第6讲韦达定理推理及常见计算-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．（一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x 1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；⑤韦达（法国1540－1603）在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
例题1：若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
韦达定理教案
教师一对一个性化教案学生姓名年级科目授课教师日期时间段课时授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点及考点分析教学过程求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠，如果方程有两个实数根12,x x，那么1212,b cx x x xa a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx xa+=-的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,x x是方程2220070x x+-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x+；(2)1211x x+；(3)12(5)(5)x x--；(4)12||x x-．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x+=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x+=+-=---=(2) 121212112220072007x xx x x x+-+===-(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x--=-++=---+=-(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x-=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：教学过程222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
(完整版)韦达定理教学案例
教学环节
教师活动
预设学生行为设计Βιβλιοθήκη 图问题引探解下列方程：
2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0
并根据问题2和以上的求解填写下表
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
初高数学衔接导学案第六至第九课《韦达定理》《方程》《方程组》《不等式》
第六课 根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：（1）x 2－3x ＋3＝0 （2）x 2－2x ＋a ＝0 （3）2210mx x ++=例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求下列式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：（1）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．（2）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． （5）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 ．2．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．已知一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求下列式子的值：（1）12(2)(2)x x ++ （2）3312x x + （3）12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．第七课 分式方程高次方程与无理方程一、知识点解分式方程高次方程与无理方程的常用方法： 二、例题例1 解方程：⑴、354147=--+x x⑵、06)1(5)1(2=++-+x x x x(3)222223(21)20212x x x x +--+=-+例2 解方程：（1）322530x x +-= （2）024)5(2)5(222=----x x x x（3）(2)(1)(3)(6)16x x x x -+++= （4）43226210x x x x +-++=例3 解方程：（11x =+ （23=（3）23152x x ++=三、练习： 解下列方程： （1）2315()6022x x -+=-- （2）43253222=+-+xx x x （3）22324123x x x x =---- （4）xx x x x x 3133512=-++-+（5）22)12(31222222-=+---+x x x x （6）03)76(2)76(222=----x x x x（71= （8）22415x x -+=第八课 二元二次方程组与三元一次方程组一、知识点解方程组的方法： 二、例题例 解下列方程组：（1）22210410x y x y x y --=⎧⎨---+=⎩ （2）1128x y xy +=⎧⎨=⎩（3）222255043x y x y x xy y ⎧---=⎪⎨++=⎪⎩ （4）22124x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩（5）2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ （6）2311322114324x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩三、练习：解下列方程组（1）⎩⎨⎧=-=+1543222y x y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=--52322222y x y xy x（3）⎩⎨⎧-==+103xy y x（4）⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+3)(2)(5)(4)(22y x y x y x y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++09412902522222y xy x y xy x （6）1226310x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩第九课 一元二次不等式一、知识点：一元二次不等式的解集：二、例题例1 解下列不等式：⑴ 036>-x （2） 0322<-+x x （3）062<+-x x变式： （1）23520x x +-≥ （2）2210x x -++<（3）2450x x -+> （4）2440x x -+->例2 解下列不等式（1）04312>--x x （2） 012>+-x x （3）81153x x +≥+例３ 解关于x 的不等式2(1)0x x a a ++->（a 为常数）．例４ 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解是2<x 或3>x ，求不等式02>++c ax bx 的解．三、练习：1．解下列不等式 （1）0432>--x x（2）0122≤--x x（3）0432>-+x x（4）08162≤+-x x（5）01232<+-x x（6）0432<-x（7）122-≥-x x（8）(2)(53)0x x +-≤（9）3112>--xx （10）0)1(2<++-a x a x （a 为常数）．2．已知关于x 不等式022>-+c bx x 的解为1-<x 或3>x 。
