人教A版高中数学必修四 3.2 《简单的三角恒等变换》备课资料
高中数学人教A版必修4教案-3.2_简单的三角恒等变换_教学设计_教案_4
教学准备1. 教学目标正弦定理：余弦定理及变式：三角形性质：2. 教学重点/难点正弦定理：余定理及变式：三角形性质：3. 教学用具4. 标签教学过程典例评析1.△ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC) = 3a·sinB,则∠C等于( )A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/63.△ABC的外接圆半径为R，∠C＝60°，则的最大值为______4.在△ABC中，若a·cosA=b·cosB，则△ABC是( )(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形5.在△ABC中，内角A、B、C成等差数列，且AB=8，BC=5，则△ABC的内切圆的面积为( )A. B. C. D.7.隔河可看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D 两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离【解题回顾】测量问题一般可归结为解三角形问题，将欲计算的线段或角度置于某一可解的三角形中，合理运用正、余弦定理即可我缉私巡逻艇在一小岛南偏西500的方向，距小岛A12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛的北偏西100的方向行驶，测得速度为每小时10海里，问我巡逻艇须用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船(sin380=0.62)。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(3)教案 新人教A版必修4(2021年
内蒙古开鲁县高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换（3）教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换（3）教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2 简单的三角恒等变换（3)教学目标知识目标(学习目标)熟练掌握三角公式及其变形公式．能力目标抓住角、函数式得特点,灵活运用三角公式解决一些实际问题情感态度价值观培养学生观察、分析、解决问题的能力．高考链接（高考考点） 本节知识是高考必考的大题之一,综合运用教学重点和、差、倍角公式的灵活应用．教学重点如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．教学方法与教学准备多媒体,讲练结合教学设计教学内容教学策略 学生活动和效果预测(问题导入）三角化简、求值与证明中,往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如:α=(α+β)-β,2α=（α+β）+(α—β）=(4π+α)—(4π—α),4π+α=2π-你能总结出三角变换的哪些策略?学生思考（4π-α)等，由此探讨展开. 教学内容教学策略学生活动和效果预测提出问题①三角函数y=sinx,y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的?③三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：函数y=asinx+bcosx=22ba +(2222sin ba b x ba a +++cosx ），∵（sin,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba a ba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +s in(x+φ）.因此,我们有如下结论:asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，其中tanφ=ab 。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(2)教案 新人教A版必修4(2021年
内蒙古开鲁县高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换（2）教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换（2）教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2 简单的三角恒等变换(2）教学目标知识目标（学习目标）通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。
能力目标理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.情感态度价值观通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力。
高考链接（高考考点）积化和差与和差化积是一种换元的体现,高考中体现这种思想教学重点1。
半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点。
教学重点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。
教学方法与教学准备多媒体,讲练结合教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α 半角公式: 先让学生默写三个倍角公式，特别注意2C α.半角公式学生口答公式教学内容 教学策略 学生活动和效果预测二、新课讲解 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦; (２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，(1)如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考,哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin （α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。
高中数学必修四人教A版 教案3-2简单的三角恒等变换 精
3.2 简单的三角恒等变换1.知识与技能(1)利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(2)通过三角恒等变形将形如a sin x+b cos x 的函数转化为y=A sin(x+φ)的函数. 2.过程与方法经历半角公式、积化和差公式、和差化积公式的推导过程,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促进学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.3.情感、态度与价值观引导学生以已有的公式为依据,以推导半角公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.三角函数的和积互化(1)三角函数的积化和差公式及推导sin αcos β=,cos αsin β=,cos αcos β=,sin αsin β=-.下面对这组公式进行推导:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,(S(α-β))cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,(C(α+β))cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))(S(α+β))+(S(α-β)),(S(α+β))-(S(α-β)),(C(α+β))+(C(α-β)),(C(α+β))-(C(α-β)),得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β,cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,即sin αcos β=,①cos αsin β=,②cos αcos β=,③sin αsin β=-,④公式①、②、③、④叫做积化和差公式.(2)三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin·cos,sin α-sin β=2cos·sin,cos α+cos β=2cos·cos,cos α-cos β=-2sin·sin.下面给出这组公式的推导:在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在积化和差的公式中,如果令α+β=θ,α-β=φ,则α=,β=.把这些值代入积化和差的公式①中,就有sin·cos==(sin θ+sin φ).∴sin θ+sin φ=2sin·cos.同样可得:sin θ-sin φ=2cos·sin,cos θ+cos φ=2cos·cos,cos θ-cos φ=-2sin·sin.这四个公式叫做和差化积公式.。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案(1)
