沪科版九年级数学上册21.2.1二次函数y=ax2的图像和性质教学设计
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计3
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计3一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和几何意义的基础上进行讲授的。
本节内容主要让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点等，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固二次函数的图象和性质，并提高学生的解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次函数的一般形式和几何意义，对于一些基础的概念和性质有所了解。
但是，学生对于二次函数图象的绘制和性质的运用还不够熟练，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
另外，学生对于解决实际问题的能力还有待提高，需要教师在教学中给予指导和帮助。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点等。
2.培养学生运用二次函数的性质解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.解决实际问题时，如何运用二次函数的性质来简化问题。
五. 教学方法1.采用讲授法，讲解二次函数的图象和性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。
2.采用案例分析法，通过例题和练习题，让学生巩固和提高二次函数的图象和性质的运用。
3.采用小组合作学习法，让学生在小组内讨论和解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.PPT课件，包括二次函数的图象和性质的讲解，以及例题和练习题的展示。
2.练习题，包括基础题和提高题，以供学生巩固和提高二次函数的图象和性质的运用。
3.教学用具，如黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的重要性，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点等，并通过PPT课件展示相应的图象。
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教案
二次函数y=ax2的图象和性质教学设计课程名称《二次函数y=ax2的图象和性质》
教学目标一、知识技能：
1．会用描点法画出二次函数y=ax2（a为简单的常数）的图象，理解抛物线的有关概念；
2．根据图象观察、归纳出二次函数y=ax2的性质；
二、过程与方法：
1.经历探索二次函数y=ax2的图象、性质的过程，通过操作、观察、归纳获得利用函数图象研究函数性质的经验.
2. 渗透数形结合的思想方法。
三、情感态度价值观：
学生在经历数学探究活动中，由二次函数图象的美（对称美，曲线美）感受数学美，提高数学学习兴趣。
让学生体验到特殊到一般的认识规律，培养操作、观察、归纳等的数学学习能力.
教学重点二次函数y=ax2的图象的作法。
教学难点由图象通过观察、归纳出二次函数y=ax2的性质。
教学方法引导操作、观察、归纳探究法
教学准备画图工具、PPT课件
教学过程
问题与情景师生活动设计目的
活动1
创设情景 (学习发生)
在学习一次函数时，主要研究它的图象及
其性质。
对于二次函数的学习，它的图象及其性质也是我们学习的主要1.引导学生画出函数y=ax2
的图像。
通过操作，学生
体验画二次函数图象的
过程。
2.总结学生画图象的经验，
PPT课件展示例1画二次
1.让学生按列表、描点、连线画
函数图象的一般方法，探究二
次函数的图象，能使学生更有
效地总结画二次函数图象的方
法.
2.通过画二次函数图象的实际
操作中出现各种问题，并解决。
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y＝a2的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y＝a2的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21章第2节第1课时的一节内容。
本节主要让学生掌握二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。
通过本节的学习，为学生后续学习二次函数的一般形式及实际应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但二次函数的知识相对抽象，对学生空间想象能力和逻辑思维能力的要求较高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数y＝a2（a≠0）的图象特征，掌握其开口方向、对称轴、顶点坐标等性质。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.重难点：二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质的推导及应用。
2.难点：二次函数性质的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，提高学生的空间想象能力。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的团队协作能力。
4.通过实例分析，让学生学会将二次函数的性质应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括二次函数图象的动态展示、实例分析等。
2.准备相关练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示二次函数y＝x2的图象，引导学生回顾一次函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数y＝a2（a≠0）的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。
