2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换复习(三)教案新人教A版必修4

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人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标.1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一.二倍角公式的推导思考1.二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案.sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2.根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二.二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一.给角求值例1.求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°. 解.(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思与感悟.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1.求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.解.(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二.给值求值例2.(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 答案.89解析.(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⇒sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于(..) A.6425B.4825C.1D.1625答案.A解析.cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解.由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思与感悟.(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2.已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值. 解.(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 类型三.利用倍角公式化简例3.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解.方法一.原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二.原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟.(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3.化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案.(1)sin α－cos α.(2)0解析.(1)∵α∈(π4，π2)，∴sin α＞cos α， ∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－ 1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.1.12sin π12cos π12的值等于(..) A.14B.18C.116D.12 答案.B解析.原式＝14sin π6＝18. 2.sin 4π12－cos 4π12等于(..) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案.B解析.原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝ . 答案.1－32 解析.tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15°＝1－32. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案. 3解析.∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－12， sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin 2α等于(..) A.－1213B.1213C.－120169D.120169答案.D解析.由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D. 2.若tan θ＝－13，则cos 2θ等于(..) A.－45 B.－15 C.15 D.45答案.D解析.tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 3.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于(..) A.724 B.－724 C.247 D.－247答案.D解析.由cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D.4.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于(..) A.16B.13C.12D.23 答案.A解析.因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 5.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是(..) A.－105B.105C.－155D.155 答案.C解析.∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. 又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0. ∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， sin θ2＝－155. 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于(..) A.－53 B.－59 C.59 D.53答案.A解析.由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53，故选A. 7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于(..) A.725B.15C.－15D.－725 答案.D解析.因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案.－22 解析.原式＝－cos 45°＝－22. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案.116解析.原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 10.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝ . 答案.247解析.cos α＝x x 2＋42＝x 5， ∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－35，sin α＝45， ∴tan α＝－43，tan 2α＝2×(－43)1－(－43)2＝－831－169＝－83－79＝7221＝247. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4)＝ . 答案.34 12.若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝ . 答案.0 解析.由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3. ∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22 ＝2×310×110＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22 ＝5210－22＝0. 三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值. 解.∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案.459解析.设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15.已知π<α<32π，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 解.∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2.。

2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换教案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换教案新人教A 版必修4一、选择题 1．已知，，则（） A ． B ． C ． D ． 2．设，，，则大小关系（）A ．B ．C ．D ． 3．已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ． 4．函数的最小正周期是( )A ．B ．C ．D ． 5．已知则的值为（）A. B. C. D. 6．若，且，则( )A ．B ．C ．D ． 7.已知中，若则是（）A ．等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 8．求值（）A ．B ．C ．D ． 9．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（） A ． B ． C ． D ．10．函数2sin cos y x x x =- ）A. B. C. D.11．0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是（） A. B. C. D. 12. 已知：，则的值为（）A. B. C.-4 D. 二、填空题13．已知在中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角的大小为．14. 函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于． 15．．16．给出下列命题：①存在实数，使；②若是第一象限角，且，则；③函数是偶函数；④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．其中正确命题的序号是三、解答题17. 求值：（1）078sin 66sin 42sin 6sin（2）02250cos 20sin 50cos 20sin ++18．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x +π的值。

