第6讲韦达定理推理及常见计算-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
韦达定理PPT教学课件
2021/1/12
1.电容元件的分类
• 按电介质分 a.有机介质(包括复合介质)电容器，如：纸介电容 器、塑料薄膜电容器、纸膜复合介质及薄膜复合 介质电容器等。 b.无机介质电容器，如：云母电容器、玻璃釉电容 器、陶瓷电容器等。 c.气体介属电容器，如：空气电容器、真空电容器、 冲气式电容器等。 d.电解电容器，如：铝电解电容器，电解电容器、 铌电解电容器等。
碳膜电阻器的 外形与结构图
金属膜电阻器 的外形与结构图
线绕电阻器 的外形与结构图
2021/1/12
直热式热敏电阻器的外形图
2.电阻的识别与测量
电阻器的阻值范围很宽，一般通用电阻的阻值可从 10Ω～10MΩ。
电阻的阻值和误差有两种表示方法，它们分别为： • 数值表示法：用文字、数字或符号直接打印在电
韦达定理
解下列一元二次方程
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）
王伟光
一、教学目标
1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；
2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点
1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．
2．教学难点：韦达定理的灵活应用．
（一）定理的发现及论证
问题1：
对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？
x 1+x
2
=-，x
1
·x
2
=，
如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？
设x
1、x
2
是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
∴
a ac
b
b
x
2
4 2
1
-
+
-
=，
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
-
-
-
=.()0
4
2≥
-ac
b
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理
三：韦达定理内容：
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则
1212b c
x +x =x x =a a
-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。其逆命题：如果12x x ，满足1212b
c x +x =x x =a a
-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程
()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；
初三上册+第6次课+一元二次方程解法及韦达定理 赵凤文教案 导学案
知识导入（进入美妙的世界啦~）
（一）用公式法解一元二次方程
知识梳理
1、 对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），根的判别式△=b 2
－4ac （1）当b 2
－4ac ＞0时⇔方程有实数根， （2）当b 2－4ac ＝0时⇔方程有实数根， （3）当b 2－4ac ＜0时⇔方程没有实数根．
2、 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是：x ＝－b ±b 2
－4ac 2a
（b 2
－4ac ≥0）．
a
2ac
4b b x ,a 2ac 4b b x 2221---=-+-=；
3、利用求根公式解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值； （2）计算b 2
－4ac 的值；
（3）若b 2
－4ac ≥0，则代入求根公式求解
例题精讲
【题型一、根的判别式△=b2－4ac 】
【例1】
1、不解方程判断下列方程根的情况．
（1）4x 2
－11x ＝2； （2）4x 2
－x ＋5＝0； （3）y 2
＋14y ＋49＝0
（4）x 2
＋（m ＋2）x ＋m ＝0． （5）0)4(2)1(2
22=++-+k kx x k
1、一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( ) A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根
2、下列命题正确的是( )
x x A =2
2.。只有一个实根 11
1
.
2=+-x x B 有两个不等的实根 C ．方程032=-x 有两个相等的实根 D ．方程04322=+-x x 无实根 【例2】
韦达定理教案
教师一对一个性化教案
学生姓名年级科目授课教师
日期时间段课时授课类型新课/复习课/作业讲解课
教学目标
教学内容
个性化学习问题解决
教学重点、难点及考点分析
教学过程
求代数式的值
求待定系数
一元二次韦达定理应用构造方程
方程的求解特殊的二元二次方程组
根公式二次三项式的因式分解
【内容分析】
韦达定理：对于一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠，如果方程有两个实数根
12
,x x，那么1212
,
b c
x x x x
a a
+=-=
说明：（1）定理成立的条件0
∆≥
（2）注意公式重
12
b
x x
a
+=-的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例若
12
,x x是方程2220070
x x
+-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 22
12
x x
+；(2)
12
11
x x
+；(3)
12
(5)(5)
x x
--；(4)
12
||
x x
-．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
1212
2,2007
x x x x
+=-=-
(1) 2222
121212
()2(2)2(2007)4018
x x x x x x
+=+-=---=
(2) 12
1212
1122
20072007
x x
x x x x
+-
+===
-
(3)
121212
(5)(5)5()2520075(2)251972
x x x x x x
--=-++=---+=-
(4) 222
12121212
||()()4(2)4(2007)22008
x x x x x x x x
-=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
教学过程
222121212()2x x x x x x +=+-，
人教版-数学-九年级上册上册21.2.5韦达定理与判别式 教案
3.如果－1是方程的一个根，
则另一个根是___ｍ=____。
五、作业与中考链接
1.课堂作业：
1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
2．当c<0时，判别方程 的根的情况．
3 方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
课后巩固
进一步加强对所学知识的理解和掌握
4.以2和-3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：
5.设的两个实数根为 则的值为(A)
