江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2

第9题图
0 1 2 6 7 8 8 0 2 8 0 2 2
8 7 9 8 7 6 2 0
1 0
第8题图
江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2
数学Ⅰ
一、填空题
1．已知集合{}1A =，{}19B =,
，则A B = ． 2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ．
3．若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，
上是增函数，则m 的取值范围是 ． 4．已知关于x 的不等式2
50ax x a
-<-的解集为M ，若5M ∉，则实数a 的取值范围是 ． 5．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+= ．
6．数列{n a }的前n 项和2
23(N*)n S n n n =-∈，则4a = ．
7．若函数)(x f 的导函数为34)('2
+-=x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间为 ．
8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若1s 、2s 分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则1s
2s （请填“＜”，“＝”，“＞”）
9．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．
10．过直线x y =上的一点作圆2)4(2
2
=-+y x 的两条切线21,l l ，当1l 与2l 关于x y =对
称时，1l 与2l 的夹角为 ．
11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n (n ≥3)维向量，n 维
向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n )表示．设a ＝(a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n )，b ＝(b 1，b 2，b 3，b 4，…，b n )，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====
n
i i
n
i i
n
i i
i b
a b
a 1
21
2
1cos θ，已知n 维向
量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cos θ等于 ． 12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面
体，所得几何体的表面积为_ ．
13．等腰ABC Rt ∆中，斜边24=BC ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线
B
第16题图
P
F E
A D
C
B A A 2
C
O A 3
段AB 上，且椭圆经过B A ,两点，则该椭圆的离心率为 ．
14．若实数c b a ,,满足11111
1,122222
a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)
平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--,
, , , , , 且//AD BC ．
（1）求x 与y 之间的关系式；
（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD ，AB 2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BF
ED FA
λλ==>． (1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面P AC ？并证明．
18．(本小题满分16分)
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为32，离心率为23．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且
|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．
17．(本小题满分14分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA 1O =
θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳
总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．
A
P
B
M C
19．(本小题满分16分)
已知：三次函数c bx ax x x f +++=2
3
)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）
上单调减，当
且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数)ln()1()
2(3)
()(m x m x x f x h ++--'=
，求)(x h 的单调区间．
20．(本小题满分16分)
设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正
整数n ，()n n k a S f n +=都成立．
（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．
数学Ⅱ（附加题）
21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特
征向量为01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求实数m n ,
的值．
22．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．
23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求P A 的长；
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．
24．设n 是给定的正整数，有序数组
122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：
①{
}n i a i 2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有
221
2l
i i k a =-∑
≤．
（1）记n A 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数，求n A ；
（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数，求n B ．
数学参考答案
一、填空题：
1． {}1 9，
； 2． 3； 3． 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 4． [1,25] ； 5． -2； 6． 11 ； 7． [2，4]； 8．〈； 9． 92-； 10． 3
π
； 11
n
n 4
-．； 12． 37； 13． 36- ； 14． 2-log 23 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)
平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--,
, , , , , 且//AD BC ．
（1）求x 与y 之间的关系式；
（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．
【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，
,()BC x y =, , …………………2分
因为//AD BC ，
所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① ………………………………………4分 （2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，
，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………6分
因为AC BD ⊥，
B
第16题图
P
F
E
A D
C
所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………8分
由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.