19. 已知函数.,2cos 32sinR x xx y ∈+= （1）求取最大值时相应的的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.20．已知函数2()sin cos cos (0)f x a x x x b a =⋅++> (1)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A 版必修4►专题归纳对于三角函数求值主要有三种类型，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．三种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．►例题分析例1 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β ＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得cos ()α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 点评：三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键．所谓变换是指函数名称类型的变换及角的变换，两种变换相辅相成，互相利用．例2 已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．分析：本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，可先将条件式3sin β＝sin(2α＋β)展开后求α＋β的正切值．解析：∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin ()α＋β－α＝sin(α＋β＋α)，整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. 即tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12，tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.点评：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段． ►跟踪训练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是(C ) A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3.∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.故选C.►专题归纳三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换，使之变为较简单的形式．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切割化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方去根号．三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型，是高考命题的热点，它常与三角函数的图象和性质联系出题，题型灵活多变，因而三角函数的化简也是需要掌握的基本知识和基本技能．►例题分析例3 化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.分析：本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类．或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数．解析：方法一原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.方法二原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·()sin α＋cos α2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 点评：(1)切弦共存时，两种方法均采用了切化弦这种技巧．(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，以上三个公式熟练地交替使用，可使问题得以顺利解决．(3)一公式结构的三角函数式化简一般需要分子、分母出现可约式，再进行约分．例4 化简(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°.分析：本题中含有正切、正弦、余弦，一般先切化弦，还要注意到特殊值，联想到表示特殊角的三角函数．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－3·cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°sin 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°sin 50°＝2sin （10°－60°）sin 50°＝－2sin 50°sin 50°＝－2.►跟踪训练2.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝(B ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2α cos 2α＝sin 2αcos 2α＝tan 2α.故选B.►专题归纳三角函数等式的证明，包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与欲证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法，消元法等方法进行证明．►例题分析例5 求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.分析：本题主要考查二倍角公式及变形应用，因等式右端为tan x2，故可将在左边的角4x ，2x ，x 化为x2形式．证明：∵左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sinx2cosx 2＝tan x 2＝右边．∴等式成立．点评：要熟练掌握下列二倍角公式的变形． sin α＝sin 2α2cos α，cos α＝sin 2α2sin α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.例6 已知tan(α＋β)＝2tan β，求证：3sin α＝ sin(α＋2β)．分析：观察条件与结论间的差异可知：(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同．(2)角的差异是α＋β，β；α，α＋2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：(α＋β)－β＝α；(α＋β)＋β＝α＋2β，由此可化异为同．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得 sin （α＋β）cos （α＋β）＝2sin βcos β，∴sin(α＋β)·cos β＝2cos(α＋β)·sin β. 而sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(α＋β)·cos β＋cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β＋cos(α＋β)·sin β ＝3cos(α＋β)·sin β，又sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β－cos(α＋β)·sin β ＝cos(α＋β)·sin β，故sin(α＋2β)＝3sin α.点评：三角式的证明要注意观察函数的特点，角的特点，结构特点． ►跟踪训练3．求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x . 证明：证法一右边＝1－sin xcos x 1＋sin x cos x ＝cos x －sin xcos x ＋sin x＝（cos x －sin x ）2（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）＝cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－2sin x cos xcos 2x －sin 2x＝左边．∴原命题成立．证法二左边＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos xcos 2－sin 2x＝（cos x －sin x ）2cos 2x －sin 2x ＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x1＋tan x＝右边，∴原命题成立．►例题分析例7 (1)①证明两角和的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .解析：(1)①如右图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1，0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P 4(cos(－β)，sin(－β))，由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋ [sin(－β)－sin α]2，展示并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ②由①易得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（α＋β）＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋（－β）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由题意，cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. 故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. 例8 已知a ＝(3sin ωx ，1)，b ＝(cos ωx ，0)，其中ω>0，又函数f (x )＝b ·(a －b )＋k 是以π2为最小正周期的周期函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的最小值为－2.(1)求f (x )的解析式；(2)写出函数f (x )的单调递增区间．分析：本题主要考查平面向量的坐标运算、二倍角公式及三角函数的性质，先化简f (x )，然后求解．解析：(1)a －b ＝(3sin ωx ，1)－(cos ωx ，0) ＝(3sin ωx －cos ωx ，1)，∴f (x )＝(cos ωx ，0)·(3sin ωx －cos ωx ，1)＋k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12＋k .∴T ＝2π2ω＝π2，∴ω＝2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则4x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴f (x )的最小值为f (0)＝－12－12＋k ＝k －1＝－2. ∴k ＝－1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6－32. (2)当4x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )为增函数． ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z)．点评：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最值时，若x ∉R ，要考虑ωx ＋φ所在的区间及单调性．►跟踪训练4．已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)．解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②联立方程解得，cos α＝－255，sin α＝－55. ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210，即cos β＝－210，0<β<π， ∴sin β＝7210，∴π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22. 5．已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0.(1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋tan A sin x (x ∈R)的值域．解析：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0，即sin A ＝2cos A ．∴tan A ＝sin A cos A ＝2cos A cos A＝2. (2)f (x )＝cos 2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32， ∵sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝12时，取得最大值32；当sin x ＝－1时，取得最小值－3.∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.。

【新】版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】－79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24·cos π12＝12sin π12·cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12·cos π12＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°；(3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α或sin α，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】－45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】【证明】左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝α＋cos α22cos αα＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α ＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos2α2＝2－2cos α2＝4sin2α4＝2sin α4. 探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？【提示】求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】化简f x 的解析式→f x ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝Aωx ＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.小中高精品教案试卷制作不易推荐下载 11 【答案】－565.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。

