最新【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习选修系列第十(1).

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【步步高】2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习课件：第十章10.2用样本估计总体(72张PPT)

§10.2 用样本估计总体
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
(2)决定组距与组数 . (3)将数据分组 . (4)列频率分布表 .
(5)画频率分布直方图 .
2.频率分布折线图和总体密度曲线
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为
A.①③ B.①④ C.②③
答案
解析
D.②④
(2) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一
次英语听力测试中的成绩(单位：分).
已知甲组数据的中位数为 15 ，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为 A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8
答案解析
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中
趋势.( √ )
(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同
的结论.( × )
(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直
方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.( √ )
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由. 解答 A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”； CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得 P(CA) 的估计值为 (0.01 ＋ 0.02 ＋ 0.03)×10 ＝ 0.6 ， P(CB) 的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.

【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第十章10.3二项式定理

1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1.C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n(－1)m －1. 2．(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.3．使(3x ＋1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 (3x ＋1x x)n 的展开式中的第k ＋1项为C k n ()323k n kx x -－＝C k n 3n －k·52k xn -.若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，k ∈N ，使n －52k ＝0.故最小的n 值为5.4．在(x2－)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x2－)8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k()k ＝(－1)k 2k －8C k 848-3k x，令8－4k3＝0，得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C68＝7.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60答案(1)10(2)C解析(1)(2x＋x)5展开式的通项公式T k＋1＝C k5(2x)5－k·(x)k＝C k525－k52kx，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k2＝3，解得k＝4，得T5＝C4525－445-2x＝10x3，∴x3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.方法二利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x －，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.(2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)(2016·北京海淀区模拟)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.题型三二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)D (2)1.172解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值．解原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.14．二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)(2017·河北邯郸一中调研)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.错解展示解析 (1)(x ＋3x )n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5，∴(x －3x )n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1. 故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n 的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案 (1)－15 (2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -(－1)k a k ·2k x -＝(－1)k a k C k 552k x -，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx ＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．(2015·湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212答案 A解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3 ＝32(3n －1)． 7．若(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( ) A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x－1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x－1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9.8．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)答案 60解析展开式的通项T k ＋1＝C k 6·16－k ·(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k .令k ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 答案－56解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 8x 16－3k ，当16－3k ＝7时，k ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．(2016·嘉兴市高三上学期基础测试)在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答)答案 20 －160解析 (2－x )6展开式的通项T k ＋1＝C k 626－k (－x )k ，令k ＝3，∴含x 3的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36×23×(－1)3＝－160.11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．*14.若(x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n⇒n ＝8.(1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k)k ＝(12)k C k 81634kx -，∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 0816304x -⨯＝x 4， T 5＝(12)4C 4816344x -⨯＝358x ， T 9＝(12)8C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 2816324x -⨯＝752x ， T 4＝(12)3C 3816334x -⨯＝774x .。

【步步高】2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义：第二章2.8函数与方程

1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.( √ )(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.( √ )1.(教材改编)函数f (x )＝12x －(12)x 的零点个数为 .答案 1解析 f (x )是增函数，又f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，∴f (x )有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点为1，3，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是 . 答案 x ＝2解析 ∵y ＝a (x －1)(x －3)＝a (x －2)2－a ， ∴对称轴为x ＝2.3.(2016·长春检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是 .①(1e ，1); ②(1，2)； ③(2，e);④(e ，3).答案 ③解析因为f (1e )＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在区间是(2，e).4.函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得 f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是 .答案 (－2，0)解析结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0f (1)>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <01＋1＋a >0，所以－2<a <0.题型一函数零点的确定命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2016·盐城调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是 .(填序号) ①(0，1); ②(1，2); ③(2，3);④(3，4).(2)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是 . 答案 (1)③ (2)(1，2)解析 (1)∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0，f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2，3).(2)令f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1，2).命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 .(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是 . 答案 (1)2 (2)4解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数.又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点.思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是 .(填序号) ①(0，1); ②(1，2)； ③(2，4);④(4，＋∞).(2)(教材改编)已知函数f (x )＝2x －3x ，则函数f (x )的零点个数为 . 答案 (1)③ (2)2解析 (1)因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4).(2)令f (x )＝0，则2x ＝3x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，如图所示，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f (x )的零点个数为2.题型二函数零点的应用例3 (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是 .(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是 . 答案 (1)(0，3) (2)(0，1)∪(9，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0＜a ＜3. (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，若f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是 . 答案 (0，94)解析作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a 的图象如下：当x ＝－32时，y 1＝94；当x ＝0或x ＝－3时，y 1＝0，由图象易知，当y 1＝|x 2＋3x |和y 2＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.思维升华已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0，1)上有零点，则a 的取值范围为 .(2)(2016·江苏前黄中学调研)若函数f (x )＝|x |x －1－kx 2有4个零点，则实数k 的取值范围是 .答案 (1)(－2，0) (2)(－∞，－4) 解析 (1)∵－a ＝x 2＋x 在(0，1)上有解，又y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，∴函数y ＝x 2＋x ，x ∈(0，1)的值域为(0，2)， ∴0<－a <2，∴－2<a <0.(2)令f (x )＝0，则方程|x |x －1＝kx 2有4个不同的实数根，显然，x ＝0是方程的一个实数根.当x ≠0时，方程可化为1k ＝|x |(x －1)，设h (x )＝1k，g (x )＝|x |(x －1)，由题意知h (x )与g (x )图象(如图所示)有三个不同的交点，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x >0，－x (x －1)，x <0，结合图象知－14<1k<0，所以k <－4.题型三二次函数的零点问题例4 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解方法一设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， ∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2，1).思维升华解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.(2016·江苏泰州中学质检)关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是 . 答案 (－∞，－214)解析设f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f (3)<0，f (1)<0，所以m <－214.利用转化思想求解函数零点问题典例 (1)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . (2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为 .思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.解析 (1)函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，即方程a x －x －a ＝0有两个根，即函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点.当0<a <1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点. 当a >1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞).(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－(t ＋2t ＋1－1)＝2－[(t ＋1)＋2t ＋1]，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22]1.(2016·江苏东海中学期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为 . 答案 1＋2或1解析题目转化为求方程f (x )＝x 的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x ，解得x ＝1＋2或x ＝1，所以g (x )的零点为1＋2或1.2.若函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝ . 答案 2解析由f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0，知f (x )＝0的根在区间(2，3)内，即n ＝2.3.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a <c <b解析方法一由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0且f (x )为R 上的递增函数.故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1，0). ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二由f (x )＝0得2x ＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x ，作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图).由图象易知a <0，0<c <1，而b ＝2，故a <c <b .4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是 . 答案 2解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)，x －2＋ln x (x >0)的零点个数为 .答案 2解析当x ≤0时，令f (x )＝0，得x 2－1＝0，∴x ＝－1，此时f (x )有一个零点；当x >0时，令f (x )＝0，得x －2＋ln x ＝0，在同一个坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f (x )有一个零点，所以f (x )的零点个数为2.6.已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是 .答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪[43，32)解析当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈(34，45]∪[43，32).7.(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为 .答案 x ＝0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解. 综上，函数f (x )的零点只有0.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 .答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞).9.(2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0 (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 .答案 ⎣⎡⎭⎫13，23解析因为函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)，3－4a 2≥0，0<a <1.解得13≤a ≤34.作出函数y ＝|f (x )|，y ＝2－x3的图象如图.由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 3有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x3同样有且仅有一个解，所以3a <2，即a <23.综上可得13≤a <23，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，23.*10.若a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为 . 答案 1解析设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m >0，n >0).因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称，所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称.又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2，所以m ＋n ＝4. 又m >0，n >0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n 4＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2 n m ×mn)＝1. 当且仅当n m ＝mn ，即m ＝n ＝2时等号成立.所以1m ＋1n的最小值为1.11.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是 . 答案 (2，115)解析设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115).12.关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围. 解显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0，1]上单调递减，[1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].13．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解方法一设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， ∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2,1)．*14.已知二次函数f (x )的最小值为－4，关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数.解 (1)∵f (x )是二次函数且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a 且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ， ∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：↗↘↗当0<x g (x )在(3，＋∞)上单调递增， g (3)＝－4ln 3<0，取x ＝e 5>3，又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点且零点x 0∈(3，e 5).。

