微分中值定理

f ( x )在[0， 1],[1,2]和[2， 上均满足Rolle定理的条件， 3]
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b] 上连续， (2) 在开区间 (a, b )内可导， 则在 (a, b )内至少存在一点ξ， 使 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . b−a
在[ − 1,3]上连续 ,
在( −1,3)内可导,
且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
∵ f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1 ∈ ( −1, 3), 则 f ′(ξ ) = 0 .
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
∵ f ′( x ) = 1 1− x
2
+ (−
1 1− x
2
) = 0.
∴ f ( x ) ≡ C , x ∈ ( −1, 1）
π π 又 ∵ f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π π x ∈ ( −1,1） . 即 C = . ∴ arcsin x + arccos x = 2 2
例4 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)( x − 3), 判断 f ′( x ) = 0 有几个实根. 证
∵ f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0
则 ∃ξ1 ∈ (0，，使f ′(ξ1 ) = 0; 1) ∃ξ 2 ∈ (1， ，使f ′(ξ 2 ) = 0; 2) ∃ξ 3 ∈ (2， ，使f ′(ξ 3 ) = 0, 3) 即f ′( x ) = 0至少有 3个实根. 又f ′( x )是三次多项式，所以至多有三个零点. ∴ f ′( x ) = 0有 3个实根.
曲线 f ( x ) 减去弦线 AB ,
所得曲线在 a , b两端点的函数值相等 .
作辅助函数
f (b) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )]. b−a
F ( x ) 满足罗尔定理的条件,
则在(a , b )内至少存在一点 ξ , 使得 F ′(ξ ) = 0.
F (b ) = [ f (b ) − f (a )]b − f (b )(b − a ) = af (b ) − bf (a ) F (a ) = [ f (b ) − f (a )]a − f (a )(b − a ) = af (b ) − bf (a )
有 F (a ) = F (b ), 由罗尔定理知:

∵ f (a ) = f (b ),
∴ 最值不可能同时在端点 取得 . 不妨设 M ≠ f (a ),
则在 ( a , b ) 内至少存在一点 ξ , 使 f (ξ ) = M .
∴由费马定理知 : f ′(ξ ) = 0.
注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, y ⎧ x , 0 ≤ x < 1, f ( x) = ⎨ ⎩ 0 , x = 1. o 1 x y f ( x ) = x, y f ( x) = x , x ∈ [0 , 1] x ∈ [−1 , 1] −1 o 1 x o 1 x
一、罗尔(Rolle)定理
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在闭区间 [a , b] 上连续， (2) 在开区间 (a, b )内可导，
(3) f (a ) = f (b ),
则在 (a, b )内至少存在一点ξ， 使
f ′(ξ ) = 0.
实例：
f ( x) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3 )( x + 1)
增量 Δy的精确表达式 .
Δ y = f ′( x 0 ) ⋅ Δ x + o( Δ x )
Δ y ≈ f ′( x 0 ) ⋅ Δ x
注意3: Lagrange中值定理的几种形式
f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) ξ ∈ (a , b )
f ( x ) − f ( x0 ) = f ′(ξ ) ( x − x0 ) ξ在x与x0 之间 f ( x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 + θ ( x − x0 )) ( x − x0 ) 0 < θ < 1
法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理:
" 当 n > 2 时, 方程 x + y = z
n n n
无整数解 "
至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.
∵ f ( ±1) =
π
2
,∴ arcsin x + arccos x =
π
2
x ∈ [−1,1].
x 例6 证明当x > 0时, < ln(1 + x ) < x . 1+ x
证 设 f ( x ) = ln(1 + x ),
f ( x )在[0, x ]上满足拉格朗日中值定 理的条件 ,
∴ ∃ξ ∈ (0, x ), 使 f ( x ) − f (0) = f ′(ξ )( x − 0), 1 ∵ f ( 0 ) = 0, f ′ ( x ) = , 由上式得 ln(1 + x ) = x , 1+ x 1+ξ 1 1 又∵0 < ξ < x < < 1, 1< 1+ξ < 1+ x 1+ x 1+ξ x x x ∴ < < x, 即 < ln(1 + x ) < x . 1+ x 1+ξ 1+ x
3．1 3．2 3．3 3．4 3．5 3．6
微分中值定理 函数单调性与曲线的凹凸性 函数的极值与最值 函数图形的描绘 洛必达法则 泰勒 (Taylor)公式
费马(Fermat)引理
f ( x )在U ( x0 )内有定义,
且 f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ′( x0 )存在 (或 ≥ ) 证 设不失一般性, 设 f (x) ≤ f (x0)，x∈U(x0), 则
f ( x ) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim x → x0 x − x0
f ′( x 0 ) = 0 y
o y o
x0
x
x0
x
⎧ f +′ ( x0 ) ≥ 0, =⎨ ⎩ f −′( x0 ) ≤ 0,
+ x → x0
x→ x
− 0
f ′( x 0 ) = 0
费马(1601 – 1665)
例1
验证罗尔定理对函数 f (x)=sinx在[0,π]上的正确性.