3.2《简单的三角恒等变换》教学设计【教学目标】1会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos22αααα-=±+=±1cos tan 21cos ααα-=±+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xx x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x =21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。
高中数学必修四(人教新A版)教案28简单的三角恒等变换
（１）、 ；
（２）、 ．
证明：（１）因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
； ．
两式相加得 ；
即 ；
（２）由（１）得
①；
设 ，
那么
．
把 的值代入①式中得
．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
2
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
课后
反思
3
例1、试以 表示 ．
解：我们可以通过二倍角 和 来做此题．
因为 ，可以得到 ；①
因为 ，可以得到 ．②
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得
1
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§3.2简单的三角恒等变换（1）
课标要求
三角恒等变换在数学中的应用．
教
学
目
标
知识目标
会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换
人教A版高中数学必修四简单的三角恒等变换教案二
3.2简单的三角恒等变换（二）一、教学目标1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数；2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析例1：.54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.71tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例３．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1） 求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4．若函数]20[cos 22sin 3)(2π，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。
人教A版高中数学必修四最新简单的三角恒等变换一教案新
3.2简单的三角恒等变换（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第二象限，求2tan α的值。
高一数学人教A版必修四教案：简单的三角恒等变换
數學 3.2簡單的三角恒等變換(1)教案一、教學分析本節主要包括利用已有的十一個公式進行簡單的恒等變換,以及三角恒等變換在數學中的應用.本節的內容都是用例題來展現的,通過例題的解答,引導學生對變換對象和變換目標進行對比、分析,促使學生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據問題的條件進行公式變形,以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識,從而加深理解變換思想,提高學生的推理能力.本節把三角恒等變換的應用放在三角變換與三角函數間的內在聯繫上,從而使三角函數性質的研究得到延伸.三角恒等變換不同於代數變換，後者往往著眼於式子結構形式的變換，變換內容比較單一.而對於三角變換，不僅要考慮三角函數是結構方面的差異，還要考慮三角函數式所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數式結構、函數種類、角與角之間的聯繫等方面找一個切入點，並以此為依據選擇可以聯繫它們的適當公式進行轉化變形，是三角恒等變換的重要特點.二、三維目標1．知識與技能：通過經歷二倍角的變形公式推導出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導出積化和差與和差化積公式,體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數學思想，提高學生的推理能力.2．過程與方法：理解並掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，並會利用公式進行簡單的恒等變形,體會三角恒等變換在數學中的應用.3．情感態度與價值觀：通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力.三、重點難點教學重點：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導訓練.2.三角變換的內容、思路和方法,在與代數變換相比較中,體會三角變換的特點.教學難點：認識三角變換的特點，並能運用數學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力.四、課時安排2課時五、教學設想第1課時（一）導入新課思路 1.我們知道變換是數學的重要工具，也是數學學習的主要對象之一，三角函數主要有以下三個基本的恒等變換：代數變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經利用誘導公式進行了簡單的恒等變換，本節將綜合運用和（差）角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換.思路2.三角函數的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學習了和角公式，差角公式，倍角公式以後，我們就有了進行三角變換的新工具，從而使三角變換的內容、思路和方法更加豐富和靈活，同時也為培養和提高我們的推理、運算、實踐能力提供了廣闊的空間和發展的平臺.對於三角變換,由於不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯繫,並以此為依據選擇可以聯繫它們的適當公式,這是三角式恒等變換的重要特點.（二）推進新課、新知探究、提出問題 ①α與2a有什麼關係? ②如何建立cos α與sin22a之間的關係？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-這三個式子有什麼共同特點？④通過上面的三個問題，你能感覺到代數變換與三角變換有哪些不同嗎?⑤證明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+. 並觀察這兩個式子的左右兩邊在結構形式上有何不同？活動：教師引導學生聯想關於余弦的二倍角公式cos α=1-2sin22a ,將公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教師對學生的討論進行提問，學生可以發現：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 將①②兩個等式的左右兩邊分別相除,即得 tan22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教師引導學生觀察上面的①②③式，可讓學生總結出下列特點： (1)用單角的三角函數表示它們的一半即是半角的三角函數;(2)由左式的“二次式”轉化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的).教師與學生一起總結出這樣的特點,並告訴學生這些特點在三角恒等變形中將經常用到.提醒學生在以後的學習中引起注意.同時還要強調,本例的結果還可表示為:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a=±a a cos 1cos 1+-,並稱之為半角公式(不要求記憶),符號由2a所在象限決定. 