A. 1 B.－1C.D.
四、自主总结 新知Βιβλιοθήκη Baidu展
（一）课堂总结
总结韦达定理和“△”解答问题的方法和技巧，加强教学总结，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系
（一）“△”的运用步骤：
（1）“△”的运用步骤：
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
2、计算 “△”的值，确定“△”的符号.
3、判别根的情况，得出结论
（2）.在使用根与系数的关系时，应注意：
1.不是一般式的要先化成一般式；
2.在使用时，注意不要漏写“－”。
（3）根的符号规律
1.一正根，一负根:
2.两个正根
3.两个负根
三、自主应用 新知运用与巩固
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
(完整版)韦达定理教学案例
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
探索发现
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2<-4ac>可判定根的情况；
④当a≠0，b2<-4ac>≥0时，x1+x2=，x1x2=。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
2017九年级上册重点章节教学案精编暑假班专用
耿老师教研工作时室您值得信赖的专业化个性化学习方案
目录
一．一元二次方程解法 01 二．一元二次方程判别式及韦达定理 07 三．一元二次方程的应用1 12 四．一元二次方程的应用2 17五．二次函数图像与性质 22 六．二次函数的顶点式及平移法则 28 七．二次函数的一般式及两根式 34 八．二次函数解析式求法 40 九．二次函数符号问题 47 十．一元二次方程与二次函数的关系 54 十一．二次函数最值问题（一）——应用题 61 十二．二次函数最值问题（二）——几何面积 65 十三 .比例的性质 68 十四．黄金分割 72 十五．平行线分线段成比例 75 十六．相似三角形（一) 86 十七．相似三角形（二） 92
十八．图形的位似 98
十九．特殊三角形（一）——等腰、等边三角形 103 二十．特殊三角形（二）——直角、等腰直角三角形 109
第一节一元二次方程解法【知识要点】
一元二次方程之概念
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5
x
=0
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．
数学人教版九年级上册根的判别式与韦达定理
• 例1：已知关于x的方程 • x2-（2k-3）x+k2+1=0． （1）当k为何值时，此方程有实数根； （2）若此方程的两个实数根x1、x2满足 |x1|+|x2|=3，求k的值．
• 例2：已知关于x的一元二次方程 • x2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两 个不相等的实数根： （2）若x1，x2是原方程的两根，且 • |x1-x2|=2 ，求m的值，并求出此时方程的 两根．
• 练习1：已知关于x的方程x2-（m-2）x- =0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个 不相等实数根． （2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足 |x1|=|x2|+2，求m的值和相应的x1，x2．
• 练习2:已知关于x的一元二次方程（x-3） （x-2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两 个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程 的另一个根．
根的判别式和韦达定理
Leabharlann Baidu
• 一、知识平台 • 1、 根的判别式的应用： • △＞0 方程有2个不相等的实数解 • △ =0 方程有2个相等的实数解 • △ ≥0 方程有实数解 • △ ＜0 方程没有实数解
• 2、根与系数的关系 • 定理：如果 一元二次方程的两个根 • 是X1，X2，那么 • X1 +X2= ， X1X2=
维达定理教案
背景记载
学校
班级
数学
任课老师
九年级数学，人民教育出版社出版
2010-11-21
课题名称：韦达定理及其应用
教学目标：让学生进一步理解韦达定理的实质是反映出由n 个根与系数构成了n 个n 元方程组，与解一元n 次方程是完全等价的问题。因而只利用根与系数之关系并不能解决一元n 次方程求根的问题。只有当给出了各根之间满足的某些条件时才能应用韦选定理求方程的解集。
教学内容：
教学重点和难点：重点是韦达定理的应用，难点是灵活应用韦达定理解综合性题。
课的类型：综合课
教学方法：
教材教具准备
教学时间
教学过程设计和板书设计
【教学过程】
一、复习提问
1.韦达定理及其作用。
2.已知方程x3+p1x2+p2x+p3=0，的根为α、β、γ，则由韦达定理，得
αβγ（）
αβαγβγ（）
αβγ（）
+ + = -p 1
+ + = p 2
= -p 3
2
3
ì
í ï
î ï
下面解含α、β、γ的方程组，结果说明什么问题？
解：（1）×α2 得α3+α2β+α2γ=-p1α2 （4）
（2）×（-α）得-α2β-αβγ-α2γ=-αp2 （5）