x y =-⎧⎨=⎩，
(10)
分
当2 1
x y =⎧⎨=-⎩，
时，(8 0)AC =，
，(0 4)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………12分
当6 3
x y =-⎧⎨=⎩，
时，(0 4)AC =，
，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………14分
所以，四边形ABCD 的面积为16． 16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD ，AB 2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BF
ED FA
λλ==>． (1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面P AC ？并证明．
16、（1）作//FG BC 交CD 于G ，连接EG ，
则而
, ,BF CG PE BF
FA GD ED FA λ=== ,//,PE CG PC EG ED GD
∴=∴又//,,FG BC BC PC C FG GE G ==
∴平面PBC //平面EFG ．又EF ⊂平面PBC,∴EF //平面
PBC ．………………………………6分
（2）当1λ=时,DF ⊥平面PAC ． ………………………………………………………8分
证明如下：
1λ=，则F 为AB 的中点，又21
2
AB ，
∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆中,
2tan ==∠AF AD AFD ，2tan ==∠AD
CD
CAD ,………11分
.,AFD CAD AC DF ∴∠=∠∴⊥
又
PA ⊥平面ABCD,DF ⊂平面ABCD,PA DF ∴⊥,
B A A 2 C
O
A 3
DF ∴⊥平面PAC ． ………………………………………………………………14分
17．(本小题满分14分)
如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y ．
（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．
17． （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，
θ
cos 2
1=
CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθ
tan 22cos 2
331-+⋅=+=CB CA y =
2cos )sin 3(2+-θθ（4
0π
θ<<）……7分
（Ⅱ）θ
θθθθθ2
22/
cos 1
sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则3
1
sin =θ ………………12分 当31sin >θ时，0>'y ；3
1
sin <θ时，0<'y ，
∵θsin =y 在]4
,
0[π
上是增函数
∴当角θ满足3
1
sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分
18．(本小题满分16分)
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为32，离心率为23．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且
|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．
19．(本小题满分16分)
已知：三次函数c bx ax x x f +++=2
3
)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）
上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2
+->x x x f （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数)ln()1()
2(3)
()(m x m x x f x h ++--'=
，求)(x h 的单调区间．
解：（1）)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单增，（-1，2）上单减 023)(2
=++='∴b ax x x f 有两根－1，2
c x x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=⨯--=+-∴623)(623321322123
…………4分
令522
554)()(2
3
2-+--
=+--=c x x x x x x f x H )2)(13(253)(2
-+=--='x x x x x H ),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调增，)2,3
1(-单调减
故110)31
(0)4(-=∴⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=c H H 11623)(2
3
---
=∴x x x x f 故.1162
3)(23
---=x x x x f ………………………………………………6分
（2）∵633)(2
'
--=x x x f
)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且 m
x x m x m x h +-=
++-
='∴1
11)( 当m≤－2时，－m≥2，定义域：),(+∞-m 0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增；
当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m 0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增 当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x >1，由0)(<'x h 得x <1． 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在)1,(m -上单减 所以当m ≤－2时，h (x )在（－m ,+∞）上单增； 当12-≤<-m 时，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增；
当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m ，1）单减………16分
20．(本小题满分16分)
设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正
整数n ，()n n k a S f n +=都成立．
（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．
【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．
若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．
故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． (4)
分
【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④
③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………7分
要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()
*n ∈N ，
故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()
*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分
(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥
⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………12分
要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，
考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()
*n ∈N ．
故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()
*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．…………………………………14分 (iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }
不能成等差数列．
综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． (16)
A
第23题图
P
B
M
C
分
数学Ⅱ
21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特
征向量为01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,
的值． 【解】由题意得01110
000002011m
n m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
⎩, , (6)
分
化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎪=⎩,
, , ,
所以12m n =⎧⎨=⎩, . ………………10分
22．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．
解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ． 所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ． 即 (x －1)2＋y 2＝1．(3分) 由 ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ．
所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ， 即 x 2＋(y －a )2＝a 2．(6分)
(2)⊙O 1与⊙O 2的圆心之间的距离为12＋a 2＝
5，解得
a ＝
±2． …………………………10分
23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求P A 的长；
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．
解:以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则
P
B C D
A M
x
y
z
A (0,0,0),
B (1,0,0),
C (1,1,0),
D (0,1,0),P (0,0,a )．
因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →
= (12,12,a 2)，
BD → = (–1,1,0)，BP →
= ( – 1,0,a )．
⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP → = 0．即
– 12 + a 2
2
= 0,所以a = 1,即P A = 1． …………………………………4分
⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1)．又CP → =
( – 1,–1,1)．所以cos<n , CP →
> = n ·CP →|n |·|CP →| = 22·3 = 63．
所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为6
3
．……………………………10分
24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，同时满足下列条件： ①{
}n i a i 2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有221
2l
i i k a =-∑
≤．
（1）记n A 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数，求n A ；
（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，
，，的个数，求n B ．
【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ， 所
以，
22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘
； …………………………4分
（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，
不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则1
221
2j j k i i k a +=->∑
=4）
； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，
这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………6分
又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，
所以，11222C 22C 2
2C n n n
n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………8分
11222(2+C 2C 2
C )22n n n n
n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 2(12)22n n =+-⨯
2(32)n n =-． (10)
分。