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第十章 10.1

§10.1分类计数原理与分步计数原理1.分类计数原理如果完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法,……,在第n类方式中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法.2.分步计数原理如果完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3.分类和分步的区别,关键是看事件能否一步完成,事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理,将种数相乘.概念方法微思考1.在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分,就用分步计数原理.2.两种原理解题策略有哪些？提示①明白要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分类计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(√)(3)在分步计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(√)(4)在分步计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(×)题组二教材改编2.已知集合M＝{1,－2,3},N＝{－4,5,6,－7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标,纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A.12B.8C.6D.4答案 C解析分两步:第一步先确定横坐标,有3种情况,第二步再确定纵坐标,有2种情况,因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6,故选C.3.(2020·山东模拟)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有__________种.答案36解析从6名守擂选手中选1名,选法有C16＝6(种)；复活选手中挑选1名选手,选法有C16＝6(种).由分步计数原理,不同的构成方式共有6×6＝36(种).4.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书,则不同取法的种数为________.答案9解析分三类:第一类,从第1层取一本书有4种,第二类,从第2层取一本书有3种,第三类,从第3层取一本书有2种.共有4＋3＋2＝9(种).题组三易错自纠5.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.6答案 B解析分两类情况讨论:第1类,奇偶奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类,偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1＝6(个)奇数.根据分类计数原理知,共有12＋6＝18(个)奇数.6.某人有3个电子邮箱,他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有________种.答案243解析因为每个邮件选择发的方式有3种不同的情况.所以要发5个电子邮件,发送的方法有3×3×3×3×3＝35＝243(种).分类计数原理1.满足a,b∈{－1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案 B解析方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论.①当a＝0时,方程为一元一次方程2x ＋b＝0,不论b取何值,方程一定有解.此时b的取值有4个,故此时有4个有序数对.②当a≠0时,需要Δ＝4－4ab≥0,即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).a≠0时,(a,b)共有3×4＝12(个)实数对,故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9(个),所以答案应为4＋9＝13.2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2,且a2＞a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920答案 A解析若a2＝2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2个.若a2＝3,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4,满足条件的“凸数”有3×4＝12(个),…,若a2＝9,满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).3.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.答案12解析当组成的数字有三个1,三个2,三个3,三个4时共有4种情况.当有三个1时:2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有9种,当有三个2,3,4时:2221,3331,4441,有3种,根据分类计数原理可知,共有12种结果.思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词,关键元素,关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.分步计数原理例1(1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案 B解析从E点到F点的最短路径有6条,从F点到G点的最短路径有3条,所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条),故选B.(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.答案120解析每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有36＝729(种).本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共有63＝216(种).思维升华(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步之间确保连续,逐步完成. 跟踪训练1(1)(2020·洛阳联考)2019年牡丹花会期间,5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务,其中甲博物馆分配1人,另2个博物馆各分配2人,则不同的分配方法共有()A.15种B.30种C.90种D.180种答案 B解析分两步完成:第一步,选1人到甲博物馆,有5种分配方法；第二步,将余下的4人各分配2人到另2个博物馆,有6种分配方法.根据分步计数原理可得,不同的分配方法共有5×6＝30(种).(2)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为()A.7B.9C.12D.16答案 C解析得到圆的方程分两步:第一步:确定a有3种选法；第二步:确定b有4种选法,由分步计数原理知,共有3×4＝12(个).两个计数原理的综合应用例2(1)现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是()A.120B.140C.240D.260答案 D解析由题意,先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,然后涂C处,若C处与A处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同,到C处有3种涂法,D处有3种涂法,由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选D. (2)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺):礼、乐、射、御、书、数,某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,一天连排六节,每艺一节,排课有如下要求:“射”不能排在第一,“数”不能排在最后,则“六艺”讲座不同的排课顺序共有________种.答案504解析根据题意,分2种情况讨论:①“数”排在第一,将剩下的“五艺”全排列,安排在剩下的5节,有A 55＝120(种)情况.②“数”不排在第一,则“数”的排法有4种,“射”的排法有4种,将剩下的“四艺”全排列,安排在剩下的4节,有A 44＝24(种)情况,则此时有4×4×24＝384(种)情况.则一共有120＋384＝504(种)排课顺序.(3)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数.(用数字作答) 答案 420解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”,所以千位数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中四个数字不重复,因此应先分类,再分步.①第1类,当千位数字为奇数,即取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,4,6中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字. 根据分步计数原理,有3×4×5×4＝240(种)取法.②第2类,当千位数字为偶数,即取2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步计数原理,有3×3×5×4＝180(种)取法.③根据分类计数原理,共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.跟踪训练2 (1)(2020·郑州质检)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A.72B.120C.192D.240答案 D解析将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数,则末位数应为偶数,(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有5×4×3×2×12＝60(种)情况；(2)若末位数字为6,同理有60种情况；(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以共有5×4×3×2×1＝120(种)情况.综上,共有60＋60＋120＝240(种)情况.(2)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C解析如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ,BC 1,A 1D ,AD 1,AB 1,A 1B ,D 1C ,DC 1,共8条,同理与DB 成60°角的面对角线也有8条.因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对.又正方体共有6个面,所以共有16×6＝96(对).又因为每对被计算了2次,因此成60°的面对角线有12×96＝48(对).1.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.143种D.153种答案 C解析可分三类:一类:语文、数字各1本,共有9×7＝63(种)；二类:语文、英语各1本,共有9×5＝45(种)；三类:数字、英语各1本,共有7×5＝35(种),∴共有63＋45＋35＝143(种)不同选法.2.(2020·南京质检)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()A.4种B.6种C.10种D.16种答案 B解析分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件的有3种传递方式(如图),同理,甲先传给丙时,满足条件的也有3种传递方式. 由分类计数原理可知,共有3＋3＝6(种)传递方式.3.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则行车路线共有( ) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种答案 C解析根据题意,车的行驶路线起点有4种,行驶方向有3种,所以行车路线共有4×3＝12(种),故选C.4.若a ∈{1,2,3,4},b ∈{1,2,3,4},则y ＝ba x 表示不同直线的条数为( )A.8B.11C.14D.16 答案 B解析若使ba 表示不同的实数,则当a ＝1时,b ＝1,2,3,4；当a ＝2时,b ＝1,3；当a ＝3时,b ＝1,2,4；当a ＝4时,b ＝1,3.故y ＝bax 表示的不同直线的条数共有4＋2＋3＋2＝11.5.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为( ) A.56 B.54 C.53 D.52 答案 D解析在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值；但在这56个数值中,log 24＝log 39,log 42＝log 93,log 23＝log 49,log 32＝log 94,即满足条件的对数值共有56－4＝52(个). 6.(2020·石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写方法有( )A.288种B.144种C.576种D.96种答案 C解析依题意可分为以下3步:(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字,有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列,第二个汉字只有9个格子可以放,有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放,有4种方法,根据分步计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种).7.(2020·安阳模拟)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有()A.120种B.260种C.340种D.420种答案 D解析由题意可知上下两块区域可以相同,也可以不同,则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种).故选D.8.(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子,下列结果正确的有( )A.C 13C 12C 11C 13B.C 24A 33C.C 13C 24A 22D.18答案 BC解析根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个放2个球,剩下的2个盒子各放1个, 有2种解法: (1)分2步进行分析:①先将四个不同的小球分成3组,有C 24种分组方法； ②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A 33种放法,则没有空盒的放法有C 24A 33种.(2)分2步进行分析:①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有C 13C 24种情况； ②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A 22种放法,则没有空盒的放法有C 13C 24A 22种.故选BC.9.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上,且m ∈{1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________. 答案 20解析当m ＝1时,n ＝2,3,4,5,6,7,共6个；当m ＝2时,n ＝3,4,5,6,7,共5个；当m ＝3时,n ＝4,5,6,7,共4个；当m ＝4时,n ＝5,6,7,共3个；当m ＝5时,n ＝6,7,共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)满足条件的椭圆.10.直线方程Ax ＋By ＝0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示________条不同的直线. 答案 22解析分成三类:A ＝0,B ≠0；A ≠0,B ＝0和A ≠0,B ≠0,前两类各表示1条直线；第三类先取A 有5种取法,再取B 有4种取法,故5×4＝20(种). 所以可以表示22条不同的直线.11.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.答案36解析第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).12.如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.答案180解析按区域分四步:第一步,A区域有5种颜色可选；第二步,B区域有4种颜色可选；第三步,C区域有3种颜色可选；第四步,D区域也有3种颜色可选.由分步计数原理,可得共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方法.13.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成该集合的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有()A.32个B.34个C.36个D.38个答案 A解析先把数字分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)这样的子集.14.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________.答案60解析根据题意,第一个可以从6个螺栓里任意选一个,共有6种选择方法,并且是机会相等的,若第一个选1号螺栓,第二个可以选3,4,5号螺栓,依次选下去,共可以得到10种方法,所以总共有10×6＝60(种)方法,故答案是60.15.(2019·凌源模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学都选取到喜欢的礼物,则不同的选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种答案 B解析①甲同学选择牛,乙有2种选择,丙有10种选择,选法有1×2×10＝20(种)；②甲同学选择马,乙有3种选择,丙有10种选择,选法有1×3×10＝30(种),所有总共有20＋30＝50(种)选法.16.若给一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色,则不同的染色方法共有________种.答案30解析方法一如图,染五条边总体分五步,染每一边为一步.当染边1时有3种染法,则染边2有2种染法.(1)当3与1同色时有1种染法,则4有2种,5有1种,此时染法总数为3×2×1×2×1＝12(种).(2)当3与1不同色时,3有1种,①当4与1同色时,4有1种,5有2种；②当4与1不同色时,4有1种,5有1种,则此时有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(种).综合(1)、(2),由分类计数原理,可得染法的种数为30种.方法二通过分析可知,每种颜色至少要涂1次,至多只能涂2次,即有一色涂1次,剩余两种颜色各涂2次.一次的有C13C15种涂法,涂2次的有2种涂法,故一共有2C13C15＝30(种)涂法.。