（3）+（4）+（5）得α3+p1α2+p2α+p3=0 这个结果与原方程完全相同，说明如果我们没有办法解出原方程时，同样从这三个根与系数的关系仍不能解出它的根来，只有当给出各根之间具有某种特殊关系时，应用根与系数之关系才能求出方程的根。
二、引入新课——韦达定理的应用
三、小结
1.已知方程的根与系数具有某种关系时应用韦达定理转化为解方程组的
问题求解，当未知数的个数少于方程组中方程个数时，要适当选择方程组求解，之后必须通过检验该解满足余下的方程才是原方程的解。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型
1. 引言
韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常出现在初三的考试中。它是一种用于解决三角形中的边长和角度关系的工具，通过利用正弦定理和余弦定理来推导出未知量之间的关系。在本文中，我们将介绍韦达定理的基本概念、推导过程以及常见的应用题型。
2. 韦达定理的定义与推导
2.1 定义
韦达定理，也称作三角形法则，是指在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：a² = b² + c² - 2bc * cosA b² = a² + c² - 2ac * cosB c² = a² + b² - 2ab * cosC
2.2 推导过程
我们可以通过正弦定理和余弦定理来推导出韦达定理。 #### 正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：
sinA/a = sinB/b = sinC/c
余弦定理：
在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc cosB = (a² + c² - b²) / 2ac cosC = (a² + b² - c²) / 2ab
通过将正弦定理和余弦定理结合起来，我们可以推导出韦达定理的三个公式。
3. 韦达定理的应用题型
3.1 已知两边和夹角，求第三边
这是韦达定理最常见的应用题型之一。当我们已知一个三角形的两边长度和它们之间的夹角时，可以利用韦达定理来求解第三边的长度。例如，已知一个三角形ABC，其中AB = 5cm，AC = 8cm，∠BAC = 60°，求BC的长度。根据韦达定理公式b² = a² + c² - 2ac * cosB，代入已知条件计算得到：BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60° BC = √(25 + 64 -80cos60°) BC ≈ √(89 -40) BC ≈ √49 BC ≈ 7cm
人教版九年级数学上册教案：21.2.4韦达定理
武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案
学 科 数学 级
九级
设计者
苗小林 授课人：刘小娟
时 间 9.7
课 题 一元二次方程根与系数的关系
计划学时
1
重 点 理解根与系数的关系及应用
课 标 要 求 知道一元二次方程根与系数的关系
课 时 目 标 掌握一元二次方程根与系数的关系，能够灵活解决一些简单的有关的一元二次方程问题。
引 桥 突 破 公式法的求根公式
教 法 先学后用，学用结合 学 法 先学后用，学用结合
教学内容 及过程
群体智慧设计
个性化批注
一 ：温故知新：
一元二次方程的一般式：
(a,b,c 为常数，a
≠0）
一元二次方程的解法：直接开平方法， 配方法， 公式法，因式分解法
一元二次方程的求根公式： (a ≠0, b2-4ac ≥0)
二：探知求疑
1.阅读提示（阅读教材15——16页） 小组交流重点内容和困惑。
2. 完成基训课前预习和课堂练习。
3. 学生扮演课堂练习
5和课后训练2里的五个小题。
4.归纳韦达定理：
通过三个提问，复习旧知，做好铺垫。
学生自主完阅读课本，动手推到公式。总结规律，得出韦达定理。
2
0ax bx c ++=X=
2
0ax bx c ++=
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,用式子表示你发现的规律为
X1+x2 = X1x2=
注意事项：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式，（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
三：巩固提高
不解方程求下列方程两个根的和与积
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
![中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/76f3915ef8c75fbfc67db2a5.png)
全民健身政策上升为国家战略，健身行业迎来了绝佳的发展机会。随着国内经济水平的提升，现在关注健身的人越来越多，人们逐渐意识到良好的健身习惯对于保持健康的重要性。而传统的健身操运动已经无法满足健身人群的需求，需要 科学文化素质1、科学文化素质是私人教练的基础素质，私人教练工作是一项专业性、技术性强的职业，只有具备一定的科学文化素质，才能真正的胜任这一工作，在具有一定的科学文化知识的基础上，健身教练还应该掌握专业理论知识， 班组是一个企业最基层、最活跃的组织，也是企业各项工作的落脚点和具体实践者。班组素质的高低，体现和反映了企业的生产、经营管理水平和参与市场的竞争力。班组建设的好坏，将直接影响企业的社会形象和经济效益，甚至决定着
wk.baidu.com
