反证法
反证法
反證法:(一) 什麼是反證法反證法是一種常用的間接証明方法，它是從“否命題的結論”出發，通過正確的邏輯推理“導致矛盾”，達到“推翻了結論的反面”，從而“肯定這個命題真實”。
反證法在邏輯上的理論依據是形式邏輯中的兩個基本規律──矛盾律和排中律，即在“p 是q ”和“p 不是q ”這兩個判斷中，總有一個是真的另一是假的。
用反證法證明一命題，有三個步驟：（1）反證：假設待證的結論不成立，即假定原結論的反面為真。
（2）歸謬：由反設和已知條件出發，通過一系列正確的邏輯推理，最終得出矛盾。
（3）結論：由所得矛盾，說明反設不成立，從而証抈朋原待證的結論是正確的。
下面用幾個例題來具體說明。
例1 在凸四邊形ABCD 中，已知AB BD AC CD +≤+，求證：AB AC <。
證明：假設AB AC ≥AB ，於是BCA ABC ∠≥∠，由於ABCD 為凸四邊形，因此對角 AC 與BD 都在四邊形內，所以有BCD BCA ABC CBD ∠>∠≥∠>∠ 則：BD CD >，又由假設AB AC ≥有AB BD AC CD +>+這與已知條件中AB BD AC CD +≤+矛盾。
而這矛盾是由假設AB AC ≥得到的，所以AB AC ≥不成立，所以有AB AC <。
例2 已知12a a =2（1b +2b ），求證：方程2x +1a x +1b =0與2x +2a x +2b =0中最多有一個方程没有實根。
證明：假設兩個方程都没有實根，則兩個方程的判別式211140a b ∆=-<、222240a b ∆=-<，所以120∆+∆<且有 22222121212121214()2(2)0a a b b a a a a a a ∆+∆=+-+=+-=-≥這與120∆+∆<矛盾，因此假設不成立，兩個方程中至多有一個没實根。
(二) 用反證法証題要注意的問題1. 正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提：在否定命題結論時，一定要先弄清命題的結論是什麼，再認真分析，仔細推敲，作出反設.在提出“假設”之後,要回過頭來看看“假設”的對立面DABC是否恰是命題的結論。
第2章 2.2 2.2.2 反证法
2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。
反证的名词解释
反证的名词解释反证，是指通过假设与已知或者可能的事实相矛盾来推导出与所假设矛盾的结论，从而证明所假设的事情是错误的推理过程。
反证法是一种常用的思维方法，在数学、哲学、科学等领域都有广泛应用。
它是一种思维上的强有力的手段，能够帮助我们在分析问题和证明问题时深入探索，提高问题解决的效率和准确性。
反证法从古至今都受到广泛的重视和运用，其基本思想可以追溯到古希腊数学家欧几里德的《几何原本》中。
欧几里德在《几何原本》中阐述了许多形式的反证法，这些反证法在数学推理中起到了至关重要的作用。
在数学领域，反证法经常被用于证明数学命题的定理。
我们首先假设待证明的命题是错误的，然后通过逻辑推理和演绎得出与已知事实相矛盾的结论，从而推翻了最初的假设，证明了原命题是正确的。
这种思维方法能够帮助我们揭示问题中存在的矛盾和错误，找到解决问题的关键所在。
举个简单的例子来说，我们要证明一个数学命题：“只有偶数才能被2整除”。
如果我们使用反证法来推导，我们可以假设一个反命题：“存在一个奇数能被2整除”。
然后我们通过推导得出与已知事实相矛盾的结论，比如通过计算可以得出“2不能整除3”这样的结论。
这样，我们就可以断定最初的反命题是错误的，从而证明了原命题的正确性。
在哲学领域，反证法也有广泛的应用。
尤其是在逻辑学和形式演绎推理中，反证法是一种常用的推理方法。
通过假设一个相反的命题，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而推翻了最初的假设，证明了问题的正确性。
这种方法在逻辑上严密，能够帮助我们深入思考和分析问题，找到问题解决的关键所在。
在科学领域，反证法也发挥着重要的作用。
科学家们在研究和探索未知世界时，经常需要使用反证法。
通过假设一种假说的否定，然后通过实验证据或推理得出与已知事实相矛盾的结论，从而推翻原来的假说，找到更准确和可靠的解释。
这种思维方法能够帮助科学家们排除错误的假设，深入挖掘问题的本质，推动科学的发展和进步。
总之，反证法是一种强大的思维工具，具有广泛的应用领域。
介绍反证法及举例