教師引導學生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對於三角變換,由於不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異.因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個角間的聯繫，並以此為依據，選擇可以聯繫它們的適當公式，這是三角恒等變換的重要特點.代數式變換往往著眼於式子結構形式的變換.對於問題⑤：（1）如果從右邊出發，僅利用和（差）的正弦公式作展開合併，就會得出左式.但為了更好地發揮本例的訓練功能，把兩個三角式結構形式上的不同點作為思考的出發點，引導學生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.從方程角度看這個等式，sin αcos β，cos αsin β分別看成兩個未知數.二元方程要求得確定解，必須有2個方程，這就促使學生考慮還有沒有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β後，解相應的以sin αcos β，cos αsin β為未知數的二元一次方程組，就容易得到所需要的結果.（2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式後，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1）沒有什麼區別.只需做個變換，令α+β=θ，α-β=φ，則α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.證明:(1)因為sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 將以上兩式的左右兩邊分別相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 設α+β=θ,α-β=φ,那麼α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教師給學生適時引導，指出這兩個方程所用到的數學思想,可以總結出在本例的證明過程中用到了換元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,從而把包含α,β的三角函數式變換成θ,φ的三角函數式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通過解方程求得x,這就是方程思想的體現.討論結果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(見活動）.（三）應用示例思路1例1 化簡:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活動：此題考查公式的應用，利用倍角公式進行化簡解題.教師提醒學生注意半角公式和倍角公式的區別，它們的功能各異，本質相同，具有對立統一的關係.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 點評：本題是對基本知識的考查，重在讓學生理解倍角公式與半角公式的內在聯繫.變式訓練化簡:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活動：教師引導學生利用立方差公式進行對公式變換化簡，然後再求解.由於(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此題後,教師引導學生深挖本例的思想方法,由於sinx ·cosx 與sinx ±cosx 之間的轉化.提升學生的運算.化簡能力及整體代換思想.本題也可直接應用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往適用於sin 3x ±cos 3x 的化簡問題之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 點評：本題考查的是公式的變形、化簡、求值,注意公式的靈活運用和化簡的方法. 變式訓練(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,則cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证. 活動：此題可從多個角度進行探究,由於所給的條件等式與所要證明的等式形式一致,只是將A,B 的位置互換了,因此應從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方關係來減少函數的種類.從結構上看,已知條件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代換.證明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴cos 4A ·sin 2B+sin 4A ·cos 2B=sin 2B ·cos+B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A ·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A BA B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 證明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α,則cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.兩式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2k π(k ∈Z ),即B=2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 點評:要善於從不同的角度來觀察問題,本例從角與函數的種類兩方面觀察,利用平方關係進行了合理消元. 變式訓練在銳角三角形ABC 中,ABC 是它的三個內角,記S=BA tan 11tan 11+++,求證:S<1. 證明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA ·tanB>1.∴S<1.思路2例1 證明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活動：教師引導學生思考，對於三角恒等式的證明，可從三個角度進行推導：①左邊→右邊；②右邊→左邊；③左邊→中間條件←右邊.教師可以鼓勵學生試著多角度的化簡推導.注意式子左邊包含的角為x,三角函數的種類為正弦，余弦，右邊是半角2x，三角函數的種類為正切.解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右兩邊的角之間的關係，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：從左邊入手，分子分母運用二倍角公式的變形，降倍升冪，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由兩邊三角函數的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 點評：本題考查的是半角公式的靈活運用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓練 已知α,β∈(0,2π)且滿足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β,兩式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0.又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.結合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求證:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活動：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經常使用的方法. 證明:證法一:左邊=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右邊.∴原式成立. 證法二:右邊=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+ =βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左邊.∴原式成立.點評：此題進一步訓練學生三角恒等式的變形,靈活運用三角函數公式的能力以及邏輯推理能力. 變式訓練 1.求證:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+.