2017九年级上册重点章节教学案精编暑假班专用
耿老师教研工作时室您值得信赖的专业化个性化学习方案目录一．一元二次方程解法 01 二．一元二次方程判别式及韦达定理 07 三．一元二次方程的应用1 12 四．一元二次方程的应用2 17五．二次函数图像与性质 22 六．二次函数的顶点式及平移法则 28 七．二次函数的一般式及两根式 34 八．二次函数解析式求法 40 九．二次函数符号问题 47 十．一元二次方程与二次函数的关系 54 十一．二次函数最值问题（一）——应用题 61 十二．二次函数最值问题（二）——几何面积 65 十三 .比例的性质 68 十四．黄金分割 72 十五．平行线分线段成比例 75 十六．相似三角形（一) 86 十七．相似三角形（二） 92十八．图形的位似 98十九．特殊三角形（一）——等腰、等边三角形 103 二十．特殊三角形（二）——直角、等腰直角三角形 109第一节一元二次方程解法【知识要点】一元二次方程之概念一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？一元二次方程之根一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 引言韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常出现在初三的考试中。
它是一种用于解决三角形中的边长和角度关系的工具，通过利用正弦定理和余弦定理来推导出未知量之间的关系。
在本文中，我们将介绍韦达定理的基本概念、推导过程以及常见的应用题型。
2. 韦达定理的定义与推导2.1 定义韦达定理，也称作三角形法则，是指在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：a² = b² + c² - 2bc * cosA b² = a² + c² - 2ac * cosB c² = a² + b² - 2ab * cosC2.2 推导过程我们可以通过正弦定理和余弦定理来推导出韦达定理。
#### 正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc cosB = (a² + c² - b²) / 2ac cosC = (a² + b² - c²) / 2ab通过将正弦定理和余弦定理结合起来，我们可以推导出韦达定理的三个公式。
3. 韦达定理的应用题型3.1 已知两边和夹角，求第三边这是韦达定理最常见的应用题型之一。
当我们已知一个三角形的两边长度和它们之间的夹角时，可以利用韦达定理来求解第三边的长度。
例如，已知一个三角形ABC，其中AB = 5cm，AC = 8cm，∠BAC = 60°，求BC的长度。
根据韦达定理公式b² = a² + c² - 2ac * cosB，代入已知条件计算得到：BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60° BC = √(25 + 64 -80cos60°) BC ≈ √(89 -40) BC ≈ √49 BC ≈ 7cm3.2 已知三边，求夹角另一个常见的应用题型是已知一个三角形的三边长度，求解它们之间的夹角。
新人教版九年级数学上册暑期讲义
二次根式例1.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例2.已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．例 3.已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
例4.若│2012-a │+2013-a =a ，求a-20122的值．课堂练习题：1.求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2.如图，数轴上A,B 两点表示的数分别为1和，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知t<1，化简1212---+t t t 得( ) A ．22-t B ．2t C ．2 D ．04.若12x ，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -35.若a<0，b>0，则3a b -化简得（ ）A ．-a ...abB a abC a abD a ab --- 6.已知：115252a b ==-+，，则227a b ++的值为（ ） A.5B.6 C ．3 D ．4 7.估算50232+的值（ ） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间 8.有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.cm 41B.cm 34C.cm 25D.cm 359.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝10.如果0＜a ＜a ，那么a 的取值范围是________11.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______12.设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 13.如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___14.化简：2242242222-++++++a a a a a a 15.5710141521++++16.已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xy y x +++2的值。
人教版九年级数学上册教案：21.2.4韦达定理
武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案学 科 数学 级九级设计者苗小林 授课人：刘小娟时 间 9.7课 题 一元二次方程根与系数的关系计划学时1重 点 理解根与系数的关系及应用课 标 要 求 知道一元二次方程根与系数的关系课 时 目 标 掌握一元二次方程根与系数的关系，能够灵活解决一些简单的有关的一元二次方程问题。
引 桥 突 破 公式法的求根公式教 法 先学后用，学用结合 学 法 先学后用，学用结合教学内容 及过程群体智慧设计个性化批注一 ：温故知新：一元二次方程的一般式：(a,b,c 为常数，a≠0）一元二次方程的解法：直接开平方法， 配方法， 公式法，因式分解法一元二次方程的求根公式： (a ≠0, b2-4ac ≥0)二：探知求疑1.阅读提示（阅读教材15——16页） 小组交流重点内容和困惑。
2. 完成基训课前预习和课堂练习。
3. 学生扮演课堂练习5和课后训练2里的五个小题。
4.归纳韦达定理：通过三个提问，复习旧知，做好铺垫。
学生自主完阅读课本，动手推到公式。
总结规律，得出韦达定理。
20ax bx c ++=X=20ax bx c ++=两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,用式子表示你发现的规律为X1+x2 = X1x2=注意事项：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式，（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
三：巩固提高不解方程求下列方程两个根的和与积X2-3x=15 3x2+2=1-4x5x2-1=4x2+x 2x2-x+2=3x-1判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2）x2+2=0两根之和0，两根之积2。
