8-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系
电场强度与梯度
p Ep = −eV = − 4π ε 0 r 2
e = 1.60 ×10−19 C
e
o
H H
r p A
1.60 ×10−19 6.2 ×10−30 = 3.57 ×10−20 J Ep = 4π × 8.85 ×10−12 (5 ×10−10 ) 2
与气体分子热运动能量比较
Ep 3.57 ×10−20 = K = 2.59 ×103 K T= k 1.38 × 10−23
y q 解 QV = 4πε 0 ( x 2 + R 2 )1 2 r R q E = −∇V o ∂V ∴ E = Ex = − z ∂x ∂ 1 q =− 2 2 12 ∂x 4πε 0 ( x + R )
r
θ
P
x
x
qx = 4πε 0 ( x 2 + R 2 )3 2
1
的电势和电场强度。 例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。 解 V = +
Q r0 << r ∴ r− − r+ ≈ r0 cos θ
q 4π ε 0 r+ 1 q V− = − 4π ε 0 r− V = V+ + V− q r− − r+ = 4π ε 0 r+ r− 1
y
r−
θ
A
r+ r
−q o r +q x
θ=
π
2
r0
V =0
写成： 用A点的坐标x,y写成：
x V= 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )3 / 2
p
y
r−
θ
A
∂V p y2 − 2x2 Ex = − =− ∂x 4π ε 0 ( x 2 + y 2 )5 / 2
电场强度与电势的关系
电场有两个宏观性质
1.对引入其中的电荷有力的作用； 2.对运动电荷做功。
场强 高斯定理 静电场是有通量源场
功与路径无关（环流定理） 静电场是保守场（有势场）
一、等势面 电势相等的空间各点所组成的面
1）沿等势面移动电荷，电场力不作功
A12 qV1 V2 0
2）等势面处处与电场线正交
结论：电场线指向电势降落的方向
二、场强与电势的微分关系
V1 V2 dV E dl Edl cos
E cos dV
dl
E
dl
1
2
V1 V2 V1 du
dV dl
为电势函数沿
dl
方向经单位长度时的变化，即
电势沿 dl 方向的空间变化率。
电场中某点场强沿某一方向的分量等于电势沿此方向的 空间变化率的负值。
4 0 R 2 x 2
利用电场强度与电势梯度的关系
E V
V
Q
4 o R2 x2
dQ
r
R
0
xP
x
Ex
V x
4 0
xQ x2 R2
3 2
有对称性可得： E y Ez 0
E Ex i Ey j Ez k
4 0
xQ x2 R2
3 2
i
2）方法二（场强叠加原理）
dQ
E
4 0
x2 R2
3 2
Q
4 0 R 2 x 2
பைடு நூலகம்
例 设有一均匀带电直线段长度为L，总电荷量为q，求其延
长线上一点P电势和电场强度。
P
a
P’
dE
x’
dx’
r
x
电场强度与电势
电场强度与电势
电场强度（E）和电势（V）是描述电场特性的两个重要参数。
电场强度是指单位正电荷在某点所受到的力的大小。
它的方向与力的方向相同，单位是牛顿/库仑（N/C）。
电势是指单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的功。
它的单位是伏特（V）。
电势是标量量，它描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在以下关系：
1. 电场强度为负梯度电势：E = -∇V
这个公式表示电场强度是电势的负梯度，其中∇是梯度算子。
2. 电场强度和电势的关系：E = -dV/dr
这个公式表示电场强度是电势对位置的导数，其中dV/dr表示电势对位置的变化率。
3. 电场强度和电势的关系：V = -∫E·dl
这个公式表示电势是电场强度积分后的结果，其中∫E·dl表示电场强度沿路径l的线积分。
在一维情况下，电势和电场强度之间的关系可以通过上述公式进行计算。
在三维情况下，电势和电场强度之间的关系需要考虑电场的分布情况，并使用泊松方程或拉普拉斯方程进行计算。
总之，电场强度描述了电场中的力的大小和方向，而电势描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势梯度的关系
电场与电势是相互关联的，电势是电场的线积分，电场是电势的变化梯度，即电势的求导，电势变化越快的地方电场越强，有一个特殊的地方，电势零点可以任意选取，电场不为零的地方电势可以为零，电势为零的地方电场可以不为零电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
1、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