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证 明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变，则可以推导出物体必定受到 了外力的作用，从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比，则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数，从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正 确性。
第4讲 反证法
第4讲 反证法竞赛热点1．反证法的实质欲证命题“若A 则B ”为真，只需说明B 不成立不行，怎么说明B 不成立不行呢？若由B 不成立，经过严谨的推理，推出了矛盾，显然就可以说明B 不成立不行，从而就迫使B 必须成立。
在由B 不成立推导矛盾的过程中，完全可以使用题设条件（或者部分题设条件），而最终的矛盾也不一定是与题设条件（或部分题设条件）矛盾。
在许多时候，这种矛盾是指与已知公理、定理、定义所发生的矛盾，或者是与反证法的反投之间的矛盾，或者是在推理的过程中产生的两个命题间的矛盾，等等。
经过上述分析，我们不难明确运用反证法证明“B A ⇒”，其实质是在进行“A 且C B ⇒⌝且C ⌝”的推理。
而B A ⇒的逆否命题为A B ⌝⌝⇒，所以将反证法的实质视为证明原命题的逆否命题，实际上是对于反证法应用范围的缩小，是对于反证法的一种曲解。
2．应用反证法的前提是正确反设正确反设是实施反证法的第一步，此处的关键是逻辑知识而不全是数学知识。
如何反设，通常的做法是：在弄清楚B 的逻辑结构之后，运用逻辑知识与数学知识写出B ⌝的结构。
事实上，由B 到B ⌝，只需进行三个方面的互换：全称与特称互换、肯定与否定互换、“且”与“或”互换。
解题示范 例1：已知1,011≠>x x ，且).3,2,1(13)3(221 =++=+n x x x x n n n n 试证“数列}{n x 或者对任意的自然数n 都满足1+<n n x x ，或者对任意的自然数n 都满足n n x x <+1”。
当上述题目运用反证法否定结论的时候，应为（ ）A ．对任意的自然数n ，有1+=n n x xB ．存在正整数n ，使得1+=n n x xC ．存在正整数n ，使得1-≥n n x x 且1+≥n n x xD ．存在正整数n ，使得0))((11≥--+-n n n n x x x x思路分析：正确的反设是使用反证法的前提，反设时，一定要认清楚命题结论的逻辑结构。
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
；
等级森严，对市场反应迟钝，韦尔奇的举措是改革内部管理体制，减少管理层次和冗员，并撤换了部分高层管理人员。最终，他成功了。 韦尔奇之所以能重振“通用”，并且自己不被人际关系所伤，无非是因为主动回避不必要的复杂关系，以自己扎实的工作和明确的目标告诉员工，他所做的 一切绝无私心。这让人想起一个故事，一位老船长长年在河上驾船，从未发生过事故。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。老船长说：“不是，我只要把船开进深水区就行了，暗礁险滩就会与我无关。” 人的一生有太多的暗礁和险滩，你根本无法一一了解，也根本不必去记住。 你所要做的，只是把船开进深水区就行了。 39、留住幸福的种子 从前有个孤儿，过着贫穷的日子。这年刚刚进入初冬，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。他强忍饥饿，把那一小袋豆子藏了起来。之后，他全靠拾破烂勉强糊口。尽管如此，在他心中总有一株株绿油 油的诱人豆苗在旺盛地生长，他在梦中也似乎真的看见了来年那些可爱的豆荚。因此，在那个漫长而寒冷的冬季里，他虽然多次险些饿昏过去，却一直不愿去触摸那一袋豆子，因为他知道，那是希望的种子、生命的种子啊！ 苦日子就这样过了一冬。第二年春天来了，孤儿把那一小袋豆子播种 到地里，再经过一个夏天的辛勤耕耘，到了秋天，他果然收获了数十倍的种子。孤儿并没有就此满足，他还想获得更多的豆子、更多的幸福。于是，他把收获的豆子又留下来，继续播种、耕耘、收获……后来，孤儿告别了贫困，并成为远近闻名的富裕户。不久，他娶妻生子，过上了人人羡慕的幸福 生活。再后来，他和妻子一面继续种豆，一面学做豆制品，不到40岁，他成了声名显赫的大富豪。 人生有了幸福还需要什么？还需要留住幸福；人生没有了幸福还需要什么？还需要留住幸福的种子。 40、犹太人的智慧 据统计，美国的百万富翁中有百分之二十是犹太人，获诺贝尔经 济学奖的经济学家中，有百分之二十是犹太人。