《新步步高》2018版高考数学(理)一轮复习题库第十二章第5讲复数Word版含解析

第5讲复数一、选择题1．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )．A．－35i B.35i C．－i D．i解析2＋i1－2i＝－2i＋1－2i＝i，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案 C2．复数i－21＋2i＝( )．A．i B．－iC．－45－35i D．－45＋35i解析因为i－21＋2i＝－－＋－＝5i5＝i，故选择A.答案 A3.在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数2z＋z2对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析由题知，2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，所以复数2z＋z2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．答案 A4．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是 ()．A．－1<a<1 B．a>1C．a>0 D．a<－1或a>1解析|z1|＝a2＋4，|z2|＝5，∴a2＋4<5，∴－1<a<1.故选A.答案 A5．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()．A．－3＋2i B．3＋2iC．－2＋3i D．2＋3i解析Δ＝62－4×13＝－16，∴x＝－6±4i2＝－3±2i.答案 A6．设z是复数，f(z)＝z n(n∈N*)，对于虚数单位i，则f(1＋i)取得最小正整数时，对应n的值是( )．A．2 B．4 C．6 D．8解析f(1＋i)＝(1＋i)n，则当f(1＋i)取得最小正整数时，n为8.答案 D7．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析z＝2－1＋i＝2(－1－i)(－1＋i)(－1－i)＝－1－i，所以|z|＝2，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.答案 C8．已知复数z满足z(1＋i)＝1＋a i(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不可能位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析由条件可知：z＝1＋a i1＋i＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a＋12＋a－12i；当a＋12<0，且a－12>0时，a∈∅，所以z对应的点不可能在第二象限，故选B.答案 B9．在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )． A ．2＋i B ．－2 C ．0D ．2解析 ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案 D10．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．答案 C 二、填空题11．设i 为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．解析因为(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i ，所以它的虚部为－4. 答案－412．已知复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则复数z ＝________. 解析 ∵(2－i)z ＝1＋i ，∴z ＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i. 答案15＋35i 13．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z 的实部是________．解析由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii＝2＋3i ，即z ＝1＋3i. 答案 114．若复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R)是纯虚数，则复数1＋a i 的模是________．解析因为(1＋a i)2＝1－a 2＋2a i 是纯虚数，所以1－a 2＝0，a 2＝1，复数1＋a i 的模为1＋a 2＝ 2. 答案15．设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________．解析 ∵a ∈R ，z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，∴z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6. 答案 6 16．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ， ∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案5。

【步步高】2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习课件：第十章10.1随机抽样(67张PPT)

解析
因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.
2.(2015· 四川 ) 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 A.抽签法 C.分层抽样法 B.系统抽样法 D.随机数法
答案解析
根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.
3.(1) 某学校为了了解 2016 年高考数学学科的考试成绩，在高考后对 1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本. (2)从10名家长中抽取3名参加座谈会. Ⅰ.简单随机抽样法 A.(1)Ⅲ，(2)Ⅰ C.(1)Ⅱ，(2)Ⅲ 机抽样法. Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法问题与方法配对正确的是答案
当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.( √ )
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( × )
(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大.( × )
(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样.( √ )
§10.1 随机抽样
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽
取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽
到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样方法有两种—— 抽签法和随机数法 .

《新步步高》2018版高考数学(理)一轮复习题库第二章第9讲函数的应用Word版含解析

第9讲函数的应用一、选择题1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()．解析由题意可得y＝(1＋10.4%)x.答案 D2．甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（）．A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2)（1）（2）（3）（4）解析根据题目描述分析图像可知D正确答案 D3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为()．A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，∴当x＝10时，S max＝45.6(万元)．答案 B4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润yx＝－x－25x＋12，∵x∈N*，∴yx≤－2 x·25x＋12＝2，当且仅当x＝25x，即x＝5时取“＝”．∴x＝5时营运的年平均利润最大．答案 C5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是()．解析由题意得2xy＝20，即y＝10x，当x＝2时，y＝5，当x＝10时，y＝1时，排除C，D，又2≤x≤10，排除B.答案 A6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )．A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180， ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.答案 A二、填空题7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 48．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析设售价提高x 元，则依题意y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500.故当x ＝90时，y max ＝60 500，此时售价为每件190元．答案 190 元9．现有含盐7%的食盐水为200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是__________．解析根据已知条件：设y ＝200×7%＋x 4%200＋x，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400.答案 (100,400)10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题11．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．12．某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．13.某市出租车的计价标准是：3 km 以内(含3 km)10元；超过3 km 但不超过18 km 的部分1元/km ；超出18 km 的部分2元/km.(1)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km ，他要付多少车费？(2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？解 (1)乘车行驶了20 km ，付费分三部分，前3 km 付费10(元)，3 km 到18 km 付费(18－3)×1＝15(元)，18 km 到20 km 付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．设付车费y 元，当0<x ≤3时，车费y ＝10；当3<x ≤18时，车费y ＝10＋(x －3)＝x ＋7；当x >18时，车费y ＝25＋2(x －18)＝2x －11.(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km ，且小于18 km ，前3 km 付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km ，故此人乘车行驶了15 km.14．某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π. (2)设运动场的造价为y 元，y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r )－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π. 令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2，当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0，∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，y min≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。

【步步高】2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义：第二章2.5指数与指数函数

1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a ).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘.( × )(3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数.( × )(5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________. 答案 (2，3)解析由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c <b <a解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，11034333()()(),555--∴＞＞即a >b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝⎛⎭⎫－760＋148×42________.答案 2解析原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b aab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b---⋅⋅⋅＝________.答案85解析原式＝2×333223322210a ba b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二指数函数的图象及应用例2已知f(x)＝|2x－1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数.解(1)由f(x)＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≥0，1－2x，x<0可作出函数的图象如图所示.因此函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x+-=-，即x＝log223时，两图象相交，由图象可知，当x<log223时，f(x)>f(x＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(0≤x <1)，2x －12(x ≥1)，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x 是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a －7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3，所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________.(2)函数2211()()2x x f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________. 答案 [0，＋∞)解析设t ＝2x ，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a ，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为________.错解展示解析令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.答案 2，2 现场纠错解析令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数， ∴a t ∈[1a ，1]，22x xb a ++∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. ②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎨⎧ b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________. 答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3， ∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f(x)＝2|x－1|的图象是________.答案②解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除③、④.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除①.3.已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系为__________.答案a>b>c解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c. 又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b，综上，a>b>c.4.已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为__________. 答案[1，9]解析由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为__________.答案(0，1)解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b ，则a ，b 的大小关系为________. 答案 a ≤b解析依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b .7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.答案 (－∞，8]解析当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14] 解析设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1， f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14. ∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14]. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0]. 故函数的值域为[－14，14]. 10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值. 解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3 ＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2). 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2). 所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716]. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)， ①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去； ②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)； ③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去. 综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x＋1＋m ，m 是实常数. (1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ， 3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)，所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)，即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下：当m ＝0时，f (x )＝23x＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32，因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x ＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立，化简整理得－2m ＝2×3x 1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减.所以f(f(x))＋f(a)<0有解，且函数f(x)为奇函数，所以f(f(x))<－f(a)＝f(－a)，又因为函数f(x)在R上单调递减，所以f(x)>－a有解，又易求函数f(x)＝23x＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a<1，即a>－1.。