2、场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
3、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
4．场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
电场线假设与等势面不垂直，那么沿等势面就有分量，这样电荷在沿等势面移动时电场力就可做功，故假设不正确。
因此，电场线应与等势面垂直。
电场线越密处，电荷所受电场力大，移动相同距离电场力做功多也可能是克服电场力做功多，故在此处沿电场线方向移动相同距离比疏处电势差大。
那么相邻等势面差值一样时，电场线越密处等势面也越密。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
1.6 电场强度与电势的微分关系
V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
电场强度与电势梯度关系的简单推导方法
） （ 器 Ｉ ； ｖ － — ｒ 【 ） ＝ 一 Ｅ ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２—０ ９ —０ ６
基金项 目： 国家 自然科学基金专项基金项 目（ １ １ ０ ４ ７ ０ １ ９ ） ； 安徽省 自然科学基金项 目（ １ １ ０ ４ ０ ６ ０ ６ Ｍ１ ５ ） ． 作者简 介： 黄时 中（ １ ９ ５ ７ 一） ， 男， 安徽宿松人 ， 教授 ， 博士 ， 主要从事大学物理和理论物理方面的教学与研究工作 ． 引用格式 ： 黄时 中， 张丹丹 ． 电场强度与电势梯度关系的简单推导方法 ［ Ｊ ］ ． 安徽师范大学学报 ： 自然科学 版， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ２ ） ： １ ２ ３ —１ ２ ４
强度 分别 为
＝ ＝
图 １ 单 个 点 电荷 情 形
４ 丌 Ｅ ０ √（ ｚ—Ｉ ｚ ｉ ） ２ ＋（ —ｙ ｉ ） ２ ＋（ ｚ一 ） ２ ’
和
置 ＝
其 中
Ｅ 妇 ＝
＝Ｅ ＋Ｅ ＋ Ｅ ，
（ ２ ）
， Ｅ ＝
， Ｅ 娩 ＝
（ ３ ）
由如下 简单 的微分 运算
疑惑 、 有似懂 非懂 的感 觉 ． 本文 以 电势叠 加原 理和场 强叠加 原 理 为基础 ， 给 出严格 推 导 电场强 度 与 电势 梯度
关系 的一种 非 常 简 单 的方 法 ． 这 种 简 单 的推 导 过 程 可 以
方便 地在 大学物 理学 课程 中进 行讲 授 【 ０ ， ． 众 所周 知 ， 对于 给定 的 电荷分 布 ， 电场 中任一 点 Ｐ 的 电势 与场 中的电场 强度之 间的关 系为 积分关 系 ， 即
（ ４ ｃ ） ）
直接得到 置 与 之间的微分关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度与电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系和相互依赖关系。
本文将从电势梯度和电场强度的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面展开阐述。
我们来了解一下电势梯度和电场强度的定义。
电势梯度是指电势在空间中变化的快慢程度，表示为电势的变化率。
电场强度是指单位正电荷所受的力的大小和方向，表示为电场力的大小。
电势梯度的计算方法是通过对电势函数沿着某一方向求偏导数，即电势梯度等于电势函数在某一方向上的偏导数。
电场强度的计算方法是通过库仑定律得到的，即电场强度等于单位正电荷所受力的大小。
接下来，我们来探讨电势梯度和电场强度之间的关系。
根据定义可知，电场强度是电势梯度的负梯度，即电场强度与电势梯度具有相反的方向。
这是因为电势梯度表示电势的变化率，而电场强度表示单位正电荷所受的力的大小和方向，二者之间存在着直接的关系。
进一步地，我们可以通过电势梯度和电场强度的性质来理解它们之间的关系。
首先，电势梯度的方向指向电势变化率最快的方向，而电场强度的方向指向力的作用方向。
由于力的方向是电势下降最快的方向，所以电势梯度的方向与电场强度的方向相反。
电势梯度的大小与电场强度的大小成正比。
根据电势梯度的定义可知，电势梯度的大小等于电势函数在某一方向上的偏导数。
而根据电场强度的定义可知，电场强度的大小等于单位正电荷所受力的大小。
由于电场力与电势梯度具有相反的方向，所以电场强度的大小与电势梯度的大小成正比。
我们可以通过具体的例子来进一步说明电势梯度和电场强度之间的关系。
假设有一个点电荷位于原点，我们要计算该点电荷在距离原点某一点的电场强度。
首先，我们可以通过库仑定律计算出该点电荷在距离原点某一点的电势。
然后，我们可以通过计算电势在该点的梯度得到该点电荷在该点的电场强度。
根据电势梯度和电场强度的关系可知，电场强度的大小与电势梯度的大小成正比，方向与电势梯度的方向相反。
电势梯度和电场强度之间存在着密切的关系。
电场中的电场强度与电势