3）x2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四：探究内化已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（）A．1B．C．2D．关于x的一元二次方程3x²-5x+ (m-1)=0，当m =___时，方程的两根为互为倒数.拓展延伸已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，且X12+X22 = 4，求k的值。
韦达定理教案（大全五篇）
韦达定理教案（大全五篇）第一篇：韦达定理教案教案：韦达定理一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．三、教学过程（一）定理的发现及论证提出问题：已知α，β是方程2x2-3x-1=0的两根，如何求α3+β3的值1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-bc,x1x2=aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．（二）定理的应用例1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。
2例2.已知α,β是方程2x2-3x-1=0的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)+(2)(α+1)(β+1)αβ(3)α2+β2（5）α+β33(4)|α-β|例2、已知x1,x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根且x1x2-(x1+x2)=115，求k值。
例3已知实数a,b分别满足a+2a=2,b+2b=2且a≠b,求222211+的值 ab（三）总结一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．韦达定理的内容2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=- ba，1·2=xxca②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2第二篇：韦达定理代数式的值教案根与系数的关系2教学目标：1、会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值2、学会灵活多变的代数式变形3、会求作新方程一、知识回顾1、设、代数式是方程=。
【机构适用;新人教版九年级上学期】韦达定理及一元二次方程的应用
一、韦达定理[准备知识回顾]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=242b b aca-+-，x 2=242b b ac a---．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。
[韦达定理相关知识]如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么a b x x -=+21,acx x =21．➢ 韦达定理的逆定理：如果实数21,x x 满足acx x a b x x =-=+2121，，那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根．利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． ➢ 韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21． 推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=++-x x x x x x ．知识重难点梳理韦达定理及一元二次方程的应用➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于21,x x 的对称式的值，如,2221x x +,1121x x +221212,x x x x +2112121211,,x x x x x x x x ---等等．说明：如果把含21,x x 的代数式中21,x x 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21,x x 的对称式．(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程． (5)已知两数的和与积，求这两个数．(6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值． (7)证明方程系数之间的特殊关系．(8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．根的符号的讨论：利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的两根为21,x x ，则：(1)当0,021>≥∆x x 且时，两根同号．①当0,0,02121>+>≥∆x x x x 且时，两根同为正数； ②当0,0,02121<+>≥∆x x x x 且时，两根同为负数． (2)当0,021<>∆x x 且时，两根异号．①当0,0,02121>+<>∆x x x x 且时，两根异号且正根的绝对值较大； ②当0,0,02121<+<>∆x x x x 且时，两根异号且负根的绝对值较大．题型一：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数． 1、已知方程5x 2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k 的值变式训练1．已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。
九年级数学上册 根与系数关系(韦达定理)导学案 新人教版
课题：根与系数关系（韦达定理）自研课（时段：晚自习时间： 15min ）旧知链接：1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0)的根x1= ,x2= 2、因式分解：1x2+(p+q)x+pq= .新知自研：课本P40-4练习以上内容展示课（时段：正课时间： 60 min ）学习主题： 1、推导掌握一元二次方程的根与系数的关系；2、会根据根与系数的关系，直接写出一元二次方程的两根之和与两根之积. 【定向导学·互动展示·当堂反馈】课堂元素自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略（内容·形式·时间）展示方案（内容·方式·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成·同步演练）方法总结·例题导析4 5分【学法指导】一、①认真阅读课本P40思考怎样将（x-x1）（x-x2）=0转化为x2+px+q=0的形式？把（x-x2）（x-x2）=0的右边展开得到一般形式为②展开后的式子的二次项系数是一次项系数P= 常数项q=③、由②可以得出x1+x2=x1x2=二、①一般一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，二次项系数a未必为1，它们两根和、积与系数有类似关系吗？认真自研课本P41的方程2x2-3x+1=0是怎样找x1+x2与 x1x2的值？②对任意的一个方程都有这样的情况吗？③一元二次方程的一般形①两人小对子就学法指导中问题相互交流，并向对方询问一个问题.②五人互助组在组长的带领下：总结：A:二次项系数为1时根与系数的关系？B：二次项系数不为1时根与系数的关系？一起来攻关：试求代数式：x1、x2是某一元二次方程方案预设1：①再现思考情境，经历由特殊到一般，展示（x-x1）（x-x2）到x2+px+q的全过程，找出当二次项系数为1时，x1+x2和x1x2与系数的关系；②通过具体的方程先解出方程的根然后找出两根之和与两根之积与系数的关系；③通过求根公式推导出两x1+x2和x1x2与系数的关系重点识记一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0)同类演练当堂生成性训练：式ax 2+bx+c=0（a ≠0）当△＞0时我们通过求根公式=1x ，=2x由此可知x 1+x 2= x 1x 2= 三、①在利用公式解答第（1）（2）两小题时，应先确定什么。