2018年步步高大一轮高考理科数学总复习

第1课时集合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A 相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(2)①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×)(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.(×)(3)若A B，则A⊆B且A≠B.(√)(4)N*N Z.(√)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)成立．(√)(7)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(√)(8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×)考点一集合的概念命题点 1.集合元素的特征2.集合表示方法及意义第一章集合与常用逻辑用语大一轮复习数学(理)[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．答案：C(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.答案：D[方法引航] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，所以只有a 2＝1.当a ＝1时，1a＝1，不满足互异性，∴a ＝－1.答案：－1 2．(2017·福建厦门模拟)已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6]考点二集合间的关系及应用命题点1.判断集合的关系2.应用集合的关系[例2] (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }x A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以∁R P ＝{y |y ＞1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.答案：C(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．答案：(－∞，3][方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．1．在本例(1)中，集合P 变为P ＝{y |y ＝x 2＋1}，Q不变，如何选答案．解析：P ＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＞0}，∴P ⊆Q ，选A.2．①在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求m 的取值范围？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.②若将本例(2)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1,2}， B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求m 的取值范围？解：(ⅰ)若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2； (ⅱ)若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； (ⅲ)若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．命题点 1.数集交、并、补的运算2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算3.利用集合运算求参数[例3] (1)(2017·山东烟台诊断)若集合A ＝⎩⎨⎭⎬－1，0，12，1，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则集合A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1 D ．{0,1} 解析：B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，2，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，故选C.答案：C (2)(2017·安徽合肥模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2}解析：由x 2－2x ＞0得x ＞2或x ＜0，即B ＝{x |x ＜0，或x ＞2}，∴A ∪B ＝{x |x ＜0，或x ＞1}，∴∁U (A ∪B )＝{x |0≤x ≤1}．答案：C(3)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．( －∞，－1] B ．[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞]解析：由P ∪M ＝P ，得M ⊆P .又∵P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴－1≤a ≤1，故选C. 答案：C[方法引航] (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．1．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,0) C ．(0,2) D ．(2,3)解析：选A.将集合A 与B 在数轴上画出(如图)．由图可知A ∪B ＝(－1,3)，故选A.2．已知集合A ＝{－1,0,4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，全集为Z ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{4}B ．{4，－1}C ．{4,5}D ．{－1,0}解析：B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，阴影部分为A ∩(∁Z B )＝{4，－1}．答案：B 3．(2017·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.答案：0或14[易错警示]空集的呐喊——勿忘我空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有∅⊆A .空集是任何非空集合的真子集．当遇到“A ⊆B ”时，要注意是否需要讨论A ＝∅或A ≠∅两种情况，即“∅优先原则”．[典例] 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为________． [正解] P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12[易误] 在解答本题时，易出现两个典型错误．一是易忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1a可以为－3或2. [警示] (1)从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，勿遗忘S ＝∅的情况． (2)对含字母的问题，注意分类讨论．[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2＜9}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1,2,3} B ．{－2，－1,0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{1,2}解析：选D.∵B ＝{x |x 2＜9}＝{x |－3＜x ＜3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2}． 2．(2016·高考全国乙卷)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7} D ．{1,7} 解析：选B.A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}， ∴A ∩B ＝{3,5}． 3．(2016·高考全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C.B ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0,1}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∪B ＝{0,1,2,3}． 4．(2016·高考全国丙卷)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则∁A B ＝( ) A ．{4,8} B ．{0,2,6} C ．{0,2,6,10} D ．{0,2,4,6,8,10} 解析：选C.∵A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，∴∁A B ＝{0,2,6,10}． 5．(2016·高考浙江卷)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3] C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.根据补集和并集的概念进行运算，也可以借助数轴求解． ∵Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，∴∁R Q ＝{x ∈R |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}． ∵P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，∴P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}＝(－2,3]． 6．(2016·高考山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C.先化简集合A，B，再利用并集的定义求解．由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．故选C.课时规范训练A组基础演练1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A.由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：选A.∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：选A.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.4．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：选A.由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以选A.5．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：选D.由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.6．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}，则∁U(A∪B)＝()A．{0,1,3,4} B．{1,2,3}C．{0,4} D．{0}解析：选C.因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.7．已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]解析：选B.依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.8．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.解析：由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.答案：－1或2B组能力突破1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)解析：选D.由题意可知，M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝{x|－3＜x＜－1}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示()A．M∩N B．(∁U M)∩NC．M∩(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：选B.M∩N＝{5}，A错误；∁U M＝{1,2}，(∁U M)∩N＝{1,2}，B正确；∁U N＝{3,4}，M∩(∁U N)＝{3,4}，C错误；(∁U M)∩(∁N)＝∅，D错误．故选B.U3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D.集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，当n ＝0时，3n ＋2＝2，当n ＝1时，3n ＋2＝5，当n ＝2时，3n ＋2＝8，当n ＝3时，3n ＋2＝11，当n ＝4时，3n ＋2＝14，∵B ＝{6,8,10,12,14}，∴A ∩B 中元素的个数为2.4．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，定义A ⊙B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A ⊙B 中元素的个数是( ) A ．7 B ．10 C ．25 D ．52解析：选B.A ∩B ＝{2,3}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A ⊙B ＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.5．已知函数f (x )＝2－x －1，集合A 为函数f (x )的定义域，集合B 为函数f (x )的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f (x )＝2－x －1有意义，则2－x －1≥0，解得x ≤0，所以A ＝(－∞，0]．又函数f (x )＝2－x －1的值域B ＝[0，＋∞)．所以阴影部分用集合表示为∁A ∪B (A ∩B )＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)6．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.答案：(－∞，－1]第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q p p 是q 的必要不充分条件 p q 且q ⇒p p 是q 的充要条件 p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件 p q 且q p3.判断下列结论的正误(，错误的打“×”) (1)“x 2＋2x －3＜0”是命题．(×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(6)q不是p的必要条件时，“p q”成立．(√)(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(8)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.(×)(10)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．(√)考点一四种命题及其关系命题点 1.命题的改写2.命题的真假判定[例1](1)命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a＞b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．答案：C(2)(2017·宁夏银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定为x≠0或y≠0.答案：D(3)(2017·山东菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.答案：D[方法引航](1)在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________．解析：“当c＞0时”为大前提，其逆否命题为：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.答案：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b2．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2 C．p2，p4D．p3，p4解析：选C.z＝2－1＋i＝2(－1－i)(－1＋i)(－1－i)＝－1－i，所以|z|＝2，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C. 考点二充分条件与必要辄条件的判断命题点1.定义法2.等价命题法3.集合法[例2](1)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：∵x＞1⇒(x＋2)＜0，(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分而不必要条件．答案：B(2)(2017·天津调研)“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，∴x＝1或x＝2.∴当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，∴“x2－3x＋2＝0”是“x＝1或x＝2”的充要条件，那么“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件．答案：C(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：P集合为(1,2)，q集合为(0，＋∞)，p q，故选A.答案：A[方法引航](1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；,②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；,③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.y＝log2x(x＞0)为增函数，当a＞b＞1时，log2a＞log2b＞0；反之，若log2a＞log2b＞0，结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是()A．綈p⇔綈s B．p⇔sC．綈p⇒綈s D．綈s⇒綈p解析：选C.由已知得：q⇒p，s⇒q，则s⇒p，由于原命题与逆否命题等价，所以s⇒p等价于綈p⇒綈s，故选C. 3．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，∴－1＜x＜0即(－1,0)(－∞，0)，∴“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．考点三根据充分、必要条件求参数命题点求条件或结论中的参数[例3](1)(2017·江西南昌模拟)0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是()A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)解析：条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤m ＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.答案：B(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：[0,3][方法引航] 由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9. 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例(2)知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴P S ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ≥101－m ≤－2∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥9，m ≥3. ∴m ≥9.[思想方法]集合的关系与充分、必要条件“再牵手”集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含关系．如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解． [典例] (2017·河南省实验中学模拟)设条件p ：|x －2|＜3，条件q ：0＜x ＜a ，其中a 为正常数．若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(0,5]B ．(0,5)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)[解析] p ：|x －2|<3，∴－3<x －2<3，即－1<x <5，设p ＝(－1,5)，q ＝(0，a )，∵p 是q 的必要不充分条件， ∴(0，a )(－1,5)，∴0<a ≤5. [答案] A[高考真题体验]1．(2015·高考山东卷)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D.命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”，故选D.2．(2016·高考天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.令x ＝1，y ＝－2，满足x ＞y ，但不满足x ＞|y |；又x ＞|y |≥y ，∴x ＞y 成立，故“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要而不充分条件． 3．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＞1且y ＞1时，x ＋y ＞2，即p ⇒q 所以充分性成立；令x ＝－1，y ＝4，则x ＋y ＞2，但x ＜1，即q p 所以必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A. 4．(2016·高考天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.a 2n －1＋a 2n ＝a 2n －1(1＋q )＝a 1q 2n －2(1＋q )＜0⇔q ＜－1⇒q ＜0，故必要性成立；而q ＜0⇒/ q ＜－1，故充分性不成立．故选C.5．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.如图，命题p 表示圆心为(1,1)，半径为2的圆及其内部，命题q 表示的是图中的阴影区域，所以p q ，q ⇒p .故选A.6．(2016·高考山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P ∈a ，P ∈b .又a ⊂α，b ⊂β，所以P ∈α，P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．课时规范训练 A 组基础演练1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意得，原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( ) A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac B ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )＜0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝1时，B ＝{x |－2＜x ＜1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．4．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A.A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题； B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．5．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x＜1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由x ＞1得1x ＜1；反过来，由1x＜1不能得知x ＞1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.6．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 7．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1解析：选A.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 8．有四个关于三角函数的命题： p 1：sin x ＝sin y ⇒x ＋y ＝π或x ＝y ；p 2：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1；p 3：x ，y ∈R ，cos(x －y )＝cos x －cos y ；p 4：∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 1＋cos 2x 2＝cos x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 4解析：选D.对于命题p 1，若sin x ＝sin y ，则x ＋y ＝π＋2k π，k ∈Z 或者x ＝y ＋2k π，k ∈Z ，所以命题p 1是假命题．对于命题p 2，由同角三角函数基本关系知命题p 2是真命题．对于命题p 3，由两角差的余弦公式可知cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x siny ，所以命题p 3是假命题．对于命题p 4，由余弦的倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1得 1＋cos 2x 2＝1＋2cos 2x －12＝cos 2x ，又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以cos 2x ＝cos x ，所以命题p 4是真命题．综上，选D. 9．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________．解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b 10．给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③B 组能力突破1．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选A.两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.2．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ，所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”；当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，所以不能推得m ＝－3，即“m ＝－3” “a ∥b ”．故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．3．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C.由于q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；而p ⇒/ q ，如f (x )＝x 3在x ＝0处f ′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C. 4．已知p ：x ＞1或x ＜－3，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3]解析：选A.法一：设P ＝{x |x ＞1或x ＜－3}，Q ＝{x |x ＞a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.法二：令a ＝－3，则q ：x ＞－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.5．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8＞0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2＜0得3a ＜x ＜a ，由x 2＋2x －8＞0得x＜－4或x ＞2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]6．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1.又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1. 答案：－1第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断p q p ∧q p ∨q 綈p 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等用“∀”表示存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等用“∃”表示3.全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M 中任意一个x ，有p (x )成立 ∀x ∈M ，p (x ) 特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立 ∃x 0∈M ，p (x 0)4.命题命题的否定 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x 0∈M ，綈p (x 0) ∃x 0∈M ，p (x 0) ∀x ∈M ，綈p (x )5.判断下列结论的正误(正确的打(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．(×) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．(√)(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．(√) (4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(×) (5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√) (6)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．(√)(7)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≠x ，则綈p ：∀x ∈/ R ，x 2＝x .(×) (8)命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是：∃x 0∈R ，使x ≤1.(×)(9)“∀x ∈R,2x －1＞0”是真命题．(√)(10)“全等三角形的面积相等”是全称命题．(√)考点一含逻辑联结词命题的真假判断及应用命题点1.判断复合命题的真假2.利用复合命题真假求参数 [例1] (1)给定命题p ：函数y ＝sin ⎝⎭⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝⎭⎫2x －3π4的图象关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )取得极小值．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题 B ．(綈p )∧q 是假命题 C ．p ∧q 是真命题 D ．(綈p )∨q 是真命题解析：命题p 中y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－π2＝ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；命题q 中y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8，k ∈Z ，故q 为假命题，则綈p ∧q 为假命题，故选B. 答案：B(2)已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p ∧(綈q )为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(1,2] D ． (－∞，1] 解析：由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)＜0，即－1·(2a －2)＜0，得a ＞1；对命题q ，令2－a ＜0，即a ＞2，则綈q 对应的a 的取值范围是a ≤2.∵p ∧(綈q )为真命题， ∴实数a 的取值范围是(1,2]．答案：C[方法引航] (1)要判断p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假.首先确定，每个简单命题p ，q 的真假，然后再判断复合命题的真假. (2)含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．2．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≤－2或a ＝1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2} D ．{a |－2≤a ≤1} 解析：选A.由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1， ∵“p 且q ”为真命题， ∴p 、q 均为真命题， ∴a ≤－2或a ＝1.考点二全称命题、特称命题的否定命题点1.全称命题的否定2.特称命题的否定[例2] (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2121A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1)(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0解析：由否命题的定义可得，綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0. 答案：C(2)命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D. 存在实数x ，使x ≤1解析：利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案：C[方法引航] 对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.(2)对原命题的结论进行否定.1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B解析：选D.命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n 解析：选C.命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.考点三全称命题、特称命题真假的判断及应用命题点1.判断全称命题、特称命题的真假2.应用命题真假求参数[例3] (1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2解析：因为2x －1＞0，对∀x ∈R 恒成立，所以A 是真命题；当x ＝1时，(x －1)2＝0，所以B 是假命题；存在0＜x 0＜e ，使得ln x 0＜1，所以C 是真命题；因为正切函数y ＝tan x 的值域是R ，所以D 是真命题．答案：B(2)已知命题p ：∀x ＞0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析：当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x＝4，p 是真命题；当x ＞0时，2x ＞1，q 是假命题，所以p ∧(綈q )是真命题，(綈p )∧q是假命题．答案：C(3)由命题“存在x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．解析：∵命题“存在x 0∈R 使x 20＋2x 0＋m ≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝22－4m ＜0，即m ＞1，故a ＝1. 答案：1[方法引航] 1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．1．在本例(3)中，命题改为：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≥0”，求m 的范围．解析：设y ＝x 2＋2x ＋m ，要使y ≥0恒成立． ∴Δ＝22－4m ≤0，∴m ≥12．在本例(3)中，命题改为“∃x 0≤0，使x 20＋2x 0＋m ≤0”，求m 的范围．解析：由x 20＋2x 0＋m ≤0，可得m ≤－x 20－2x 0. 设y ＝－x 20－2x 0，由题意可知，m ≤y max .y ＝－(x 0＋1)2＋1，当x ≤0时，y max ＝f (－1)＝1，∴m ≤1.。