三角恒等变换(三)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

三角恒等变换
环节五三角恒等变换（三）
复习引入
问题1 对于三角恒等变换，你积累了哪些经验？
答案：在进行三角恒等变换时，应该分析已知条件与目标之间的差异，这些差异包括角的差异、三角函数名的差异、式子结构差异等等．找到“差异”之后，根据“差异”选择合适的公式，逐步消除这些“差异”，最终达到目标．
技能初建
技能初建
2．方法提炼
问题2 由特殊到一般，你能将y＝asinωx+bcosωx转化为y=Asin(ωx+φ)或者 y=Acos(ωx+φ)的形式吗？
答案：类比例1（2）的方法，可得y＝asinωx+bcosωx= a2 + b2sin(ωx+φ)，其
中sinφ= 中sinφ=
a
b 2
b2
，cosφ=
3sin x＋4cos x=Asinxcosφ+Acosxsinφ，
于是Acosφ=3，Asinφ=4.
于是A2cos2φ+A2sin2φ=25，所以A2=25．
取A=5，则cosφ＝3，sinφ＝ 4．
5
5
由y=5sin (x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5．
技能初建
1．典例精析
6
因此，当α＝ π 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
6
3．
6
技能初建
3．典例精析
问题3 回顾例1、例2的解答过程，其中蕴含了什么数学思想？
答案：在变换过程中，化高次为一次，化多项为一项，化陌生为熟悉，渗透了化归思想．
归纳小结
归纳总结
问题4 （1）本节课研究了形如或可化为y＝asinωx+bcosωx的函数的性质，求解方法是进一步将其转化为y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式，那么，为什么要化为这种形式？转化的依据是什么？你对三角恒等变换有什么新的体会？

