13-群同态与同构

则：对任意x’,y’,z’G2, 因为f 是满射，必有 x,y,zG1,使得f(x)=x’, f(y)=y’, f(z)=z’, 因此： (x’*y’)*z’ = (f(x)* f(y))* f(z) = f(x⃘y) * f(z) = f((x⃘y)⃘z) = f(x⃘(y⃘ z)) = f(x)* (f(y)* f(z)) = x’*(y’*z’)
类似地可以讨论零元素。
满同态与运算性质的保持（3）
逆元素
假设f: G1G2是满同态映射，若G1的每个元素 均有逆元素，即对任意xG1, 存在x-1G1, 满 足(x⃘x-1)=(x-1⃘x)=e, 其中，e是G1的单位元素。 则：任给x’G2, 由f是满射可知，存在xG1, 使得f(x)=x’。x’*f(x-1)= f(x)*f(x-1)= f(x⃘x-1)= f(e); 同理可得： f(x-1)*x’=f(e)。已知f(e)=e’即G2的 单位元素，由逆元素的唯一性可知： x’-1=[f(x)]-1=f(x-1)
• 注意：如果运算满足交换律，上述 f 即恒等映射。
代数系统的同构与同态
关于同构与同态的讨论适用于一般的代数系统。
代数系统 (G1,⃘)与(G2,*)同构 当且仅当：
“先(G1中的)运算后映射 等于先映射后运算(G2中的)”
存在一一对应的函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
群同态与同构
离散数学 第13讲
上一讲内容的回顾
正规子群 正规子群的判定 同余关系 商群
群同态与同构
同构与同构映射 同态与同态映射 自同态与自同构 同构、同态与系统性质的保持 同态核与自然同态 群同态基本定理
“相似”的系统
比较“逻辑或”与“布尔和”
F T F F T T T T + 0 0 0 1 1 1 1 1
• 为什么必须是满同态？
可以类似地讨论交换律
满同态与运算性质的保持（2）
单位元素
假设f: G1G2是满同态映射，若G1有单位元 e，即对任意xG1, (x⃘e)=(e⃘x)=x 则：令f(e)=e’G2, 对任意x’G2, 一定存在 xG1, x’*e’=f(x)* f(e)=f(x⃘e)=f(x)=x’，同理可 得e’*x’=x’，因此f(e)=e’是G2的单位元素。
பைடு நூலகம் 自同构与自同态
每个群与自身同态/同构 同构映射不一定限于恒等映射：f(x)=x 例：模n剩余加群(Zn,+n)恰好有n个自同态映射 对任意p{0,1,2,…,n-1},定义f : ZnZn如下：
f(x) = (px) mod n 易证： f(x+ny) = (p(x+ny)) mod n = ((px) mod n)+n((py) mod n) = f(x)+n f(y) 任给同态映射f : ZnZn，则f(x+ny) = f(x)+n f(y) ，如 果f(1)=p, p{0,1,2,…,n-1},利用数学归纳法可证， f(x) = (px) mod n对一切xZ成立。(x=0单独证明)
内自同构
设G是群，a是G中一给定元素，定义f:G G, 对一切xG, f(x)=axa-1, 则f是G的自 同构映射。
自同态： f(xy)=a(xy)a-1=a(x(a-1a)y)a-1= f(x)f(y) 满射：对任意yG,有f(a-1ya)=y 单射： f(x)=f(y) axa-1= aya-1x=y (消去律)
• 注意：可能有多个同构映射，如f(x)=lg x也是。
如何证明两个群不同构
一定要证明： (G1,⃘)到(G2,*)的任何映射都不可 能是同构映射!
例：非零有理数乘群(Q-{0},•)和有理数加群(Q,+)不 同构。 假设存在f : Q-{0}Q,是同构影射， 注意：必有f(1)=0 (否则, f(1•x)f(1)+ f(x)) 而f(-1)+f(-1)= f((-1)•(-1))=f(1)=0 因此： f(-1)=f(1)，f 不是一对一的。
如果不考虑符号的形式极其含义，则两者没 有差别。
同构与同构映射
群(G1,⃘)与(G2,*)同构 (G1≅G2) 当且仅当：
存在一一对应的函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
“先(G1中的)运算后映射 等于先映射后运算(G2中的)”
同构关系是等价关系
同态/同构与运算性质的保持
f: 映射 G1 g: 满射 G2
f (G1)
h: 双射
利用同态判定子群
假设G1, G2是群，f: G1G2是同态映射
若H1是G1的子群，则H2=f(H1)是G2的子群。
• (利用判定定理：群G的非空子集H构成子群当且仅当：对 任意a,bG, a,bH ab-1H)
自反：恒等映射是一一对应的 对称：一一对应函数的反函数仍是一一对应的 传递：两个一一对应函数复合仍然是一一对应的
如何证明两个群同构
方法：找出(任意)一个同构映射
例：逻辑或系统({F,T},)和布尔和系统({0,1},+) 同构映射f : {F,T}{0,1}: f(F)=0, f(T)=1 例：正实数乘群(R+,•)和实数加群(R,+) 同构映射f: R+R: f(x)=ln x
同态与同态映射
同构的要求很高：只有两个群的集合等势，才可能同构。
群(G1,⃘)与(G2,*)同态 (G1~ G2)当且仅当： 存在函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
f
如果上述f 是满射，则称为满同态 同构是同态的特例。 例：整数加群(Z,+)和对3剩余加群(Z3,+3) 同态映射：f: ZZ3, f(3k+r)=r
代数系统 (G1,⃘)与(G2,*)同态 当且仅当：
存在函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
如果上述f 是满射，则称为满同态
满同态与运算性质的保持（1）
结合律
假设f: G1G2是满同态映射，若G1满足结合律，即 对任意x,y,zG1,(x⃘y)⃘z=x⃘(y⃘z)