初三升高一数学暑假班衔接课：02—韦达定理-教师版
高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程韦达定理（教师版）1 / 20韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）3 / 204 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．设方程的另一个根为1x ，则5621-=x ，531-=∴x ．由5253(k-=+-，得7-=k ．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为-7．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值． 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根，由韦达定理可得58=b a二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．5 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：分别变形为可以利用x 1＋x 2和x 1x 2来表示的形式．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根，2521-=+∴x x ，2321-=x x ．(1)∵|x 1-x 2|2=21x ＋22x -2x 1x 2=(x 1＋x 2)2-4x 1x 223(425(2-⨯--=6425+=449=， 27||21=-∴x x ． (2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=． (3)31x ＋32x =(x 1＋x 2)(21x -x 1x 2＋22x )=(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(325[()25(2-=-⨯--⨯-=．评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：6 / 20高一数学暑假课程 韦达定理（教师版） 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a acb b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=． 于是有下面的结论：【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．解：由于α、β是方程x 2＋2x -5=0的实数根，∴α2＋2α-5=0，αβ=-5，∴α2＋2α=5 ∴α2＋αβ＋2α=α2＋2α＋αβ =5-5=0评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合； (2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．7 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】3【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．【难度】★★ 【答案】02．设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值． 【难度】★★ 【答案】3100-3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值． 【难度】★★ 【答案】-5三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析8 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2=-2(m -2)，x 1·x 2=m 2＋4． ∵21x ＋22x -x 1·x 2=21， ∴(x 1＋x 2)2-3x 1·x 2=21， 即[-2(m -2)]2-3(m 2＋4)=21，化简，得m 2-16m -17=0，解得m =-1，或m =17． 当m =-1时，方程为x 2-6x ＋5=0，Δ>0，满足题意；当m =17时，方程为x 2＋30x ＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去． 综上，m = -1．评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题．解：由Δ=-32m ＋16≥0得21≤m ．x 1＋x 2=-m ＋1，041221≥=m x x ． ∴x 1与x 2可能同号，分两种情况讨论：9 / 20韦达定理（教师版）(1)若x 1>0，x 2>0，则⎩⎨⎧>>+02121x x x x ，解得m <1且m ≠0．21≤∴m 且m ≠0． (2)若x 1<0，x 2<0，则⎩⎨⎧><+002121x x x x ，解得m >1，与21≤m 相矛盾．综上所述：当21≤m 且m ≠0时，方程的两根同号．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42，由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围． 【难度】★★【答案】 【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ，由()00<f 且()02<f 即可满足题意【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围3<a 382<<a10 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】m >72．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析： 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．11 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 解：(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0，∴1x 、2x 异号或其中一根为0，∴对212+=x x 可分两种情况讨论，去掉绝对值.当x 1≥0，x 2<0时，-x 2-x 1=2，即-(m -2)=2，解得m =0， 此时，方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=-2； 当x 1≤0，x 2>0时，x 2+x 1=m -2=2，解得m =4， 当m =4时，x 2-2x -4=0， 解得11x =，21x =.4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】2a <-四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【难度】★★ 【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程12 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ． 【难度】★★【答案】-1，-4，28952895-+，． 【解析】分析：观察方程左边两式的关系，用换元法，令t x x xx =-++4322代入求解．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．