电场中的电场强度与电势在电学中，电场是指由电荷周围所产生的一个物理现象。
而电场强度与电势则是描述电场性质的两个重要概念。
本文将探讨电场中的电场强度与电势，并分析它们之间的关系。
一、电场强度的概念及计算方法电场强度是指单位正电荷所受到的力的大小，用E表示。
在电场中，如果一个电荷位于某点，那么它会受到周围电荷的力的作用，这个力与该点的电场强度有关。
电场强度的计算公式为：E =F / q其中，E表示电场强度，F表示所受力的大小，q表示电荷的大小。
二、电场强度的方向电场强度是一个矢量量，其大小和方向都有意义。
它的方向是指在该点的电场中正电荷所受到的力的方向，即正电荷在电场中受力的方向与电场强度的方向相同，而负电荷在电场中受力的方向与电场强度的方向相反。
三、电势的概念及计算方法电势是指单位正电荷在电场中的电势能，用V表示。
在电场中，一个电荷从A点移动到B点所做的功，即电势能的变化，可以表示为：ΔV = W / q其中，ΔV表示电势差，W表示做功的大小，q表示电荷的大小。
四、电势的性质1. 电势是一个标量量，它没有方向，只有大小。
2. 在电场中，电势随距离变化而变化，电势的变化可以用电势梯度来描述。
电势梯度的大小等于电场强度的大小。
3. 电势在电场中沿着等势面保持不变，等势面上的点具有相同的电势。
五、电场强度与电势的关系电场强度与电势具有一定的关系，可以通过以下公式来描述：E = -▽V其中，E表示电场强度，▽表示取梯度（即求导）运算，V表示电势。
根据以上公式可以看出，电场强度和电势之间是有负相关的关系。
当电势增加时，电场强度减小；当电势减小时，电场强度增加。
这是因为电场强度是电势的负梯度，电势的变化越大，电场强度的大小就越小，反之亦然。
六、应用举例1. 在电容器中，电势的变化可以通过电场强度来解释。
当两个电极之间有电势差时，就会形成电场，而电场的强度与电势差有关。
电场强度的大小决定了电容器中的电势分布情况。
大学物理4第四讲等势面场强与电势的的关系,静电场中的导体-精选文档
d
0
+
d +
表面上: Ued E dl 0
+ l1 + l2 b+
U U U U a b d e
●整个导体连同表面为一个等势体。
15
e
二、导体上的电荷分布
1.实心导体 电荷只分布在导体表面，导体内部电荷为零。 证明：在导体内作任意高斯面
§17-5
等势面、场强与电势梯度的关系
一、等势面（电势分布的图示法）
●电场中电势相等的点所构成的曲面 1.等势面的规定 ●电场中任意相邻的两等势面之 间的电势差相等。
EE
a
b
c
U U U U U U U const c b a c b b a
U 例：点电荷场 P
1
P 2
E d l E n
5
在直角坐标中:
dU El dl
U Ez z
U Ex x
U Ey y
E dl
U U U ˆ ˆ ˆ E ( i j k ) gradU x y z
电势为标量，易于计算，而由关系
E g r a d UU 可更方便地求得 E 。
U const ,E 0 不是指等势面上
7
三、场强与电势梯度关系的应用 q ，求 E 例1：已知点电荷的电势 U 4 0 r 2 2 2 解： r x y z Y q U 2 2 2 + 4 x y z 0
U q x E x 2 2 2 3 / 2 x 4 ( x y z ) 0 U q y E y 2 2 2 3 / 2 y 4 ( x y z ) 0
等势面 电场强度与电势的关系
例1：关于等势面 等势面如图所示，在正的点电荷Q 的电场中有a 、b 两点，它们到点电荷Q 的距离21r r <（l ）a 、b 两点哪点电势高？（2）将一负电荷放在a 、b 两点，哪点电势能较大？（3）若a 、b 两点问的电势差为100V ，将二价负离子由a 点移到b 点是电场力对电荷做功还是电荷克服电场力做功？做功多少？例2: 利用等势面判断电势在两个等量同种点电荷的连线上，有与连线中点O 等距的两点a 、b ，则 A ．a 、b 两点的场强矢量相同B ．a 、b 两点的电势相同C ．a 、O 两点间与b 、O 两点间的电势差相同D ．同一电荷放在a 、b 两点的电势能相同例3:等势面的应用如图所示是某电场中的一簇等势面，甲等势面的电势为90V ，乙等势面的电势为－10V ，各相邻等势面间的电势差相等 （l ）将8101-⨯=q C 的电荷从A 点移到B 点，电场力做功为 ；（2）将8101-⨯-=q C 的电荷从A 点移到C 点，电场力做功为 ； （3）在图中定性画出几条电场线．【习题精练】1．关于等势面正确的说法是（ ）A ．电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功B ．等势面上各点的场强大小相等C ．等势面一定跟电场线垂直D ．两等势面不能相交2．一个点电荷，从静电场中的a 点移至b 点，其电势能的变化为零，则A ．a 、b 两点的场强一定相等B ．该电荷一定沿等势面移动C ．作用于该点电荷的电场力与其移动方向总是垂直的D ．a 、b 两点的电势相等3．