分析：運用比例的基本性質,可以發現原式等價於θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右邊就是tan2θ. 證明:原等式等價於θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左邊θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右邊.∴上式成立,即原等式得證.2.已知sin β=m ·sin(2α+β),求證:tan(α+β)=mm-+11tan α. 分析:仔細觀察已知式與所證式中的角,不要盲目展開,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化為結論式中的α+β與α的和,不妨將α+β作為一整體來處理. 證明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm-+11tan α.（四）知能訓練1.若sin α=135,α在第二象限,則tan 2a的值為( )A.5B.-5C.51D.51-2.設5π<θ<6π,cos 2θ=α,則sin 4θ等於( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a-- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,則tan 2θ_________________.解答:1.A2.D3.-3（五）課堂小結1.先讓學生自己回顧本節學習的數學知識:和、差、倍角的正弦、余弦公式的應用,半角公式、代數式變換與三角變換的區別與聯繫.積化和差與和差化積公式及其推導,三角恒等式與條件等式的證明.2.教師畫龍點睛總結:本節學習了公式的使用,換元法,方程思想,等價轉化,三角恒等變形的基本手段.（六）作業。
高中数学人教A版必修四3.2【教学设计】《3.2简单的三角恒等变换》
《3.2简单的三角恒等变换(1)》一、讲什么1．教学内容（1）思想方法：化归思想；（2）能力素养：数学推理、数学运算。
2．内容解析：本节主要包括利用已有的十一个两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本课时则是运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换的起始课，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力。
在此之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系，为本节课运用这些公式进行简单的恒等变换提供了知识与方法的准备。
二、为何讲1．教学目标：（1）通过推导半角公式，引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；（2）促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识。
2．目标解析：通过半角公式的推导过程（而不是结果），加强学生对公式的理解（而不是记忆），引导学生以两角和与差的正弦、余弦、正切公式为依据，以三角恒等变换作为基本训练，对变换对象和变换目标进行类比和归纳，学习三角变换的内容、思路和方法，促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识，并在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高数学推理和数学运算能力。
教学重点：推导半角公式。
三、怎样讲（一）教学准备1．教学问题：（1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱。
2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”。
（二）教学过程设计【问题1】请用不同的方法，表示出，其中只含的正弦或余弦。
【设计意图】通过倍角公式，为半角公式的推导做铺垫。
【预设师生活动】（1）学生在“智慧课堂”上传结果。
（2）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(1)教案 新人教A版必修4(2021年
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3。
2 简单的三角恒等变换（1）教学目标知识目标（学习目标）1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式2.体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力.能力目标理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。
情感态度价值观如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
高考链接（高考考点）半角公式是三角函数解题过程中必有的知识点，必须把握好教学重点1.半角公式的推导训练.2。
三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学重点认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学方法与教学准备多媒体，讲练结合教学设计教学内容教学策略学生活动和效果预测复习引入:复习倍角公式2S 、先让学生默写三个倍学生口答公式2C α、2T α 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 角公式，注意等号两边角的关系,特别注意2C α.既然能用单角教学内容 教学策略学生活动和效果预测半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解:因为2cos 12sin 2αα=-,可以得到21cos sin 22αα-=; 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评:⑴以上结果还可以表示为：1cos sin 221cos cos 22αααα-=±+=± 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以代2，2α代）教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；（2）由左式的“二次学生模仿余弦的二倍角公式推导半角公式并称之为半角公式，符号由2α角的象限决定。
数学知识点人教A版高中数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》教案1-总结
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sinαβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
高中数学 3.2简单的三角恒等变换教案1 新人教A版必修4
（一）复习导入：大家首先回顾一下和、差、二倍角的正弦、余弦和正切公式，
（二）新课：
例1、试以 表示 ．（思考：代数式变换与三角变换有什么不同？）
点评：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
课题
3.2简单的三角恒等变换
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
（AB层）熟练掌握和、差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；（C层）会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形；（ABC层）加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
过程与
方法
通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识。
情感、
态度、
价值观
体会变换中形变而质不变的哲理
教
学
内
容
分
析
教学
重点
引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学
难点
认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
例２、求证：（１）、 ；
（２）、 ．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
点评：证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
2014人教A版高中数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》教案2