2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修

2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修目标定位 1.了解学习两角和与差的三角函数公式的必要性.2.理解用三角函数线、向量推导两角差的余弦公式的思路.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法.4.理解和、差角的相对性，能对角进行合理拆分与能对公式进行简单逆用.自主预习两角差的余弦公式1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)化简cos ⎝⎛⎭⎫π2－α只能利用诱导公式.(×)(2)cos(α－β)＝cos α－cos β一般都成立.(×)(3)以Ox 为始边作角α，终边与单位圆交于点A ，则A 点的坐标为 (sin α，cos α).(×)(4)cos 15°＝cos(45°－30°)＝14(6－2).(×)提示 (1)也可以用两角差的余弦公式化简. (2)一般不成立. (3)A (cos α，sin α).(4)cos 15°＝cos(45°－30°)＝14(6＋2).2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( ) A.32B.12C.－32D.－12解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.答案 B3.化简sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4的结果是( )A.sin 2xB.cos 2xC.0D.1解析原式＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4－⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos π2＝0.答案 C4.计算12sin 60°＋32cos 60°＝________.解析原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案32类型一运用公式求值【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.解 (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40° ＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64. 规律方法对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式. 【训练1】求下列各式的值： (1)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°. (2)12cos 15°＋32sin 15°. 解 (1)原式＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 类型二给值求值问题【例2】 (xx·绍兴高一期末测试)设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－49＝53. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[]（α＋β）＋（α－β），α＝12[]（β＋α）－（β－α）等.【训练2】已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值.解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437 ＝12. 类型三给值求角问题(互动探究)【例3】已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值.[思路探究]探究点一要求α－β的值，可以先求什么？提示可以先求cos(α－β)的值.探究点二要求cos(α－β)的值，还需求哪些值？提示还需求sin α，sin β.探究点三由cos(α－β)的值，求α－β的值，应注意什么？提示应注意α－β的范围. 解 ∵α、β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.规律方法解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.【训练3】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值.解由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314，由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3. [课堂小结] 1.公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式. 2.公式的适用条件公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.3.公式的“活”用公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面： (1)公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β；(2)角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)].1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12B.13C.32D.33解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A.答案 A2.cos 165°等于( ) A.12 B.32C.－6＋24D.－6－24解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－6＋24. 答案 C3.32sin 60°＋12cos 60°＝________. 解析原式＝sin 60°sin 60°＋cos 60°cos 60° ＝cos(60°－60°)＝cos 0°＝1. 答案 14.已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.解因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝3665－2065＝1665.基础过关1.若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A.0B.1C.±1D.－1解析由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1. 答案 B2.化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( ) A.12B.－12C.32D.－32解析原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.答案 A 3.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0).sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋⎝⎛⎭⎫31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.答案 C4.已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|＝( ) A.12B.22C.32D.1解析 |AB →|＝（cos 20°－cos 80°）2＋（sin 20°－sin 80°）2 ＝2－2（cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°）＝2－2cos 60°＝2－2×12＝1.答案 D5.若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.解析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83.答案 836.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，求cos(α－β). 解 ∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β).∴|a －b |＝（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2＝ cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＋sin 2 α－2sin αsin β＋sin 2β ＝2－2cos （α－β）＝255，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.7.已知α、β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.解 ∵α为锐角，cos α＝17，∴sin α＝437.又∵β为锐角，∴0<α＋β<π.∵sin(α＋β)＝5314<sin α，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1114，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝12，∵β为锐角，∴β＝π3.8.求函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3(x ∈R )的最大值和最小值.解 y ＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫cos π6cos x ＋sin π6sin x＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6.∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x －π6≤1.∴y max ＝3，y min ＝－ 3.能力提升9.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6，此时关于y 轴对称，则m －π6＝k π，k ∈Z ，所以m ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝0时，m 的最小值是π6，选B.答案 B10.若12sin x ＋32cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值为( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3解析 12sin x ＋32cos x ＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，故φ的一个可能值为－π6.答案 A11.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________.解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2得：(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝1，整理得：2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.答案－1212.若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________. 解析 ∵sin α－sin β＝1－32，① cos α－cos β＝12，②∴①2＋②2整理得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，即cos(α－β)＝32.答案3213.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求 cos(α＋β).解因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π.所以sin(2α－β)＝22.因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 探究创新14.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β).其中0<α<β<π. (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直.(2)若k a ＋b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值(k 为非零的常数).(1)证明因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝1－1＝0，所以a ＋b 与a －b 互相垂直.(2)解因为k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，所以|k a ＋b |＝（k cos α＋cos β）2＋（k sin α＋sin β）2 ＝k 2＋1＋2k cos （β－α），|a －k b |＝（cos α－k cos β）2＋（sin α－k sin β）2 ＝k 2＋1－2k cos （β－α）. 