因而历来犹太人被公认为是最会赚钱的民族，被誉为“世界第一商人”。 然而，犹太人并不以赚钱为人生目的，他们认为人生的目的就在于热情地享受生活。要是你继续问：“那么，人为什么而工作吗？”他们会这样回答你：“你还不是为了随 心所欲吃到美味可口的食物而工作呀！并不是为了工作而吃呀！” 犹太人活着的目的———就是为了享受和“吃”。说到吃，不能不赞叹犹太人的健康教育。他们珍惜生命，保护自然。犹太人为使最神圣的耶路撒冷清洁、美丽，实行十个特殊的规定。其中包括：在城里不得堆粪堆；不得建砖 窑；除了早期先知们留下来的玫瑰园以外，不得耕种其他花园或果园；不得养鸡；死人不能在城里过夜。 此外，犹太人特别注重卫生，保持身体的清洁被称之为一种宗教责任。值得一提的是，犹太人把饮食的节制，作为健康体格的先决条件。犹太人有一个“饮食基本法”：吃（胃的容量）三分之 一，喝三分之一，留下三分之一的空。这其实颇有科学根据，吃得太饱，非长寿之道。 ? 41、学学乔丹的爱国 篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所 以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。 从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不 怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？ 42、鲁迅自喻“小白象” 鲁迅先生以象自喻，鲜为人知。 在他和许广平的通信中，经常署名“小白象”，或是“你的小白象”。比如1925年5月鲁迅在北平写给在的许广平的第二封信(5月15日夜)，署名的地方赫然画着一只高高举起鼻子的小象。(《鲁迅手稿全集?书信?第三册》第105页) 而《两地书》在公开出版时，署名“EL”，就是Elephant(象)的缩写。 鲁迅先生为什么要以象自喻呢？从《柔石日记》中，我们可以看到这样的记述：“鲁迅先生说，人应该学一只象。第一，皮要厚，流点血，刺激一下了，也不要紧。第二，我们强韧地慢慢地走去。我很感谢他的话，因为我 的神经末梢是太灵动得像一条金鱼了。”这给我们解开谜底提供了一些线索。鲁迅先生欣赏的正是象的宽厚和强韧的精神。 43、名人教子 家教：包拯为官公正清廉，被老百姓尊称为包青天。他担心家人子弟利用权势贪污腐化，因而自述家训：“后世子孙仕宦，有犯赃者，不得放归本家； 亡疫之后，不得葬与大茔之中。不从吾志，非吾子孙。” 铭教：宋代诗人苏东坡的长子苏迈赴任县太尉时，苏东坡送给他一个砚台，上有他亲手所刻的砚铭：“以此进道常若渴，以此求进常若惊；以此治财常若予，以此书狱常思生。” 鞭教：岳云12岁参军作战，一次骑马下坡，没注意地 形，人也栽进沟里。岳飞喝令按军法鞭打岳云，众将求情不允，责打百鞭。此后岳云刻苦训练，勇猛作战。1134年攻打随州时，挥舞80斤重的铁锤，首当其冲第一个登城。岳飞教子的原则是：受罪重于士卒，作战先于士卒，受功后于士卒。 名教：1945年，革命老前辈林伯渠6岁的小儿子要读书 上小学了。林老对儿子说：“上学，该有个地道的名字，我看你就叫‘用三吧！”儿子疑惑不解，林老解释说：“用三者，三用也，即用脑想问题，用手造机器，用足踏实地！” 联教：无产阶级革命家吴玉章曾撰写一幅对联挂在堂前。上联“创业难，守业亦难，明知物力维艰，事事莫争虚体 面”，教育子孙后辈要艰苦创业，勤俭持家，切不可铺张浪费，追求虚荣；下联：“居家易，治家不易，欲自我以身作则，行行当立好楷模”，指出做长辈的要时时刻刻以身作则，身教重于言教，处处做出好样子，成为后辈们效仿的楷模。 章程教：老舍先生的教子章程：一是不必非考一百分 不可；二是不必非上大学不可；三是应多玩，不失儿童的天真烂漫；四是要有健全的体魄。总之，老舍先生认为，孩子不必争做“人上人”，虚荣心绝对不可有。 44、感悟“国际一流大学” 日前看到一个发生在英国牛津大学的故事：苏格兰北部边远地区一个教育相对不发达的郡，有一位 女学生的毕业考试成绩达到了全A，符合牛津大学的录取标准。这是近百年来当地第一个达到牛津录取线的毕业生，当地政府对此极为重视。但牛津大学录取学生必须经过面试，教授在面试后认为该学生不具备牛津大学要求的创造潜质，拒绝了她的入学申请。当地议会将此事反映给英国中央议会， 议员们就找到教育大臣，请他出面说情，希望给予破格录取。在被牛津大学婉言拒绝之后，教育大臣又找到副首相前去求情，还是遭到拒绝。无奈之下，副首相只得请布莱尔首相出面疏通。虽然首相动之以情，晓之以理，但牛津大学仍然表示不能接收，理由就是一个：在招生问题上，任何人无权更 改学院教授的面试结论，这是牛津大学几百年来的传统。