2．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04721(222=+-+-m mx x 的两个根．(1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；13 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时，x 2-4x +4=0． ∵△=0，方程有两个相等的实数根．∴AB=CD ，此时AB ∥CD ，则该四边形是平行四边形； 当m >2时，△=m -2>0， 又∵AB+CD=2m >0，∴AB≠CD ． 该四边形是梯形．(2) 根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半． 则根据PQ=1，得CD-AB=2．由CD-AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时，则有x 2-6x +8=0， ∴x =2或x =4， 即AB=2，CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC ． ∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．tan ∠BDC•tan ∠BCD=1．评析：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．14 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2= 2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】=∴m =2n …①， ∴4n 2-m 2-8n +16≥0，把①代入上式得n ≤2…②， 则x 1+x 2=8(n -1)，x 1•x 2=4(m 2-2)，依题意有(x 1-x 2)2<192，即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192， ∵m 、n 为整数，∴n 的整数值为1，2，当n =1，m =2时，所求解析式为y =2x +1，当n =2，m =4时，解析式为y =4x +2．15 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3 【难度】★★ 【答案】C2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 【难度】★★ 02=++p qx x16 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【答案】B3．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 【难度】★★ 【答案】C4．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则baa b +的值是 ( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413【难度】★★ 【答案】B5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x【难度】★★ 【答案】D6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )17 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1【难度】★★ 【答案】C二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______【难度】★★ 【答案】-18．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 【难度】★★ 【答案】69．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．【难度】★★ 【答案】510．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 1，x 2是方程的两个根，则①x 1+x 2=-p ，②x 1x 2=q ， ∵②-①得：p+q=28，18 / 20高一数学暑假课程∴x 1x 2-x 1-x 2=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1， ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29， 即(x 1-1)(x 2-1)=29， ∵两根均为正整数，∴x 1-1=1，x 2-1=29或x 1-1=29，x 2-1=1，∴方程的两个根是：x 1=2，x 2=30．或x 1=30，x 2=2． 故答案为：x 1=30，x 2=2．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：(a +b )2≤4正确．理由：原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1， ∴(a +b )2=4ab +1，∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0， ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0， ∴4ab ≤3，∴4ab +1≤4，即(a +b )2≤4．12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x19 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤；(2) 0．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0，∴m <1， 结合题意知：-1≤m <1．(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m==∴当m =-1时，式子取最大值为10．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】见解析∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，因此两式相减有(a-1)(x2-1)=0，当a=1时，这两个方程无实根，故x2=1，从而x1=1，于是a=-2，b+c=-1，所以a+b+c=-3．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）20 / 20。
人教版九年级数学上册 韦达定理 讲义