【步步高】2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义：第六章6.4数列求和

1.等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2.等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.3.一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1). (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；②1(2n－1)(2n＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解.例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1.(2016·南京模拟)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝__________. 答案 n 2＋7n4解析设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6. 即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .2.(教材改编)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和S n ＝2 0172 018，则n ＝________.答案 2 017解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.令n n ＋1＝2 0172 018，得n ＝2 017. 3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________. 答案－200解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.5.数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π ＝1 008.题型一分组转化法求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.引申探究例1(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n ·n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2， n 为偶数，2n ＋1－n 2－52， n 为奇数.思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n 项和S n .解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.题型二错位相减法求和例2 已知a >0，a ≠1，数列{a n }是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令b n ＝a n ·lg a n (n ∈N )，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 ∵a n ＝a n ，b n ＝n ·a n lg a ， ∴S n ＝(a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n )lg a ， ① aS n ＝(a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋na n ＋1)lg a ，②①－②得：(1－a )S n ＝(a ＋a 2＋…＋a n －na n ＋1)lg a ， ∴S n ＝a lg a (1－a )2[1－(1＋n －na )a n ]. 思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n . ②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.题型三裂项相消法求和命题点1 形如a n ＝1n (n ＋k )型例3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn )(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)把点(n ，S nn )代入函数y ＝3x －2，∴S nn ＝3n －2，∴S n ＝3n 2－2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 又a 1＝1符合该式， ∴a n ＝6n －5(n ∈N *).(2)∵b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12[(1－17)＋(17－113)＋(113－119)＋…＋(16n －5－16n ＋1)] ＝12(1－16n ＋1)＝3n 6n ＋1. 命题点2 形如a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析由f (4)＝2，可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝12.x∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k＝1k(n ＋k －n )，1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )，裂项后可以产生连续相互抵消的项.(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.四审结构定方案典例 (14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.(1)S n ＝－12n 2＋kn ―――――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大 ――――――――→根据S n 的结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n―――→根据S n求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n＝n 2n －1――――――――→根据数列结构特征确定求和方法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――――→错位相减法求和计算可得T n ―→证明：T n <4规范解答(1)解当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立. 综上，a n ＝92－n .[6分](2)证明 ∵9－2a n 2n ＝n2n －1，∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，① 2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[10分]②－①，得2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.[12分]∴T n ＝4－n ＋22n －1.∴T n <4.[14分]1.(2016·江苏无锡一中质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________. 答案 54解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ＝14，①S 10＝10a 1＋45d ，S 7＝7a 1＋21d ，则S 10－S 7＝3a 1＋24d ＝30， ② 解①②可得d ＝1，a 1＝2，故S 9＝9a 1＋36d ＝18＋36＝54.2.(2016·无锡模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2 016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2 016＝________. 答案 0解析 ∵a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，∴a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，q 为等比数列{a n }的公比，即q 2＋2q ＋1＝0，∴q ＝－1.∴a n ＝(－1)n －1·2 016，∴S 2 016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 015＋a 2 016)＝0.3.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝____________. 答案4n n ＋1解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝4⎣⎡⎦⎤1－1n ＋1＝4n n ＋1.4.(教材改编)数列{n ×12n }的前n 项和S n ＝________.答案 2－12n －1－n2n解析 S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，①12S n ＝1×14＋2×18＋3×116＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1， ② ①－②得，12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2(1－12n －n 2n ＋1)＝2－12n －1－n2n .5.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________. 答案 100解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.6.(2016·江苏连云港四校期中)一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项为________. 答案 18解析据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4， ∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36， ∴a 7＝18.7.(2016·苏州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n为________. 答案 120 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.8.(2016·泰州模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑100k ＝1a k a k ＋1的值为________.答案100101解析因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n ＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n ＋1a n ＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1，因此∑100k ＝1a k a k＋1＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 9.(2016·苏北四市期末)若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13，等差数列{b n }满足b 7＝a 7，则b 1＋b 2＋…＋b 13的值为________. 答案 26解析因为等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13，所以a 1·a 2·…·a 13＝213，(a 7)13＝213，a 7＝2，所以等差数列{b n }中，b 7＝a 7＝2，b 1＋b 2＋…＋b 13＝13b 7＝13×2＝26.*10.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n}的前n项和为T n，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________. 答案9解析∵2S n＝a2n＋a n，①∴2S n＋1＝a2n＋1＋a n＋1，②②－①，得2a n＋1＝a2n＋1＋a n＋1－a2n－a n，a2n＋1－a2n－a n＋1－a n＝0，(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－1)＝0.又∵{a n}为正项数列，∴a n＋1－a n－1＝0，即a n＋1－a n＝1.在2S n＝a2n＋a n中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列.∴a n＝n，∴b n＝1n n＋1＋(n＋1)n＝(n＋1)n－n n＋1[n n＋1＋(n＋1)n][(n＋1)n－n n＋1]＝(n＋1)n－n n＋1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴T n＝1－1n＋1，∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.11.(2016·南京、盐城一模) 设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为______.答案20解析方法一当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 1(1－q 6)1－q －2a 1(1－q 3)1－q ＝5，从而得a 11－q ＝5－q 6＋2q 3－1＝5－(q 3－1)2<0，故1－q <0，即q >1，故S 9－S 6＝a 1(1－q 9)1－q －a 1(1－q 6)1－q ＝5－q 6＋2q 3－1×(q 6－q 9)＝5q 6q 3－1，令q 3－1＝t >0，则S 9－S 6＝5(t ＋1)2t ＝5(t ＋1t ＋2)≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立.方法二因为S 6＝S 3(1＋q 3)，所以由S 6－2S 3＝5得S 3＝5q 3－1>0，从而q >1，故S 9－S 6＝S 3(q 6＋q 3＋1)－S 3(q 3＋1)＝S 3q 6＝5q 6q 3－1，以下同方法一.12.数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N ，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9. ∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1. ∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1，即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列. (3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝(n ＋12)·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1.S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，① ∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n,②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1.∴S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.13.(2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列.设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. *14.若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝12log .n a 求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝a 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n ＋1.(2)证明由c n ＋1－c n ＝12log 21,n a n =+得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，1c n ＝1(n ＋1)(n －1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝12×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13， ∴原式得证.15.(2016·江苏镇江丹徒中学调研)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－(－12)n ＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－712.。