通过多媒体展示，让学生直观地感受二次函数的图象特征。
沪科初中数学九年级上册《21.2 二次函数的图象和性质》精品教案 (1)
二次函数y ＝ax 2的图象和性质教学目标1．能够用描点法作出函数y ＝ax 2的图象．2．经历探索二次函数y ＝ax 2的图象和性质的过程，能根据图象认识和理解其性质，体会数形结合的思想和方法．教学重难点函数y ＝ax 2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y ＝ax 2的图象与性质． 教学过程导入新课【导语一】 回忆一次函数和正比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？【导语二】 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？【导语三】 用红色的乒乓球做投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？推进新课一、新知探究【问题1】 画y ＝x 2的图象：学生动手实践、尝试画y ＝x 2和y ＝－x 2的图象．教师分析，画图象的一般步骤：列表→描点→连线．教师在学生完成图象后，在黑板上示范性的画出y =x 2的图象，如图．【问题2】 在坐标系中，画出y ＝12x 2，y ＝2x 2，y ＝－23x 2的图象． 学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出其中两个函数的图象．【问题3】 共同探究：二次函数图象有何特征？结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．画二次函数的图象的方法及应注意的问题： 画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行：①列表、取值；②描点；③连线．但初学者对三个步骤易犯下列错误，注意避免．易错点1：表格中，取值过多或过少．画函数y ＝ax 2的图象，取对应值时，一般取5组或7组有代表性的对应值即可．易错点2：连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不像抛物线．【问题4】 比较图中三个抛物线的异同．相同点：(1)顶点相同，其坐标都为(0,0)；(2)对称轴相同，都为y 轴．不同点：开口大小不同，开口方向不同．【问题5】 你能归纳出二次函数y ＝ax 2的图象特征及性质吗？师生共同归纳y ＝ax 2的图象特征及性质：(1)二次函数y ＝ax 2的图象是一条抛物线．(2)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点在原点．a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当x ＝0时，此函数取得最小值，y 最小值＝0.a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．当x ＝0时，此函数取得最大值，y 最大值＝0.(3)a ＞0时，在y 轴的左侧是下降的，即x ＜0时，函数值y 随x 值的增大而减小；在y 轴的右侧是上升的，即x ＞0时，函数值y 随x 值的增大而增大．a ＜0时，在y 轴的左侧是上升的，即x ＜0时，函数值y 随x 值的增大而增大；在y 轴的右侧是下降的，即x ＞0时，函数值y 随x 值的增大而减小．(4)|a |越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．二、应用迁移1．抛物线y ＝2x 2的顶点坐标是________，对称轴是________，在________侧，y 随着x 值的增大而增大；在________侧，y 随着x 值的增大而减小，当x ＝________时，函数y 的值最小，最小值是________，抛物线y ＝2x 2在x 轴的__________方(除顶点外)．2．抛物线y ＝－23x 2在x 轴的________方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y 随着x 值的________；在对称轴的右侧，y 随着x 值的________，当x ＝0时，函数y 的值最大，最大值是________，当x ________0时，y ＜0.三、拓展延伸1．二次函数y ＝ax 2与y ＝2x 2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a ＝________.2．在同一坐标系中：①y ＝12x 2，②y ＝－x 2，③y ＝2x 2这三个函数图象开口最大的是________，最小的是________，开口向下的是________．3．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．本课小结1．本节所学知识：(1)二次函数y ＝ax 2的图象的画法；(2)二次函数y ＝ax 2的图象的特征及其性质．2．本节所用的方法：画图比较法．3．函数y ＝ax 2与y ＝－ax 2的图象之间有何关系？奥赛链接已知直线y ＝－2x ＋3与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于__________．解析：将y ＝－2x ＋3代入y ＝x 2，得x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1.所以A ，B 两点的坐标分别为A (-3,9)，B (1,1)．直线y =-2x +3与y 轴的交点为C (0,3)．S △AOC =3×32＝92，S △BOC =3×12＝32，所以S △OAB ＝S △AOC ＋ S △BOC ＝6.答案：6。
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教案