如图中虚线表示某个电场中的等势线，与它们对应的电势值标明在图中，直线是电势为0V的等势线上P点的切线，一个负电荷在P点时所受电场力方向为4,如图8所示，实线为电场线，虚线为等势线，且相邻两等势间的电势差相等，一正电荷在等势线U3上时，具有动能20J，它运动到等势线U1时速度为零，令U2＝0，那么该电荷的电势能为4J时，其动能为_______J．5, 关于等势面下列说法正确的是( )A．等势面与电场线处处垂直B．同一等势面上的各点场强大小必定相等C．电荷所受电场力的方向必和该点等势面垂直，并指向电势升高的方向D．电荷从电场中一点移到另一点，电场力没做功，电荷必在同一等势面上移动6,下述说法正确的是（）A．在同一等势面上移动电荷，电场力不作功B．等势面上各点场强大小一定相等C．电场中电势高处，电荷的电势能就大D．电场强度大处，电荷的电势能就大7,一个电荷从a点移动到b点做功为零，则有（）A, a ,b 两点电场一定相等B ,该电荷一定是沿着等势面移动C，作用于该电荷的电场力与其移动方向总是垂直的D，a ,b两点的电势一定相等8，虚线a.b.c是某静电场中的三个等势面，它们的电势ϕa>ϕb>ϕc，一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹KLMN如实线所示，可知（）A.从K到L的过程中，电场力做负功B.从L到M的过程中，电场力做负功C.从K到L的过程中，电势能增加D.从L到M的过程中，动能增加9，如图1所示，q1和q2为两静止的等量异号电荷，MN是电荷连线的中垂线。
高中物理-电场强度、电场线、等势面、电势的关系
您现在的位置：360教育网 >> 中学 >> 同步辅导 >> 高中二年级同步辅导【本讲教育信息】一. 教学内容：电势差与电场强度的关系及示波器问题的综合二. 学习目标：1、掌握电场中电势差跟电场强度的关系的理论推导及等势面类典型问题的分析方法。
2、掌握示波器的原理及相关习题的的解题思路。
3、掌握带电粒子在电场中加速和偏转的问题的分析方法。
考点地位：本考点是本章内容的难点，是高考考查的热点，对于电势差和电场强度的关系及等势面的考查，通常以选择题目的形式出现，对于带电粒子在场中的加速和偏转，出题的形式则更灵活，突出了本部分内容与力的观点及能量观点的综合，对于示波器原理的考查在历年的高考题目中，有时以大型综合题目的形式出现，如2005年的全国Ⅰ卷，同时也可以通过实验题的形式出现，如2007年高考的实验题目第11题。
三. 重难点解析：（一）匀强电场中电势差跟电场强度的关系：（1）大小关系。
推导过程如下：如图所示的匀强电场中，把一点电荷q从A移到B，则电场力做功为：且与路径无关。
另外，由于是匀强电场，所以移动电荷时，电场力为恒力，可仍用求功公式直接求解，假设电荷所走路径是由A沿直线到达B，则做功，两式相比较，，这就是电场强度与电势差之间的关系。
说明：①在匀强电场中，任意两点间的电势之差，等于电场强度跟这两点沿电场强度方向上的距离的乘积。
即d必须是沿场强方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d的取值应为在场强方向的投影，即为电场中该两点所在的等势面的垂直距离。
②公式表明，匀强电场的电场强度，在数值上等于沿电场强度方向上单位距离的电势的降落，正是依据这个关系，规定电场强度的单位：。
③公式只适用于匀强电场，但在非匀强电场问题中，我们也可以用此式来比较电势差的特别推荐高二同步辅导往期导航大小。
例如图所示是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点，比较的大小。
我们可以设想，AB段的场强要比BC段的场强大，因而，，，。
电场强度和电势梯度的关系
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
静电场4(电场与电势关系)
a a
ba →
→
b
dA = q0 E cosθdl = q0 (Ua − Ub ) = −q0dU ∴ E cosθdl = −dU dU El = E cosθ = − dl
2. 微分关系 → 电荷 q0 从a 经位移 dl 到达 b ， → 电场力所作功为： 电场力所作功为： E
a
θ
b
→
Ub
= q0 (U A − U B ) > 0
∴U A > U B
q o dl
A
UA
结论2： 结论 ：电场强度的方向总是指向 势降低的方向
3. 等势面图示法 等势面画法规定 规定： 等势面画法规定：相邻两等势面之间的 电势差相等。 电势差相等。 将单位正电荷沿等势面法线方向移动。 将单位正电荷沿等势面法线方向移动。
对 X，Y，Z 方向有： ， ， 方向有：
[ 例1 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点 q q 的电势为： 的电势为： U=4 r = 2 2 1 2 π o ε ε 4π o ( x + R ) 求：轴线上任一点的场强。 轴线上任一点的场强。
R
r
X
[解] 解
X ∂U E = Ex = − ∂x q x = 3 4π ε0 (x 2 + R 2 ) 2
