2010年暑假班 第六讲 数 词
暑假衔接班讲义 高中数学
（ ）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（ ）
第二讲 常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲 集合的概念与运算 5
例 8 设 集 合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}， 若 A ∩ B ≠ Ø， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A．－ 1<a ≤ 2
高一升高二数学暑假衔接班讲义第六讲(学)
第六讲 圆的方程（一）热点透析考查目标 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．达成目标 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．（二）知识回顾1． 圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫圆． 2． 确定一个圆最基本的要素是 和 3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中( )为圆心， 为半径． 4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： . [难点正本 疑点清源]1． 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2． 圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝⎛⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4. 所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝05． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0二、高频考点专题链接题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)＋(y－1)＝1反思总结利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或a<－1 D．a＝±13．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1 C．3 D．－34．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是______________．6．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．9．(12分)一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) () A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8 B．－4 C．6 D．无法确定3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．5．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________．6．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．三、解答题7．(13分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．。
暑假提高班讲义……第六讲 平面向量(二)(解析版)
第六讲 平面向量（二）1知识梳理————————————1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 21y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．向量在平面几何中的应用(1)(2)平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 7．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．8．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.3．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.4．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × ) (3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × )(4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )2考点自测————————————1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12 答案 D解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12. 2．(2017·南宁质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．答案 π6解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝1×3＋1×312＋(3)2·12＋(3)2＝234＝32， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.5．(2016·厦门模拟)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 答案 10解析 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x －2＝0，∴x ＝2，∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝5＋5＝10.6．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.8．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4. 9．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α，∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]，∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]，∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉＝6×100×cos 60°＝300(J).3典型例题————————————例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为_______；DE →·DC →的最大值为_____．答案 (1)B (2)1 1解析 (1)如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1. 方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° (2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 (1)A (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a|＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC→＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)2 (2)7＋1解析 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是7＋1.例3 (1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝_______.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________．答案 (1)223 (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3， 因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6 答案 (1)9 (2)C解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2， ∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6.例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(1)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45 D.34(2)已知向量a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________． 答案 (1)A (2)1解析 (1)由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A. (2)由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|. 由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.例5 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a .因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25.故|P A →＋3PB →|的最小值为5.例6 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.例7 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________．答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.例8 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74 答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0，∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.例8 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．2 5C ．2D ．6 答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N－1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.