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2的图象和性质【学习目标】1．能够利用描点法作出y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解y＝ax2的图象和性质．2．经历画二次函数y＝ax2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．【学习重点】会画y＝ax2的图象，理解其性质．【学习难点】结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质．画函数图象的一般步骤是：1.列表(取几组x、y的对应值)；2．描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x、y))；3．连线(用光滑曲线)．情景导入生成问题旧知回顾：(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是一条经过(0，b)的直线．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是过原点的直线．(2)描点法画出一次函数的步骤，分为列表，描点，连线三个步骤．(3)我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．自学互研生成能力知识模块一探究二次函数y＝ax2的图象和性质阅读教材P5～6页的内容，回答以下问题：1．在画二次函数y＝x2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．2．二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点(最低点)是(0，0)，在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．3．观察y＝12x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标．4．根据函数y＝12x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降．二次函数y＝ax2(a＞0)的图象及性质为：(表格均让学生口述完成)二次函数y＝ax2(a＞0)图象的形状图象的特点图象的性质1.向x轴左右方向无限延伸自变量x的取值范围是全体实数2.是轴对称图形，对称轴是y轴对于x和－x可得到相同的函数y3.在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上当x＜0时，函数y随x的增大而减小；当x升的＞0时，函数y 随x 的增大而增大 4.顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y≥05.观察y ＝－12x 2、y ＝－2x 2的图象，指出它们与y ＝12x 2、y ＝2x 2图象的不同之处．它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x ＝0，函数取得最大值，y最大值＝0且y 没有最小值即y≤0，在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．当x ＜0，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，函数y 随x 的增大而减小．6．(1)a ＞0与a ＜0时，函数y ＝ax 2图象有什么不同？(2)|a|大小对开口大小有什么影响？答：一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象和性质的运用范例1：在同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的共同特点是( D )A ．关于y 轴对称，抛物线开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点范例2：已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？解：(1)m＝2或m＝－3；(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x＞0时，y随x的增大而增大．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究二次函数y＝ax2的图象和性质知识模块二二次函数y＝ax2的图象和性质的运用检测反馈达成目标1．若(－5，2)在抛物线y＝ax2上，则________一定也在该抛物线上( A) A．(5，2) B．(－2，－5)C．(－5，－2) D．(0，2)2．函数y＝5x2的图象开口向上，顶点是(0，0)，对称轴是y轴，当x＞0时，y 随x的增大而增大．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
新沪科版九年级数学上册同步教案：21.2 第1课时 二次函数y=ax^2的图像和性质
21.2 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2的图象和性质◇教学目标◇【知识与技能】会用描点法画出函数y=ax 2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax 2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.◇教学重难点◇【教学重点】理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.【教学难点】用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数的性质.◇教学过程◇一、情境导入从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?二、合作探究探究点1 二次函数y=ax 2的图象典例1 (1)用描点法在同一坐标系中画出y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象. (2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象.[解析] (1)y=12x 2,y=x 2,y=2x 2的图象如图所示.(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=32x 2的图象如图虚线所示.已知y=(k+2)x k2+k是二次函数.(1)求k的值;(2)画出函数的图象.[解析](1)∵y=(k+2)x k2+k为二次函数,∴{k 2+k=2,k+2≠0,解得k=1.(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.