴角B 不存在． 12．答案：ABC解析：对于A ：因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B (R 是△ABC 外接圆的半径)，所以sin A >sin B ，故正确；对于B ：因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，A ，B ∈(0，π)且A >B ，所以cos A <cos B ，故正确；对于C ：因为a cos A ＝b cos B ＝c cos C，由正弦定理化边为角可得tan A ＝tan B ＝tan C ，又因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以A ＝B ＝C ，所以a ＝b ＝c ，故正确；对于D ：利用正弦定理化边为角可得sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故错误．故选ABC. 13．解析：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 14．解析：(1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2A ＝33，又B ＝A ＋π2 ，所以sin B ＝sin (A ＋π2 )＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝32 . (2)由B ＝A ＋π2，得cos B ＝cos (A ＋π2 )＝－sin A ＝－33，由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 ×(－33)＋63 ×63 ＝13. 所以△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×3×32 ×13 ＝322 . 核心素养升级练 15．解析：(1)由a cos C ＋32 c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32 . 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32 ，所以B ＝π3 或2π3. ①当B ＝π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π2 ，所以c ＝2； ②当B ＝2π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c＝1或2.。