第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛09-4-23

第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛

教学目的：弄清交错级数的概念，掌握莱布尼茨判别法；掌握任意项

级数的绝对收敛与条件收敛概念，能灵活正确运用各种判 别法判断所给级数的敛散性.

重点：掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，并能灵活正确判

断所给级数的敛散性.

难点：灵活正确判断所给级数的敛散性. 教学方法：讲练结合 教学过程： 一、交错级数

1． 交错级数定义： 形如

1

1(1)

n n n u ∞

-=-∑＝ +-++-+--n n u u u u u 14321)1( 或

1

(1)n n n u

∞

=-∑＝

+-++-+-n n u u u u )1(321的级数称为交错级数.

其中 0>n u , （ ,2,1=n ）. 2【定理1】(莱布尼茨定理): 设

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 为交错级数, 若满足

(1) 1n n u u +≥,（ ,2,1=n ）； (2) 0lim =∞

→n n u , 则

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 收

敛, 且级数和1u S ≤,其余项n r 的绝对值1||+≤n n u r . 证明: (1) 记n S 为级数∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 的部分和.

考察级数

∑∑∞

=-∞=-=1

1

1

)(n n n n n u u

v . 由于,01≥--n n u u 有

)()()(21243212n n n u u u u u u S -++-+-=- n n n u u u u u u 21222321)()(------=-- 1u ≤

可见}{2n S 有界, 于是正项级数

∑∞

=1

n n

v

收敛, 21lim n n S S u →∞

∴=≤.

(2) ,0lim 12=+∞

→n n u 21221lim lim()n n n n n S S u S ++→∞

→∞

∴=+=

(3) ,lim 1u S S n n ≤=∴∞

→ 则

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 收敛.

(4) 注意到级数 +-=++21n n n u u r 也满足本定理的两个条件,

.1+≤∴n n u r

例1 证明级数

∑∞

=--1

1

1

)1(n n n 是收敛的,并估计误差||n r . 证明：(1) 由于01

lim lim ==∞→∞→n

u n n n 且n n u u ≥+1, ,2,1=n ,

故 原级数收敛. （ 由莱布尼茨定理知 ）

(2) .1

1

1+=

≤+n u r n n 练习：判断下列级数的敛散性

（1）

1

1

(1)ln n

n n ∞

=-∑ （收敛，可以证明1x >时，ln ln(1x x <＋）

） （2）11

1

(1)n n n ∞

=-∑－（收敛）

（3）1

1

(1)ln n n n n ∞

=+-∑（收敛）

(4) +-+-

74

53321

解 因为121

,121++=-=+n n u n n u n n , 121121++-+=-+n n n n u u n n 01

41

)12)(12()1)(12()12(2>-=+-+--+=n n n n n n n ,

由于02

1

12lim

lim ≠=-=∞→∞→n n u n n n ,由莱不尼兹定理知原级数发散. 二、绝对收敛与条件收敛

1．概念 【定理2】

∑∞

=1||n n

u

收敛 ⇒ ∑∞

=1

n n u 收敛. 反之不然.

证明: 因 |||)|(21

0n n n n u u u v ≤+=≤,且 ∑∞

=1

||n n u 收敛，

所以

∑∞

=1

n n

v

收敛.

又因||2n n n u v u -=, 故

∑∞

=1

n n

u

收敛.

反之不然. 例如∑∞

=--1

1

1)

1(n n n 收敛, 但 ∑∞

=11

n n

发散. 【定义】(1)若

∑∞

=1||n n

u

收敛；则 级数∑∞

=1

n n u 收敛且绝对收敛.

(2)级数∑∞

=1

n n

u

收敛，但

∑∞

=1

||n n

u

发散, 则∑∞

=1n n u 收敛且条件收敛.

例如: 级数

∑∞

=--1

21

1)1(n n n 绝对收敛, 而级数∑∞

=--1

11)1(n n n 条件收敛. 2．【定理3】:如果任意项级数

121

n

n n u

u u u ∞

==++++∑ 满

件 n

n n u u 1

lim +∞→=ρ 或 n n n u ||lim ∞

→=ρ ,则 (1) 若1<ρ,级数∑∞

=1n n u

收敛，且绝对收敛. (2) 若1>ρ,级数∑∞

=1

n n

u

发散.

例2 判断下列级数的敛散性 （1）

∑∞

=+12

)

1(sin n n na

解 因为222sin 11(1)(1)na n n n ≤<++且级数2

1

1

n n ∞

=∑收敛, 由正项级数的比较判别法知