高中数学必修2《直线方程》

合集下载

高中数学必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)

必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)

知识点：

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k tan k α=

当[) 90,0∈α时，0≥k ；当()

180,90∈α时，0<k ；当 90=α时，k 不存

在。 ②过两点的直线的斜率公式：)(211

212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b

③两点式：

112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b

人教版高中必修二《直线与方程》教学案例

《人教版高中必修二《直线与方程》教学案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！

第1节直线与方程

复习目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.

一、课前预习

基础回顾

考点1 直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

(1)定义：x轴_____与直线_____的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.动态定义：旋转

(2)倾斜角的范围为_______________.

2.直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线没有斜率.

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公

式为k=_________.

考点2 直线方程的几种形式关键要素：点，斜率，截距

名称条件方程适用范围

点斜式斜率k与点(x1，y1)y-y1=k(x-x1)不含直线x=x1

斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by=kx+b不含垂直于x轴的直线

两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)=不含直线x=x1(x1=x2)和直线

y=y1(y1=y2)

截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b+=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用

高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结

高一数学总复习学案必修2第三章：直线与方程

一、知识点倾斜角与斜率

1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点

1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2

21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率

k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，

随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：

（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.

高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.2直线的方程)》学生版

个性化辅导教案

学员姓名科目年级

授课时间课时 3 授课老师

教学目标掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，会处理一些对称的问题

重点难点直线的五种形式，点到直线的距离，对称问题

第三章：直线与方程

3.2直线的方程

3．2.1直线的点斜式方程

[导入新知]

1．直线的点斜式方程

(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫

做直线l的点斜式方程，简称点斜式．

(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.

2．直线的斜截式方程

(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．

(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．

[化解疑难]

1．关于点斜式的几点说明：

(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．

(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0

x －x 0

不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直

线．

(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．

2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．

新人教版高一数学必修2第三章第2节《直线方程》

y
答不能，当斜率不存在时，不能使用点斜式。问那这个时候直线的方程是什么？答当直线的斜率不存在时，直线的方程是 x= x1 . o
.
P(x,y)
. P (x ,y )
1 1 1
x
例1：已知一直线经过点P(-2,3)，斜率为2，求这条直线的方程。解：由直线的点斜式方程，得
y 3 2( x 2)
填空
1.直线y=2x-4的斜率是 2
3 2
，在y轴上的截距是 - 4
。。
2.直线2x+y-4=0的斜率是 - 2 ，在y轴上的截距是 4
3.直线3x+2y=0的斜率是
判断
，在y轴上的截距是 0
。
1.直线的点斜式方程 y y1 k ( x x1 ) 可以表示直角坐标系中的任何一条直线。
y
A(-1,3)
.
点P与定点A(-1,3)所确定的直线的斜率恒等于-2， y 3 2 故有： x (1) 即：
y 3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2[ x (1)]
x
O
. P(x,y)
问： 1.直线l上的点的坐标是否都满足方程？ 2.以此方程的解为坐标的点是否在直线l上？即 2x y 1 0 .
由此，我们得到经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线方程是 2 x y 1 0 .

高中数学必修二--直线的方程

名称点斜式
方程 y y1 k(x x1)
适用范围不含垂直于x轴的直线
斜截式
y kx b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线x=x1 （x1≠x2）和直线y=y1 （y1≠y2）
截距式
x y 1 ab
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
∴ 1 |a|·|b|=1
②
2
由①②可得
(1)aabb
2
1或(2)aabb
1 .
2
由（1）解得
a b
12或ba
1，方程组（2）无解.
2
故所求的直线方程为 x y 1或 x y 1，
2 1 1 2
即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.
答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
∪［5，+∞）.
探究提高方法一运用了数形结合思想.当直线
的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，
需根据正切函数y=tan 的单调性求k的范围，数
形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图
形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快
捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决.
B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用

高中数学必修2第三章直线与方程全套教案

第三章直线与方程

直线的倾斜角和斜率

教学目标:

知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)理解直线的倾斜角的唯一性.

(3)理解直线的斜率的存在性.

(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生

观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，

培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精

神．

重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

（一）直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角

．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

问: 倾斜角α的取值X围是什么? 0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳

总结

知识点归纳概括：

1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。

2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。

3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.

4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。

题型归纳分析：

1.直线的倾斜角与斜率的计算。

2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。

3.直线的方程及其应用。

4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。

例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的

值为（）。

A。1

B。4

C。1或3

D。1或4

解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-

a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。

变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。

A。60°

B。30°

C。120°

D。150°

解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。

变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l

与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。

解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求

出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-

4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所

高中数学必修2直线方程

一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率

2. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它形式转化的条件）

3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)

4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式 5. 对称问题(点对称、轴对称)

二、基础知识练习：

1. 直线倾斜角的取值范围___________, 过两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的斜率公式______________

2．x=1的倾斜角为__________,直线310x +=的倾斜角是__________,90α=

时的斜率_________.

3. 直线方程的点斜式方程_________________,直线方程的斜截式方程_________________,直线方程的两点式方程_________________,直线方程的截距式方程_________________,直线方程的一般式方程_______________,与x 轴垂直的直线方程___________,与y 轴垂直的直线方程___________.

4.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,若1l ∥2l ,则__________________,若1l ⊥2l ,则______________;已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,若1l ∥2l ,则_________________ ,若1l ⊥2l ,则______________.

高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起]

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)_．

2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.

二、直线方程的形式及适用条件

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )

A．30°B．60°

C．150°D．120°

解析：选C 由k＝α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.

2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.

3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )

A．1 B．4

C．1或3 D．1或4

解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.