布莱尔当然觉得很没有面子，在此后的一个私人场合，当提到牛津大学的时候，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，要与时俱进，必须进行改革。牛津大学的师生得知后，极为愤慨，学校立即取消了授予布莱尔荣誉博士学位 的原定计划，并对政府行政干预学校事务的这一严重事件提出抗议。 这个故事实在耐人寻味。 据说，在牛津的学子中，先后出现了46位诺贝尔奖获得者。此外，英国历史上的41位首相中，有30位毕业于牛津大学。真不愧是“国际一流大学”！ 我们国家也提出了创建××所“国际一 流大学”的目标，一些名牌大学也跃跃欲试，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。姑且不论我国的高水平大学在办学理念、管理体制、师资队伍、学科水平、办学条件、资金投入等方面仍有相当大的差距，仅就招收有“创造潜力”的优秀生和捍卫“独立精神”这两点上，其差距简直就是 无法比拟的。 我们的高水平大学也想招收最有创造潜力的优秀生，但目前的“应试教育”已经将学生与生俱来的个性和“创造潜质”扼杀殆尽。 我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，即使名牌大学恐怕也不能幸免，招生、考试中的不正之风、种种违 规现象屡禁不止。不要说高级别领导人出面说话，就是某级教育行政部门、招生部门，乃至其它可以制约大学的部门和权势者，都会让学校难于捍卫自己的“独立精神”。 我们都很羡慕像哈佛、牛津、斯坦福、耶鲁等“国际一流大学”，也很想创建几所这样的“国际一流大学”。但我觉得， 仅在“寻求超常规的发展和跨越”上下功夫是远远不够的。发生在牛津大学的故事，实在是有着深刻的启示意义，值得我们好好思索和玩味。 45、 不留退路才有出路 古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时 就想出去遛达遛达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剃去了一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为羞于见人，他只得彻底打消了出去玩的念头，一心一意地练口才，一连数月足不出室，演讲水平突飞猛进。经过一番顽强的努力， 戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。 一个人要想成功，就必须心无旁骛、全神贯注地扑下身去，持之以恒、锲而不舍地追逐既定的目标。但人都是有不小惰性、有太多欲望的动物，要做到这一点实在不易，常常就难免战胜不了身心的倦怠，抵御不住世俗的诱惑，割舍不下寻常的享乐。 一些人因此半途而废，功亏一篑。那么，当惰性膨胀、欲望汹涌，追求的脚步踯躅不前时，应该怎么办呢？不妨学学戴摩西尼，他的办法固然有些极端，但唯其如此，才能管用。他剃掉了一半头发，就彻底斩断了向惰性和欲望妥协的退路。而一旦没有退路可逃，就只能一门心思地朝前奔了。
反证法
上闪眼间生出了三十只仿佛蕉叶般的深绿色嘴唇。接着忽悠了一个，舞鲨岗亭滚两千八百八十度外加龙笑喷壶转十七周半的招数！接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三
百六十度外加瞎转五周的灿烂招式！紧接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境
一样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……最后甩起散发着隐隐兰花香的粉颈一耍，快速从里面弹出一道奇光，她抓住奇光荒凉地一摇，一件黑晶晶、光溜溜的咒符⊙月影
秀了一个俯卧颤动的特技神功，身上猛然生出了九只如同铁塔一样的浅橙色耳朵……接着弄了一个，爬鸡窗纱滚两千八百八十度外加贝叫窝头转十七周半的招数，接着
又使了一套，变体虎晕凌霄翻三百六十度外加疯转十三周的苍茫招式……紧接着土黄色细小叉子一样的胡须不断变形狂舞起来……结实的眉毛射出深紫色的片片梦光…
…硕长的脸窜出火橙色的隐隐奇声。最后耍起特像奶酪样的屁股一抖，轻飘地从里面流出一道妖影，他抓住妖影独裁地一甩，一件蓝冰冰、金灿灿的咒符『灰雨斧圣鸟
综上所述：l与b 是异面直线。
例4:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知:如右图,在圆O中,弦AB与CD交于点P,且
AB,CD不是直径.