而|k a ＋b |＝|a －k b |，所以k 2＋1＋2k cos （β－α）＝k 2＋1－2k cos （β－α），所以cos(β－α)＝0，又因为0<α<β<π，所以0<β－α<π，所以β－α＝π2.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)目标定位 1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式.2.能应用两角和与差的正弦、余弦公式解决有关问题.3.理解和、差角的相对性，能对角进行合理、正确的拆分.4.能对公式进行简单的逆用.自主预习1.两角和与差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β. C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β. 2.两角和与差的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β. S (α－β)：sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β.3.两角互余或互补(1)若α＋β＝π2，其α、β为任意角，我们就称α、β互余.例如：π4－α与π4＋α互余，π6＋α与π3－α互余. (2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补.例如：π4＋α与34π－α互补，α＋π3与23π－α互补. 即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(α＋β)＝cos α＋cos β对任意角都不成立.(×) (2)12cos α＋32sin α＝sin(30°－α).(×) (3)sin x ＋cos x ∈[－1，1].(×) (4)sin 15°＝14(6＋2).(×)提示 (1)α＝π2，β＝－π4时，等式成立.(2)12cos α＋32sin α＝sin(30°＋α) (3)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2].(4)sin 15°＝14(6－2).2.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( ) A.－12B.12C.32D.－32解析原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12.答案 A3.在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255B.－255C.55D.－55解析 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 答案 A4.函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________. 解析 f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.∴f (x )∈[－2，2]. 答案 [－2，2]类型一利用和(差)角公式化简【例1】化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°·cos 74°；(3)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )； (4)sin π12－3cos π12.解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. (4)法一原式＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二原式＝2⎝⎛⎭⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2.规律方法化简三角函数式的标准和要求 (1)能求出值的应求出值.(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少. (3)使三角函数式的次数尽可能低. (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式. 【训练1】化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.解原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin （－50°）cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2.类型二利用和(差)角公式求值【例2】若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45，∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β）＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365.规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.【训练2】已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值.解 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 类型三两角和与差的正弦、余弦公式在解三角形中的应用(互动探究) 【例3】在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[思路探究]探究点一 A 、B 、C 之间有怎样的关系？提示 A ＋B ＋C ＝π.探究点二由sin A ＝35，求cos A 的值，由cos B ＝513，求sin B 的值，值确定吗？提示应注意由三角函数值的符号，确定角A 、B 的范围. 解 ∵cos B ＝513＜22，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin B ＝1213.∵sin A ＝35＜22，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π.若A ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，B ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则A ＋B ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，与A ＋B ＋C ＝π矛盾，∴A ∉⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且cos A ＝45.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫45×513－35×1213＝1665.规律方法在应用公式时，要注意角的范围，特别在三角形中，A ＋B ＋C ＝π，A ，B ，C ∈(0，π).【训练3】 (1)(xx·常州高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 的形状为________.(2)在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )·sin B ≥1，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰非直角三角形解析 (1)∵sin A sin B <cos A cos B ∴cos A cos B －sin A sin B >0 而cos(A ＋B )>0，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )<0. ∴C 为钝角.(2)由条件sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1得sin A ≥1，即sin A ＝1.A 为直角.故选C. 答案 (1)钝角三角形 (2)C [课堂小结]1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.1.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( ) A.12B.－12C.0D.1解析原式＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0. 答案 C2.已知sin α＝－35，α是第四象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于( )A.210B.7210C.－7210D.－210解析由已知：cos α＝45.∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin π4cos α－cos π4sin α＝7210. 答案 B3.化简sin(45°＋A )－sin(45°－A )＝________.解析原式＝22(cos A ＋sin A )－22(cos A －sin A )＝2sin A . 答案2sin A4.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值.解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.①∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5.基础过关1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A.－32B.－12C.12D.32解析原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.答案 B2.已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A.0B.0或2425C.2425D.0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0.∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 答案 C3.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( ) A.－1B.0C.1D.±1解析 cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1. 答案 D4.已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝________.解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010，∴cos α＝55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.答案3π45.化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________. 解析原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝ cos α. 答案 cos α6.求下列各式的值.(1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15°； (2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°；解 (1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15° ＝cos(90°＋15°)cos15°－sin(90°－15°)sin 15° ＝－sin 15°cos 15°－cos 15°sin 15° ＝－(sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°) ＝－sin(15°＋15°) ＝－sin 30°＝－12.(2)∵sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝6－24， cos 15°＝6＋24，∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝2262＝33.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α、β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝2；(2)由f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013得2sin α＝1013，即sin α＝513，由f (3β＋2π)＝65得2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65，从而cos β＝35，又∵α、β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.8.已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α.能力提升9.