第五讲 平面向量（二）1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．12 答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3．(2016·山西四校二联)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．5．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.6．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α等于( )A ．3B ．－3 C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0，∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.7．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3.8．如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 9．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.10．若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．4 B.15 C.7 D ．1 答案 C解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得AB →＋AC →＝2AD →.又由条件得，AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →，所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影．因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3，所以|CD →|＝ |OC →|2－|OD →|2＝7.11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________． 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝2×2×1×cos 180°＝－4.12．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是________．答案 [π6，π4]解析 由三角形面积公式及已知条件知32≤S △ABC ＝12AB ·BC sin B ≤32，所以3≤AB ·BC sin B ≤3，①由AB →·BC →＝3，知AB ·BC cos(π－B )＝3，所以AB ·BC ＝－3cos B，代入①得，3≤－3sin B cos B ≤3，所以－1≤tan B ≤－33，所以3π4≤B ≤5π6，而AB →与BC →的夹角为π－B ，其取值范围为[π6，π4]．13．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.14．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案 3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 15．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.16．(2015·福建改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________． 答案 13解析 建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)， ∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13. 17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝23π.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝23π，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sinB )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1， 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.19．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．20．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A 2，cos 2A2)，n ＝(cosA2，－2)，m ⊥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A 2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A ＝2×6332＝423.*21．(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8)，∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32. *22.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。
二年级暑假拓展练习-有序的思考问题答案
二年级暑假班拓展练习题答案版第六讲 有序地思考问题1、灰太狼要去羊村抓羊，它发现从狼堡到青青草原有两条路可以走，从青青草原到羊村有三条路可以走，那么它从狼堡经过青青草原到羊村一共有几条路可以走？—————— ———————————— ————————————【详解】一共有3×2=6（条）2、美羊羊要去参加学校的演出，她有3件不同的上衣和4件不同的裤子，请帮喜羊羊算算它一共有多少种不同的搭配方法？【详解】一共有3×4=12（种）3、喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、在学校拍合影，它们一共能拍出多少张不同的照片？（必须三只羊合照）【详解】1、当喜羊羊在排头时，有喜羊羊、美羊羊、懒羊羊和喜羊羊、懒羊羊、美羊羊两种；2、当美羊羊在排头时，有美羊羊、喜羊羊、懒羊羊和美羊羊、懒羊羊、喜羊羊两种；3、当懒羊羊在排头时，有懒羊羊、美羊羊、喜羊羊和懒羊羊、喜羊羊和美羊羊两种。
一共有3×2=6（种）4、小灰灰身上有1张5角、4张2角和3张1角。
它要买一根价格是8角的棒，一共有多少种不同的付钱方法？【详解】采用列表法。
5、选用4、7、11、13四个数中的两个数，分别组成多少个不同的加法算式？（4+7和7+4算同一个）【详解】一共有6个。
4+7=11、4+11=15、4+13=17、7+11=18、7+13=2011+13=256、选用5、9、17、21四个数中的两个数，分别组成多少个不同的减法算式？【详解】能组成 6 个不同的减法算式。
如下:21-17=4、21-9=12、21-5=1617-9=8、17-5=129-5=47、红太郎要从A 点到E 点去找小灰灰回家吃饭，如果允许向右和向下走，从A 点到E 点总共有多少条路线可以选择？请你用不同颜色的笔画一画。
AE 【详解】一共有10条路线可以选择。
第6讲平均数问题4
第6讲平均数问题4第六讲平均数问题4（⽤平均数求个别数）导航名师名师导航解这类问题要⽤到⽅程的⽅法和原理，特别是“消去”的⽅法，“代⼊”的⽅法，“⼏个等式两边相加（或相减）仍得等式”的原理及和差倍问题的⽅法。
典例精讲⼀、运⽤平均数的概念解题【例1】七位评委给⼀位歌唱演员打分，平均分为9.6分。
去掉⼀个最⾼分，平均分为9.55分；去掉⼀个最低分，平均分为9.7分。
如果最⾼分和最低分都去掉，那么这位歌唱演员的平均分是多少？举⼀反三练习1五位裁判给⼀名歌⼿打分，去掉⼀个最⾼分，平均分为9.46分；去掉⼀个最低分，平均分为9.58分。
这位歌⼿的最⾼分与最低分相差多少？典例精讲⼆、巧⽤“消去法”和“和差公式法”【例2】A，B，C，D四个数的平均数是84。
已知A，B的平均数是72，B，C 的平均数是76，B，D的平均数是80，求D是多少？举⼀反三练习2已知A，B，C，D四个数的平均数是38，A，B的平均数是42，B，C，D三个数的平均数是36。
求B是多少？三、综合运⽤发散思考【例3】如下图，在七个圆圈内各填⼀个数，要求每条直线上的三个数，中间的举⼀反三练习3在右图中的七个圆圈内各填⼀个数，要求每⼀条直线上的三个数，中间的数是两边两个数的平均数。
现已填上两个数，求x典例精讲【例4】有10个整数排成⼀个圆形，将每⼀个整数换成与它相邻两数的平均值，所得的结果如图所⽰，那么图中数e 所占位置的原数是多少？举⼀反三练习4五个⼩朋友围坐⼀张圆桌边，每⼈想好⼀个数并告诉坐在他两边的⼈，然后，每⼈将他两边⼈告诉他的数的平均值报出来，的数是多少？abd ec 5589786【例5】四个⾃然数两两之和为如下三个数：23，32，41（有⼀些和是重复的），求这四个数。
练习5四个⾃然数两两相加的和为如下四个数：7，11，14，18。
其中有⼀些数相加的和与另外的和相同，那么这四个数的乘积是多少？学以致⽤综合练习⼀（基础过关）1、某班在11⽉底前进⾏了6次数学测验，12⽉和1⽉进⾏了4次数学测验。
最新高一数学暑假预科讲义 第6讲 函数及其表示(3)中等班教师版
目录第六讲函数及其表示(3) (2)考点1：函数的表示法 (2)题型一：代入法求解析式 (2)题型二：待定系数法求解析式 (2)题型三：换元法求解析式 (4)题型四：配方法求解析式 (4)题型五：方程组法求解析式 (5)课后综合巩固 (6)第六讲 函数及其表示(3)考点1：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．题型一：代入法求解析式例1.(1)已知()21f x x =+，求(1)f x +，2(1)f x -；【解答】22(1)23(1)21f x x f x x +=+-=-，．（2）（2016秋•夏津县月考）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +；【解答】22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++；题型二：待定系数法求解析式例2.（1）已知()f x 是一次函数，并且[()]43f f x x =+，求()f x ；【解答】解：（1）设一次函数()f x ax b =+，则(())()f f x a ax b b =++243a x ab b x =++=+，∴243a ab b ⎧=⎨+=⎩，得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，()21f x x ∴=+，或()23f x x =--． （2）（2018秋•赫山区校级期中）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，则函数()f x 的解析式 ．【解答】解：由题意设()f x ax b =+，(0)a ≠． ()f x 满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，3[(1)]2[(1)]217a x b a x b x ∴++--+=+，化为(5)217ax a b x ++=+，∴2517a a b =⎧⎨+=⎩，解得27a b =⎧⎨=⎩． ()27f x x ∴=+．