4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为．

解析：＝＝1，＝＝a－3.

由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.

答案：4

5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．

高中数学必修2解析几何初步直线系方程

关键词：直线系方程高中数学教学随笔必修2 >>解析几何

授之以鱼，不如授之以渔。 1

直线系方程问题

一、经过定点的直线系方程：

经过定点),(00y x M 的直线系方程：)(00x x k y y -=-（k 为参数）（但不包括直线0x x =）

特别：方程b kx y +=（k 为参数，b 为常数）表示过定点),0(b 的直线系（不包括直线0=x ）例1、求过点)4,3(-M ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

解法1：显然直线3=x 不符合题意，设所求的直线方程为)3(4-=+x k y （0≠k ）

令0=x ，得43--=k y ；令0=y ，得k k x 43+=

；则k k k 4343+=--，即04732=++k k ，∴11-=k ，3

42-=k 当1-=k 时，01=++y x ；当3

4-=k 时，034=+y x ，故所求直线方程为01=++y x 或034=+y x 。

解法2：设直线在两坐标轴上的截距为a ，

若0=a ，则直线过)0,0(、)4,3(-两点，即x y 3

4-=；若0≠a ，则设直线方程为a y x =+，即1-=+y x ；

故所求直线方程为01=++y x 或034=+y x 。

解法3：设所求直线方程为0=++C By Ax ，则00≠≠B A ，，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-B C A

C C B A 043，当0=C 时B A 43=，即034=+y x ；当0≠C 时C B A ==，即01=++y x ；

故所求直线方程为01=++y x 或034=+y x 。

直线方程详解

直线方程是数学中用来表示直线在坐标系中位置关系的数学表达式。在二维空间中，最常见的是点斜式y-y₁=m(x-x₁)，其中m为直线斜率，(x₁,y₁)为直线上的任意一点；截距式为y=kx+b，k为斜率，b 为y轴截距；一般式为Ax+By+C=0，A、B不同时为零。在三维空间中，直线方程的一般形式为Px+Qy+Rz+S=0，P、Q、R不同时为零。这些方程式均能唯一确定一条直线的位置，通过解方程即可找到该直线上的所有点坐标。

新课标高中数学必修2直线与方程

新课标⾼中数学必修2直线与⽅程

3。1知识表

直线⽅程的概念及直线的倾斜⾓和斜率

(1)直线的⽅程：如果以⼀个⽅程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个⽅程的解,这时,这个⽅程就叫做这条直线的⽅程,这条直线叫做这个⽅程的直线．

（2）直线的倾斜⾓：⼀条直线向上的⽅向与ｘ轴正⽅向所成的最⼩正⾓叫这条直线的倾斜⾓.倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜１8０°.

（3）直线的斜率：倾斜⾓不是9０°的直线，它的倾斜⾓的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜⾓是9０°的直线的斜率不存在．过P 1（ｘ１，y 1)，P 2(x 2,ｙ2)(x ２≠x 1)两点的直线的斜率特别地是，当12x x =,12y y ≠时，直线与ｘ轴垂直,斜率k 不存在；当12x x ≠,12y y =时,直线与ｙ轴垂直,斜率k =0。

注意：直线的倾斜⾓α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平⾏或者重合. 当α=９0°时,斜率ｋ=０;当090α?<，随着α的增⼤，斜率k 也增⼤；当90180α?<

１．特殊⾓与斜率※基础达标

1．若直线1x =的倾斜⾓为α,则α等于（）。

A ．0 Ｂ．４5° Ｃ.9０° D.不存在

2．已知直线l 3 ）.

A 。 60° B. 30° Ｃ。 60°或120° D ． 3０°或150° 3。已知直线经过点Ａ(0，４）和点Ｂ（1,2），则直线A

B 的斜率为__＿__＿____

4。经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜⾓为１3５０

,则y 的值等于（） 5。过点Ｐ(－2，m )和Q (m ,4）的直线的斜率等于１,则m 的值为（）。Ａ。1 B 。4 Ｃ.１或3 D.1或4６．已知两点A （x ,-2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝。

高中数学必修：直线方程的两点式和一般式

等参数具有明确的几何意义。
通过绘制直线图形，可以更直观地理解一般式直线方程的含义和
性质，如平行线、垂直线等。
利用图形化表示方法，可以更方便地解决与直线相关的问题，如
求解交点、判断位置关系等。
注意事项和误区提示
在求解一般式直线方程时，需要注意斜率和截距的存在性和取值范围，避免出现无意义或错误的
两点重合情况
当两点重合时，即$P_1$和$P_2$为同一点，直线方程同样不能用两点式表示，但可以视为一个点的情况进行处理。
垂直线情况
当直线垂直于x轴时，其一般式方程形式为$x = k$，此时也无法用两点式表示。
一般式方程化简
在得到一般式方程后，通常需要对其进行化简，以便更好地分析和应用。
在直角坐标系中，两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$间的距离公式为 $|AB|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，这也可以通过直线方程来推导和理解。
点到直线距离公式
对于点$P(x_0,y_0)$和直线$Ax+By+C=0$，点到直线的距离公式为 $d=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2}}$。
1 2
常见的直线方程表示方法有
两点式、一般式、斜截式、点斜式等。
两点式

高中数学必修2《直线的一般式方程》

即斜截式为y = 1 x + 3 2
\ k = 1 .在轴上的截距为3. 2
再令y = 0,可得x = - 6即 A 直线l在x轴上的截距为- 6
y
B
0
x
求直线的一般式方程 Ax + By +C = 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k＝－ A
B
（2）直线在y轴上的截距b
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合;（5）过原点;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;
y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：