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A.1B.2C.1＋ 3D.2＋3解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.答案 B10.在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C11.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________. 解析原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin （45°－30°）cos （45°－30°）＝2－ 3.答案 2－312.已知α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β＝________. 解析因α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，所以cos α＝255，sin β＝31010，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，所以α－β＝－π4.答案－π413.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，求sin α的值.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝513.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0<α－β<π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β ＝1213×35＋513×⎝⎛⎭⎫－45＝1665. 探究创新14.证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋ sin 80°·sin 40°的值. 证明左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边.∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)目标定位 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用公式进行和、差角的求值和化简.3.能对公式进行简单的逆用和变形应用.自主预习1.两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(2)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式T (α＋β)中，只有α，β满α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )才可使用.(×)(2)tan ⎝⎛⎭⎫π2－α无法化简.(×)(3)tan 15°＝3＋33－3.(×)(4)当α＋β＝54π时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝－2.(×)提示 (1)T (α＋β)中α，β，α＋β都不能等于π2＋k π，k ∈Z .(2)利用两角差的正切公式化简即可. (3)tan 15°＝3－33＋3.(4)当α＋β＝54π时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.2.若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( )A.－2B.－12C.12D.2解析 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.答案 B3.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2D.不确定解析 (1＋tan A )·(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2. 答案 B4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3. 答案 3类型一利用和(差)角的正切公式求值【例1】求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30° ∴原式＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个. 【训练1】求下列各式的值. (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3. 类型二给值求角问题【例2】已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值.解 ∵tan α＝17＜1且α为锐角，∴0＜α＜π4，又∵sin β＝1010＜5010＝22且β为锐角， ∴0＜β＜π4，∴0＜α＋2β＜3π4.①由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， ∴tan β＝13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋131－17×13＝12.∴tan(α＋2β)＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.规律方法此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.【训练2】已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.解由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α、tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.类型三和(差)角的正切公式的综合应用(互动探究)【例3】已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一由两角和(差)的正切公式.由条件tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3可得到什么结论？提示条件可变形为： tan B ＋tan C1－tan B tan C＝ 3.探究点二由条件3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1可得什么结论？提示条件可变形为：tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33.解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∵0<B <π，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰钝角三角形.规律方法三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角的个数.【训练3】已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角.求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . [课堂小结]1.公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2 (k ∈Z ).2.从三个角度入手直接利用公式T (α±β)求值(1)复角化单角：公式tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β及tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β反映了复角化单角的思想，即要求α±β的正切函数值，只需知道tan α和tan β的值，代入求解便可. (2)整体意识：公式T (α±β)中有两个小团体“tan α±tan β”及“tan αtan β”，求解时可利用整体思想代入求解.(3)角的配凑：公式T (α±β)中α，β只代表了角的某一形式，其可能是单纯的α，β，也可能是某些小团体. 3.公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tanπ4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等. 要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.1.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( )A.－17B.－7C.17D.7解析由已知：sin α＝35，∴tan α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1＋341－34＝7.答案 D2.1－tan 75°1＋tan 75°＝( )A. 3B.－ 3C.33D.－33解析原式＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(－30°)＝－33.答案 D3.tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°＝________. 解析 ∵tan 120°＝tan 36°＋tan 84°1－tan 36°tan 84°＝－3，∴tan 36°＋tan 84°＝－3＋3tan 36°tan 84°， ∴tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°＝－ 3. 答案－34.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，求A ＋B 的值.解由已知：cos B ＝255，∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝13＋121－13×12＝1.又∵0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.基础过关1.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A.－22B.22C.12D.－12解析由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案 B2.已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318B.1323C.723D.16解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 答案 C3.已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4解析 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝54π.答案 C4.已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.答案 15.在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，则tan 2C ＝________.解析 ∵cos A ＝45，0＜A ＜π，∴tan A ＝34，又∵tan B ＝2， ∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34＋21－34×2＝112，∴tan 2C ＝tan(C ＋C )＝tan C ＋tan C1－tan C ·tan C＝112＋1121－112×112＝－44117.答案－441176.已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π).(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值. 解 (1)tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋114＝13.(2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan （α－β）＋tan α1－tan （α－β）tan α＝1.∵tan β＝－17<0，α，β∈(0，π)，∴π2<β<π.又∵tan α＝13>0，∴0<α<π2.∴－π<α－β<0. 而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β∈(－π，0).∴2α－β＝－3π4.7.求下列各式的值：(1)sin 15°·cos 15°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°).解 (1)∵sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22·32－22·12＝6－24，cos 15°＝6＋24，∴sin 15°·cos 15°＝14. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值. 解由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.能力提升9.化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A.1B.2。