故答案为：()27f x x =+．（3）（2019春•常州期中）若一次函数()f x 满足(())4f f x x =+，则(1)f -= ．【解答】解：设()f x ax b =+，则：2(())()()4f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+； ∴214a ab b ⎧=⎨+=⎩；解得12a b =⎧⎨=⎩； ()2f x x ∴=+；(1)1f ∴-=．故答案为：1．（4）已知()f x 是二次函数，若(0)0f =，(1)()1f x f x x +=++，求()f x ．【解答】解：（1）设2()f x ax bx c =++，(0)a ≠，由于(0)0f =，得：2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，22(1)(1)1a x b x ax bx x ∴+++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++，例3.（1）（2018秋•宁县期末）若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，求()f x ；所以()32f x x =+．（2）2(21)483f x x x +=++，求()f x ；则2()2f x x x =+．（3）（2018秋•聊城期中）已知2(1)65f x x x +=++，求()f x ;【解答】解：22(1)65(1)4(1)f x x x x x +=++=+++；2()4f x x x ∴=+．题型四：配方法求解析式例4.（1）已知1)f x =+()f x ；1t -，故所求的函数1)x -．（2）已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ； 【解答】1()f x x +2()5f x x ∴=-，(x ∈-∞，2][2-，)+∞．（3）已知2211()f x x x x-=+，求()f x ； 【解答】1()f x x -(4)（2018秋•吉林期末）已知函数2)5f x =+，求()f x ;【解答】解：(f x 2()1(2)f x x x ∴=+．例5.（1）已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ;（2）（2017秋•德州期末）设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有2018()2()3f x f x x +=，则(2018)=f _______;解：()2f x +2()f x =得3()f x -=(2018)201822016f ∴=-+=-课后综合巩固1．函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的____实数x ，按照确定的对应法则f ，都有_____的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x ，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．答案：1．任意（任一）、唯一确定；2．定义域、值域、对应法则，定义域与对应法则；3．列表法、解析法、图象法；4．()g x ，()f x ，定义域，自内而外．5.（2016秋•夏津县月考）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +；【解答】22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++；6.（2019春•常州期中）若一次函数()f x 满足(())4f f x x =+，则(1)f -= ．【解答】解：设()f x ax b =+，则：2(())()()4f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+；∴214a ab b ⎧=⎨+=⎩； 解得12a b =⎧⎨=⎩； ()2f x x ∴=+；(1)1f ∴-=．故答案为：1．7.（2018秋•聊城期中）已知2(1)65f x x x +=++，求()f x ;【解答】解：22(1)65(1)4(1)f x x x x x +=++=+++；2()4f x x x ∴=+．8.已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ； 【解答】1()f x x +2()5f x x ∴=-，(x ∈-∞，2][2-，)+∞．。
三年级学而思暑假班6——9讲知识点总结
暑假班6——9讲重点难点复习【第6讲】乘车坐船的策略一、乘车坐船（一）有船主总人数÷每船载客数（除船主外）=商……余数1、无余数。
运的次数=商。
2、有余数。
运的次数=商+1渡的次数=运的次数×2-1.（二）无船主关键是先确定1个人当船主。
（总人数-1）÷每船载客数（除船主外）=商……余数1、无余数。
运的次数=商2、有余数。
运的次数=商+1.二、最优策略1、最合理。
（一次运完，全坐满）2、最合算。
（只要运完、可以有空位，钱最少）【第7讲】倍数问题与图解法一、和倍问题一倍数=和÷（倍数+1）（一）多则减、少则加。
（二）经典类型：1、直接计算型。
2、和增多或减少。
3、平均数求和。
和=平均数×个数4、统一单位。
5、除法算式中。
被除数=除数×商+余数二、差倍问题一倍数=差÷（倍数-1）经典类型：1、直接计算型2、年龄差永不变。
3、移多补少求差。
差=移动数×24、数射线求差。
三、和差问题大数=（和+差）÷2；小数=（和-差）÷2类型：1、直接计算型。
2、多步和差。
【第8讲】数字谜一、个位分析法二、高位分析法三、进位、借位分析法越加越少，一定有进位。
两数相加，最多进1；三数相加，最多进2.四、相同抵消五、化同为乘六、化减为加（若有楼梯，一定先看高位）【第9讲】用什么量一、最大和最小在一条直线上，某物体与A、B之间的距离：1、物体在A、B之间。
距离=A+B2、物体在A、B同侧。
距离=大-小。
二、立体图形1、方块数:分层数。
本层个数=本层看见的+上层个数2、方格数：（上+左+前）×2.三、砝码问题1、砝码放同侧：1、2、4、8……2、砝码放两侧：1、3、9、27……。
暑假班高一数学讲义第6讲
第6讲：函数的奇偶性【考纲要求】1.掌握函数奇偶型的定义和判断方法。
2.理解奇偶函数图像的特点3.能熟练应用两个性质解决一些简单问题。
【教学重难点】函数的单调性和奇偶性【重难点命题方向】单调性和奇偶性的综合应用自主预习：1. 函数的奇偶性概念（1）奇函数设函数f(x) 的定义域为D ,如果对D 内的_________x,都有-x ∈D,且________________则这个函数叫奇函数（2）偶函数设函数f(x) 的定义域为D ,如果对D 内的_________x,都有-x ∈D,且________________则这个函数叫偶函数。
2、 奇偶函数图像的对称性（1）如果一个函数为奇函数，则这个函数图像关于_________________对称。
a) 如果一个函数为偶函数，则这个函数图像关于_________________对称。
3、 函数奇偶性的性质关于奇函数（1）图像关于________________对称（2）在关于原点对称的区间上，单调性________（3）如果在原点处有意义，则f(0)=_________关于偶函数（1）图像关于________________对称（2）在关于原点对称的区间上，单调性________（3）F(-x)=f(x)=f(|x|)4、函数的单调性（1）函数的单调区间必须是_________的子集。
因此，要求函数的单调区间，必须先求函数的____________（2）函数y=x1的单调区间是（0,∞-），（0，∞+），要特别注意一些无意义的特殊点。
课堂互动一、函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性，并说明理由.① 2()1f x x x =-+ []1,4x ∈-②()(f x x =- (1,1)x ∈- ③ ()11f x x x =+--④ 22230()00230x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩巩固提高：判断下列函数的奇偶性①()f x =②()f x x =-③(1)0()(1)0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩二．奇偶函数的图像问题例2 设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-.当[]0,5x ∈时，函数()y f x =的图像如图，则使函数值0y <的x 的取值集合为 .巩固提高：三．奇偶性与单调性的联系例3．已知函数f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，1)(3++=x x x f ，求f(x)的解析式。
三升四数学暑假班讲义
第一讲除数是一位数的除法教学内容：口算乘法、除法、笔算乘法、除法。
教学目标：1、通过复习,引导学生发现自己存在问题,并通过反思进行自己正。
2、通过一定的练习使学生提高计算能力,达到计算熟练,实现本学期规定的教学目标。
教学过程：一、宣布本节课复习内容。
二、基本练习l、口算练习。
60×20= 24×10= 23×20= 40×90=60÷3= 150÷5= 800÷4= 9000÷3=要求：(1)直接说出答案。
(回答语句要说完整)(2)说一说口算的方法。
2、估算练习。
79×30 14×39 35×19 61×8079÷4 12÷3 83÷9 430÷7要求:(l)直接说出答案,学生回答语句要完整。
(2)说一说,你是怎么想的(3)教师从学生的回答中,引导学生归纳,总结估算的方法。
比如除法中121÷3。
可以把121看作120,120÷3=40,所以,121÷3、83÷9可以把83看作81,81÷9=9所以83÷9估算时,不一定都把被除数看成接近的整百整十数。
)3、笔算练习。
22×14 11×25 45×34 86×1391÷7 8÷6 609÷35 62÷4要求：(l)出示题目,让学生独立思考,计算。
(2)汇报结果,说一说计算的过程中要注意哪些问题。
学生结合题目,归纳出注意点:乘法计算中:(1)要注意进位问题;(2)要注意积的书写位置。
除法计算中： (1)商的书写位置；(2)除数与商的积的书写位置(数位对齐)；(3)被除中间有O的除法计算；(4)商的中间,末尾有的除法。
三、知识梳理教师引导、启发学生说一说在两位数乘两位数的乘法和除数是一位数的除法中,你都学到了什么你都知道了什么学生进行交流后、回答、教师板书:因数末尾有O的口算、口算乘法、估算、两位数乘两位数、不进位笔算、笔算乘法、进位笔算、被除数末尾有O的除法口算、口算除法、估算、笔算除法、有余数的除法及验算。
暑假班 第六讲 匀变速直线运动的规律总结
v0 2 vt 2 2
⑦
注意：无论匀加速还是匀减速总有 v t = v =
2
v 0 vt ＜ 2
vs
2
=
2 v0 vt2 2
知识点三、初速度为零的匀加速直线运动的一些特殊比例式(从 t＝0 开始)， 设 T 为时间单位，则有：