1、培训工作应具有针对性和普遍性 作为班组建设培训组织者，应首先对班组建设培训人员的文化程度、工作年限、专业水平的高低予以掌握和了解，针对岗位特点与人员素质不同安排其岗位学习，做到有的放矢；在存有共性的问题上应紧紧抓住，吸引大家参与进来深入探 激发大家学习的积极性和创造性，不断提高班组建设培训人员的整体综合素质，力争达到“一人多岗”的值班能力，以适应不同工作的需要 2、培训工作应理论与实践相结合 在班组建设培训进行技术讲课时，讲课内容应紧密联系实际工作，将通报上各类事例结合本所进行分析讲解，做到举一反三；定期讲述一些与本所有关的理论知识，并引导大家将其运用到实际工作中去，交流各自的学习经验，鼓励大家进 3、培训内容应灵活多样 以开展学习型企业为契机，想方设法将培训工作搞得形式多样，生动活泼。 除常规培训的各类规程、事故通报和安全简报外，从提高班组人员兴趣着手,不定期增加模拟现场培训、有奖知识问答、工作票办理、班组建设培训电脑应用技巧、我也来当回调度(领导、工作票签发人、工作负责人)等多种培训形式，引导 4、培训工作应真抓实干，常抓不懈，持之以恒 培训工作应脚踏实地，不要急于求成；应扎扎实实做好每个环节，不断积累经验，不能东拼西凑；应理出培训纲要，循序渐进，既有针对性又有普遍性；要坚持安全思想教育，绝不放过思想上任何一个隐患。 班组建设培训工作只有常抓不懈，持之以恒，才能让大家从培训中掌握知识，真正起到保障设备安全运行的作用，培训工作才能产生实效。
韦达定理教案（大全五篇）
韦达定理教案（大全五篇）
第一篇：韦达定理教案
教案：韦达定理
一、教学目标
1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；
2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点
1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．
三、教学过程
（一）定理的发现及论证提出问题：已知α，β是方程2x2-3x-1=0的两根，如何求α3+β3的值
1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1）2和3 2）—4和7
问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？
观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？
22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-bc,x1x2=aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．
（二）定理的应用
例
1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。2例2.已知α,β是方程2x2-3x-1=0的两根,不解方程，求下列各式的
值.11(1)+(2)(α+1)(β+1)αβ
(3)α2+β2（5）α+β33(4)|α-β|例
2、已知x1,x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根且x1x2-(x1+x2)=115，求k值。
【机构适用;新人教版九年级上学期】韦达定理及一元二次方程的应用
一、韦达定理
[准备知识回顾]：
1、一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(242
2≥--±-=
ac b a
ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆
（1）当b 2
-4ac>0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=242b b ac
a
-+-，
x 2=242b b ac a
---．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a
-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．
反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。 [韦达定理相关知识]
如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么a b x x -=+21,a
c
x x =21．
➢ 韦达定理的逆定理：
如果实数21,x x 满足a
c
x x a b x x =-=+2121，，那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两
个根．
利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． ➢ 韦达定理的两个重要推论：
推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21． 推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=++-x x x x x x ．
九年级上册数学暑假第七节—韦达定理
一个伟大的发现—韦达定理
【知识要点】
1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根
分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a
2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以
写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.