根与系数的关系——韦达定理对于一元二次方程ax 2+bx+c=0，它的求根公式为2ab x -±=我们把两个根记为x 1、x 2，那么就有12b x a -+=，22b x a--=则x 1+x 2=_________，x 1.x 2=_________这就是“韦达定理”，但注意，前提是“方程有实数根”，我们才能用这个定理变形1:2212______________+=x x 变形2：1211______________+=x x 变形3：2112______________+=x x x x变形4：212()______________-=x x变形5：12||______________-=x x例1、x 2-520x+1314=0的两根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=_____，x 1x 2=_____例2、一元二次方程x 2+3x-9=0有两个x 1、x 2，依题意填空：（1） 计算x 1+x 2 = （2）计算x 1x 2 = （3）计算x 12+x 22 = （4）计算1211=+x x（5）计算2112x x x x += （6）计算212()=-x x （7）计算12||=-x x1、关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x-2=0 B ．x 2-3x+2=0 C ．x 2-2x+3=0 D ．x 2+3x+2=02、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） A 、－31 B 、 31C 、3D 、 －3 3、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）A 、0322=-+x xB 、 0322=+-x xC 、0322=--x xD 、0322=++x x 4、已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（ ） A 、21-B 、2C 、21D 、-25、不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（ ）A 、同号B 、异号C 、两根都为正D 、不能确定6、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）A 、－7B 、 3C 、 7D 、－37、若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ） A 、12 B 、6 C 、9 D 、168、若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．－10 B ．10 C ．－16 D ．169、若两个不相等的实数m 、n 满足m 2－6m ＝4，n 2－4＝6n ，则mn 的值为（ ） A ．6 B ．－6 C ．4 D ．－410、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.11、如果21x x 、是方程06322=--x x 的两个根，那么21x x += ，21x x ⋅= 12、若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根都为 13、若方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k = ，另一个根为14、已知2是关于x 的一元二次方程x 2＋4x －p ＝0的一个根，则该方程的另一个根是________15、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x +=（2）2111x x += （3）=-221)(x x （4）)1)(1(21++x x =17、若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是_____18、已知x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则1x 1＋1x 2＝__________19、已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，则2112x x x x +的值_________ 20、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是21、若方程x 2-6x+k=0的一根为1。
(完整版)韦达定理教学案例
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
教学案例
基本信息
题目
一元二次方程根与系数的关系
学科
数学
年级
九年级
教材内容
人教版九年级上册第二十三章第3节：一元二次方程根与系数的关系
个人信息
设计者
姓名
单位
徐跃鉴
江西省万年县石镇中学
教材分析
一元二次方程根与系数的关系的知识内x+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
回顾总结
板书设计
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2<-4ac>可判定根的情况；
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
数学人教版九年级上册韦达定理
复习提问 1.一元二次方程的解法 2.求根公式
21 3
2Байду номын сангаас
-1 3 2
-3
14
5
4
问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，与x1 • x2系数有什么规律？
猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
x1 x2 p x1x2 q
x1,x2则有 x1x2
ba;x1.x2
c a
注：能用根与系数的关系的前提条件为
b2-4ac≥0
关于两根几种常见的求值
1.x12 x22 (x1 x2)2 2x1 x2
2.(x1x2)2(x1 x2)24x1x2
3.(x11)x(21)x1x2(x1x2)1
4. 1 1 x1 x 2
注：能用根与系数的关系的 前提条件为b2-4ac≥0
1直接运用根与系数的关系（验根） • 例1不解方程，求下列方程两根的和与积
(1) x 2 4 x 1 0 (2)4x2 2x 7 0 (3)3x2 10 2 x2 8x
知识源于悟
2已知方程的一个根求另一个根及未知数
x 1 x 2 x1x2 x1. x2
9x26x10
1 3
1 3
2 3
1 9
3x24x10 2 7 2 7
3
3
4 3
1 3
3x27x20 1
-2 7
2
3
33
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）
人教版九年级数学上册暑假培训班讲义第6次课：圆周角
第1次课：图形的旋转、旋转的性质及应用1、图形的旋转【讲授新知】1、顶点在____上，并且两边和圆_______的角叫圆周角2、在同圆或等圆中，_______或_______所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__________的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________3、半圆或直径所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是_______4、圆内接四边形对角_______，外角等于_________【自我检测】1、下列四个图中，∠x 是圆周角的是( )2、如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝____度3、如图，AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B 的度数是( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°4、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( )A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°【例题精讲】知识点一 圆周角及其定理 例1、画出△ABC 绕点A 逆时针90°后的图形。