①1T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度之比为 v1∶v2∶v3∶……＝1∶2∶3∶…… ②第一个 T 内，第二个 T 内，第三个 T 内……位移之比: sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶……＝1∶3∶5∶…… ③1T 内、2T 内、3T 内……位移之比为 s1∶s2∶s3∶……＝12∶22∶32…… ④通过连续相同的位移所用的时间之比：t1∶t2∶t3……＝
（2）直线斜率的大小等于加速度的大小，即 越大，则加速度也越大，反之，则越小。 （3）当
。斜率
> 0 时，若直线的斜率大于零，则加速度大于零，
表示加速运动；若直线的斜率小于零，则加速度小于零，表示减速运动。 三、对匀变速直线运动 图象的理解 1． 图象能准确、 全面地反映速度 v 随时间 t 的变化及其规律， 图象符合客观要求。 2． 图线是直线，表示物体做匀变速直线运动（一条倾斜的直线）或匀速直线运动 （一条平行于 t 轴的直线）； 图线是曲线，则表示物体做非匀变速直线运动。 3． 图线过坐标原点表示物体做初速度为零的匀变速直线运动， 图线不过坐标原点， 有两种情况： （1） 图线在纵轴（v 轴）上的截距，表示运动物体的初速度 ；
图象与
图象中的比较． 图
①表示物体做匀加速直线运动 （斜率表示加速度 a） ②表示物体做匀速直线运动 ③表示物体静止
④表示物体做匀减速直线运动；初速度为
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度
学而思教材目录
学而思教材目录一年级寒假班：第一讲：突破加减竖式第二讲：巧填算符初步第三讲：剪拼图形第四讲：图文代换第五讲：巧移物体第六讲：左右脑开发3（逻辑推理）第七讲：期末测评二年级寒假班：第一讲：认识倍第二讲：带余除法初步第三讲：有趣的自然数串第四讲：分割图像第五讲：枚举法的妙用第六讲：鸡兔同笼初步第七讲：期末测评三年级寒假班：第一讲：角度初识第二讲：速算与巧算之四则运算第三讲：字母表示数第四讲：和差倍第五讲：倒退与图示第六讲：方阵第七讲：期末测评三年级春季班：第一讲：巧填算符第二讲：小数的认识第三讲：平行四边形与梯形第四讲：年龄问题第五讲：带余除法初步第六讲：简单统计第七讲：图形计数初步第八讲：组合中的点线关系第九讲：等差数列初步第十讲：页码问题第十一讲：标数法第十二讲：简易方程第十三讲：简易方程应用第十四讲：路程速度与时间第十五讲：期末测评四年级暑假班：第一讲：简单抽屉原理第二讲：奇数和偶数第三讲：二次相遇问题第四讲：应用题：假设法和还原法（鸡兔同笼，还原问题，方阵综合应用）第五讲：应用题：图示法和对应法（年龄，盈亏，平均数综合）第六讲：图形计数进阶第七讲：余数和周期第八讲：四边形中的基本图形第九讲：体育比赛中的数学第十讲：期末测评四年级秋季班：第一讲：定义新运算第二讲：体育比赛中的数学问题第三讲：图形计数进阶第四讲：多位数计算第五讲：等积变型第六讲：一半模型第七讲：最值问题初步第八讲：数阵图初步—从幻方谈起第九讲：平均数进阶第十讲：破译乘除法竖式第十一讲：方程和方程组第十二讲：方程组解应用题第十三讲：环形跑道第十四讲：火车过桥第十五讲：期末测评四年级寒假班：第一讲：小数巧算第二讲：格点与割补第三讲：数表从日历谈起第四讲：第五种运算（乘方的认识，运算性质，平方差认识）第五讲：质数合数初步第六讲：包含与排除第七讲：期末测评四年级春季班：第一讲：等积变形第二讲：整数与数列第三讲：统筹和最优化第四讲：加乘原理进阶第五讲：最值问题进阶第六讲：抽屉原理初步第七讲：流水行船第八讲：方程与方程组第九讲：一半模型第十讲：相遇与追及综合第十一讲：平移、选择和对称第十二讲：破译横式（奇偶分析，枚举试算）第十三讲：进位制初步第十四讲：数阵图进阶第十五讲：期末测评五年级暑假班：第一讲：分数乘除第二讲：分数加减第三讲：棋盘中的数学第四讲：枚举法进阶。
暑假四年级 复习 第六讲 认识分数 基础版
第6讲 认识分数【知识点归纳】 一．分数的意义和读写分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份． 分数的分类：（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数． 二．分数大小的比较 分数比较大小的方法：（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．典例精讲【典例1】（金台区期末）1千克苹果吃去18或吃去18千克，剩余的质量相等。
（ ）A ．对B ．错【典例2】（武侯区期末）学校合唱团里女生占712，下面说法正确的是（ ）A ．合唱团里男生比女生多B ．合唱团女生比男生多2人C ．合唱团男生增加一人就会达到半数D ．合唱团女生超过总人数的一半【典例3】（枣阳市期末）甲车的速度比乙车的速度快14，则甲车的速度是乙车的 ；乙车的速度是甲车的 。
【典例4】（汉寿县期中）一包饼干有15块，把它平均分给3个小朋友． （1）每人分得这包饼干的几分之几？ （2）每人分得多少块？【典例5】（延津县期末）涂色表示各图下面的分数。
【典例6】（新疆期末）两袋面粉一样重，甲袋用去56，乙袋用去56千克，（ ）用去的多。
A ．甲袋B ．乙袋C ．无法确定综合练习一．选择题1．（通许县期末）两根同样长的铁丝，一根用去了12，另一根用去了12米，剩下的铁丝（ ）A ．同样长B ．第一根长C ．无法比较2．（林西县期末）下列数中，（ ）与其他几个数不同。
最新高三数学暑假预科讲义 第6讲 平面向量及解三角形 基础学生版
第6讲：三角恒等变换及解三角形考点1：向量的基本概念和线性运算一、基本概念1. 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量． 2. 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，注意起点在前，终点在后． 3.相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 4. 向量共线或平行：通过有向线段AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线，叫做向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a 平行于向量b ⃗ ，记作a ∥b ⃗ ． 5. 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0⃗ ． 零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．二、平面向量的线性运算1. 向量的加法：(1)向量加法的三角形法则：已知向量a ,b ⃗ ，在平面上任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，再作向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a 和b ⃗ 的和（或和向量），记作a +b ⃗ ，即a +b⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(2)向量求和的平行四边形法则：①已知两个不共线的向量a ，b ⃗ ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则．②向量的运算性质：向量加法的交换律：a +b ⃗ =b ⃗ +a向量加法的结合律：(a +b ⃗ )+c =a +(b ⃗ +c ) 关于0⃗ ：a +0⃗ =0⃗ +a =a 2. 向量的减法：(1)相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作−a ． (2)零向量的相反向量仍是零向量． (3)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(4)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．3. 数乘向量：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，且a λ的长a aλλ=4. 向量共线的条件：如果a =λb ⃗ ，则a ∥b ⃗ ；反之，如果a ∥b ⃗ ，且b ⃗ ≠0⃗ ，则一定存在唯一的一个实数λ，使a =λb ⃗ ．a典例精讲【典例1】（2018秋•吉安期末）已知向量a →，b →满足|a →|=3，|b →|=4，|a →+b →|=√14，则|a →−b →|=（ ） A ．3B ．5C ．6D ．7【典例2】（2018秋•西城区期末）如果向量a →=（0，1），b →=（﹣2，1），那么|a →+2b →|＝（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3【典例3】（2019•西城区模拟）已知向量OA →=(3，−2)，OB →=(−5，−1)，则AB →=（ ） A ．（8，1） B ．（﹣8，1）C ．（8，﹣1）D ．（﹣2，﹣3）【典例4】（2019春•金牛区校级期中）若平面向量a →=(x ，1)，b →=(2，3x −1)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．15B ．−23C ．1或−23D ．1或15【典例5】（2019•栖霞市模拟）在△ABC 中，D 为线段BC 上一点，且BD ＝2CD ，则AD →=（ ）A ．AD →=34AB →+14AC →B ．AD →=14AB →+34AC →C ．AD →=23AB →+13AC →D ．AD →=13AB →+23AC →【典例6】（2019春•武汉期中）AB →+AC →−BC →+BA →化简后等于（ ） A ．AB →B ．3 AB →C ．BA →D ．CA →【典例7】（2018•香坊区校级三模）若平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），且a →⊥b →，则|a →−b →|＝（ ） A ．2或10B ．2或2√5C ．2或√5D ．√5或10【典例8】（2019春•水富县校级期中）已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD→且|OA →−OB →|=|OC →−OD →|则四边形ABCD 一定为（ ）A ．菱形B ．任意四边形C ．平行四边形D ．矩形【典例9】（2019春•浙江期中）化简：AB →−DC →−CB →=（ ） A ．AD →B ．AC →C ．DA →D ．DB →【典例10】（2019•榆林三模）已知a →=（1，√3），b →=（2，0），则|a →−3b →|＝（ ） A ．2√7 B ．2√6 C ．24 D ．28考点2：平面向量的基本定理和直角坐标运算一、平面向量的基本定理1. 平面向量基本定理：如果e 1⃗⃗⃗ 和e 2⃗⃗⃗ 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ⃗⃗⃗ =a 1e 1⃗⃗⃗ +a 2e 2⃗⃗⃗ ．2. 基底：我们把不共线向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记{e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ }． a 1e 1⃗⃗⃗ +a 2e 2⃗⃗⃗ 叫做向量a 关于基底{e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ }的分解式．二、向量的直角坐标运算：1. 