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第十章 10.3

§10.3二项式定理1.二项式定理2.二项式系数的性质＋C m n.(1)C0n＝1,C n n＝1,C m n＋1＝C m－1n(0≤m≤n).C m n＝C n－mn(2)二项式系数先增后减中间项最大.当n 为偶数时,第n 2＋1项的二项式系数最大,最大值为2C nn ,当n 为奇数时,第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大,最大值为12Cn n -或12Cn n+.(3)各二项式系数和:C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ,C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 概念方法微思考1.(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式有何区别与联系？提示 (a ＋b )n 的展开式与(b ＋a )n 的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大,当二项式中a ,b 的系数为1时,此时二项式系数等于项的系数,否则不一定.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r 项.( × ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ,b 无关.( √ ) (3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.( √ ) 题组二教材改编2.(1＋2x )5的展开式中,x 2的系数等于( ) A.80 B.40 C.20 D.10 答案 B解析 T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝C r 52r x r ,当r ＝2时,x 2的系数为C 25·22＝40. 3.若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 答案 B解析二项式系数之和2n ＝64,所以n ＝6,T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r,当6－2r ＝0,即当r ＝3时为常数项,T 4＝C 36＝20.4.若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4,则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案 B解析令x ＝1,则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0,令x ＝－1,则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16,两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.题组三易错自纠5.(x －y )n 的二项展开式中,第m 项的系数是( )A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n－m ＋1,所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a 的值为( ) A.1 B.±1 C.2 D.±2 答案 C解析根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n ＝32,可得n ＝5,则二项式的展开式通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 51556r x -,令15－5r 6＝0,得r ＝3,则其常数项为C 35a 3,根据题意,有C 35a 3＝80,可得a ＝2.7.在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为________. 答案 1解析因为所有二项式系数的和是32,所以2n ＝32,解得n ＝5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5中,令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.多项展开式的特定项命题点1 二项展开式问题例1 (1)(2020·山东模拟)⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 4的系数是( ) A.－210 B.－120 C.120 D.210答案 B解析由二项展开式,知其通项为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1x 10－r (－x )r ＝(－1)r C r 10x 2r －10, 令2r －10＝4,解得r ＝7.所以x 4的系数为(－1)7C 710＝－120.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________. 答案 162 5解析该二项展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r ,当r ＝0时,第1项为常数项,所以常数项为(2)9＝162；当r ＝1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5.命题点2 两个多项式积的展开式问题例2 (1)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 答案 A解析展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成,则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A.15B.20C.30D.35 答案 C解析因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ,所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30, 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30. 故选C.命题点3 三项展开式问题例3 (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60答案 C解析方法一利用二项展开式的通项求解. (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5,含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用排列组合知识求解.(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积,其中有两个因式取y ,剩余的三个因式中两个取x 2,一个取x即可,所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15展开式中的常数项为( ) A.1 B.11 C.－19 D.51 答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x －1x 5－r 当r ＝5时,常数项为C 55＝1,当r ＝3时,常数项为－C 12C 35＝－20, 当r ＝1时,常数项为C 45C 24＝30.综上所述,常数项为1－20＋30＝11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零；求有理项时,指数为整数等),解出项数r ＋1,代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.跟踪训练1 (1)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中,x 3的系数为( ) A.－3 B.－2 C.1 D.4 答案 B解析 (x －1)4的通项为T r ＋1＝C r 4x 4－r (－1)r ,(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中,x 3的系数为C 34(－1)3＋C 24(－1)2＋C 14(－1)＝－2,故选B.(2)(x ＋a )10的展开式中,x 7项的系数为15,则a ＝______.(用数字填写答案) 答案 12解析通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ,令10－r ＝7, ∴r ＝3,∴x 7项的系数为C 310a 3＝15,∴a 3＝18,∴a ＝12.(3)(1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________. 答案 92解析方法一 (1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5, 所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.方法二 (1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5,所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.二项式系数的和与各项系数的和问题命题点1 二项式系数和与系数和例4 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为( ) A.－1 B.1 C.27 D.－27 答案 A解析依题意得2n ＝8,解得n ＝3.取x ＝1得,该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1. (2)(2019·宣城调研)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7,则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为( ) A.1 B.2 C.129 D.2 188答案 C解析令x ＝0得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128, 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7,则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7,解得a 7＝－1. 故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 命题点2 二项式系数的最值问题例5 (2019·马鞍山模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7 答案 D解析根据⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n ＝20,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r 20·420-3r x ,要使x 的指数是整数,需r 是3的倍数,∴r ＝0,3,6,9,12,15,18,∴x 的指数是整数的项共有7项.思维升华 (1)形如(ax ＋b )n ,(ax 3＋bx ＋c )m (a ,b ,c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令x ＝1即可.(2)当n 为偶数时,展开式中第n 2＋1项的二项式系数最大,最大值为2C nn ；当n 为奇数时,展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大,最大值为12C n n -或12C n n +.跟踪训练2 (1)(2019·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.212 答案 A解析由题意知C 4n ＝C 6n ,由组合数性质得n ＝10,则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.(2)已知m 为正整数,(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ,则m 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B解析由题意可知,a ＝C m 2m ,b ＝C m2m ＋1,∵13a ＝7b ,∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！,即137＝2m ＋1m ＋1,解得m ＝6. (3)(2019·合肥质检)已知m 是常数,若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33,则m ＝________. 答案 3解析当x ＝0时,(－1)5＝－1＝a 0.当x ＝1时,(m －1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33－1＝32,则m －1＝2,m ＝3.1.(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中,沙洋中学联考)在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中,常数项为( )A.－240B.－60C.60D.240 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x 12－3r , 令12－3r ＝0得r ＝4,即常数项为T 5＝C 46(－2)4＝240.2.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( ) A.80 B.－80 C.－40 D.48 答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r ,令5－2r ＝3,得r ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80,故选B.3.(2019·十堰调研)若⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于( )A.3B.4C.5D.6 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 6＋1x x n展开式的通项为C r n (x 6)n －r 32rx -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝C r n 1562n r x - ,r ＝0,1,2,…n , 则依题设,由6n －152r ＝0,得n ＝54r ,∴n 的最小值等于5. 4.(2020·广州海珠区模拟)(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( )A.－80B.－40C.40D.80答案 D解析 (2x －y )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－y )r ,当r ＝2时,T 3＝240x 4y 2,当r ＝3时,T 4＝－160x 3y 3,故x 4y 3的系数为240－160＝80,故选D.5.(2019·江淮十校考前最后一卷)已知(x ＋1)(2x ＋a )5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x 3项的系数是( )A.－40B.－20C.20D.40答案 D解析令x ＝1,可得(x ＋1)(2x ＋a )5的展开式中各项系数和为2(2＋a )5＝2.∴a ＝－1.二项式(2x －1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r ＝25－r ·(－1)r ·C r 5·x 5－r , 所以(x ＋1)(2x －1)5的展开式中含x 3项的系数为22(－1)3C 35＋23(－1)2C 25＝40. 6.在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32∶1,则x 2的系数为( ) A.50 B.70 C.90 D.120答案 C解析令x ＝1,则⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝4n ,所以⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中,各项系数和为4n ,又二项式系数和为2n,所以4n2n ＝2n ＝32,解得n ＝5. 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝C r 53r 352r x －,令5－32r ＝2,得r ＝2,所以x 2的系数为C 2532＝90.7.(多选)二项式(2x －1)7的展开式的各项中,二项式系数最大的项是( )A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项答案 CD解析本题考查二项式系数的性质.因为二项式(2x －1)7展开式的各项的二项式系数为C r 7(r ＝0,1,2,3,4,5,6,7),易知当r ＝3或r ＝4时,C r 7最大,即二项展开式中,二项式系数最大的为第4项和第5项.8.(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *),以下判断正确的有( ) A.存在n ∈N *,展开式中有常数项B.对任意n ∈N *,展开式中没有常数项C.对任意n ∈N *,展开式中没有x 的一次项D.存在n ∈N *,展开式中有x 的一次项答案 AD解析该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫1x n －r (x 3)r ＝C r n x 4r －n , ∴当n ＝4r 时,展开式中存在常数项,A 选项正确,B 选项错误；当n ＝4r －1时,展开式中存在x 的一次项,D 选项正确,C 选项错误.故选AD.9.(2020·镇江质检)(x －x )6的展开式中,含x 5项的系数为________.答案 15解析展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·62r x －,令6－r 2＝5,得r ＝2, 故含x 5的系数为C 26＝15. 10.(2019·晋城模拟)(2－3x )2(1－x )7的展开式中,x 3的系数为________.答案－455解析依题意,x 3的系数为4C 37×(－1)3－12C 27(－1)2＋9C 17(－1)＝－455. 11.已知⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0),若其展开式中各项的系数和为81,则a ＝________,展开式中常数项为________.答案－2310 解析在⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中, 令x ＝1,得(a ＋1)·35＝81,解得a ＝－23, 所以⎝⎛⎭⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x ＝10. 12.(2019·怀化模拟)若在⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的二项展开式中,第3项和第4项的二项式系数相等且最大,则⎝⎛⎭⎫x －2x ·⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中的常数项为________. 答案－120解析由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项, 则展开式共6项,即n ＝6－1＝5,又⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝25－r C r 5x 5－2r ,则⎝⎛⎭⎫x －2x ·⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中的常数项为22C 35－2·23C 25＝－120.13.已知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等,且θ∈(0,π),则θ等于( )A.π4B.π4或3π4C.π3D.π3或2π3答案 B解析由二项式定理知(x cos θ＋1)5的展开式中x 2的系数为C 35cos 2θ,⎝⎛⎭⎫x ＋544的展开式中x 3的系数为C 14×54,所以C 35cos 2θ＝C 14×54,解得cos 2θ＝12,解得cos θ＝±22,又θ∈(0,π),所以θ＝π4或3π4,故选B.14.⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35的展开式中常数项是________. 答案－1 683解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35表示五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ,2x ,1x ,1x,－3,则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－3)＝－360,第二种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中都抽取－3,则此时的常数项为(－3)5＝－243,第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ,1x,－3,－3,－3,则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－3)3＝－1 080,则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.15.(2019·衡水中学调研卷)设a ,b ,m 为整数(m ＞0),若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b对模m 同余,记为a ≡b (mod m ).若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220,a ≡b (mod10),则b 的值可以是( )A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021答案 D解析 a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5,它被10除所得余数为1,又a ≡b (mod10),所以b 的值可以是2 021.16.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋24x n 展开式中前三项的系数和为163,求: (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项.解易求得展开式前三项的系数为1,2C 1n ,4C 2n .由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163,可得n ＝9.(1)设展开式中的有理项为T r ＋1,由T r ＋1＝C r 9(x )9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫24x r ＝2r C r 91834r x -, 又∵0≤r ≤9,∴r ＝2,6.故有理项为T 3＝22C 29·18324x -⨯＝144x 3, T 7＝26·C 69·18364x -⨯＝5 376.(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大,则⎩⎪⎨⎪⎧2r C r 9≥2r ＋1C r ＋19，2r C r 9≥2r －1C r －19， ∴173≤r ≤203, 又∵r ∈N ,∴r ＝6,故展开式中系数最大的项为T 7＝5 376.。