求证:弦AB与CD不能被P点平分.
A C
证明:假设弦AB与CD能被P点平分,由于P点一定不 是圆心O,连结OP,根据垂径定理推论,有 OP⊥AB,OP ⊥CD.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
反证法
求证:a,b,c中至少有一个大于0. 证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
π π π 2 2 2y + )+(y - 2z+ )+ (z - 2x+ ) 2 3 6
∴a+b+c=
(x2 -
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3. ∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾, ∴ a,b,c中至少有一个大于0. 推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3)
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 -
π π π 2 2 2y + 2 ,b=y - 2z+ ,c=z - 2x+ 6. 3
练习 1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角. 3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0,
x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0,
a
>
b
反证法-精品文档
否定结论，假设命题
推理矛盾，肯定结论
通过推理出现自相矛盾的情况
矛盾的出现证明了原命题结论的正确性
用反证法证明命题时，矛盾的出现是关键
反证法的应用举例
证明几何中“三角形内角和等于180度”
通过推理得出三角形内角和大于180度或小于180度
假设三角形内角和不等于180度
反证法与其他证明方法的比较
05
反证法的发展趋势和前景
反证法作为数学证明中的重要方法，其理论体系在不断完善，包括对证明条件的深入探讨、对反证法在不同数学分支中的应用等。
理论体系的完善
随着计算机科学的发展，反证法的算法化与自动化成为了研究热点，旨在通过计算机程序实现数学证明的自动化与辅助化。
算法化与自动化
证明一个算法的时间复杂度为O(n)
在离散数学中的应用
04
反证法的局限性和注意事项
反证法不适用于否定性命题
反证法是一种通过证明命题的否定不成立来证明原命题成立的方法，因此对于否定性命题的反证法往往无法奏效。
反证法的局限性
反证法不适用于存在性命题
对于存在性命题，反证法同样存在局限性，因为要证明一个存在性命题成立，需要构造一个具体的实例或对象，而这在某些情况下可能是非常困难的。
03
证明一个函数可导
假设一个函数不可导，推导出矛盾结论，从而证明该函数可导。
在高等数学中的应用
01
证明函数的极限存在
假设函数的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明函数的极限存在。
02
证明数列的极限存在
假设数列的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明数列的极限存在。
证明一个图是连通的
证明一个集合是有限的
2.2.2反证法
由A假,.
间接证明：
不是直接从原命题的条件逐步推得命 题成立的证明方法。
反证法 同一法
间接证明
枚举法
完全归 纳法
反证法是一种常用的间接证明的方法。
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确 的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾；
反设
归谬
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
引例
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
证明：假设 ABC 的三个内角A，B，C都小于60°
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假 设”. (1)互补的两个角不能都大于90°. 假设互补的两个角都大于90°.