R
dq
r
X
dq = σ 2πrdr
dU =
R
dq 4πε0 r + x
2 2
σ
X
=
σrdr
2 2
2ε 0 r + x
U=∫
0
σrdr
2ε 0
σ = 2 2 2ε 0 r +x
(R
普通物理学考研复习笔记
第八章真空中的静电场§8-1 电荷库仑定律真空中的介电常数§8-2 电场电场强度(分立)(连续)大前提：对点电荷而言↑(提问：为什么试探电荷要求q足够小呢？答：因为q会影响到源电荷的分布，从而影响到的大小)附：1.电偶极子(其中为电偶极矩，为电偶极子的臂(负→正))(考察点p在电偶极子的臂的延长线上)2. 均匀带电圆环在轴线上的场强(其中a为半径，b为距圆心的距离)§8-3 高斯定理对于高斯定理(因为局部电荷有正有负，局部电通量也有正有负)§8-4 静电场的环路定理电势(分立)(连续)附：电偶极子(普适式)补充：电偶极子(普适式)环路定理：§8-5 等势面电场强度与电势梯度的关系(“—”表示方向指向电势降落的方向)§8-6 带电粒子在静电场中的运动(即导体表面单位面积所受到的力在数值上与导体表面处电场的能量密度相等，力的方向与导体带电的符号无关，总是在外法线方向，是一种张力)电偶极子受到的力偶矩(在不均匀电场中也可近似套用)电偶极子在外电场中的势能(注意：是有一个负号的)相关记忆：个电偶极子的相互作用能第九章导体和电介质中的静电场§9-1 静电场中的导体导体表面的场强(注意：不是(无限大平面的场强))孤立带电导体电荷分布特点是静电平衡条件的三个表述：§9-2 空腔导体内外的静电场静电屏蔽的实质：导体外(内)表面上的感应电荷抵消了外(内)部带电体在腔内(外)空间激发的电场。
§9-3 电容器的电容孤立导体球的电容常见形状电容：平行板电容器球形电容器(当＞＞时，变为孤立导体；当、都很大，d=-很小时，变为平行板电容器)圆柱形电容器§9-4 电介质及其极化无极分子→感应电矩(电子位移极化为主)有极分子→介质的极化(取向极化为主)高频时，都以电子位移极化为主电极化强度(它是反映介质特征的宏观量)各向同性电介质(统计物理和固体物理建立了与的关系)极化电荷→是不是很像高斯定理？(即为电荷面密度)(即为电荷体密度)§9-5 电介质中的静电场(、分别表示自由电荷与极化电荷所激发的场强)绝对介电常数§9-6 有电介质时的高斯定理 电位移电位移(指自由电荷)、、三矢量之间的关系§9-8 电荷间的相互作用能 静电场的能量点电荷间的相互作用能(互能)，又称电势能(其中表示在给定的点电荷系中，除第个点电荷之外的所有其他点电荷在第个点电荷所在处激发的电势)电荷连续分布时的静电能(互能+固有能)静电场的能量( 说明1：真空中与介质中电势能都是将的自由电荷由无穷远处移至该位置所做功，区别在于不同。
05等势面场强与电势的微分关系
∫
例：均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为 σ ，求轴 线上一点的场强。 线上一点的场强。 解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式
σ 2 2 U= ( x + R x) 2ε 0
轴相同， 由于等势面法线方向与 x 轴相同，
R
U U E= en = i n x U σ 2 2 E= = ( R + x x) x x 2ε0 σ 1 2x σ x = ( 1) = 1 2 2 2 2 2ε0 2ε0 2 R + x R +x
o
x
9
3
4.电力线的方向指向电势降低的方向。等势面 电力线的方向指向电势降低的方向。 电力线的方向指向电势降低的方向 证明：假设电荷q 移到1， 证明：假设电荷 0由2移到 移到 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功， 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功， 电势能减少。 电势能减少。 E
2
1
dl
A21 = ( E p1 E p 2 ) = E p 2 E p1 = q0 (U 2 U1 ) > 0
1.“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。 表示电场强度的方向为电势降低的方向。 表示电场强度的方向为电势降低的方向 2.沿等势面法线方向场强最大。 沿等势面法线方向场强最大。 沿等势面法线方向场强最大 在任意方向上，场强的分量为： 在任意方向上，场强的分量为：
dU E= en dn
dU dU El = E cosθ = cosθ = dn dl
等势面 电势梯度
(第三章第 节) 第三章第5节 第三章第
1
引： Ua =
∫
∞
a
场强电势的积分关系 E dl …..场强电势的积分关系
一、等势面
电场强度和电势的关系
【讨论题三】Q、R相同的均匀带电球面和非均匀带电球面， 二者球内外的电场强度和电势分布是否相同？球心处的电势是 否相同？（设无限远处的电势为零） 【提示】二者球内外的电场强度和电势分布均不相同,球心处 的电势相同.