向量的直角坐标运算：设a =(a 1,a 2)，b⃗ =(b 1,b 2)，则 ①a +b ⃗ =(a 1+b 1,a 2+b 2)；②a −b ⃗ =(a 1−b 1,a 2−b 2)；③λa =λ(a 1,a 2)=(λa 1,λa 2) 2. 若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1)； 即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标． 3. 用平面向量坐标表示向量共线条件：设a =(a 1,a 2)，b⃗ =(b 1,b 2)，则a 1b 2−a 2b 1=0就是两个向量平行的条件． 若向量b ⃗ 不平行于坐标轴，即b 1≠0，b 2≠0，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．典例精讲【典例1】（2019春•杭州期中）已知向量a →=(1，1)，b →=(0，2)，且λa →+μb →=(2，8)，则λ﹣μ＝（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．1D ．﹣1【典例2】（2019春•赣州期中）如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量DC →=（ ）A ．−BC →+12BA →B ．−BC →−12BA →C ．BC →−12BA →D ．BC →+12BA →【典例3】（2019•咸阳二模）已知G 是△ABC 的重心，若GC →=xAB →+yAC →，x ，y ∈R ，则x +y ＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．13D ．−13【典例4】（2017春•东湖区校级月考）设点A （1，2）、B （3，5），将向量AB →按向量a →=（﹣1，﹣1）平移后得到A ′B ′→为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，7）【典例5】（2019春•玉山县校级期中）若向量AB →=(2，0)，AD →=(1，1)，DC →=(2，1)，则BC →=（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，0）C ．（1，2）D ．（2，1）【典例6】（2019春•潍坊期中）已知向量a →=（m ，1），b →=（3，3），且（a →−b →）⊥b →，则m ＝（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【典例7】（2019春•赣州期中）已知A （﹣1，﹣1），B （1，3），C （x ，5），若AB →∥BC →，则x ＝（ ） A ．2 B ．﹣3 C ．﹣2 D ．5【典例8】（2019•金凤区校级二模）已知向量a →=（1，1），b →=（2，x ），若a →∥（a →−b →）则实数x 的值为（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．1D ．2三、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：已知两个非零向量a ， b ⃗ ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则∠AOB 称作向量a 和向量b ⃗ 的夹角，记作<a ， b ⃗ >，并规定0≤ <a ，b ⃗ > ≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有<a ， b ⃗ >=<b ⃗ ，a >．当<a ，b ⃗ >=π2时，我们说向量a 和向量b ⃗ 互相垂直，记作a ⊥b⃗ ． 2. 向量的数量积（内积）定义|a ||b ⃗ |cos <a ，b ⃗ >叫做向量a 和b ⃗ 的数量积（或内积），记作a ⋅b ⃗ ，即 cos ,a b a b a b ⋅=<>3. 向量内积的性质(1)e 是单位向量，则a ⋅e =e ⋅a =|a |cos <a ,e >； (2)a ⊥b ⃗ ⇒a ⋅b ⃗ =0，且a ⋅b ⃗ =0⇒a ⊥b ⃗ ； (3)a ⋅a =|a |2，即|a |=√a ⋅a ；(4)cos <a ,b ⃗ >=a ⃗ ⋅b⃗|a ⃗ ||b ⃗|； (5)|a ⋅b ⃗ |≤|a ||b ⃗ |． 4. 向量数量积的运算律(1)交换律：a ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅a ；λ(a ⋅b ⃗ )=(λa )⋅b ⃗ =a ⋅(λb ⃗ )． (2)分配律：(a +b ⃗ )c =a ⋅c +b ⃗ ⋅c 5. 向量数量积的坐标运算与度量公式(1)向量内积的坐标运算：建立正交基：{e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ }，已知a =(a 1,a 2)，b ⃗ =(b 1,b 2)，a ⋅b ⃗ =a 1b 1+a 2b 2．(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a ⊥b ⃗ ⇔a 1b 1+a 2b 2=0 (3)向量的长度公式：已知a =(a 1,a 2)，则|a |=√a 12+a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(4)两点间的距离公式：如果A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2．．(5)两个向量夹角余弦的坐标表达式：cos<a⋅b⃗>=1122√a12+a22√b1+b2典例精讲【典例1】（2019春•平罗县校级期中）已知向量a →、b →的夹角为60°，且|a →|=√2，|b →|=4√2，则a →⋅b →=（ ） A ．4√3 B ．8√3 C ．8D ．4【分析】直接利用向量的数量积求解即可．【解答】解：向量a →、b →的夹角为60°，且|a →|=√2，|b →|=4√2， 则a →⋅b →=√2×4√2×12=4．故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．【典例2】（2019春•雨花区校级期中）若|a →|=6√3，|b →|=1，a →⋅b →=9，则a →与b →的夹角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可． 【解答】解：|a →|=6√3，|b →|=1，a →⋅b →=9， 可得：6√3cos ＜a →，b →＞=9，cos ＜a →，b →＞=√32． 则a →与b →的夹角为30°．故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．【典例3】（2019•济宁二模）已知向量a →，b →满足|a →|＝1，|b →|=√2，且（a →+b →）⊥（3a →−2b →），则a →与b →的夹角为（ ） A ．34π B ．23π C ．π3D ．π4【分析】根据|a →|＝1，|b →|=√2，且（a →+b →）⊥（3a →−2b →），即可得出(a →+b →)⋅(3a →−2b →)=0，进行数量积的运算即可求出cos ＜a →，b →＞=√22，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【解答】解：∵|a →|＝1，|b →|=√2，且（a →+b →）⊥（3a →−2b →）；∴(a →+b →)⋅(3a →−2b →)=3a →2−2b →2+|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=3−4+√2cos ＜a →，b →＞=0； ∴cos ＜a →，b →＞=√22；又0≤＜a →，b →＞≤π； ∴＜a →，b →＞=π4．故选：D ．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围． 【典例4】（2019春•邹城市期中）已知a →与b →均为单位向量，若|a →−2b →|=√3，则向量a →与b →的夹角大小是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．以上都不对【分析】根据a →与b →均为单位向量，对|a →−2b →|=√3的两边平方即可求出a →⋅b →=12，从而可求出cos ＜a →，b →＞=12，根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小． 【解答】解：∵a →，b →均为单位向量，且|a →−2b →|=√3； ∴(a →−2b →)2=a →2−4a →⋅b →+4b →2=1−4a →⋅b →+4=3； ∴a →⋅b →=12；∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=12；又0°≤＜a →，b →＞≤180°； ∴a →与b →夹角的大小是60°．故选：A ．【点评】考查向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，单位向量的定义．【典例5】（2019•朝阳区二模）已知平面向量a →，b →的夹角为2π3，且|a →|＝1，|b →|＝2，则|a →+b →|＝（ ） A ．3B ．√3C ．7D ．√7【分析】根据条件即可求出a →⋅b →=−1，a →2=1，b →2=4，从而可求出(a →+b →)2=3，进而可求出|a →+b →|=√3．【解答】解：a →⋅b →=−1，a →2=1，b →2=4； ∴(a →+b →)2=a →2+2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|a →+b →|=√3． 故选：B ．。
2010暑假衔接班
§第1讲 快乐的数学世界★ 【知识目标】1、体会、认识生活中的数学，数学知识来源于生活、应用于生活；2、通过动手操作、实验，体会学习数学的意义，感受学习数学的乐趣与价值；3、学习科学的思考方法，培养数学素养和健全人格、积极的处世态度和坚韧的性格；★【趣题导航】◆ 专题一、数学的趣味性【例1】我国著名数学家苏步青先生曾说过：学数学的最好方法，就是做数学．当然，“做数学”先要从做数学习题开始．同学们先学着做一些数学习题，通过正确地解答数学习题，学会和掌握解决数学问题的方法（甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了______千米．）．【例2】合作与交流（1）给出一个等式：10010010010002⨯⨯=，请你根据这个等式填一个成语（四 个字） 。
（2）如图：有长方体砖若干块，请设计一种方法测出A 、B（不通过计算，直接测量）（3）如图，8根火柴拼成两个平行四边形，规定：只允许移动2根火柴，把它变成“一个平行四边形”。
◎变式议练一1、一对蚯蚓在一起，身体不能挨身体（打一数学符号）；2、（猜字谜）2只小狗同戴1顶草帽。
这个字是。
【例3】莱蒙托夫是俄国著名的诗人，爱好数学。
有一次，他给一些军官表演猜数游戏。
他请一名军官随便想好一个数，不要说出来，然后请这个军官将想好的这个数加上25，再加上125，减去37，再减去最初想好的这个数，把得到的数乘以5，最后再除以2，这时，莱蒙托夫说，我可以猜出你算出的结果，他问那个军官：“此数是282.5对吗？”那个军官非常吃惊，因为莱蒙托夫并不知道他想的是什么数，却得到了和他完全一样的结果。
奥秘在哪里呢？请你用字母表示这个数，就能解开这个谜。
学而思初一数学暑假班第6讲.整式的乘除.教师版