列表:描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3).连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.探究点2二次函数y=ax2的性质典例2已知点(-3,y1),(1,y2),(√2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.[解析]方法一:把x=-3,1,√2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>√2>1,∴y1>y3>y2.(1)求m的值.(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?(3)当m为何值时,该函数有最小值?(4)试说明函数图象的增减性.[解析] (1)∵函数y=(m+3)x m 2+3m -2是关于x 的二次函数,∴m 2+3m-2=2,m+3≠0,解得m 1=-4,m 2=1.(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,∴当m=1时,该函数有最小值.(4)当m=1时,x>0时,y 随x 的增大而增大,x<0时,y 随x 的增大而减小;当m=-4时,x>0时,y 随x 的增大而减小,x<0时,y 随x 的增大而增大.二次函数y=ax 2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,三、板书设计二次函数y=ax 2的图象和性质二次函数y=ax 2的图象和性质{ 开口方向顶点坐标:(0,0)对称轴:y 轴最值增减性◇教学反思◇本节课的内容主要是研究二次函数y=ax 2在a 取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计5
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计5一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和几何意义的基础上进行教学的。
本节的主要内容有：二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大值和最小值等。
通过本节的学习，使学生能熟练掌握二次函数的图象和性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的一般形式和几何意义有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，尤其是开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大值和最小值等概念，还需要通过实例和实际问题来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大值和最小值等。
2.能运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大值和最小值等。
2.如何运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，通过实例讲解，使学生理解和掌握二次函数的图象和性质，通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.实例和实际问题。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大值和最小值等，通过实例讲解，使学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）通过实例和实际问题，让学生运用二次函数的图象和性质进行解决，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过练习题，让学生进一步巩固二次函数的图象和性质。
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计7
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计7一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上，进一步研究二次函数的性质。
教材通过实例和探究活动，使学生理解二次函数的图象与系数之间的关系，掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次函数的一般形式和图象，具备了一定的函数知识基础。
但是，对于二次函数的性质，尤其是顶点坐标、开口方向、对称轴等概念，可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，需要通过实例和探究活动，帮助学生理解和掌握这些概念。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和探究活动，培养学生观察、分析、归纳的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
2.难点：二次函数的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法。
通过提出问题、分析问题、解决问题的过程，引导学生主动探究二次函数的性质；通过实例讲解，使学生理解二次函数的性质；通过小组合作，培养学生的团队合作意识和创新精神。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：教材、练习册、笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾二次函数的一般形式和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体课件，呈现二次函数的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。
同时，教师通过实例讲解，使学生理解这些性质。
3.操练（15分钟）教师提出练习题，学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行讲评，指出作业中的共性问题，并进行解答。
沪科版数学九年级上册 21.2二次函数的图象和性质-教案1