【例题一】如图所示，两个均匀带电球面，半径分别为 R1 、R2,带电量分别为Q1、Q2。求此带电系统在空间形成 的电场和电势的分布。
由于电势是个标量，所以很多问题都可以先求电势再求电 场强度。
电势计算方法：
①.对于电荷分布高度对称的带电体（电场强度易 知），用电势的定义式计算
U
p
零点 p
E dl
②.对于电荷分布部分对称或一般的带电体（电场强 度不易知），用电势的叠加式计算
U
p
4
dq
0
, 重点关注其中 r
9-8 电场强度和电势的关系
一、等势面(Equipotential Surface): 类似于用电场线来描述 电场的分布，我们用等势面来形象地描述电势的分布。
定义：电势相等的各点所组成的面。
场强大处，等势面密；
场强小处，等势面疏。
q
q
等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， d l
解：以圆心 o 为坐标原点， 势分布为 则带电球面在空间的电 Q 4 R 0 U Q 4 0 x 故细棒的电势能为 W
(0 x R ) (x R)
2L L
Q 4 0 x
dx
QL 4
0
ln
R 2L R L
作业 9-29 9-31 9-32 9-33
电场强度、电场线、等势面、电势的关系
电场强度.电场线.等势面.电势的关系一.重难点解析：（一）匀强电场中电势差跟电场强度的关系：（1）大小关系.推导进程如下：如图所示的匀强电场中,把一点电荷q从A移到B,则电场力做功为：且与路径无关.别的,因为是匀强电场,所以移动电荷时,电场力为恒力,可仍用求功公式直接求解,假设电荷所走路径是由A沿直线到达B,则做功,两式比拟较,,这就是电场强度与电势差之间的关系.解释：①在匀强电场中,随意率性两点间的电势之差,等于电场强度跟这两点沿电场强度偏向上的距离的乘积.即d必须是沿场强偏向的距离,假如电场中两点不沿场强偏向,d的取值应为在场强偏向的投影,即为电场中该两点地点的等势面的垂直距离.②公式标明,匀强电场的电场强度,在数值上等于沿电场强度偏向上单位距离的电势的下降,恰是根据这个关系,划定电场强度的单位：.③公式只实用于匀强电场,但在非匀强电场问题中,我们也可以用此式来比较电势差的大小.例如图所示是一非匀强电场,某一电场线上 A.B.C三点,比较的大小.我们可以假想,AB段的场强要比BC段的场壮大,因而,,,.这里的E1.E2分离指AB段.BC段场强的平均值.由此我们可以得出一个重要结论：在统一幅等势面图中,等势面越密的地方场强越大.事实上,在统一幅等势面图中,我们往往把每两个相邻等势面间的电势差取一个定值,假如等势面越密,即相邻等势面的间距越小,那么场强就越大.④场强与电势无直接关系.因为某点电势的值是相对拔取的零电势点而言的,拔取的零电势点不合,电势的值也不合,而场强不变.零电势可以工资拔取,而场强是否为零则由电场本身决议.初学轻易犯的一个错误是把电势高下与电场强度大小接洽起来,误以为电场中某点电势高,场强就大;某点电势低,场强就小.（2）偏向关系：①场强的偏向就是电势下降最快的偏向.只有沿场强偏向,在单位长度上的电势差最大,也就是说电势下降最快的偏向为电场强度的偏向.但是,电势下降的偏向不必定是电场强度的偏向.②电场线与等势面垂直.（二）几种罕有的等势面及等势面的特色：（1）点电荷电场中的等势面：以点电荷为球心的一簇球面如图所示.（2）等量异种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面,如图所示.（3）等量同种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面,如图所示.（4）匀强电场中的等势面是垂直于电场线的一簇平面,如图所示.（5）外形不规矩的带电导体邻近的电场线及等势面,如图所示.等势面的特色：（1）等势面必定与电场线垂直,即跟场强的偏向垂直.假若电场线与等势面不垂直,则场强E在等势面上就会产生一个分量,在统一等势面上的两点就会产生电势差,消失了一个抵触的结论,故等势面必定与电场线垂直.（2）电场线老是由电势高的等势面指向电势低的等势面,两个不合的等势面永久不会订交.（3）两个等势面间的电势差是相等的,但在非匀强电场中,两个等势面间的距离其实不恒定,场壮大的地方,两个等势面间的距离小,场强小的地方,两个等势面间的距离大,如图5所示.（4）在统一等势面上移动电荷时,电场力不做功.