【练习】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，AOB ∆ 的三个顶点均在格点上，点A.B 的坐标分别为A （-2.3）.B （-3.1）.（1）画出 AOB ∆绕点O 顺时针旋转090 后的11A OB ∆ ；A B（2）点1A 的坐标为 ； （3）四边形 11AOA B 的面积为 ．知识点二 圆周角定理推论 【例2】如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC【练习】如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D＝40°，则∠CAB 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°知识点三 圆内接四边形的对角互补【例3】如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( )A．115° B．105° C．100° D．95°【练习】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝160°，则∠D＝______，∠B ＝___________.·2、旋转的性质及应用【讲授新知】旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等.【自我检测】1．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边现将△ABP绕点逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，已知AP=3，则PP ′的长度为（ ）A ．3B ．3C ．5D ．42、如图，在△ABC 中, 70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋 转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 503.如图，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则∠PBM ＝________知识点一 旋转的定义与性质【例1】如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC =90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至△FEG ，DF 、FG 相交于点H ．（1）判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；（2）连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．变式1：如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =a ．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当a =150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当a 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？知识点二 旋转性质的综合应用【例2】如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与点P' 之间的距离为_______，∠APB ＝______°．变式1：将上题中的“PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10”改为“PA ＝6，PB ＝10，PC ＝8”，其余条件不变，求点P 与点P' 之间的距离及∠APC 的度数变式2：将上题中的“PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10”改为“∠APB ＝150”，其余条件不变，则PA 、PB 、PC 三者之间满足什么样的关系？综合以上，你得出什么结论？第15题。
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圆梦堂文化培训学校精品班教案 第 6 讲
1.根与系数的关系的猜想及证明
猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a 、b 、c 有什么关系？
结论：=+21x x _____________，=21x x _____________。
证明猜想：一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax 的求根公式：
a ac
b b 242-±-a c
a ac a ac
b b a a
c b b a ac b b x x a
b
a b a ac b b a ac b b x x a
ac
b b x a a
c b b x ==--=---⨯-+-=•∴-
=-=---+-+-=+∴---=
-+-=22
22222122212221444)4(242422242424,24
●归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
●注意,韦达定理使用的前提：(042
≥-ac b 且0≠a )
2.用到根与系数的关系的几种常见的求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
类型一：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】不解方程，求一元二次方程01322
=-+x x 两个根的①平方和；②倒数和。
答案：①
4
13
②3
a
c
x x a b x x x x a c bx ax =
•-=+≠=++2121212,,,)0(0则的两根为
若方程
【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) 1562
=-x x ； (2) 9732
+-=x x ； (3) 2
415x x =--；
答案：（1）x 1+x 2=6， x 1x 2=-15 （2）x 1+x 2=-37， x 1x 2=3 （3）x 1+x 2=45-， x 1x 2=-4
1
【例3】求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：2
5
, 310-
答案：0505603
25
6522
=-+=-+
x x x x 或
1、设 21,x x 是方程0142
=+-x x 的两个根，则
=+21x x =21x x () 2
212
221-+=+x x x x =
()=-221x x ()2 =-214x x
=+2
11
1x x 答案：4、 1、 2x 1x 2、 14 、 X 1+X 2 、12 4
2、已知βα,是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为( D )
A ．－1
B ．9
C ．23
D ．27
3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一
类型二：用韦达定理求参数的值
【例1】已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且4222
1=+x x ，则k
【例2】已知关于x 的方程0)1(22
2
=+--k x k x 有两个实数根为21,x x ， （1）求k 的取值范围；
（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。
【例3】已知方程032
=++m x x 的两根为21,x x ，当m 为何值时，4321=-x x 。
答案：16
13-
=m
1、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为( )A
A ．－3
B ．5
C ．5或－3
D ．－5或3
2、设21,x x 是一元二次方程0232
=--x x 的两个实数根，则2
2212
13x x x x ++的值为________．答案：7
3、已知方程022
=+++k kx x 的两个实数根是21,x x ，且42
221=+x x ,则k 的值为：__________ 答案：-2
4、已知关于x 的一元二次方程()02122
2
=-+++m x m x 。
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为21,x x ，且()212
2
21=+-m x x ，求m 的值.