【步步高】2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义：高考专题突破四-不等式问题

1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为________.答案平行解析如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE，则EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________.答案②③解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为________.答案 66解析如图，连结DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.4.(2016·镇江模拟)设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________.(把所有正确的序号填上) 答案 ①或③解析由线面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故应填入的条件为①或③.5.如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.若P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.则直线P A 与平面DEF 的位置关系是________；平面BDE 与平面ABC 的位置关系是________.(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析 ①因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .②因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .题型一求空间几何体的表面积与体积例1 (2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积.(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′. (2)解由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3. ∴S 侧＝3×12×26×3＝9 2.∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)设正三棱锥P －ABC 的内切球的球心为O ，连结OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.题型二空间点、线、面的位置关系例2 (2016·扬州模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积.(1)证明在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC . 因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明方法一如图1，取AB 中点G ，连结EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .方法二如图2，取AC 的中点H ，连结C 1H ，FH . 因为H ，F 分别是AC ，BC 的中点，所以HF ∥AB ，又因为E ，H 分别是A 1C 1，AC 的中点，所以EC 1綊AH ，所以四边形EAHC 1为平行四边形，所以C 1H ∥AE ，又C 1H ∩HF ＝H ，AE ∩AB ＝A ，所以平面ABE ∥平面C 1HF ，又C 1F ⊂平面C 1HF ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)解因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.思维升华 (1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C 1F ∥平面ABE ：(ⅰ)利用判定定理，关键是在平面ABE 中找(作)出直线EG ，且满足C 1F ∥EG .(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C 1HF 满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.(2016·南京模拟)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点.求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .证明 (1)由AS ＝AB ，AF ⊥SB 知F 为SB 中点，则EF ∥AB ，FG ∥BC ，又EF ∩FG ＝F ，AB ∩BC ＝B ，因此平面EFG ∥平面ABC .(2)由平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ，则AF ⊥BC .又BC ⊥AB ，AF ∩AB ＝A ，则BC ⊥平面SAB ，又SA ⊂平面SAB ，因此BC ⊥SA .题型三平面图形的翻折问题例3 (2015·陕西)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值. (1)证明在题图1中，连结EC ，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2， ∠BAD ＝π2，AD ∥BC ，E 为AD 中点，所以BC 綊ED ，BC 綊AE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，故有CD ∥BE ，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，且A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)解由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，以OB ，OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝⎛⎭⎫22，0，0，E ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，0，22，C ⎝⎛⎭⎫0，22，0，得BC →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0,0)，设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)，从而cos θ＝|cos n 1，n 2|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63. 思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2016·苏州模拟)如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M －CDE 的体积.(1)证明因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，所以AD ⊥平面PCD . 又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面MDF . (2)解因为PD ⊥DC ，PC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.如图，过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME 2－DE 2＝(334)2－(34)2＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.题型四立体几何中的存在性问题例4 (2016·邯郸第一中学研究性考试)在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点.(1)证明：DF ⊥AE .(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由. (1)证明 ∵AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ， ∴AE ⊥AB .又∵AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ， ∴AB ⊥平面A 1ACC 1.又∵AC ⊂平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC .以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则有A (0,0,0)，E (0,1，12)，F (12，12，0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1).设D (x ，y ，z )，A 1D →＝λA 1B 1→，且λ∈(0,1)，即(x ，y ，z －1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)， ∴DF →＝(12－λ，12，－1).∵AE →＝(0,1，12)，∴DF →·AE →＝12－12＝0，∴DF ⊥AE .(2)解结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414. 理由如下：由题意知平面ABC 的法向量为m ＝(0,0,1).设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0.∵FE →＝(－12，12，12)，DF →＝(12－λ，12，－1)，∴⎩⎨⎧－12x ＋12y ＋12z ＝0，(12－λ)x ＋12y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32(1－λ)z ，y ＝1＋2λ2(1－λ)z .令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ)).∵平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1414，即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414，解得λ＝12或λ＝74(舍去)，∴存在满足条件的点D ，此时D 为A 1B 1的中点.思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.(2016·苏州模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点.(1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长. (1)证明如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0).易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)解 B 1C →＝(1，－2，－1).设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1). 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，CC 1∩CE ＝C ，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量. 于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ).可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量. 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2.1.(2016·连云港模拟)如图所示，已知平面α∩平面β＝l ，α⊥β.A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面β内的两点，且AD ⊥l ，CB ⊥l ，DA ＝4，AB ＝6，CB ＝8.P 是平面α上的一动点，且有∠APD ＝∠BPC ，则四棱锥P －ABCD 体积的最大值是________.答案 24 3解析由题意知，△P AD ，△PBC 是直角三角形，又∠APD ＝∠BPC ，所以△P AD ∽△PBC . 因为DA ＝4，CB ＝8，所以PB ＝2P A . 作PM ⊥AB 于点M ，由题意知，PM ⊥β. 令AM ＝t (0<t <6)，则P A 2－t 2＝4P A 2－(6－t )2，所以P A 2＝12－4t .所以PM ＝12－4t －t 2，即为四棱锥P －ABCD 的高，又底面ABCD 为直角梯形，S ＝12×(4＋8)×6＝36.所以V ＝13×36×12－4t －t 2＝12－(t ＋2)2＋16≤12×12＝24 3.2.(2016·南京模拟)已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③m ∥α⇒l ⊥β；④l ⊥β⇒m ∥α. 其中正确的命题是________.(填写所有正确命题的序号) 答案 ①④解析若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β，又m ⊂β，则l ⊥m ，故①正确；若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β或l ⊂β，又m ⊂β，则l 与m 可能平行、相交或异面，故②错误；若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，又m ⊂β，则l 与β可能平行、相交或l ⊂β，故③错误；若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，又m ⊂β，则m ∥α，故④正确.综上，正确的命题是①④.3.已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角D －BC －A 的大小为________. 答案 90°解析如图，取BC 的中点E ，连结AE ，DE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC .又三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等， ∴BD ＝CD ，∴DE ⊥BC ，则∠AED 是二面角D －BC －A 的平面角.在△AED 中，AE ＝DE ＝AB 2－(12BC )2＝(3)2－12＝2，AD ＝2，由AE 2＋DE 2＝AD 2，知∠AED ＝90°. 故二面角D －BC －A 的大小为90°.4.(2016·泰州二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是________.(填写结论序号)答案②③解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误.故答案为②③.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当CFFD ＝______时，D1E⊥平面AB1F.答案 1解析如图，连结A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影. ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，又∵D1E⊥平面AB1F⇒D1E⊥AF.连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，∴D1E⊥AF⇒DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F，∴CFFD＝1时，D1E⊥平面AB1F.6.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC，M，N分别是棱CC1，AB中点.(1)求证：CN⊥平面ABB1A1；(2)求证：CN ∥平面AMB 1.证明 (1)因为直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CN . 因为AC ＝BC ，N 是AB 的中点，所以CN ⊥AB . 又因为AA 1∩AB ＝A ，所以CN ⊥平面ABB 1A 1.(2)取AB 1的中点G ，分别连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是AB ，AB 1的中点，所以NG ∥BB 1，NG ＝12BB 1.又因为CM ∥BB 1， CM ＝12BB 1，所以CM ∥NG ，CM ＝NG ，所以四边形CNGM 是平行四边形，所以CN ∥MG .因为CN ⊄平面AMB 1，MG ⊂平面AMB 1，所以CN ∥平面AMB 1.7.(2016·南通、扬州、泰州联考)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2BC ，M ，N 分别是棱P A ，CD 的中点.(1)求证：PC ∥平面BMN ；(2)求证：平面BMN ⊥平面P AC .证明 (1)设AC ∩BN ＝O ，连结MO ，AN ，因为AB ＝12CD ，AB ∥CD ，N 为CD 的中点，所以AB ＝CN ，且AB ∥CN ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，又M 为P A 的中点，所以MO ∥PC .又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC ∥平面BMN .(2)方法一因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以PC ⊥AD .由(1)同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD ∥BN ，所以BN ⊥PC ，因为BC ＝AB ，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN ⊥AC .因为PC ∩AC ＝C ，所以BN ⊥平面P AC .因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面P AC .方法二连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，P A ⊂平面PDA ，所以PC ⊥P A .因为PC ∥MO ，所以P A ⊥MO .又PC ⊥PD .因为N 为CD 的中点，所以PN ＝12CD ，由(1)得AN ＝BC ＝12CD ，所以AN ＝PN ，又因为M 为P A 的中点，所以P A ⊥MN ，因为MN ∩MO ＝M ，所以P A ⊥平面BMN .因为P A ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面BMN .8.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面直角梯形ABCD ，∠DAB 为直角，AD ＝CD ＝2，AB ＝1，E ，F 分别为PC ，CD 的中点.(1)求证：CD ⊥平面BEF ；(2)设P A ＝k ，且二面角E －BD －C 的平面角大于30°，求k 的取值范围.(1)证明如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，F (1,2,0)，从而DC →＝(2,0,0)，BF →＝(0,2,0)，所以DC →·BF →＝0，故DC →⊥BF →，即DC ⊥BF .设P A ＝b ，则P (0,0，b ).因为E 为PC 的中点，所以E (1,1，b 2)，从而BE →＝(0,1，b 2)，所以DC →·BE →＝0，故DC →⊥BE →，即DC ⊥BE .又BE ∩BF ＝B ，所以CD ⊥平面BEF .(2)解设E 在xOy 平面上的射影为G ，过点G 作GH ⊥BD ，垂足为点H ，连结EH ，由⎩⎪⎨⎪⎧ EG ⊥BD GH ⊥BDEG ∩GH ＝G ⇒BD ⊥平面EGH ，又EH ⊂平面EGH ，∴EH ⊥BD ，从而∠EHG 即为二面角E －BD －C 的平面角.由P A ＝k ，得P (0,0，k )，E (1,1，k 2)，G (1,1,0). 设H (x ，y,0)，则GH →＝(x －1，y －1,0)，BD →＝(－1,2,0).由GH →·BD →＝0，得－(x －1)＋2(y －1)＝0，即x －2y ＝－1.①又BH →＝(x －1，y,0)，且BH →与BD →的方向相同，故x －1－1＝y 2，即2x ＋y ＝2. ②由①②解得x ＝35，y ＝45，从而GH →＝(－25，－15，0)，所以|GH →|＝55. 从而tan ∠EHG ＝|EG →||GH →|＝52k . 由k >0知∠EHG 是锐角，由∠EHG >30°，得tan ∠EHG >tan 30°，即52k >33. 故k 的取值范围为k >21515. 9.如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点.(1)求证：OD ∥平面ABC ；(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由.(1)证明如图，取AC 中点F ，连结OF ，FB .∵F 是AC 中点，O 为CE 中点，∴OF ∥EA 且OF ＝12EA . 又BD ∥AE 且BD ＝12AE ， ∴OF ∥DB 且OF ＝DB ，∴四边形BDOF 是平行四边形，∴OD ∥FB .又∵FB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ，∴OD ∥平面ABC .(2)解 ∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，且BD ⊥BA ， ∴DB ⊥平面ABC .∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .又△ABC 是等腰直角三角形，且AC ＝BC ，∴∠ACB ＝90°，以C 为原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4，0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,2)，E (4,0,4)，O (2,0,2)，M (2,2,0)， ∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2).设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥OD →，n ⊥MD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝1，∴n ＝(2,1,1). 设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则sin θ＝|n ·CD →||n ||CD →|＝|(2，1，1)×(0，4，2)|22＋12＋12×02＋42＋22 ＝66·25＝3010. ∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为3010. (3)解当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE . 由(2)设N (a ，b ，c )，∴MN →＝(a －2，b －2，c )，NE →＝(4－a ，－b,4－c ).∵点N 在ME 上，∴MN →＝λNE →，即(a －2，b －2，c )＝λ(4－a ，－b,4－c )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＝λ(4－a )，b －2＝λ(－b )，c ＝λ(4－c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4λ＋2λ＋1，b ＝2λ＋1，c ＝4λλ＋1.∴N (4λ＋2λ＋1，2λ＋1，4λλ＋1). ∵BD →＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量，∴ON →⊥BD →，∴4λλ＋1＝2，解得λ＝1. ∴MN →＝NE →，即N 是线段EM 的中点，∴当N 是EM 的中点时，ON ⊥平面ABDE .。