解释：因为电场强度E与等势面垂直,则电荷在统一等势面上移动时,电场力总与活动偏向垂直,故在统一等势面上移动电荷时,电场力不做功.留意：若一电荷由等势面A先移到等势面B,再由等势面B移回等势面A,全部进程电场力做功为零,但分段来看,电场力可能先做正功,后做负功,也可能先做负功,后做正功,例如,在如图所示中带正电的物体由A点活动到B点的进程中,电场力先做负功,后做正功,但总功为零.（5）处于静电均衡状况的导体是一个等势体,概况是一个等势面.（三）等势面与电场线的关系：电场中电势相等的点组成的面是等势面.在统一等势面上随意率性两点间移动电荷时,电场力不做功.电场线老是与等势面垂直（假如电场线与等势面不垂直,电场在等势面上就有分量,在等势面上移动电荷,电场力就会做功）.在统一电场中,等势面的疏密也反应了电场的强弱,等势面密处,电场线也密,电场也强,反之则弱.知道等势面,可以画出电场线.但等势面与电场线的差别是很显著的,电场线反应了电场的散布情况,是一簇带箭头的不闭合的有向曲线,而等势面是一系列的电势相等的点组成的面,可所以关闭的,也可所以不关闭的.电荷沿电场线移动,电场力确定做功,而电荷沿等势面移动,电场力确定不做功.（四）带电粒子的加快和偏转及示波器模子：1. 带电粒子的加快（1）活动状况的剖析：带电粒子沿与电场线平行的偏向进入匀强电场受到的电场力与活动偏向在统一向线上,做匀加（减）速直线活动.（2）用功效不雅点剖析：粒子动能变更量等于电场力做的功.若粒子的初速度为零,则：即若粒子的初速度不为零,则：故（3）能用来处理问题的物理纪律重要有：牛顿定律联合直线活动公式;动能定理;动量守恒定律;包含电势能在内的能量守恒定律.（4）对于微不雅粒子（如：电子.质子.α粒子等）因其重力与电场力比拟小得多,平日可疏忽重力感化,但对带电微粒（如：小球.油滴.尘埃等）必需要斟酌重力感化. 2. 带电粒子在电场中的偏转（1）活动状况剖析：带电粒子以速度v0垂直于电场线偏向飞入匀强电场时,受到恒定的与初速度偏向成90°角的电场力感化而做匀变速曲线活动.（2）偏转问题的剖析处理办法：相似于平抛活动的剖析办法,运用活动的合成和分化常识剖析处理.沿初速度偏向为匀速直线活动.即活动时光沿电场偏向为初速为零的匀加快直线活动故分开电场时的偏移量分开电场时的偏转角（3）带电粒子的重力是否可疏忽;①根本粒子：如电子.质子.α粒子.离子等,除有解释或明白暗示以外一般都可疏忽不计.②带电颗粒：如尘埃.液滴.小球等,除有解释或明白暗示以外一般都不克不及疏忽.3. 示波器对示波管的剖析有以下三种情况（1）偏转电极不加电压：从电子枪射出的电子将沿直线活动,射到荧光屏中间点形成一个亮斑.（2）仅在XX’（或YY’）加电压：若所加电压稳固,则电子流被加快.偏转后射到XX’（或YY’）地点直线上某一点,形成一个亮斑（不在中间）,如图所示.在如图所示中,设加快电压为U1,偏转电压为U2,电子电量为e,质量为m,由W=△E k,得：①在电场中侧移②个中d为两板的间距程度偏向活动时光③又④由①②③④式得荧光屏上的侧移（3）若所加电压按正弦函数纪律变更,如,偏移也将按正弦纪律变更,如或,即这亮斑在程度偏向或竖直偏向做简谐活动.【典范例题】问题1.等势面问题归纳：例 1. 如图所示,实线为电场线,虚线为等势面,相邻两等势面间的电势差相等.一个正电荷在等势面L3处的动能为20J,活动到等势面L1处时动能为零;现取L2为零电势参考平面,则当此电荷的电势能为4J时,它的动能为（不计重力及空气阻力）（）A.16JB.10JC.6J D. 4J变式1.例2. 如图所示,在点O置一个正点电荷,在过点O的竖直平面内的点A处自由释放一个带正电的小球,小球的质量为m,带电量为q.小球落下的轨迹如图中的实线所示,它与以点O为圆心.R为半径的圆（图中虚线所示）订交于B.C两点,点O.C在统一程度线上,∠BOC=30°,点A距OC的高度为h,若小球经由过程B点的速度为v,则（）A. 小球活动到C点时的速度为B. 小球活动到C点时的速度为C. 小球从A点活动到C点的进程中电场力所做的功为D. 小球从A点活动到C点的进程中电场力所做的功为【模仿试题】1. 关于静电场的电场线和等势面,以下说法准确的是（）A. 处于静电均衡的导体,内部没有电场线,它的电势也必定为零B. 导体四周的电场线必定与导体概况垂直C. 在统一条电场线上的两点,电势确定不等D. 在统一条电场线上的两点,地点地位的场强确定不相等2. 对公式U=Ed的懂得,下列说法准确的是（）A. 