并集、交集--课时作业 (6)

[课时作业]
[A组基础巩固]
1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩N
C．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)
解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.
答案：D
2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B等于()
A．{1,3} B．{3,5}
C．{1,5} D．{1, 3,5}
解析：如图
所以B＝{1,3,5}．
答案：D
3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()
A．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，
则a>3.
答案：A
4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，
则M∪N＝()
A．M B．N
C．I D．∅
解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.
答案：A
5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()
A．(∁I M)⊇(∁I N)
B．M⊆(∁I N)
C．(∁I M)⊆(∁I N)
D．M⊇(∁I N)
解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．
答案：C
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.
解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．
答案：{x|0≤x＜2或x＝5}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．
∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴0＋3＝－m，即m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.
解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．
可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，
∁U B＝{x|3＜x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．
可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}．
9．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．
(1)求a 的值及集合A ，B ；
(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；
(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．
解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，
则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.
(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12，2. 由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12. 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12. (3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A .
解析：由补集的定义可知A ⊆U .
若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2.
若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1，
因为a ≠2，所以a ＝－1.
此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．
[B 组 能力提升]
1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．mn
B ．m ＋n
C．n－m D．m－n
解析：画出Venn图，如图．
∵U＝A∪B中有m个元素，
(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．
答案：D
2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()
A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U Z
C．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z
解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁
(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．
U
答案：B
3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}
∴A∪B＝{1,3,5,6,7}
∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．
答案：{2,4,8}
4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，
B＝{y|－4≤y≤0}，
∴A∩B＝{0}，
∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}．
答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}
5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
解析：设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜爱篮球运动的学生}，
B ＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn 图如图所示：
设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x ，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x ，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x ，则有(15－x )＋x ＋(10－x )＋8＝30，解得x ＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
15－x ＝15－3＝12.
6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}， A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．
解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B . 将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得
⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.
解得a ＝87，b ＝－127.。