【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第十章10.2排列与组合

1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (4)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.( √ )(5)A m n ＝n A m －1n －1.( √ )(6)k C k n ＝n C k －1n －1.( √ )1．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．48 C ．60 D ．72答案 D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种情况，再将剩下的4个数字排列得到A44种情况，则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．故选D.2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24 C．48 D．120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种).4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案14解析分两类：①有1名女生：C12C34＝8.②有2名女生：C22C24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．题型一排列问题例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案(1)2 520(2)216解析(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法．(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种．故不同的排法共有A55＋C14A44＝120＋96＝216(种)．引申探究1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法．2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．根据分步乘法计数原理，共有A33·A44·A22＝288(种)排法.3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440(种)排法．4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A15＝5(种)排法；再安排其他人，有A66＝720(种)排法．所以共有A15·A66＝3 600(种)排法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A34个，2,3去排四个空档，有A24个，即有A34A24个；而0在首位时，有A23A23个，即有A34A24－A23A23＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A36个，去掉0在首位，即有A36－A25个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A36－A25＝100(个)六位数．题型二组合问题例2(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A．60 B．63C．65 D．66(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．答案(1)D(2)36解析(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C44＋C25C24＝66(种)不同的取法．(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36(种)不同的选法．引申探究1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126(种)不同的选法．2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378(种)不同的选法．3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59种，共有C512－C59＝666(种)不同的选法．思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3(2016·济南模拟)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案 C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法．命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．命题点3特殊元素(位置)问题例5(2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．答案 51解析分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A 33＝6(个)；第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2C 23A 33＝36(个)；第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 13A 33＝9(个)．由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个．思维升华排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A ．150 B ．180 C ．200D ．280(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有( )A ．150种B ．114种C ．100种D ．72种答案 (1)A (2)C解析 (1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有C 25C 23C 112＋C 35C 12C 112＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．13．排列、组合问题典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．错解展示解析先从一等品中取1个，有C 116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C 219种不同取法，共有C 116×C 219＝2 736(种)不同取法．答案 2 736 现场纠错解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有C 116C 24＋C 216C 14＋C 316＝1136(种)．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．答案 1 136纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.1．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为() A．48 B．36 C．24 D．12答案 C解析(捆绑法)爸爸排法有A22种，两个小孩排在一起故看成一体，有A22种排法，妈妈和孩子共有A33种排法，∴排法种数共有A22A22A33＝24(种)．故选C.2．(2017·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32答案 C解析将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( ) A ．34种 B ．48种 C ．96种 D ．144种答案 C解析程序A 有A 12＝2(种)结果，将程序B 和C 看作一个元素与除A 外的3个元素排列有A 22A 44＝48(种)，由分步乘法计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法．4．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有( ) A ．12种 B ．20种 C ．40种 D ．60种答案 C解析 (消序法)五个元素没有限制全排列为A 55，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )，故除以这三个元素的全排列A 33，可得A 55A 33×2＝40(种)．5．(2016·长沙模拟)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24B.12A 26C 24 C ．A 26A 24D ．2A 26答案 B解析方法一将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26种．所以不同的安排方法有12C 24A 26(种)．方法二先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24C 22＝12A 26C 24(种)． 6．(2016·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对答案 C解析正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C 212＝66(对)，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C 24＝6(对)组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C 24＝18(对)．所以成60°角的有C 212－3C 24＝66－18＝48(对)．7．(2016·杭州余杭区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答) 答案 54解析第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有C 23A 33＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36(种)．根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种)．8．(2016·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法．总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种)．9．(2016·宁夏、海南模拟)某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有________种．(用数字作答)答案240解析由题意可知，有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，则共有C14·C25·A33＝240种安排方法．10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．答案11解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．11．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)答案480解析从左往右看，若C排在第1位，共有A55＝120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A24·A33＝72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A22·A33＋A23·A33＝48(种)排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．12．(2016·杭州第二中学月考)2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数．解①当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C24×9×9＝486(张)；②当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有C24×9×9＝486(张)．但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C24＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(张)．13．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C12·C13＝6(种)；第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C14·C13＝12(种)；第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C14·C12＝8(种)；第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A24＝12(种)．由分类加法计数原理，知不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种)．*14.(2016·河南洛阳三模)设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？解a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C29组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况．同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C23种情况，故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.。

《新步步高》2018版高考数学(理)一轮复习文档第四章三角函数、解三角形4-5第2课时Word版含解析

第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ . (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)4－3310解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝4－3310. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝ . (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118B ．－118 C.1718D ．－1718答案 (1)－1 (2)D解析 (1)cos x ＋cos(x －π3) ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos(x －π6) ＝3×(－33)＝－1. (2)cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 题型二三角函数的求值命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝1－(17)2＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114. cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. (2)(2015·广东)已知tan α＝2. ①求tan(α＋π4)的值； ②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. ②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为．答案 (1)C (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)， ∴α＋β＝7π4. (2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－(13)2＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ . 答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . (2)(2016·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是( ) A.7π4B.5π4C.5π4或7π4D.3π2 答案 (1)268 (2)A 解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268. (2)因为α∈[π4，π]，sin 2α＝55>0，所以2α∈[π2，π]，所以cos 2α＝－255且α∈[π4，π2]，又因为sin(β－α)＝1010>0，β∈[π，3π2]，所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010，因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×(－255)＋(－31010)×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22，又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A. 题型三三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为．(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分] (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分] 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．[12分]1．(2016·青岛模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4答案 C解析因为tan(α－π4)＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－4，故选C. 2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725答案 D解析因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D. 3．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．6答案 D解析 sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 4．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255答案 A解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2 答案 B解析由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. 6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z )． ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 7．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为．答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ .答案 π3解析由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 9．化简：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案－4 3解析原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23(12sin 12°－32cos 12°)cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是．答案 3－1 解析 f (x )＝3sin 23x －(1－cos 23x ) ＝2sin(23x ＋π6)－1，又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤23π， ∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1. 11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值； (2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)．解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)，所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4) ＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)．又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620. 12．(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. *13.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值．解 (1)f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。