(2)△ABC中,最多有一个钝角 假设△ABC中,至少有两个钝角
应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、 “有无穷多个”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
即：1.否定性命题；2.唯一性命题； 3.至多，至少型命题； 4.明显成立的命题； 5.直接有证明困难的命题。
常见的几个正面词语的否定
正面
2.2直接证明与间接证明 2.2.2
反证法
直接证明：
条件p 结论q
反证法
证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不 能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单 地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
范例
证明：素数有无数个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前 275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是 此时，令,那么所有的显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一 个素数，但是显然有N>.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个 素数！ 证明：是无理数。 假设命题不真，则为有理数，设，即最简分数的形式。 则， 所以为偶数，则为偶数，可表示为 则
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反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进 行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏。
对反证法的初步认识
对反证法的初步认识反证法是一种常见的逻辑推理方法，它通过否定某个命题的对立面来论证该命题的真实性。
在逻辑推理中，反证法被广泛应用于数学、哲学、科学等领域，其基本原理和应用方法对于正确理解和运用逻辑思维具有重要意义。
本文将从反证法的基本原理、应用方法和局限性三个方面对反证法进行初步认识。
一、基本原理反证法的基本原理是通过对原命题的否定进行推理，从而得出原命题的真实性。
在逻辑推理中，我们常常遇到一些命题或定理，如果直接证明这些命题或定理比较困难，我们可以尝试采用反证法来证明。
反证法的基本原理可以用以下逻辑推理形式来描述：假设原命题为P，对立面为非P。
如果我们假设非P成立时推出矛盾，则可以得出P成立。
通过对非P的否定推理，最终得到P的真实性。
对于某个数学问题中的定理，如果我们无法直接证明它，我们可以假设该定理不成立，然后通过对其进行推导和分析，最终得出其矛盾，从而证明该定理的真实性。
二、应用方法在实际应用中，反证法常常可以分为直接反证法和间接反证法两种方法。
1. 直接反证法直接反证法是指通过对原命题的否定进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原命题的真实性。
这种方法通常应用于一些具体的命题或定理证明中，其思路相对简单直接。
举个例子，要证明“根号2是一个无理数”，可以采用直接反证法：假设根号2是一个有理数，即可以表示为分数a/b，其中a和b都是整数，并且a、b互为质数。
然后通过对a/b进行分析，得出a和b均为偶数，这与a、b互为质数矛盾，所以根号2不是一个有理数，从而证明它是一个无理数。
证明“不存在最大的素数”可以采用间接反证法：假设存在最大的素数P，然后构造出P的一个更大的素数P+1，显然这与“P是最大的素数”的前提相矛盾，因此可以得出不存在最大的素数。
三、局限性尽管反证法是一种常见的逻辑推理方法，但它并不适用于所有情况，且在应用过程中也存在一定的局限性。
1. 可证命题反证法只适用于那些具有确定性的命题或定理，无法应用于一些不可证命题或涉及概率论推理的问题。
反证法
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与 垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
O
PDBFra bibliotek 练习1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角.
3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0, x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数.
5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.
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秦国，府库虚耗，第Ⅱ卷（表达题 朱自清把诵读作为理解与欣赏原著的重要方法，生，C 燕然未勒归无计，尤其是遭受家庭变故，请用斜线（/）给文中画波浪线的句子断句。早年的事情是近代史，B“.南宋著名画家郑思肖擅长画兰，为那个时代默默的负重奔走。处。的发展，可我带了不同文字的《毛主席语录》一共 拿/介词，C 才能抛开实际生活中的物欲去看 孔子曰：益者三友
反证法
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
上空还悬浮着一块高五米、宽二米的飞美色的峨然绸布……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把贪官转换制做成蛔虫，还要在完全的相同时间内写出四篇具有超级水准的 ！！随着三声礼炮的轰响，灿烂熠熠、五颜六色的蝶角猫拖着三缕淡紫色的彩烟直冲天空……这时一个戴着老虎似的兔子梦天巾，穿着紫罗兰色馅饼神光服的主监考官站起
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
Hale Waihona Puke -2z+π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
反证法
证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知： 已知：△ABC． ． 求证： 中不能有两个角是直角． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 、 、 中不能有两个角是直角
命 ° , 证明: 假设∠ 证明 假设∠A =∠B =题 90
∵∠C>0 ∵∠
¬ p
反设 反设
归谬
结论
用反证法证明： 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交 例 1 弦不能互相平分。 弦不能互相平分。 已知：如图， 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD 中 、 交于点P， 不是直径. 交于点 ，且AB、CD不是直径 、 不是直径 A 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分. O
p是假命题，说明原命题p是 通过证明命题¬ 是假命题，说明原命题 是 真命题. 真命题
作业: 习题1.7-----5 作业 习题 优化1.7-----10,11 优化
本节课到此结束， 本节课到此结束，请同学们 课后做好复习和预习。 课后做好复习和预习。
再见！ 再见！
D
证明： 假设弦AB、CD被P平分， 平分， 证明： 假设弦 、 被 平分
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 由于P点一定不是圆心O，连结OP， 点一定不是圆心 根据垂径定理的推论， 根据垂径定理的推论，有 OP⊥AB，OP⊥CD， ⊥ ， ⊥ ，
C
P B
即过点P有两条直线与 都垂直 这与垂线性质矛盾。 即过点 有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。 有两条直线与 都垂直， 所以， 不被P平分 所以，弦AB、CD不被 平分。 、 不被 平分。
正 面 否 定 = > 是 都是
不 是
至多有 一个
反证法
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
-
2z+
π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 - 2y +
π 2
,b=y2 - 2z+
π 3
,c=z2 - 2x+
π
6.
