数列学生版

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an+1 − an = p(an − an−1 ).
.q b
n n −1 Y Y ak an = a1 = a1 f (k − 1) = a1 f (k ). k=2 ak−1 k=2 k=1
an = pan−1 + q,
xt .
cn
k=1
an = a1 +
n X
(ak − ak−1 ) = a1 +
数列
数列问题是各级各类数学竞赛的热点问题之一, 是全国高中数学联赛, 中国数学奥 林匹克和国际数学奥林匹克竞赛的必考内容. 数列问题主要有两大类, 一是等差数列, 等比数列,数列求和以及它们的延伸; 二是 递推数列. 等差数列和等比数列是数列中的两类特殊的数列, 处于数列中的基础地位, 也是高 考和数学联赛的重要内容之一. 有不少竞赛题也跟它们有关, 因此这两类数列应该引起 大家的重视. 知识要点 1. 数列{an }是等差数列的等价命题有 (a) an+1 − an = a2 − a1 for ∀n ∈ Z+ ;
(c) 对任意正整数p, q, r, s, 若p + q = r + s, 则ap + aq = ar + as ;
(d) 2an = an−1 + an+1 (上一条的特例!); 若p + q = 2r, 则有ap + aq = 2ar ; (e) 对任意正实数c, can 为等比数列;
(g) 对任意p, q ∈ Z+ , 恒有ap − aq = (p − q )(a2 − a1 );
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7an + 6bn − 3, 8an + 7bn − 4, n = 0, 1, 2, · · ·
.q b
6 例题12 设数列{an }的前n项和 Sn = 2an − 1 (n = 1, 2, · · · ), 数列{bn }满足条件 b1 = 3, bk+1 = ak +Βιβλιοθήκη Baidubk (k = 1, 2, · · · ) 求数列{bn }的前n项和.
xt .
√ √ 例题9 设正数列a0 , a1 , a2 , · · · , an , · · · 满足 an an−2 − an−1 an−2 = 2an−1 (n 且a0 = a1 = 1. 求an 的通项公式.
cn
2),
例题10 设q > 0, 而an (n = 1, 2, · · · )为实数, a0 = 1, a1 = 1 + q , 且对于所有的自然 数k , 均有 1. a2k−1 a2k = ; a2k−2 a2k−1
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2 例题2 (1999, 全国) 给定n ∈ Z+ 和M > 0. 对于满足条件a2 1 + an+1
.q b
项.
(e) 并项法. 针对一些特殊的数列采取将某些项放在一起先求和, 然后再求Sn .
xt .
(d) 裂 项 法. 如 果 数 列{an }的 通 项an 可 以 拆 成an = f (n + 1) − f (n), 则Sn =
5
若p + q = 1, 有an+1 = (1 − q )an + qan−1 , 进而an+1 − an = −q (an + an−1 ), 转化为 等比数列. 若p + q ̸= 1, 存在α, β 使得 an+1 − αan = β (an − αan−1 ). 整理得 an+1 = (α + β )an − αβan−1 , 从而α + β = p, αβ = −q , 也就是说α, β 为方程x2 + px − q = 0的两个根. 于是可以 先解出α, β , 化成一个等比数列. 当然方程可能没有根, 需要另外想办法. 7. 对于一些非线性递推数列的通项的求法, 常见的有韦达定理法, 换元法及不动点法 等. 具体情形具体分析. 8. 周期数列, 类似于周期函数.
0.1
系
递推(递归)数列
一个数列的第n项an 与前面k 项an−1 , an−2 , · · · , an−k (k 为某一个< n的自然数)的关 ak = f (an−1 , an−2 , · · · , an−k ) (n > k ) 称为k 阶递推(递归)关系, 或者称为k 阶递推(递归)方程, 这里f 是关于an−1 , an−2 , · · · , an−k 的k 元 函数, 称为递推(递归)函数, 由k 阶递推(递归)关系及给定的前k 项a1 , a2 , · · · , ak 所确定的 数列称为k 阶递推(递归)数列. 许多数列都是通过递推关系给出的, 而递推数列的很多问题经常在竞赛中出现. 1. 形如an+1 = an + f (n)的一阶递推式, 其通项求法为
简析: 先搞清楚f (1 − x)与f (x)之间的关系对解题很关键. 注: 本题在联赛中出现过两次, 还有一次是b = 4的情况. 关键是推导f (x), f (1 − x)之 间的关系. 这应该不是很难想到的一点.
简析: 开放性问题, 常用方法有反证法, 否定法, 探究法等等. 发. 趋势预测
2. 利用等差数列, 等比数列解决各类可能遇到的实际问题可能是竞赛命题的发展趋 势. 3. 等差数列, 等比数列的引申知识, 高阶等差数列, 分组数列也可能是一个方向. 4. 数列问题常用方法除了前述的方法外, 归纳法, 二项式定理, 递推法都可以尝试. 还有三角代换, 几何法, 均值不等式, Cauchy不等式等. 开放性问题, 可以考虑肯定法, 否 定法, 分类讨论法, 反证法, 探究法等等, 基本原则是未知向已知转化, 复杂向简单转化. 这也是一切数学问题的思路和想法. 练习: Sn 的最大值. (n + 32)Sn+1 2. 将正奇数集合{1, 3, 5, · · · , }从小到大按照第n组有(2n − 1)个奇数进行分组: 1. (2000, 全国) 设Sn = 1 + 2 + · · · + n, n ∈ Z+ , 求f (n) = {1}, 请问2001是第几组第几个数? {3, 5, 7}, {9, 11, 13, 15, 17}, · · ·
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(h) 数列{an }的前n项和为
.q b
(f) 若数列{bn }是等差数列, 则{an + bn }也是等差数列;
xt .
cn
(b) 数列{an }的通项公式为an = kn + b, 其中k, b为常数;
2 (d) 若Sp = q, Sq = p, p ̸= q , 则Sp+q = −(p + q ). 3. 各项均不为零的数列{an }是等比数列的等价命题有 (a) an+1 a2 = ; an a1
数列a1 , a2 , · · · . 试求S = an+1 + an+2 + · · · + a2n+1 的最大值. 简析: 本题给出了三个明显的条件, 求解的是数列重的最大值问题, 这类问题的求解 方法灵活多样, 注意针对条件合理运用适当的方法.
