(1-2)利息度量

解：d (12) 6% ，
1
i(4) 4
4

1 -
0.06 -12 12
1 i(4) 0.995-3
4 i(4) 4[0.995-3 -1] 6.06%
23
例：已知 i (12) = 5.58%。求 i、d、 d (12)
解：
d (m) m
m



lim
m
1

1
d (m) m
-
d
m
(m
)

-d(m)




1-
e-d(m)
26
小结：
期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：
(1
i)

1
i(m) m
m
问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？
答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存 1000元满3个月可得利息 1000 × 1.8% / 4 = 4.5 元。
10
名义利率与实际利率的关系： 名义利率与等价的实际利率有如下关系：
或者
1
i

1
这两个利率有何不同？你愿意选择哪笔贷款？为什么？ 答案：第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率,
对应的年实际利率为12.68％。
7
名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个 季度等）的实际利率。例如： 假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应 的年名义利率被定义为1%×12 = 12%。 如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利 率相对应的年名义利率被定义为3%×4 = 12%。
重新整理得
1-
d

1
d (m) m
m
d
1-
1
d (m) m
m

d (m)

m
1-
(1-
1
d)m


m
1 1- vm



20
Example：Find the present value of $1000 to be paid at the
9
名义利率的定义
年名义利率 i (m)（m ≥1，为整数）表示每年结转m次利息， 即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / m。
例： i (4) = 8％ 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的 实际利率为2％。
例： i (12) = 6％ 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利 率为0.5％。
i(m) m
m

i

1
i(m) m
m

-1
由实际利率 i 也可以计算名义利率 i (m) ，即
i(m) m[(1 i)1/ m -1]
11
例：贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息， 每次支付1万。求等价的年实际利率是多少？
解：
i(12) 12%
利息的度量：
名义利率、名义贴现率、利息力
1
上节主要内容回顾
实际利率（i）＝利息/期初本金 实际贴现率（d）＝利息/期末累积值
期初本金
利息＝期末累积值－期初本金
i 与 d 之间的关系（下页）：
期末累积值
2
d i 1 i
i d 1- d
v 1-d
0
1
i
1
1+ i
d
1- d
1
1-v
2(每半年) 4(每季) 12(每月) 52(每周)
365(每天) ∞
Effective annual rate of discount 0.10000 0.09750 0.09631 0.09554 0.09525 0.09517
1- e-0.1= 0.09516
d

lim
m
1
1
如何度量资金在每一个时点上的增长强度？ 在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了
资金在一个时点上的增长强度。
30
1.8 利息力(force of interest)
定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小 的时间区间内）增长的强度。 在时间区间[ t, t + h ]的实际利率为 a(t h) - a(t) a(t) 年名义利率为（1年包含1/h个小区间）
例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i (1/ 2) = 3.06% 2年期的实际利率为 i (1/ 2) × 2 = 3.06% × 2 = 6.12% 问题：等价的1年期的实际利率为多少？
1 6.12% (1 i)2 i (1 6.12%)1/2 -1 3.015%
假设情景： 2007年1月末需要使用这笔存款。
注：
定期存款若提前支取，按活期计息。
一个基点为0.01%。
利率调整幅度通常能被9整除。因为一年按360天计息。
28
1年零1月后的累积值：
转存：
10000

30 360

0.72%

1
(1
4%)

10406.24
不转存：10000

(1
3%)

30 360

0.72%

1

10306.18
29
回顾： 年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。 名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长
强度（月平均）。 问题：
哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实 际利率？
end of six year at 6% per annum payable in advance and
convertible semiannually.
（名义贴现率为6％，每半年复利一次，第6年末的值为 $1000，求其现值）
解： d (2) 6%
1000
1-
6% 26 2

1
d ( p) p
- p

(1 -
d )-1

v-1
i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息 d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息
27
思考题
某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利 率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。 请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利 率不变，为0.72%。 1年按360天计算，每月按30天计算。
15
例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？ 存款利率（％） 定期
活期 3个月 6个月 1年 2年 3年 5年
0.72 1.80 2.25 2.52 3.06 3.69 4.14
问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款 和投资一年期的定期存款，哪个合算？当3个月期的利率 为多少时，两种投资没有差异？
i

1
i(12) 12
12
-1

(1 1%)2
-1

12.68%
问题：如果每周支付一次利息，等价的年实际利率会如何 变化（增加还是减少）？每天支付一次呢？
12
在年名义利率一定的条件下，每年的结转次数（复利 次数）越多，年实际利率将越大。
年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况
i

lim
m
1

i(m) m
m

-1

lim
m
1

i(m) m
m
i(m)
i( m )

-1

ei( m )
-1
年复利次数 1
365(每天) ∞
年实际利率 0.10000 0.10516
e0.1-1=0.10517
的关系。
5
何谓名义利率？
实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利 一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转 为下期的本金。
名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。
6
考虑下述两笔贷款： 贷款100万，年利率为12％，每年末支付一次利息，每 次支付12万。 贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每 次支付1万。
年初的1000元在年末的累积值
1100.00
1105.16 1105.17
14
每年的结转次数小于1时的名义利率
在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息） 可以表示为 i (1/ n) ，其中 n 是大于1的正整数。
名义利率 i (1/ n) 是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期 的实际利率为 i (1/ n) × n
v
1
3
累积函数：
a(t) (1 i)t (1- d )-t
贴现函数：
a-1(t) (1 i)-t (1- d )t
4
本节主要内容：
名义利率（nominal rate of interest） 名义贴现率（nominal rate of discount） 利息力（force of interest） 实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息力
8
名义利率的表述
季度的实际利率为3%： 年名义利率为12%，每年结转4次利息； 年名义利率为12%，每年复利4次； 年名义利率为12%，每个季度结转一次利息； 年名义利率为12%，每个季度复利一次。