解：∵ f (x)在[0, π]上连续，在(0, π)内可导， 且 f (0) = f (π) ∴由罗尔定理知： 在(0, π)内至少有一点ξ，使 f ′(ξ)=0， 即: cos ξ=0, 故ξ=π/2.
例2 证明方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于
或写成
f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ).
拉格朗日(1736 – 1813)
法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.
几何解释:
1 的正实根.
证 设 f ( x ) = x 5 − 5 x + 1, 则 f ( x )在[0,1]上连续 ,
且 f (0) = 1, f (1) = −3.
由零点定理
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. x0即为方程的小于 1的正实根.
设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
o a
ξ1
ξ2 b
x
在函数的等值点之间， 有导函数的零点 . （证明导函数有零点， 也就是要证明函数本身 有等值点）
证 ∵ f ( x ) 在 [a , b] 连续 , 必有最大值 M 和最小值 m .
(1) 若 M = m , 则 f ( x ) = M .
由此得 f ′( x ) = 0. ∀ ξ ∈ (a , b ), ( 2) 若 M ≠ m . 都有 f ′(ξ ) = 0.
∴ f ( x ) ≡ C , x ∈ − ∞ , ∞） （
π π 又 ∵ f (0) = arctan 0 + arccot 0 = 0 + = , 2 2 π 即C = . 2 π ∴ arctan x + arc cot x = x ∈ − ∞ , ∞） （ . 2
π 练习 证明 arcsin x + arccos x = ( −1 ≤ x ≤ 1). 2 证 设 f ( x ) = arcsin x + arccos x , x ∈ [−1,1]
在 (0 , 1)内至少有一个实根 .
证 设F ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 − (a + b + c ) x ,
则F ( x )在[0,1]上连续，在 (0,1)内可导， 且F (0) = F (1) = 0, ∴由罗尔定理知， ∃ξ ∈ (0,1), 使F ′(ξ ) = 0, 即 4aξ 3 + 3bξ 2 + 2cξ − a − b − c = 0.
∵ f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件,
∴ 至少存在一个 ξ (在 x0 , x1 之间), 使得 f ′(ξ ) = 0.
但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, x ∈ (0,1) 与假设矛盾,
∴ 方程只有唯一实根 .
例3 证明方程 4 ax 3 + 3 bx 2 + 2 cx − a − b − c = 0
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切线 平行于弦 AB .
y
C
y = f ( x)
M N D
B
A
o a
ξ1 x
ξ2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f ( a ) = f ( b ).
f (b) − f (a ) ( x − a ). 弦AB方程为 y = f (a ) + b−a
推论1
如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 , 那么 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
推论2
若函数 f ( x )、 ( x ) 在 (a, b )内皆可导，且 g 对任意的 x ∈ (a , b ), 都有 f ′( x ) = g′( x )，则
f ( x ) = g( x ) + C
f (b) − f (a ) =0 即 f ′(ξ ) − b−a 或 f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ).
拉格朗日中值公式
证法二
设 F ( x ) = [ f ( b ) − f (a )] x − f ( x )(b − a )
F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,
注意2:
设 f ( x ) 在 (a , b )内可导 , x 0 , x 0 + Δx ∈ (a , b ), 则有
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) = f ′( x0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
∃ξ ∈ (a , b ) 使F ′(ξ ) = 0,
即 f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ).
注意1: 拉格朗日中值公式精确地表达了函数在 一个区间上的增量与函数在这区间内某点处 的导数之间的关系.
拉格朗日中值公式
f (b) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ).
三、柯西(Cauchy)中值定理
设函数 f ( x ) 及 g ( x ) 满足
(1) 在[a , b]上连续 ; (2) 在 (a , b )内可导; (3) ∀x ∈ (a , b ), g′( x ) ≠ 0，
( C 为一个常数 ).
例5 证明 arctan x + arccot x = 证
π
2 设 f ( x ) = arctan x + arccot x , x ∈ ( −∞ , +∞ )
, x ∈ ( −∞ , +∞ )
1 1 ∵ f ′( x ) = + (− ) = 0. 2 2 1+ x 1+ x