第6讲•尖端预备班•教师版1【例1】⑴下列运算正确的是（）A5510A . a a aB .5a5 10a a54 20C . a a aD . 49a a⑵ 下列计算正确的是（)3 5 156233 584A . a a aB . a a aC . a a aD .a a a⑶ 卜列运算止确的是（)-23 6325A . xxxB . X XX第6讲•尖端预备班•教师版2⑷下列计算错误的是（）2A . 33ab3. 327a bB . 1 3-2 a b 4 1 6-4 a b 16C .236D .4 3 2 8 6xy xya ba b【解析】⑴ B ； ⑵ D ； ⑶ D ;⑷C【例2】速算比赛：10 20100\210. 20、2100 2A 组：⑴ a a :⑵(a ):⑶(a b ):⑷ a a ,其中 a 0, b 0323 22 3B 组：⑴(x)( x)；⑵(a ) ( a )；⑶(2a 2)2 ( 4a 4)；⑷(2x m y n )2 ( x 2y n )3 ( 3xy 2)【解析】A 组：⑴a a a :⑵(a ) a :⑶(a b ) a b :⑷a a a ；32325*,3255B 组：⑴解法一：(x) ( x) x x x ；解法二：(x) ( x) ( x) x ；3 22 36612⑵(a )( a ) a ( a ) a ；(3)( 2a 2)2 ( 4a 4) 4a 4 ( 4a 4)16a 8 ；m n 、2 2 n 、3 22m 2n6 3n22m 7 5n 2⑷(2x y )( x y )( 3xy ) 4x y ( x y ) ( 3xy ) 12x y ；【例3】⑴ 已知a' m2 a n 3，求 a3m2n的值.⑵ 若3m5 , 3n4，则32m n 等于（）.A . 25B . 6C . 21D . 204⑶ 若2x 5y 30 ,求 4x32y.⑷ 已知： a 5,b n 3，求(ab)2n.【解析】⑴ 3m 2n a 3m a a 2n / m 、3 zn 、2 32(a ) (a ) 2 3 8 9 72.⑵ A⑶ 由题意:知2x 5y 3，则 4x 32y (22)x (25)y 22x 25 y 22x 5y 23 8 ；⑷ 法1: (ab)2n a 2n b 2n (a n )2 (b n )252 32 225 ；法2: (ab)2n [(ab)n ]2 [a n b n ]2 (5 3) 2225.【拓展】已知22x 3 22x1 192，求x .【解析】4 22x 1 22x 1 192，即 3 22八 192 , 22x 1 26 , x -2 2 2C . 4x 2x 2x2 36D . 2x 28x 6能力提升2第6讲•尖端预备班•教师版3第6讲•尖端预备班•教师版4【例4】已知有理数 求 x 3n y 3nx ， 1 4n zy ， z 满足 | x z 2 | (3x x 的值. 26y 7)13y 3z 41 0，【解析】由题意得x 3x3y z 2 6y 3z 07 0，解方程组得 4 0代入所求代数式得:3n 3n 1 4nx y zx 33n 13，13n 114n 33n 11 3 3 —1 3 3 3 0 .3模块二 整式的乘法定 义 示例剖析单项式与单项式相乘：一般地，单项式相乘，把它 们的系数、相同字母的幕（同底数幕）分别相乘， 作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式. 例如：ab 3a 2b 3c 2 3a 3b 4c 2单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是 根据乘法分配律，把单项式与多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加•m(a b c) ma mb me多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用 一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项 相乘，再把所得的积相加. (m n )(a b) ma mb na nb【例5】计算: 夯实基础 【解析】⑴21 2(3x y) -xy __________________32a 2(3ab 2 5ab 3 1)______________ n 1 2n n 12、x (x x x )______________2 2 2 2 4x y 5xy 7x y 4xy ____________________ 2 33 222(x y x y ) (x y ) _______________________(a 2)( a 2)(2 a 1) ___________________x 3y 3；⑵ 6a 3b 10a 3b 32a 2；⑶ x 3n28x 4y 2 51x 3y 3 20x 2y 4 ；⑸ x 4y 3 x 2y 52nX5 2x y nX3 4x y ,、 3 2；⑹ 2a a 8a 4第6讲•尖端预备班•教师版5【例6］⑴m n右a3a m b n 13a 8b 3, 则r,n⑵ 计算： (x 32 22x 5)(2 x3x 1)⑶ 计算： (3x 2 2)(5x 4 2x 2 3) (5x 4 x 2 3)(3x 23)【解析】⑴ m 3, n 2 ；⑵ 原式5 2x 43-3x x 4x 4 6 3 x 2x2 210x15x 554 3 22x7x 7x 8:x 15x 5⑶ 原式(3x 2 2)(5x 4 2x 2 3)(5x 4 x 2 3) (3x 2 2 1)(3x 2 2)(5 x 4 2x 23) (3x 2 2)(5x 4 x 2 3) (5x 4 x 2 3)(3x 2 2)[(5 x 4 2x 2 3) (5x 4x 2 3)] (5x 4 x 2 3)x 2 (3x 2 2) (5x 4 x 23)3x - 2422x 5x x32x - 2x 3.【巩固］计算: -(x12y)2 ( x y)34(x y)3x)2【解析］ 原式 -(x 12y)2 [ (x y)3] 3(xy)3 6(x y)253 6233212( i ) -5 [(x y) (x y) ] [(x y) (x y)]55(x y) (x y)【例7]使(x 2 px 8)( x 23x q ）的积中不含x 2和 x 3，求 p , q 的值• 【解析］将原式展开得(x 2px 2 48)(x 3x q) x(p 3)x 32(q 3p 8) x (pq 24)x 8q , 因为积中不含 x 2和 3x , p 3 0 所以 c c cp ，解得 3q 3p 8q 1【巩固】已知ax 2 bx 1与2x 22b 3a 0【解析】有，解得b 3 033x 1的积不含x 的项，也不含 a 2b 3 .x 的项，试求a 与b 的值.8第6讲•尖端预备班•教师版6单项式除以单项式：把系数与同底数幕分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因 式.例如：3a 2b 3c 2 ab 3ab 2c 2多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，再把所 得的商相加.例如： 3 2 2(5a 2a a) a 5a 2a 1多项式除以多项式：大除法整式的除法【例8】 ⑴计算（ab ）6 （ab ）2的最终结果为（）【解析】【例9】⑵ ⑶⑷ ⑸ ⑴⑶ ⑴ ⑵ ⑴ ⑵A . a i 3b 3B . 44a bC . 3 4a bD.计算: m n. 2m n 3n 2m9a b c3a 2 b 3计算: (!a 3b 2)3 /3 .2 (—ab ) 234 计算: 12x 318x26x6x(72 x 3 4 2 3y 36x y9xy 2) ( 29xy ）等于（ ).A . 2 28x y 4xy 1 B2 28x y 4xy 1 C .8x 2y 24xy1D2 28x y4xym n 2 2m in 3 3n 2r m原式 1 9 a27:92 4a b 16c 16 7 2/八a b ;⑷22x 3x 1 ;(5) A计算: 计算: 2x(x6x 271) (x 1)x 9用竖式除法, 商式为x 2x 1 ■■ -32x 1 x 0x 0x 13 2x x2 ~x 0x2x x 1，余式为0.b4 3.a b 3a第6讲•尖端预备班•教师版7【巩固】计算：(3x 4 5x 3 x 2 2) (x 2 3) 3x 2 5x 8 【解析】x 2 3 3x 4 5x 32 x 0x 23x 49x 25x 38x 2 0x5x 315x8x 215x 28x 22415x 26所以，商式为 3x 5x 8，余式为15x 26.2 2【例10】 一个长方形的面积为 x 5xy 6y ,它的一条边长为x 2y ，则它的周长为 ___________________ 【解析】x 2 5xy 6y 2 x 2y x 3y ，可知长方形的另一条边长为x 3y ，那么它的周长是 x 2y x 3y 2 4x 10y .【例 11】 ⑴计算：(2x 1) (3x 2) (6x 4) (4x 2);2 222 2 222 4⑵ 计算：(3xy) (x y ) (4x y )8y 9x y .【解析】⑴原式[(2x 1) (4x 2)][(6x 4) (3x 2)](2x 1) [2(2 x 1)] [2(3 x 2) (3x 2)]1 ;在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算. 实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数,【附加】设多项式ax 5 bx 3 cx d M ,能力提升通过约分，可更容易地解决问题.其解如下：11(2x 1) (6x 4)原式(2x 1)(6x 4) 亠 4x 8y 2齐(6x 4)⑵原式 9x 2y 2(x 2 y 2) 16x 4y 42 (3x 2 4 y 9x 2) (4x 2)4 2 9x y 2 4 9x y 小42 小24 _4 22x y 9x y 7x y探索创新【例12】 【解析】已知 x 4 ax 3 bx 2 cx d x (法1)将等式右边展开得 x 4所以 a 1 , b 2, c 4, d 则 a b c d 12 4 8 bx 2 (法 2)等式两边取x 1，得到13ax 8 ;1a bx 2cx ，则4xc2x 2 4x 8;5第6讲•尖端预备班•教师版8由于当 x 0 时，M5； 可知 d 5；当x3 时， M 7；可知35a333b 3c 5537，则 35a 33b 3c 12 ，35a33b 3c12；那么，当 x 3时，M35a 33b 3c 5 12 5 17已知当 x 0 时， M 5 ； 当 x 3时， M 7 ．当 x 3 时，求 M 的值．解析】第6讲•尖端预备班•教师版9幂的运算课后演练 知识模块一 【演练1】F 列算式中，正确的是（1 2a a6^2a b 2a 23a C . （a 3b ）2 下列各式中计算结果等于 A . x 3 【解析】 ⑴C ;⑵D a 32a 6 【演练2】 已知2m 3 , 27 【解析】2725 2n 5，求 23m 知识模块二 整式的乘法 课后演练 【演练3】计算：⑴ 【解析】⑴10X 【演练4】计算: 【解析】原式 2x 6的是 3 2(2x )2n 的值. 22xy(5xy 3xy 1) 2 2(a 2bc) ( 2ab) (3x 2 6x 2y 2 2y 3)( 3x 22xy ;(2) 2y 3) 4 2 b 4a )C . 2x 3D . 2x2 -8a b c ;4y 6 9x 4/ 2 (x 2x 2(x 2x 3)(x 1) 3)(x 1)(x 24x 1) 2x 3 2x 2 2x 3x 3 322x 2x 2x 3 .知识模块三 整式的除法 课后演练 【演练5】 ⑴计算a 6b 3 2a 3b 2的结果是 ). 【解析】 【演练6】A. 2a 3b B. ^a 2b 2 D.】a 32⑵当a -时， 4 A. 6.25 1⑴C ；⑵）-4代数式（28 a 3 B. 0.25 先化简，再求值:25a28a 2 7 a ） 7a 的值是（ C. 2.25 4a 2a 2a 3 a 1D.2，其中a 1 .5第6讲•尖端预备班•教师版10【解析】原式21 3 23 225a —a 4a 8a 12a a 2a a 2 529a 14a 2 当a1时，原式7。