2019-2020年高中数学第三章《简单的三角恒等变换》教案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学第三章《简单的三角恒等变换》教案新人教A版必修4一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到；因为，可以得到．又因为222sin1cos2tan21coscos2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设，那么．把的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数的周期，最大值和最小值．解：这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：2019-2020年高中数学第三章《简单的线性规划》教案3 新人教A 版必修5授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式限时规范训练新人教A版

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式x i nihi!* .H>i L-i Hi-刑 z M i i lui i M< 限时规范训练【基础练习】2 .对于函数 f (x ) = 2sin x cos x ,n nA. f (x )在—,2上是递增的 C. f (x )的最小正周期为2 nB. f (x )的图象关于原点对称D. f (x )的最大值为2【答案】 B【解析】因为 f (x ) = 2sin x cos x = sin 2 x ，所以f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称.故选B .3. (2019 年安徽马鞍山模拟,. n2. 5 n)已知 cos 6 — a = Q ,贝U sin 3 + 2 a6 3 3的值为()【答案】C【解析】n 2 所以 cosn 2n =±扌所以因为 cos "6 —a= 3，a - ~ 6=3， sin a - ~~65 nnnn5± X —3 2 ± ^9^-故选 c. sin 3 + 2 a=sin 2a-§=2si n 必一W cos6a- 7=2X 3 =n1 r2n4 .右 sin ~6— a = 3,则cos 3 + 2 a =()1 . (2019年河南安阳模拟)已知角 a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点(一4,3)，贝U sin 2 a - cos 2 17A .-25B.31 255 C - 3D.【答案】B【解析】由三角函数的定义，可得sin4cos a= — 5 '所以 sin 2a =2sin a cosa= -25,24cos 2 2 . 2a = cos a — sin a25'Sin 2 a - cos 2 a31―25-故选B .7- _-B.F 列选项中正确的是 (5+_7-9【答案】B 2 n 【解析】cos — + 2 a =2cos 27t—1 = 2cos 2 n — ~— a 2 6 ・2 n—1 = 2sin — a —61 = 9—1=— 7 9. n 5. （2017年福建莆田一模）已知sin — — a 1 =-，贝y cos 2 a 的值是（ 7-8 8- 9【答案】【解析】14 ,• cos14, ••• cos22a = 2COS a — 1 =2X71 = __ 1 8.故选B .6. (2019 年广东佛山期末）已知tan=2，则7ntan“+在【答案】【解析】由tan =2,可得 tan 27n"I = — £ 则 tan 2 a + 127t … 7t tan 2 a +$ + 4 = 4 _一+ 1 3十1 4 1- -3 xi 1 7. 7 .已知 sin( a —45°)=—请且 0 a V 90°，贝U COS 2 a 的值为【答案】7_ 25 【解析】 a — 45° )=— V a V 90°,则一45°V a — 45°V 45 由于 sin( cos( a — 45远2=违 10 = 10 ， • cos a = cos( a — 45°+ 45° ) = cos( a — 45° )cos 45 sin( a — 45° )sin 45 10 22a = 2cos a — 1 = 2X7 1=.25所以 3sin 2 a= — 4cos 2 a .― 1 13n 亠9 .已知 COS a = 7 , COS ( a — 3 )=彳4且B <a V —，求: (1)tan 2 a 的值；⑵3的大小.【能力提升】为()A . { ,3} C. { — .3, 0,3}【答案】C3s in 2 a = — 4cos 2 a ・,,,1 — tana1【证因为c .-1 ，所以tana =—2 + ta na22ta n a4 r sin 2 a 4tan 2 a即1 — tan a 3'cos 2 a3'8.已知 a 1，求证: 10. (2018 2X 年四川模拟)若 1 + sin 2 x = 2cos ；, x € (0 ,n ），贝U tan 2 x 的值构成的集合1 —tan2 + tan 【解析】（1）由cosn0< a <y,得 Sin a = 1 — COS? a = 1- 72=罕所以tan asin a . cosT = 4®是 tan 22tan a 2X 4 :31 — tan2 a = 1— 4 ；3 2 =8 .3 47 .⑵由0< 3n /口 n<2，得 0< a — 3 <2.因为cos （ 13a — 3 ) = 14，所以 sin(所以 cos3 = cos[ a — ( a — 3 )] =cos a cos( a13 ) + sin a sin( a — 3 ) = 2，所以B . { — . 3,3}V 3逅D — h ，0，可2X亠• 2sin x cos x = 2cos -— 1 = cos x .「. cos x = 0 或 sin1 n nx = q.又 x € (0 , n ) , • x =~2, ~6，5 n-.• tan 2x = 0 或土 3，则 tan 2x【答案】COS 220 )=特n正周期为~.(1) 求a 的值；n(2) 求f (x )在0,—上的最大值和最小值.n n2nax — — cos ax — — + 2cos ax —4 (a > 0)，化简可得的值构成的集合为{ — 3, 0, 3}, 故选C.11.已知 cos 2 0冷，则sin 40 + cos 40的值为(11一18-D【解析】T 1 + sin 2 x = 2cos^2,【解析】 sin 44cos 0 = (sin2 2 20 + cos 0 ) — 2sincos 2 0 = 1 — fsin 22 0 = 1 —舟(1 —2 2'12.已知(0, n )且 sin 0 — =点则tan 2【答案】24【解析】 ■ sin—cos 0 )1••• sin 0 — cos 0 =T .5/• 1 — 2sin0 cos25' 2sin0 cos 24= 24> °.依题意知, n—，又(sin 0 + cos0 )2= 1 +sin 2 0 49=方」sin 0 + cos 7 4 0 = 5. •- sin 0 = 5, cos 30 = 5. • cos 2 0 = 2cos 20 — 1=— 25 ,25/• tan 2 sin 2 0= cos 224 7.13.已知函数7tf (x ) = 2 3sin ax —才 cos ax — — + 2cos nax — — ( a > 0),且函数的最小【解析】(1)函数 f (x ) = 2 .3sinf (x) = 3sin 2ax—— + cos 2ax—+ 1=—v - 3cos 2 ax+ sin 2 ax + 1n=2sin 2ax—y + 1.n n•••函数的最小正周期为—，即T=—,2 n n ”，口••• T= =一，可得a= 2.2a 2、■■-a的值为2.n⑵ 由(1)得f (x) = 2sin 4x—亍 + 1.n n n 2 nx€ 0，4 时，4x— 7€ —y，可.n n当4x ——=—-时，函数f (x)取得最小值为1—：3;3 3n n当4x —y =—时，函数f (x)取得最大值为2X 1+ 1 = 3,n J—•••f(x)在0,-上的最大值为3,最小值为1—'3.。