例题3 (1998, 全国) 各项均为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方和与其余各 项的之和不超过100, 这样的数列至多有
k=2
k=2
2. 形如an+1 = an f (n)的递推式, 其通项求法为
n Y
3. 形如an+1 = pan + q (p ̸= 1)的递推式, 则由 an+1 = pan + q, 两式相减得
令bn = an+1 − an , 则{bn }是公比为p, 首项为b1 = a2 − a1 的等比数列. 4. 形如an+1 = pan + q (n)(p ̸= 1)的递推式, 两边同时除以pn+1 , 得 an q (n) an+1 = n + n+1 , n +1 p p p 令 bn = an , 则转化为类型1. pn
1 1 Sn = (a2 − a1 )n2 + (3a1 − a2 )n; 2 2
n (i) 数列{ S }为等差数列; n
(j) 数列{ap(n−1)+1 + ap(n−1)+2 + · · · + apn }是等差数列, 其中p为任意给定正整数. 2. 等差数列{an }中, 有下列一些结论: Sn−m − Sm Sn = , (2m < n, m, n ∈ Z+ ); n n − 2m (b) S3m = 3(S2m − Sm ); (a) (c) 若Sm = Sn , m ̸= n, 则Sm+n = 0; 1
2. a2k − a2k−1 = a2k+1 − a2k .
求证: 对于每一个给定的正数q , 总能找到自然数N , 使得n > N 时, an > 1994. 例题11 设数列{an }与{bn }满足a0 = 1, b0 = 0, 且
8 > <an+1 = > :bn+1 =
求证: an (n = 0, 1, 2, · · · ) 是完全平方数.
3 7 例题13 已知实数列{an }中, a1 = 1, a2 = 10, a2 n+2 an = an+1 , 求{an }的通项公式.
例题4 (19届莫斯科数学竞赛试题) 设任意实数x, y 满足|x| < 1, |y | < 1. 求证: 1 2 1 + . 1 − x2 1 − y 2 1 − xy
cn
M 的所有等差
3 1 例题5 等比数列{an }中, a1 = 1536, 公比q = − , 用fn 表示它的前n项之积, 则fn 中 2 最大的是 .
8 > <na1, Sn = > a1 (1 − q n ) : ,
1−q
q=1 q ̸= 1
. 5. 常用数列求和的方法 (a) 倒序相加法, 比如等差数列求和. (b) 错位相减法, 比如等比数列求和. (c) 转化法. 讲特殊数列求和转化为等差等比数列求和.
f (n + 1) − f (1).
n X
f (k − 1) = a1 +
n−1
X
f (k ).
0.1 递推(递归)数列 5. 形如an+1 = paq n (p > 0, an > 0)的递推式, 两边同时取对数得 ln an+1 = q ln an + ln p, 则转化为类型3. 6. 形如an+1 = pan + qan−1 的递推式.
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.q b
1. 以侧重等差数列, 等比数列知识的问题仍然是以后国内竞赛命题的热点之一;
xt .
注: 本题是难度较大的一题, 不容易想到, 列在此处供大家欣赏, 看能否得到一些启
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例题8 数1, 2, 3, · · · , 100能否是12个等比数列的项?
4 3. (1993, 上海) 对自然数k , g (k )表示k 的最大奇数因子, 例如g (3) = 3, g (20) = 5. 求g (1) + g (2) + g (3) + · · · + g (2n ), 其中n是自然数. 注: 本题实际上用到了递推的想法. 虽然不用递推也能通过细致的分析解决, 但是 显然用递推是更有效的方法. 4. 设等比数列{an }的首项a1 = 4, 公比q = 3, 求此数列中前n项的所有不同两项的乘 积之和.
例题6 (1998, IMO) 求正整数k , 使得 (a) 对于任意正整数n, 不存在j 满足0 数列. (b) 存在正整数n, 使得有j 满足0 进一步求出具有性质(b)的所有n. 简析: 表面上涉及到很多知识点, 但是抓住关键信息, 也就能展开解题过程. bx √ bx + b j
j j +1 j +k−2 n − k + 2且Cn , Cn , · · · , Cn 成等差数列.
2 特别地, an−1 an+1 = a2 n ; 若p + q = 2r , 则有ap aq = ar ;
(b) 对任意正整数p, q, r, s, 若p + q = r + s, 则ap aq = ar as ;
(c) 数列{an }的通项公式为an = a1
a n−1
2
a1
.
(d) 若数列{bn }是等比数列, 则{an bn }也是等比数列; 4. 等比数列前n项之和
j
j j +1 j +k−1 n − k + 1且Cn , Cn , · · · , Cn 成等差
例题7 已知a0 , a1 , a2 , · · · , an 为等差数列, f (x) =
n X k=0
(b > 0). 求证
k ak Cn [f (x)]k [f (1 − x)]n−k = a0 f (1 − x) + an f (x).