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()s i n y A xωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
人教A版-数学-高一必修4-3.2简单的三角恒等变换(教案)
第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换目录1 教学目标 ......................................................................................................................................... 1 2 教学重点/难点 .. (1)教学重点： ................................................................................................................................ 1 教学难点： ................................................................................................................................ 2 3 专家建议 ......................................................................................................................................... 2 4 教学方法 ......................................................................................................................................... 2 5 教学过程 .. (2)5.1温故知新、引入课题 .................................................................................................... 2 5.2 新知探究 (3)[1] 半角公式 (3)探究一：二倍角公式的变形 ........................................................................... 3 探究二: 和差角公式的变形 ........................................................................... 4 [2] 辅助角公式 . (6)探究三：sin cos 的变形及应用+a x b x ........................................................ 6 [3] 实际应用 ................................................................................................................. 7 [4] 课堂小结 ................................................................................................................. 9 5.3 复习总结和作业布置 (10)[1] 课堂练习 .............................................................................................................. 10 [2] 作业布置 .. (12)6 板书设计 (12)1 教学目标[1]巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正弦、余弦、正切公式，能运用上述公式进行简单的三角恒等变换。
高中数学必修4人教新课标a版3.2简单的三角恒等变换教案
3．2 简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。
既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin 2cos2αα==tan 2α= 并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1：求证sin tan 21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。
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备课资料
一、三角函数的综合问题
三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一,近年来,高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识.在综合题中,也常常会涉及三角函数的基础知识的应用.因此,对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下,还应注意与其他部分知识的综合运用.
三角函数同其他函数一样,具有奇偶性、单调性、最值等问题,我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化,有关三角函数的求值、化简、证明等问题.
应熟知三角函数的基本性质,并能以此为依据,研究解析式为三角式的函数的性质,掌握判断周期性,确定单调区间的方法,能准确认识三角函数的图象,会做简图、对图象进行变化.
二、备用习题 1.
20
cos 10cos 20sin 10sin ++的值是（ ） A.tan10°+tan20° B.3
3 C.tan5° D.2-3 2.若α-β=4
π,则sin αsin β的最大值是（ ） A.422- B.4
22+ C.43 D.1 3.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(β-γ)的值是（ ） A.1 B.-1 C.
21 D.21- 4.若cos αsinx=2
1,则函数y=sin αcosx 的值域是（ ） A.［23-,21］ B.［21-,21］ C.［21-,2
3］ D.［-1,1］
5.log 2(1+tan19°)+log 2(1+tan26°)=______________.
6.已知函数f(x)=cos2xcos(
3
π-2x),求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值. 7.已知sinA=53-,cosB=419-,A∈(23π,2π),B∈(π,23π),求sin(2A-2B )的值,并判定2A-2B 所在的象限.
8.已知f(0)=a,f(2
π)=b,解函数方程:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·cosy. 参考答案:
1.D
2.B
3.D
4.B
5.1
6.f(x)=
21［cos 3π+cos(4x-3π)］=21cos(4x-3π)+41,由2k π≤4x -3
π≤2k π+π(k∈Z ),得原函数的单调递减区间是［2πk +12π,2πk +3π］(k∈Z ),T=2
π,最大值是43. 7.cosA=54,sin2A=2524-,cos2A=1-2sin 2A=257,∵B∈(π,23π),∴2B ∈(2π,43π).
∴sin 2B =415,cos 2B =41
4-. ∴sin(2A -
2B )=sin2 Acos 2B -cos2Asin 2B =1025
4161. 又cos(2A-2B )=cos2Acos 2B +sin2Asin 2B <0,∴2A -2
B 是第二象限角. 8.分别取⎩⎨⎧==.,0t y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.2,2π
πy t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==.
2,2t y x π
π 代入方程,得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∙-=-++=++∙=-+)
3(,sin )2(2)()()2(,0)()()
1(,cos )0(2)()(t f t f t f t f t f t f t f t f π
ππ
①+②-③,得2f(t)=2f(0)cost+2f(2π
)sint. ∵f(0)=a,f(2π
)=b,∴f(x)=acosx+bsinx.
(设计者：房增凤）。