有理二次型的化简算法及程序设计

有理二次型的化简算法及程序设计

摘要：二次型的化解过程是麻烦的，根据实对称方阵合同变换理论，设计出化简有理系数二次型的算法，编写出相应的c语言程序，给出了计算实例。

关键词：有理系数二次型；化简；算法；程序

二次型的化简在数学及物理研究中有重要的应用，然而人工实现却非常困难，并且已有的数学软件也没有直接的功能，因此我们设计了有理系数二次型化简的算法及程序。

关于二次型的理论请参见高等代数或线性代数书籍（如参考文献[1]），本文不多累赘.

有理数域是常用的数域，因此讨论有理数域上的二次型非常必要。我们用表示有理数域，并且为了说话方便，我们称有理数域上的二次型为有理二次型、理数域上的矩阵为有理矩阵。根据二次型的化简理论可知，任何有理二次型都经过非奇异线性变换化简为形如：

d1x12+d2x22+...+dnxn2（di∈q）

的标准形，所以我们重点研究了将有理二次型化简为有理标准型的算法及程序。

1. 算法设计

首先，根据二次型的理论，将有理二次型 q（x1，x2，...，xn）化简为有理标准型的关键是将其矩阵 a通过矩阵的合同变换变为

对角阵d ，而文献[1]的结论告诉我们，将 a合同变换变为对角阵

d的方法是：在对a 施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵i 施行同样的列初等变换，那么当a 化为对角矩阵 b时，i 就化为p[1]352 。其次，因为计算机语言系统的四则运算建立在实数域上，所以要精确进行有理二次型的化简，就必须设计分数运算子程序。因此我们有：

1.1 有理二次型的化简算法

s1. 输入有理系数二次型 q（x1，x2，...，xn）的变量个数 n 及其系数。

s2. 根据二次型矩阵的对称性，将 q（x1，x2，...，xn）的系数转换为对称矩阵a ，设 a=（aij）。

s3. 生成n 阶单位矩阵i 。

s4. 对矩阵施行合同变换，同时对矩阵i 施行与 a相同的列初等变换，具体做法如下：

s41. 依此判断aii 是否为零（ i=1，2，...，n）？若是则转

s42；若否则转s44。

s42. 判断 ai，i+1、 ai，i+2、…、 ai，n是否全为0，若是则i++ ，转s41；若否则转s43.

s43. 设aij≠0 ，则将a 的第 j列加到第i 列，且将 a的第 j 行加到第 i行，同时将单位矩阵i 的第j 列也加到第 i列，转s44. s44. 将 a的第 i列的-aij/aii 倍加于其第j （ j=i+1，2，...，n）列，使得ai，i+1 、ai，i+2 、…、 ain全化为零，且将 a的第 i行的-aij/aii 倍加于其第j （j=i+1，2，...，n ）行，使

得aj，j+1 、aj，j+2 、…、 ajn全化为零，同时也将单位阵 i 的第i 列的 -aij/aii 倍加于其第j （ j=i+1，2，...，n ）列. s45. i++ ，判断i 是否大于n .若是则转s5；否则转s41.

s5. 输出变换后的 a，亦即是输出所求的对角形矩阵d ；输出i 变换后的结果，亦即是输出合同变换矩阵p ；

s6. 据 a输出 q（x1，x2，...，xn）的标准型q（y1，y2，...，yn） .

1.2 基于分数运算的关键子算法

分数运算需要求最大公因数及约分算法，但其容易设计故不累赘。因为算法中的关键子算法是s43与s44，所以下面重点描述s43与s44基于分数运算的实现。

①、s43的实现：基于分数运算的行、列相加合同变换算法

s43是行、列相加的合同变换，若用a[i][j] 、 b[i][j]分别存放矩阵之元素的分子和分母，那么根据分数加法的运算规则，设计实现矩阵行、列相加合同变换的算法如下：

for i=1 to n △循环两分数相加

for k=i to n do

{ a[k][i]=a[k][i]*b[k][j]+a[k][j]*b[k][i]；△第j 列加到第i 列，相加后的分子

b[k][i]=b[k][i]*b[k][j]；△相加后的分母

a[i][k]=a[i][k]*b[j][k]+a[j][k]*b[i][k]；△第j 行加到第i行，相加后的分子

b[i][k]=b[i][k]*b[j][k]；△相加后的分母

huajian（&a[k][i]，&b[k][i]）；△调用约分函数进行简化huajian（&a[i][k]，&b[i][k]）；△调用约分函数进行简化

}②、 s44的实现：基于分数运算的行、列乘以某数后再相加的合同变换算法

s44是将行、列乘以某数后再相加的合同变换，若用、分别存放矩阵之元素的分子和分母，那么根据分数乘法与加法运算规则，设计实现行、列乘以某数后再相加的合同变换算法如下：

for i=0 to n do

for j=i+1 to n do

{ temp1[i][j]=-a[i][j]*b[i][i]；

temp2[i][j]=b[i][j]*a[i][i]；△循环取乘数 -aij/aii

for k=i to n do △用 -aij/aii 乘以的第 a列加到第i 列{ m=temp1[i][j]*a[k][i]；

n=temp2[i][j]*b[k][i]；△分子、分母分别相乘

a[k][j]=a[k][j]* n + m *b[k][j]；△两分数相加

b[k][j]=b[k][j]* n；

huajian（&a[k][j]，&b[k][j]）；△简化

}

for k=i to n do △类似进行行变换

{ m=temp1[i][j] * a[i][k]； n=temp2[i][j]*b[i][k]；

a[j][k]=a[j][k]* n +m *b[j][k]； b[j][k]=b[j][k]* n； ajian