1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( C ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2＋3x ＋2＝0 C ．x 2－3x －2＝0 D ．x 2－3x ＋2＝0
2.以方程0532
=-+x x 的两个根的相反数为根的方程是（ B ） A.y 2＋3y -5=0 B. y 2－3y -5=0 C.y 2＋3y ＋5=0 D. y 2－3y ＋5=0 3.若α、β为方程2x 2-5x -1=0的两个实数根，则2235++ααββ的值为（ B 、 A ．-13
B ．12
C ．14
D ．15
4.已知：x 1，x 2是方程2x 2－2＝0的两实根，则x 12＋x 22的值为（ B ）
A ．34
-
B ．
134
C ．1
D ．9
5.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为___3____．
6.若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于___2028__．
7.设一元二次方程2
0(a 0)++=≠ax bx c 的两根为1x ，2x ，由求根公式1x =可推出
12b x x a +=-，12c
x x a
⋅=，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程2530x x -+=的两根，请
解决下列问题：
（1）理解：填空：αβ+= ，⋅=αβ ；
（2）应用：求
1
1
α
β
+
的值；
（3）拓展：对于任意实数a 、b ，定义22a b a ab b =++◆．若方程(2)50x -=◆的两根记为m 、n ，求22m n +的值．
（1）5αβ+=，3=αβ；（2）115
3αβ+=；（3）2218+=m n
8.关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 的两个实数根分别为21,x x ． （1）求m 的取值范围．
（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值.
（1）m≤
13
4
．
（2）m=-3.
【课后作业】
1．若关于x 的一元二次方程22330x mx m m ++-+=的两根互为倒数，则m 的值等于（ B 、 A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
2．若α，β是方程220200x x 的两个实数根，则22ααβ++的值是（ A ） A ．2019
B ．-2019
C ．2021-
D ．2021
3．若方程2
320x x --=的两根分别为1x 和2x ，则代数式：12
11
+x x 的值为（ A ）
A ．12-
B ．13-
C ．13
D ．23
-
4．设m 、n 是一元二次方程x 2+5x ﹣8=0的两个根，则m 2+7m+2n=（ B ） A ．-5
B ．-2
C ．2
D ．5
5．已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误．．的是( D ) A ．12x x ≠
B ．21120x x -=
C ．122x x +=
D ．122x x ⋅=
6．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ A ） A ．1-
B ．4-
C ．4-或1
D ．1-或4
7. 已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2-2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为___1____． 8．已知关于x 的一元二次方程()021222=+++-k k x k x . （1）若该方程有两个实数根，求k 的最大整数值．
（2）若该方程的两个实数根为21,x x ，是否存在实数k ，使得162
2
2121-=--x x x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
（1）k的最大整数值是0；（2）存在，3
k=-．。