暑假算术教法
暑假学前班算术教法一、认读数字0-91、触摸数字“6”，感知6的外形。
例如：闭眼摸到数字“1‘，说“1像铅笔来写字”2、像什么✓老师问：“有个数字像耳朵，它是谁”✓什么东西像“2”……✓用肢体做“2”，用铅笔做“2”二、基本指法6=左手+右手的小指，7=左手+右手的小指和无名指，8=左手+右手的小指和无名指+中指，9=左手+右手的小指和无名指+中指+食指三、10＋手算法１、6+3。
师：先拿几个手指，生：6个(伸出左手+右手的小指)，师：再加几个，生：加三个(从未伸出的手指数3个手指：无名指、中指和食指)，1、2、3。
要从剩余未伸开的手指数三个手指，边数边念，加几个数到几。
２、3+6 视同6+3，口诀“大的先拿”。
四、２０＋，例：８＋６１、拿出8个手指。
2、6的下面是几？。
3、从7数完8个手指：7，8，9…五、12+4１、有十的先在十位写1。
2、2+4=6，在个位上写上6。
3、=16２、注意：12+8，14+6 是难点六、16-41、有十的先在十位写1。
2、6-4=2，在个位上写上2。
3、=12七、10+-+／２０＋－＋例如8+1-31、8+1=9。
2、把9写在8上面。
3、9-3=6八、１０＜＞＝，２０＜＞＝比后面的大用>号，比后面的小用<号，相等用 = 号。
九、分成合成１、分合的含义用实物（玩具等）演示。
２、利用实物老师用教学磁铁（中间划线），小朋友用雪花片（中间用铅笔）３、画图形演示４、利用课件十、１０逆向方法三种1、口诀法：只有括号在前面且减号的情况下用加法，其他都用减法。
例如( )-3=52、验证法：先用减法或者加法计算，再用结果合计。
例如 ( )-3=5，5-3=2，但是2-3≠5，因此加法不行，用加法3、理解法：例如( )-3=5，什么数减去3还剩余5个呢，这个数比5多还是少呢，用加法，可以用圆圈图形演示。
钟表：整点和半点1、教画表，手工制作钟表。
2、先教整点，教半点。
3、12:00，6:30 容易出错，4、2:30,时针指向2与3之间。
第六讲：形容词—趣味阅读L6—阅读 A篇—6A U3单词巩固 牛津上海版英语六年级暑假班
六年级英语暑假班（教师版）adj.Presentation形容词定义：是用来描述事物特征的词,如事物的大小,形状,颜色等;也可以用来陈述事物的状态。
主要修饰名词和代词。
1、形容词的一般用法（1） 形容词+名词，作定语: a good girl （good 作girl 的定语）（2） be/系动词+形容词，作表语: It is good. / It sounds great.（good/ great 表明 it 的状态和性质） （3） 表语形容词，只能位于系动词后面作表语，不能作定语eg ： alone, alive, asleep, afraid, well, ill（4） 动词+形容词(make / keep…adj.)，作宾补—Robots can make humans lazy.（humans 是宾语，lazy作宾补）（5） 数量+表示长、宽、高、深、年龄等形容词（形容词后置）eg ：two meters long, ten centimeters wide, twenty feet deep, 28 years old.（6） the+形容词，表示一类人，谓语动词用复数: the old 老人 the young 年轻人 the rich 富人 thepoor 穷人（7） 形似副词的形容词—lonely, friendly, lively, lovely, sillyE.g. She is very lovely and friendly.My grandmother lives alone, but she’s never lonely.（8） 以 ing 结尾的形容词通常修饰物，以 ed 结尾的形容词通常修饰人eg ：exciting-excited, boring-bored, interesting-interested, moving-moved, tiring-tired, relaxing-relaxed,frightening-frightened, disappointing-disappointed★★特殊的：pleasant 令人愉快的人或物，pleased 人感到满意愉快的（9） 一些表示情感的表语形容词后可接动词不定式eg ：be glad / happy to do sth.be sorry / sad to do sth. be ready / able to do sth.be easy / difficult to do sth. （10） 只能作定语的形容词eg ：little, only, wooden, woolen, eldera little girlthe wooden tablethe woolen gloves2、形容词的常见句式（1） It’s of sb. to do sth.表示“某人做某事…”1.语法：形容词adj. 用法：这一句型中，用的是描述行为者的性格、品质的形容词常见的有：nice-kind-good-polite, clever-foolish-lazy, careful-careless, right-wrong（2） It’s for sb. to do sth.表示“做某事对某人来说…”常用的形容词有：difficult, easy, hard, dangerous, safe, useful, pleasant, interesting E.g. It’s difficult to finish this task by myself.It’s dangerous for you to swim alone here.3、修饰人的形容词1. young/j ʌŋ/(adj.)幼小的2. old/əʊld/(adj.)年纪大的3. short/ʃɔːt/(adj.)矮的4. different /'d ɪf ər ənt/(adj.)不同的5. heavy/'hev ɪ/(adj.)重的6. naughty/'n ɔ:t ɪ/ (adj.)顽皮的7. busy/'b ɪz ɪ/(adj.)繁忙的 8. healthy/'hel θɪ/(adj.)健康的 9. tired/ta ɪəd/(adj.)累的；疲倦的 10. unhealthy/ʌn'hel θɪ/(adj.)不健康的 11. hungry/'h ʌŋgr ɪ/(adj.)饥饿的 12. lucky/'l ʌk ɪ/(adj.)幸运的4、修饰物的形容词1. same/seɪm/(adj.)同一的；同样的2. small/smɔːl/(adj.)小的3. different /'dɪfərənt/(adj.)不同的4. heavy/'hevɪ/(adj.)重的5. soft /sɒft/ (adj.)柔软的6. dear/dɪə/(adj.)昂贵的7. enough /ɪ'nʌf/(daj.)足够的8. cloudy/'klaʊdɪ/(adj.)多云的9. sunny/'sʌnɪ/(adj.)晴朗的 10. crowded/'kraʊdɪd/(adj.)拥挤的 11. busy/'bɪzɪ/(adj.)繁忙的12. favourite/'feɪv(ə)rɪt/(agj.)最喜爱的 13. fried/fraɪd/(adj.)油炸的 14. spicy/'spaɪsɪ/（adj.)辛辣的 15. healthy/'helθɪ/(adj.)健康的 16. much/mʌtʃ/(adj.)许多的 17. fit/fɪt/(adj.)合适的 18. cheap /tʃiːp/ (adj.)便宜的 19. snowy/'snəʊɪ/（adj.）下雪的 20. cool/kuːl/（adj.）凉爽的；凉快的 21. wet/wet/（adj.）潮湿的 22. coloured/'kʌləd/（adj.）彩色的I. 写出下列形容词的反义词。
一年级暑期补课内容
陆宇昊同学暑期补课思维训练提纲第一讲位置第二讲 20以内的退位减法第三讲图形的拼组图形的拼组(二）第四讲100以内数的认识第五讲认识人民币练习第六讲100以内的加法和减法第七讲认识时间第一讲位置（1）. 在位置关系的表示，对于两个物体，上下位置关系是绝对的；对于三个物体上下的位置是相对的。
（2）. 面对的方向是前，背对的方向是后。
前后是相对的。
（3）. 伸出你的左手，左手方向是左边；伸出你的右手，右手方向是右边。
左和右也是相对的。
（4）.一般横为行，竖为列。
1.看一看，说一说。
2.动物园的小动物排成一队：（1）.的（）面是；（2）.的（）面是；（3）.在（）面；（4）.的（）面有（）只。
3.这是我的（）手这是我的（）手；1.这是我的（）手，这个是我的（）手。
2.“上下楼，靠右走”，哪个小朋友走错了？走对的打“√”，走错的“×”。
小强走（）小红走（）小刚走（）3.看一看你周围的同学，写出他们的名字。
你前面的同学叫（）；他的前面一共有（）同学。
你这组最后面的同学叫（）；你这组最中间的是（）同学。
4.对号入座，把小伙伴与他们相应的座位用线连接起来。
想一想，小强、小红、和小伟每人拍了一张相片，右面的三张照片分别是哪个小朋友拍的？第二讲20以内的退位减法一、填空题1. 15-9=( )2. 12-8=( )想: 9加( )等于15, 想: 8加( )等于12,15减9等于( )．12减8等于( )．3．8+( )=12 5+( )=148+( )=15 8+( )=164+( )=11 7+( )=13二、判断题，在正确答案后面划“√”1、拿球拍的是右手。
（）2、小鸟的后面是小兔。
（）3、花在蜜蜂的下面。
（）4、填一填第一行在第二行第三格。
（）在右边。
（）三、口算题11-9=15-8 =12-8 =14-8= 18-9= 14-10=16-10=17-8=四、算一算，比一比，在○里填上“<”、“>”或“=”。
六升七 暑假班 教师教案 六
第六讲 整式 乘法（一）【知识点】1. a ·a ·a ……·a ·a 可以写成a n(读作“a 的n 次方”)，其中a 表示底数，正整数n 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂。
2. 同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m ·a n =a m+n (m 、n 都是正整数)对于底数不同但互为相反数的幂的乘法运算，一般把它转化为相同底数的幂的运算，然后再用同底数幂相乘的法则进行运算。
3. 幂的乘方，指几个相同的幂相乘，如：（a 2）2就是指2个a 2相乘。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（a m ）n =a mn (m 、n 都是正整数)4. 积的乘方，指底数是乘积形式的乘方，如：（ab ）5等。
积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积。