在雷同的距离上的两点,电势差大的其场强也确定大B. 此公式实用于所有的电场中的问题C. 公式中的d是经由过程两点的等势面间的垂直距离D. 匀强电场中,沿着电场线的偏向,任何相等距离上的电势下降确定相等3. 如图所示,a.b.c是匀强电场中的三个点,各点电势,a.b.c三点在统一平面上,下列各图中电场强度的偏向暗示准确的是（）4. 如图所示,在点电荷Q形成的电场中,已知a.b两点在统一等势面上,甲.乙两个带电粒子的活动轨迹分离为acb和adb,两个粒子经由a点时具有雷同的动能,由此可断定（）A. 甲粒子经由c点时与乙粒子经由d点时具有雷同的动能B. 甲.乙两粒子带异种电荷C. 若取无限远处为零电势,则甲粒子经由c点时的电势能小于乙粒子经由d点时的电势能D. 两粒子经由b点时具有雷同的动能5. 如图所示,两块相对的平行金属板M.N与电池相连,N板接地,在距两板等远的一点P固定一个带正电的点电荷,假如将M板向上平移一小段距离,则（）A. 点电荷所受的电场力减小B. 点电荷所受的电场力增大C. 点电荷的电势能减小D. 点电荷的电势能保持不变6. 如图所示,匀强电场中有一组等势面,若A.B.C.D相邻两点间的距离是2cm,则该电场的场强是__________________V/m,到A点距离为的P点电势为______________V.7. 如图所示,在规模很大的程度向右的匀强电场中,一个电荷量为-q的油滴,从A点以速度v竖直向上射入电场.已知油滴质量为m,重力加快度为g,当油滴到达活动轨迹的最高点时,测得它的速度大小恰为.问：（1）电场强度E为多大？（2）A点至最高点的电势差为若干？。
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二、场强与电势的关系 电势梯度 2.1 电势梯度 在电场中任取两相距很近的等势面1和2， 电势分别为V和V+dV，且dV>0 等势面1上P1点的单位法
2
1
向矢量为 e n
en
与等势面2正交于P2 点 在等势面2任取一点P3
P1
P2
P3
VБайду номын сангаасdV
V
p1 p2 dn
则:
dV dl
p1 p3 dl
1 2 1 2
dA 1 (VP VP ) 1 (dV )
En dV dn
且E En en
1
2
2 1
en
P2 P3
V+dV
dV E en grad V E dn P1 El (grad V )l (dV / dn) cos
dV dn / cos dV dl
V
电势函数用直角坐标表示，即V=V（x,y,z
）
Ex
V ( x, y, z ) x
; Ey
V ( x, y, z ) y
; Ez
V ( x, y, z ) z
在直角坐标系中： E Ex i E y j Ez k
2
1
E
en
P2 P3
P1
大小:等于该方向上的电势变化率
2.2 电势梯度与电场强度的关系 单位正电荷从P1沿 en 方向移动到P2，电场力做 功
V
V+dV
dA 1 E dn En dn
dA 1 E dn En dn
U P P VP VP V (V dV ) dV
等势面与电场线的关系
dA q0 E dl q0 E dl cos q0U 0 E q0 0 E 0 dl 0 θ q0 cos 0 E dl dl
S 结论：电力线与等势面垂直,电荷 在等势面上移动不作功。
q0在等势面上移动,设 E与 dl 成 角
V V V E ( i j k) x y z
V V V E grad V grad V i j k x y z
2.3 场强与电势梯度的关系的应用 电势叠加为标量叠加，故可先算出电势， 再应用场强与电势梯度的关系算出场强。
dn dl cos
dV dn cos
2
1
en
定义电势梯度矢量：
dV gradV en dn
P1
P2
P3
V+dV
V
dV en 电势梯度矢量：gradV dn
方向：与场点处电势空间变化 率最大的方向一致且指向电势 升高的方向。( 电势沿垂直于 等势面的方向变化率最大 )
§8-5 等势面 电场与电势梯度的关系 一、等势面 静电场中电势相等的点所组成的面 1.1 典型等势面 点电荷的等势面
V
1
q
4 0 r
电场线与等势面正交且 指向电势降低的方向。
电偶极子的等势面
+
平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
人心脏的等电势线， 类似于电偶极子。
1.2