复合函数与隐函数求导法

二、链式求导法 1. 全导数——即一个自变量、多个中间变量的多元函数的导数
设z f (u, v)在(u, v)有连续偏导数，又 ( x), v ( x)在 u x点可导，则 复合函数z f [ ( x), ( x)]在点x可导，且： dz (1) f du f dv dx u dx v dx
证： 对x求导，视y为常数 由(1)式可得：z x f u u x f v vx 同理可得：z y f u u y f v v y
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链式求导法 续
3. 复合函数求导公式与链图的关系满足下列规律：
z x z y
同链相乘，异链相加。 公式(2)
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u
vx
ux
x
uy

z (f) f v
函数
v
y
vy
自变量
中间变量
4. 复合函数求导法举例
例1
z f (u, v) eu sin v, u xy, v x y, 求：zx , z y
解：z e xy sin(x y ) 法1：z x [e xy sin(x y )]x (e xy )x sin(x y ) e xy [sin(x y )]x ye xy sin(x y ) e xy cos(x y ) 1 z y [e xy sin(x y )]y (e xy )y sin(x y ) e xy [sin(x y )]y xe sin(x y ) e cos(x y ) 1
另2：从函数到某一个自变量完整链的个数=该偏导数的项数；
另1：自变量的个数=偏导数的个数；
(1)
另3：每一个完整链上的节数=对应项的因子个数。
dz f du f dv (1) dx u dx v dx
fu
z (f)
函数
u v
u
x
fv fu
v
自变量
中间变量
z x f u u x f v vx (2) z y fuu y fvvy
f u f v u v u v x y x y
链图为
链图为