【经典例题】
【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.
【例2】 已知：方程122
12+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 32
1231x x x x +
【例3】 已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，
且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.
【例4】 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)
12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ⎩⎨⎧==⎩
⎨⎧==2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.
【例5】 已知，关于x 的方程(n-1)x 2+mx+1=0①有两个相等的实数根.
(1)求证：关于y 的方程m 2y 2-2my-m 2-2n 2+3=0②必有两个不相等的实数根；
(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m 2n+12n 的值.
【方法总结】
1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆梦堂文化培训学校精品班教案 第 6 讲
1.根与系数的关系的猜想及证明
猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a 、b 、c 有什么关系？
结论：=+21x x _____________，=21x x _____________。
证明猜想：一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax 的求根公式：
a ac
b b 242-±-a c
a ac a ac
b b a a
c b b a ac b b x x a
b
a b a ac b b a ac b b x x a
ac
b b x a a
c b b x ==--=---⨯-+-=•∴-
=-=---+-+-=+∴---=
-+-=22
22222122212221444)4(242422242424,24
●归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
●注意,韦达定理使用的前提：(042
≥-ac b 且0≠a )
2.用到根与系数的关系的几种常见的求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
类型一：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】不解方程，求一元二次方程01322
=-+x x 两个根的①平方和；②倒数和。
答案：①
4
13
②3
a
c
x x a b x x x x a c bx ax =
•-=+≠=++2121212,,,)0(0则的两根为
若方程
【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) 1562
=-x x ； (2) 9732
+-=x x ； (3) 2
415x x =--；
答案：（1）x 1+x 2=6， x 1x 2=-15 （2）x 1+x 2=-37， x 1x 2=3 （3）x 1+x 2=45-， x 1x 2=-4
1
【例3】求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：2
5
, 310-
答案：0505603
25
6522
=-+=-+
x x x x 或
1、设 21,x x 是方程0142
=+-x x 的两个根，则
=+21x x =21x x () 2
212
221-+=+x x x x =
()=-221x x ()2 =-214x x
=+2
11
1x x 答案：4、 1、 2x 1x 2、 14 、 X 1+X 2 、12 4
2、已知βα,是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为( D )
A ．－1
B ．9
C ．23
D ．27
3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一
类型二：用韦达定理求参数的值
【例1】已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且4222
1=+x x ，则k
【例2】已知关于x 的方程0)1(22
2
=+--k x k x 有两个实数根为21,x x ， （1）求k 的取值范围；
（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。
【例3】已知方程032
=++m x x 的两根为21,x x ，当m 为何值时，4321=-x x 。 答案：16
13-
=m
1、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为( )A
A ．－3
B ．5
C ．5或－3
D ．－5或3
2、设21,x x 是一元二次方程0232
=--x x 的两个实数根，则2
2212
13x x x x ++的值为________．答案：7
3、已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且42
221=+x x ,则k 的值为：__________ 答案：-2
4、已知关于x 的一元二次方程()02122
2
=-+++m x m x 。
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为21,x x ，且()212
2
21=+-m x x ，求m 的值.
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( C ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2＋3x ＋2＝0 C ．x 2－3x －2＝0 D ．x 2－3x ＋2＝0
2.以方程0532
=-+x x 的两个根的相反数为根的方程是（ B ） A.y 2＋3y -5=0 B. y 2－3y -5=0 C.y 2＋3y ＋5=0 D. y 2－3y ＋5=0 3.若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ B 、 A ．-13
B ．12
C ．14
D ．15
4.已知：x 1，x 2是方程2x 2－2＝0的两实根，则x 12＋x 22的值为（ B ）
A ．34
-
B ．
134
C ．1
D ．9
5.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为___3____．
6.若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于___2028__．
7.设一元二次方程2
0(a 0)++=≠ax bx c 的两根为1x ，2x ，由求根公式1x =可推出
12b x x a +=-，12c
x x a
⋅=，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程2530x x -+=的两根，请
解决下列问题：
（1）理解：填空：αβ+= ，⋅=αβ ；
（2）应用：求
1
1
α
β
+
的值；