（ab ）n =a n b n (n 是正整数) 【典型例题】例1. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：(1)x 5·x 4 (2)(-12)2 ×(-12)3 (3)y ·y 2·y 3 (4)(x+y)2·(x+y)3 (5)(a-b)3·(b-a)2 (6)(x-y)·(y-x)4·(y-x)3 解：(1)x 5·x4 =45x+=9x ； (2)(-12)2 ×(-12)3 =231()2+-=51()2-； (3)y ·y 2·y4 =124y ++=7y ； (4)(x+y)2·(x+y)3 =（x+y ）2+3=5()x y + (5)(a-b)3·(b-a)2 =(a-b)3·(a-b)2=5()a b -(6)(x-y)·(y-x)4·(y-x)3=(x-y)·(x-y)4·[-(x-y)3]= -(x-y)8变式：已知513x -=81，求（4x-5）3 的值。
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2010年暑假班第六讲数词(一) 知识概要数词用来表示人或物的数目多少和顺序。
所以数词主要有两种：基数词，用于计数，如：one, two…而序数词用于表示位置先后或次序：first second…其构成法如下：阿拉伯数字基数词序数词简写序数词1 one first 1st2 two second 2nd3 three third 3rd4 four fourth 4th5 five fifth 5th6 six sixth 6th7 seven seventh 7th8 eight eighth 8th9 nine ninth 9th10 ten tenth 10th11 eleven eleventh 11th12 twelve twelfth 12th13 thirteen thirteenth 13th14 fourteen fourteenth 14th15 fifteen fifteenth 15th16 sixteen sixteenth 16th17 seventeen seventeenth 17th18 eighteen eighteenth 18yh19 nineteen nineteenth 19th20 twenty twentieth 20th21 twenty-one twenty-first 21st30 thirty thirtieth 30th40 forty fortieth 40th50 fifty fiftieth 50th60 sixty sixtieth 60th70 seventy seventieth 70th80 eighty eightieth 80th90 ninety ninetieth 90th100 a(one)hundred hundredth 100th104 one hundred and four hundred and fourth 104th1000 a(one) thounsand thounsandth 1000th10000 ten thounsand ten thounsandth 10000th1000000 one million millionth 1000000th基数词与序数词都有一定的构成方法，但都有特殊例外的几个字，所以除了要学会一般构成法之外，还要特别记熟一些例外。
因它们在考试中出现的频率很高。
1 基数词构成结构21～99的两位数字，在10位和个位之间加连字符构成，如89-eighty-nine. １０１～９９９的三位数字，由hundred 加and 再加二位数或未位数字，如：101-one hundred and one, 223-two hundred and twenty-three. 四位以上数字，应从个位起向前数三位加逗号，读作thousand,再数三位加第二个逗号，读作million,再数三位加逗号，读作billion，其读法如下： 1001-one thousand and one ５３８６-five thousand, three hundred and eighty－six 要注意的是hundred, thousand, million与billion的用法。
①前面有别的基数词时，即若干个百、千、百万、十亿时，其本身都不要加s，如：three hundred students。
②若表示成百，成千或数百，数千时，前面不能有基数词，但其本身要用复数形式，然后+of+名词复数。
如：thousands and thousands of。
(成千上万)2 序数词的构成法序数词除first, second, third 以外，其余一般在词尾加th构成，除一般略有差异的各别数词外，很容易掌握。
其二位数或多位数只将后面的个位数字改为序数词，其前面各位数字均不改变，都用基数词。
3 其他数字表示法小数的小数点读作point，零读作o［ ｕ］或zero,小数点后面的数字按个位基数词依次读出。
分数分子用基数词，分母用序数词，当分子大于1时，分数要在序数词上加s，但１／２用one half, 1 4 用a quarter. １３读作one third而２３读作two thirds。
百分数(%)，读作per cent (percent),但不论是多少均用作单数形式不能加s。
表示日期有两种说法和四种写法，如：2月1号英语表达法为：the first of February而美语为February (the) first,但其书写上可有四种写法①February 1 ②February 1st ③1st February ④1/2。
倍数的讲法有所不同。
两倍用twice,而三倍以上用序数词加times,如：He has three times as many books as I have.(二) 正误辨析［误］1107 should be read as a thousand a hundred as seven.［正］1107 should be read as one thousand one hundred and seven.［析］在读数字时，如：and前只有百或千时，用one hundred/ one thousand 还是a hundred /a thousand全是可以的。
但如果文有百又有千时，则只能用one不要用a。
如果没有and时，如：1100也只能读作one thousand one hundred 或eleven hundred.［误］I drove about half mile.［正］I drove about half a mile.［析］半小时为half an hour, 半天为half a day, 半镑为half a pound, 尽量避免用half a year, half a month, 要用six months, two weeks 或fifteen days 要注意的是Half of the work is done Half of the books are sold. 当Half 作名词时，其谓语动词要看of后面的名词而定。
如名词是不可数名词则用单数谓语动词，如是复数名词时，则要用复数谓语动词。
要注意的是一个半的表达法，如：One and a half apples is left on the table.其名词要用复数，但谓语动词则要用单数。
［误］60 students are playing on the ground.［正］Sixty students are playing on the ground.［析］在句首的数字要用文字而不要用阿拉伯数字，如数字过大则应放于句中，用阿拉伯数字。
如：There are 166 students playing on the ground.［误］He became famous around fifty years old.［正］He became famous in his fifties.［析］in his fifties 50多岁时，而in the fiflies 在50年代。
［误］There are about two thousands workers in our factory.［正］There are about two thousand workers in our factory［析］几千，几百的表达法是基数词加thousand或加hundred,而且均不要加s。
这样的单位还有dozen(打)，score (20年)等。
［误］In the morning there are hundred of old people walking in the park.［正］In the morning there are hundreds of old people walking in the park.［析］当表达数百，数千时，要用hundreds of和thousands of 这一结构。
［误］The class begins at eight a. m.［正］The class begins at 8 a. m.［析］与符号或与缩写的字母连用时一定要用数字，如：43%，67 , No.2…［误］Two fifth of the books are sold out.［正］Two fifths of the books are sold out.［析］分数表示法，分子用基数词，分母用序数词，但分子大于1时，分母要在序数词后 加s。
［误］Tom was born on July eighteen.［正］Tom was born on July eighteenth.［析］月日的表达法有美语和英语两种。
美语July 18 读作July eighteenth 英语July 18th 读作July the eighteenth［误］I'll go to school at 7∶３０a. m. in the morning.［正］I'll go to school at 7∶３０a. m/ at 7∶３０in the morning.［析］a. m 即表达在早上之意，不要再用in the morning.［误］The film will begin at three quarters past one.［正］The film will begin at one quarter to two.［析］大于30分钟时不要使用past，而要用差多少不到几点的to来表达。
［误］Three time three is nine.［正］Three times three is nine.［析］times 此处作为"乘"讲一定要加s。
英语中乘除法表达式如下：算法种类例句加法一般Five and six is eleven.正式Five plus six is (equals) eleven.减法一般Eight take away four leaves (is) four.Four from Eight leaves (is) four.正式Eight minus four equals (is) four.乘法一般Three fours are twelve 3×4=12正式Three times four equals (is) twelve.一般Two in to four is two.正式Four divided by two equals two.例题解析1 - How many students are there in your school, Mike?- There are over ＿＿＿students in our school.A. two thousandsB. two thousands ofC. two thousandD. two thousand of［答案］C.［析］有基数词在前面时thousand，hundred 等词不能加s，也不能加of结构，只有在thousands of时才可以使用。