三、复合函数的高阶偏导数
例4 设w f ( x y z, xyz)，且f具有二阶连续
w w 偏导数，求： 2 , x xz
2 2
解：令u x y z, v xyz
fu z fvf ) (
函数
u v
中间变量
x y z
自变量
w f (u, v) (见链图) (1) wx f u u x f v vx f u yzfv (2) 函数f与偏导函数f u、f v的链图是一样的 wxz ( wx )z ( f u )z ( yzfv )z [( f u ) u z ( f u ) vz ] [ yfv yz(( f v ) u z ( f v ) vz )] u v u v
函数
x y
自变量
z f (u, v),其链图为： 解： )令u sin x 2 , v x y (2 z f (u, v), 其链图为：
v
中间变量
u z (f)
函数
x y
自变量
v
中间变量
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链图 举例
例1
作出复合函数 3)w f ( x, x y, xyz); ( (4) z f (cos(x y))的链图。
例3
设w f ( x, x y, x y z ),而f具 有连续偏导，求 、w 、w wx y z
解：u x, v x y, t x y z w f (u, v, t ) u x 故w 有三项
x
w
v
y z
故w 有二项 y
故w 有一项 z
t
故w fuux f vvx ft t x fu 1 f v 1 ft 1 fu f v ft x
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复合函数的高 阶偏导数举例
z x ( x y) y ( x y),其中 ( x y)、 ( x y) 有连续的二阶偏导，求 z xx 2 z xy z yy ?
例5
解：令 y u z x (u) y (u),且u x u y 1 x z x [ x (u ) y (u )] [ x (u )] y[ (u )] x x x (u ) x (u ) y (u ) 而z y x (u) y (u) (u) z xx [ (u ) x (u ) y (u )] x (u ) (u ) x (u ) y (u ) z yy x (u) y (u) 2 (u) z xy [ z x ] [ (u ) x (u ) y (u )] y y
其关系对应于：
v
中间变量
z
自变量
链图。
类似 地，可以作出各种复合函数关系的链图(自己练习)。 2012-12-14
链图举例
例1 作出复合函数： z (1)
解：)令u x , v y (1
2 2
f ( x 2 , y 2 ); (2) z f (sin x 2 , x y);
u
z (f)
例如：z f (u, v) ln(u 2 v 2 ),u x y, v xy, 则：
而原来的函数 链图为, v) z f (u u
f 2v 2 v 2 v u v
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f 2u f 2y , xy2)的链图为： uf ( x u v u
记为 v f f y f1 yf 2 x u v 记为 v f f x f1 xf 2 y u v
x
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4. 复合函数求导法举例
注1：初等函数最好不用公式；
注2：简单复合关系不用画链图。
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复合函数 求导法举 例(续)
u x y z
自变量
解： )令u x, v x y, xyz (3 w f (u, v, ), 其链图为：
w (f)
函数
v τ
中间变量
解： )令u cos(x y) (4 z f (u), 其链图为：
x z (f)
函数
u y
中间变量 自变量
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u
w (f)
函数
其关系对应于：
x
v
τ
中间变量
y
自变量
叫做复合函数 f [u(x,y),v(x,y),τ(x,y)]
的
链图。
4. 函数关系
w f (u, v),u u( x, y, z ), v v( x, y, z )
u w (f)
函数
x y 叫做复合函数 f [u(x,y,z),v(x,y,z)] 的
f uu ( xy yz) f vu xy 2 zf vv yfv
2012-12-14 或wxz f11 ( xy yz) f 21 xy 2 zf 22 yf1
三、复合函数的高阶偏导数
(3) wx f1 x f 2vx f1 yzf 2 u wxx ( wx )x ( f1 yzf 2)x ( f1)x ( yzf 2)x [( f1)1 u x ( f1)2 vx ] yz[( f 2)1 u x ( f 2)2 vx ] yz( f12 f 21 ) y 2 z 2 f 22 f11 2 yzf12 y 2 z 2 f f11
w f vvy ft x fv 1 ft 1 f v ft y w ft z ft 1 ft z
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u 思 设z f (u, v)具有连续二阶偏导， u ( x, y ), v v( x, y )对x、y 考 f f 题 具有二阶偏导，问： 、 的链图怎样？ ： u v
链图。
2. 设有函数关系
z f (u, v),u u( x),v v( x)
u z (f)
函数
其关系对应于：
x v
中间变量 自变量
叫做复合函数 f [u(x),v(x)]
的
链图。
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复合函数的链图续
3. 函数关系
w f (u, v, ),u u( x, y),v v( x, y), ( x, y)
xy xy
法2： z x f u u x f v vx , z y f u u y f v v y z x e sin v y e cosv 1 ye sin(x y ) e cos(x y )
u u xy xy
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代回
z y e sin v x e cosv 1 xe sin(x y ) e cos(x y )
2 2
二、链式求导法 2. z=f [u(x,y),v(x,y)]型
设z f (u, v)在(u, v)有连续偏导数， u ( x, y), v v( x, y)在 u ( x, y)有偏导数，则 复合函数z f [u ( x, y), v( x, y)]在( x, y) z ( 2) f u f v z ( 2) f u f v 可偏导，且： , x u x v x y u y v y
f f 证： f (u, v)有偏导 z u v o( ) ( (u ) 2 (v) 2 ) u v z f u f v o( ) u du v dv , 又 , (x 0) x u x v x x x dx x dx o( ) o( ) o( ) u v x0 而 0 x x x x dz z x0,则u 0且 f u f v lim 2012-12-14 x 0 dx x v0,则 0 u x v x
第四节
复合函数 求导法
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一、复合函数的链图
1. 设有函数关系 其关系对应于：wk.baidu.com
不同的复合函数 形式有不同的链 图。
z f (u, v),u u( x, y),v v( x, y)
u x y
自变量
z (f)
函数
叫做复合函数 f [u(x,y),v(x,y)] 的
v
中间变量
u v u v
x y x y
x
链图为
f
y
f v
而原来的函数 f (u , v) z f ( x y, xy)的链图为： u f v
f 2u 2 2 u u v f 2v 2 v u v 2
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x y

f f 、 与f (u, v)有相同的链图。 结论 u u
u u xy xy
代回
4. 复合函数求导法举例 例2 w f ( x y, xy),其中f具有连续偏导，求 wx
解：u x y, v xy w f (u, v)
u w v w f u f x u x v w f u f y u y v y
f1 f u — f (u, v)对第一坐标求偏导 对二后对一坐标求偏导 f 21 f vu — f (u, v)的混合偏导， 先 fu f z
u x y
fvf ) (
函数
v
中间变量
z
自变量
注：一般来说， uv f vu , 但当 f f (u, v)有二阶连续偏导时， 有：f uv f vu或f12 f 21