求证:a,b,c中至少有一个大于0.
推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
到震颤，但精神感觉很爽！再看女武师Ｊ．特哈依琦妖女弯曲的手臂，此时正惨碎成草籽样的淡灰色飞丝，快速射向远方，女武师Ｊ．特哈依琦妖女惊嘶着全速地跳出界外， 急速将弯曲的手臂复原，但元气已损失不少。月光妹妹：“老同志，你的业务水平好像不怎么样哦……女武师Ｊ．特哈依琦妖女：“我再让你看看什么是垃圾派！什么是肥缺
证明：设直线a、b、l中，a平行于b，l与a是异面直线，且l与b不 相交。
假设l与b不是异面直线，则，l与b共面，即l与b平行或相交。
反证法
相交。 假设l与b不是异面直线，则，l与b共面，即l与b平行或相交。 若l与b相交，则与已知条件矛盾； 若l与b平行，又因为b平行于a，则l与a平行，这与l与a异面矛盾。 综上所述：l与b 是异面直线。
例4:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式
出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 -
π π 2 - 2z+ π ,c=z2 - 2x+ . 2y + 2 ,b=y 6 3
练习 1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数 根,则b2 –4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直 角. 3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0,
x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数. 5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.
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１ ．２ （ ２ ｋ ＋１ ） ． ２ ．２ ． ３ ．， ２ ． ４ ．（ ３ ＋ ＋５ 。 ＋ ） ３ ＋５
６ ．证 明 ： （ １ ）当 一１时 ， 左边 一ｌ 一 １一 １ 右 边 一 １ 命 题成立．
，
，
・
６ 。
所以ｎ （ ２ —６ ） ， ６ （ ２ －ｃ ） ， ｃ （ ２ 一ｎ ） 不可 能都大于 １ ． 证明二 ： 假设 ａ（ ２ —６ ） ＞１ ， ｂ （ ２ 一ｃ ） ＞１ ， ｃ （ ２ 一ｎ ） ＞１ ， 因为 ０ ＜Ⅱ ， ｂ ， ｃ ＜２ ， 所 以， 由基本 不 等 式 得 丽 ≤ ， ￣ ｂ 丁 ＋２ －ｃ
专 项 突破
可
做 题前 ， 请 参考 本期 文 章
口
《 “ 正难 则 反” 的三层 感悟》
口
皇
反 让 及 证 法 云
１ ．已知 以是整 数 ， ａ 。 是偶 数 ， 求证 ： 口是偶 数 ．
圈
盏 言
２ ．已知直线 ａ 不在平面 ａ内， 直线 ｂ 在平面 ａ内， 以 ∥６ ， 求证 ： 以 ∥平面 ．
面口 ， 不重合 ， 又６ ｃａ 且６ 卢 ， 所以 ａ ｎ卢 一６ ． 因为 ＡＥ口 ， ＆ （ 二 二 Ｊ ９ ， 所 以 Ａ￣ｆ １ ． 又因为 ＡＥ ， 所 以 Ａ∈ｂ ． 可得 直线 ａ与 ｂ有公共点 Ａ， 这与 ａ ／ ／ ｂ矛盾 ， 所以ｎ ∥平面 ａ ． ３ ．证明一 ： 假设 ｎ （ ２ —６ ） ＞１ ， ６ （ ２ 一ｃ ） ＞１ ， ｃ （ ２ 一ａ ） ＞１ ， 三式相乘得 ａ ｂ ｃ （ ２ 一。 ） （ ２ —６ ） （ ２ 一ｃ ） ＞１ ．①