2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式练习新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[A 基础达标]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选 D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选 C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( ) A.79B ．－79C.35 D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝79.故选A.5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________．解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π.因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.43 B ．－43C.34D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________．解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝2 2 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12.答案：1213．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4.又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413.14．(选做题)已知sin x 2－2cos x2 ＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x2＝2，所以tan x ＝2tanx21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。

人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换复习一教案

第三章三角恒等变换复习（一）教学目标：1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.教学重点：运用公式求值、证明恒等式.教学难点：证明恒等式教学过程一、基础知识复习（略）二、作业讲评《习案》作业三十五中的第5、6题.三、已知三角函数值求三角函数值.)cos(31sin sin 21cos cos .1的值求，，已知βαβαβα-=+=+.2cos 2sin 2353cos )1(.22的值求，，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<-=θθπθπθ .sin 512cos 2sin )2(的值求，已知ααα=-.2sin 95cos sin )3(44的值求，已知θθθ=+.cos sin 932cos )4(44的值求，已知θθθ+=.tan tan 53)cos(51)cos(.3的值，求，已知βαβαβα⋅=-=+.tan 1sin 22sin 471217534cos .42的值，求，已知x x x x x -+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ.40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .5o o oo o 的值求⋅++四、证明恒等式.cos 832cos 44cos .14ααα=++证明：.21tan 212sin cos 22sin 1.22+=++αααα证明：.2cos 2cos 4sin cos sin sin 2cos sin .3222βαβθθαθθ==⋅=+求证：，，已知五、课堂小结给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.六、课后作业教材P .146第8题第(3)、(4)问； P .146第1、2、3题； P .146第4题第(1)、(2)、(3)问； P .147第3题；。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程,培养学生发现数学规律的思维方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,并体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习,培养学生的探索精神和应用意识,体会数学的科学价值和应用价值,不断提高自身的文化修养.重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点:二倍角的理解及其灵活运用.1.+2的化简结果是()A.2cos 4-4sin 4B.2sin 4C.2sin 4-4cos 4D.-2sin 4解析:原式=+2+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.∵sin 4<0,sin 4<cos 4,∴原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.答案:A2.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是.解析:f(x)=sin-2sin2x=sin 2x-cos 2x-2=sin 2x+cos 2x-=sin,故该函数的最小周期为=π.答案:π3.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,已知点P的坐标为.(1)求的值;(2)若=0,求sin(α+β).解:(1)由三角函数定义得cos α=-,sin α=,∴原式===2cos2α=2×.(2)∵=0,∴α-β=.∴β=α-.∴sin β=sin=-cos α=,cos β=cos=sin α=.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos 2α－sin 2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1] (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.答案：(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α<2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sin α＋π4cos α＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原方程可化为1－2cos 2α＋π4＝－cos α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α的值．答案：－4292．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α. 答案：π6[例3] A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域． [解] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．答案：(1)2π (2)g (x )＝10sin x －89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．[解] 原式＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x x －sin xcos x －sin xcos x＝2sin x cos x ＝sin 2x .或原式＝sin 2x －2sin x cos x ·sin xcos x1－tan x＝sin 2x －sin 2x tan x1－tan x＝sin 2x －tan x1－tan x＝sin 2x .∵2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2，∴sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝2×925－1＝－725，∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有： (1)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2 的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________.答案：183．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________. 答案：1164．求值：＋3－cos 20°cos 80°1－cos 20°.答案： 2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°答案：B2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( ) A ．－2cos 50° B ．2cos 50° C ．－2sin 50° D ．2sin 50°答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 答案：－434．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________．答案：π5．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．答案：－ 2[课时达标检测]一、选择题 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.1925答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设－3π<α<－5π2，化简1－α－π2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2答案：C4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案：D 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．答案：1－ 27．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 答案：78．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案：459三、解答题9．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2α－cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010，所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.10．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.11．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04

，π＜2α＜，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解：由于 cos2
1 cos 1
4
2
1

2020高中数学第三章三角恒等变换复习(三)教案新人教A版必修4

第三章三角恒等变换复习（三）教课目的：1.综合运用知识解决有关问题.2.培育学生剖析问题，运用知识解决问题的能力.教课要点：运用知识解决实质问题教课难点：成立函数关系解决实质问题.教课过程一、作业讲评《习案》 P.192 的第 3 题1. sin()4 3, 且0, 则 cos .sin53 2《习案》 P.194 的第 6题2.已知函数 f ( x) sin( x 6 ) sin( x 6 ) cos x a的最大值为 1.(1)求常数 a的值 ;(2)求使 f ( x ) 0成立的 x的取值会合 .《习案》 P.196 的第 5 题3. 设f ( ) sin x cos x , x {n | n 2k, k N },利用三角变换预计在f ( ) x 2, 4, 6时的取值状况, 从而对取一般值时f (的取值范围作出一个猜想.x )二、例题剖析1.已知直线l1 ∥l2 ， A 是 l1 ， l2 之间的必定点，而且B 是直线 l2 上一动点，作AC⊥AB，且使 AC与直线 l1A 点到交于点l1 ， l2 的距离分别为h1， h2 .C，求△ ABC面积的最小值.2.如图，正方形 ABCD的边长为 1，P，Q分别为边 AB，DA上的点 . 当△ ABC的周长为 2 时，求∠PCQ的大小 .DCQAB3.证明：(1) sin( 2 )2 cos(2 )sin sin;sin(2) 3 4cos2 A cos4 A tan 4 A.3 4cos 2A cos4 A。

人教A版高中数学选修第三章三角恒等变换复习课教案新

《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。

4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。

5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。

例题例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求βαtan tan 的值。

例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3 化简（1）070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。

例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。

2019-2020年高中数学 第三章 三角恒等变换复习(三)教案 新人教A版必修4

人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

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人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换复习一教案

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高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04

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高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、

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