江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2

第9题图

0 1 2 6 7 8 8 0 2 8 0 2 2

8 7 9 8 7 6 2 0

1 0

第8题图

江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2

数学Ⅰ

一、填空题

1．已知集合{}1A =，{}19B =,

，则A B = ． 2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ．

3．若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，

上是增函数，则m 的取值范围是 ． 4．已知关于x 的不等式2

50ax x a

-<-的解集为M ，若5M ∉，则实数a 的取值范围是 ． 5．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+= ．

6．数列{n a }的前n 项和2

23(N*)n S n n n =-∈，则4a = ．

7．若函数)(x f 的导函数为34)('2

+-=x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间为 ．

8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若1s 、2s 分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则1s

2s （请填“＜”，“＝”，“＞”）

9．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．

10．过直线x y =上的一点作圆2)4(2

2

=-+y x 的两条切线21,l l ，当1l 与2l 关于x y =对

称时，1l 与2l 的夹角为 ．

11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n (n ≥3)维向量，n 维

向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n )表示．设a ＝(a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n )，b ＝(b 1，b 2，b 3，b 4，…，b n )，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====

n

i i

n

i i

n

i i

i b

a b

a 1

21

2

1cos θ，已知n 维向

量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cos θ等于 ． 12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面

体，所得几何体的表面积为_ ．

13．等腰ABC Rt ∆中，斜边24=BC ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线

B

第16题图

P

F E

A D

C

B A A 2

C

O A 3

段AB 上，且椭圆经过B A ,两点，则该椭圆的离心率为 ．

14．若实数c b a ,,满足11111

1,122222

a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)

平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--,

, , , , , 且//AD BC ．

（1）求x 与y 之间的关系式；

（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD ，AB 2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BF

ED FA

λλ==>． (1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面P AC ？并证明．

18．(本小题满分16分)

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的焦距为32，离心率为23．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且

|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．

17．(本小题满分14分)

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA 1O =

θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳

总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．

A

P

B

M C

19．(本小题满分16分)

已知：三次函数c bx ax x x f +++=2

3

)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）

上单调减，当

且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数)ln()1()

2(3)

()(m x m x x f x h ++--'=

，求)(x h 的单调区间．

20．(本小题满分16分)

设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正

整数n ，()n n k a S f n +=都成立．

（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；

（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．

数学Ⅱ（附加题）

21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特

征向量为01⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，求实数m n ,

的值．

22．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．

23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求P A 的长；

⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．