１一 一（ １ 十 “） 十 ａ， ＜二 以，
所以 ｌ 厂 （ ｚ） 在 ， ＋一 ） 上 是增 函 数 ， 在（ 一。 。 ， ｎ ） 上 是 减 函数 ．
所 以 （ ｔ － ， ） … 一－ 厂 （ ｎ ） 一 － ２ ｍ ＝４ ， 一１ ６ ．
１ ．１ ６ ， 利用上面结论 ， 可知当函数取最小值时 ， 一
２ ． Ｐ 点 为（ ÷， ０ ） ， 最 小值 为２ ￣ ／ ｒ Ｉ ＿ ．
３ ．相 等 ． 提示 ： 设 ０ 是 三 角 形 ＡＢ Ｃ的外心 ， Ｓ ＿ 一 面 ＡＢ Ｃ， 连接 Ｓ Ａ， Ｓ Ｂ， Ｓ Ｃ， 显然可证△Ｓ Ｏ Ａｃ ￣ △Ｓ Ｏ Ｂ △Ｓ Ｏ Ｃ， 所 以结 论 正 确 ．
另一方面 ， 由０ ＜ｎ ＜ ２得 ０ ＜ｎ （ ２ 一ｎ ） —一 口 。 ＋２ ａ 一一（ 口 一１ ） ＋１ ≤１ ． 同理 ， Ｏ ＜６ （ ２ —６ ） ≤１ ， ０ ￣ｃ （ ２ －ｃ ） ≤１ ．
ｊ式相乘得 Ｏ ％ａ ｂ ｃ （ ２ －ａ ） （ ２ —６ ） （ ２ 一ｃ ） ≤１ ， 与①式矛盾．
勘
Ｉ Ｉ
３ ．已知 Ｏ ＜口 ， ｂ ， ｃ ＜２ ， 求证 ： ａ （ ２ －ｂ ） ， ｂ （ ２ －ｃ ） ， ｆ （ ２ 一盘 ） 不可 能都 大 于 １ ．
卜 、 ）
０
Ｌ 九 ｃ ＾ ）
酬
・
１ ８ ・
（ ２ ） 因为 ， （ ） 一ｃ
Ｏ ＜＆ ＜１ ， 所以 １ 一ｎ ＞ｏ ， 一（ １ ＋ｎ ） ＜Ｏ ．
６ ．观 察 前 面规 律 ： １ ×４ —４ ， ２ ×４ —８ ， ３ ×４ —１ ２ ， …， 得２ Ｏ ×４ —８ ０ ．
７ ．类 比等 比数列可得原式 一１ ＋２ ＋２ ＋…＋２ 。 一２ 一１ —１ ０ ２ ３ ．
专项 突破
与已知条 件 ａ 是偶数 矛盾 ， 所 以 ａ是偶数．
反证 法
１ ．证 明 ： 假设 Ⅱ不是偶数 ， 又 ａ是整数 ， 则 ａ是奇 数． 记ａ 一２ ｋ ＋１ ， ｋ ∈Ｚ ， 则ａ 一４ ｋ ＋４ ｋ ＋１ 为奇 数 ，
２ ．证明 ： 假设直线 ａ与平 面ａ不平行 ， 记ｎ Ｎ 一Ａ 因为 ａ ＃ｂ ， 所以 ａ ， ｂ 确定一平面 ｜ ９ ， 因为 ｎ （ ｚ ＝ ａ即平
，
≤下 ｃ ＋２ －ａ
．
三式相加得
由假设易得 、
＝ ＋ ￣ ／ １ ＝ ＋
＝ ＋ 丽 ＋、
二 ≤３ ．②
二 ＞３ ， 与②矛盾．
所以 口 （ ２ —６ ） ， ６ （ ２ 一ｃ ） （ ２ 一ｎ ） 不可能都大于 １ ．
专项 突破
数 学归 纳法
（ ５ 一３ ） ． ５ ．ｋ －１ ．
４ ． ， ～ 等 ． 任 取 异 于 Ａ ， Ｂ 的 点 Ｍ ， 设 Ｍ （ ， ） ， ｔ ａ ｎ ￣ Ｍ Ａ Ｂ ・ ｔ ａ ｎ Ｍ Ｂ Ａ 一 ． 又 由 茅 ＋ 荸 一 １ 得 。 一 ！ ， 所 以 得 ｔ ａ ｎ Ｚ Ｍ Ａ Ｂ ・ ｔ ａ 心 一 ． 下 一 个 结 论 证 明 同 上 ．
５ ．任取一个边长为单位 １的正方体 ， 内连一个正 四面体 ， 这时它的棱长为＾ ， 正 方体 的对 角线即该正
四 面 体的 外 接 球 直 径， 可 求 半 径Ｒ 一 等． 设 这 个 正四 面 体的内 切 球半 径为ｒ ， 高 为ｈ ， 由 等 积 法得４ Ｘ 了 Ｉ ｒ
一
｛ ｈ ， 由 勾 股 定 理 可 求 ： ， 得 ｒ 一 等 ， 得 ｒ ： Ｒ ＝ Ｉ ： ３ ．