义教课标教材数学（沪科版）九年级上册第21章21.2二次函数的图象和性质（第1课时） 二次函数y=ax ²的图象和性质一、教材分析：（一）地位和作用本节课是二次函数的图象和性质的第一课时，在学生已经学习了函数的概念，函数的表示方法，函数图象的研究方法，以及对一次函数的图象和性质有了深入的研究基础上，进一步研究二次函数y=ax ²的图象和性质 ，一方面，它是对前面函数、一次函数的研究方法和过程的延续；另一方面，它不仅是对二次函数y=ax ²的图象和性质的探究，而且还为后面学习形如y=ax ²+k ,y=a(x+h)², y=a(x+h)²+k 一系列二次函数的图象和性质作了一定的知识方法和能力上储备，它在本章中起着承上启下的作用. （二）、教学内容分析本节课主要内容是y=ax ²的图象和性质，教材从最特殊的二次函数y=x ²出发，在依次研究y=2x ²， 的图象和性质，从形状、开口大小、开口方向、对称性、顶点坐标、上升下降趋势来观察他们的图象特征，归纳此类函数的性质，采用类比一次函数的研究方法，让学生去探究，以富有开放性、探索性的问题为诱饵，引导学生从数和形的角度去观察、分析、对比、归纳.本节课的教学，既要培养观察、分析、归纳的能力，又要渗透类比、从特殊到一般、数形结合的数学思想方法.所以本节内容对培养学生的探索精神、创新意识和积累数学活动经验，也有着非常重要的意义.二、教学目标：1、会用描点法画出形如y=ax ²的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；2、了解二次函数y=ax ²的图象特征和性质；3、在类比探究二次函数y=ax ²的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.三、教学重难点：重点：数形结合的研究y=ax ²的图象和性质.难点：用描点法准确的画出y=ax ²的图象和a 的绝对值越大，张口越小的归纳.212y x四、学情分析：九年级学生要注重培养识图能力、直觉猜想能力、抽象概括能力和逻辑推理能力，通过前面对函数、一次函数等相关知识的学习，他们的认知水平、分析图象的能力有了一定基础.本班学生整体素质中等，教学中仍应关注基础，善待差异，积极调动学生学习积极性，积极评价学生的学习过程，以民主、平等、温情和积极的课堂文化来促进和激励学生的数学学习.五、教学环境及准备：多媒体教学环境；学生要准备几何作图工具、网格纸；教师准备课件、三角板. 六、教学策略：综合运用启发式、谈话法、讲练结合法等；引导学生经历观察、比较、分析、归纳、猜想、验证和说理的全过程，积累数学学习和活动经验，体会问题研究的一般方法；指导学生学会从特殊到一般、学会从具体的研究对象中抽象出一般特征或规律，从而提高他们的概括能力和语言运用能力，养成会动手、善表达，肯动脑、有条理的良好的学习习惯.七、教学过程预设：（一）回顾旧知，激活已有经验问题1：1.二次函数的一般形式是什么？你能举出一些二次函数的例子吗？2. 学习完二次函数概念后，类比一次函数的研究过程，今天我们需要研究什么？3.我们是如何研究一次函数的图象和性质的？引导学生回顾研究函数的一般过程，以及一次函数的研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，如位置、形状，函数随自变量的增大如何变化.经历从特殊到一般的探究过程，先研究特殊的一次函数——正比例函数y=kx 的图象和性质，再研究一般的一次函数y=kx+b的图象和性质；在这个过程中，分k>0,k<0两种情况讨论，由k取具体的数字入手，最后归纳出一般情况.在学生回顾的过程中，教师适时进行归纳总结，并进行板书.追问：你觉得我们今天先研究什么函数的图象性质？（板书：21.2.1二次函数y=ax²的图象和性质）【设计意图】通过这三个问题为今天的研究搭建框架，虽然二次函数与一次函数研究对象有差异，复杂程度有差异，但研究的思想方法都是从特殊到一般.复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫.（二）类比探究二次函数y=ax ²的图象和性质问题2：类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y=x ²的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？师生活动：（1）学生独立用描点法画出y=x ²的图象，此时教师关注学生是否选取适当的自变量的值，描点连线，（追问：不知道0-1之间的图象到底是折线还是曲线怎么办？加密点来画图）展示几何画板中加密点的函数图象.（2）概括特征.尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等方面描述y=x ²的图象特征.板书：抛物线、顶点定义，图象的形状、开口方向、对称性、顶点，强调顶点是抛物线的最高点或最低点.（3）从图象上看函数y=x ²随自变量的增大如何变化.【设计意图】在师生对话中引导学生在已有的知识经验中建构新的概念，概括观察的角度和方法，尝试类比探究特殊的二次函数y=x ²的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念. 小组合作：问题3：在同一直角坐标系中画出y=2x ²，的图象，函数y=2x ²， 的图象与函数y=x ²的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？追问：这些共同点是由什么因素引起的？这些不同点是由什么因素引起的？ 请归纳：当a>0时，二次函数y=ax ²的图象有什么特点？ 得出：212y x =212y x =【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，归纳出二次函数y=ax ²（a>0）的图象特征，再次感受数缺形时少直观，形少数时难入微，体会数形结合的数学思想. 合作探究问题4：类比a>0时的研究过程，二次函数y=ax 2（a<0）的图象有什么特征？有了问题3的经验，学生应该能够有意识的从特殊到一般的将a 赋值研究，若有个别学生做不到，则追问：你打算怎么研究？我们刚才是怎么研究a>0时的情况？用了什么方法？研究了哪些内容？帮助学生梳理思路. 在同一坐标系下画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． 填表：课本第9页表格在开口大小的归纳中，学生通过展示几何画板在a 在-3到3之间的动态图象直观的感受到a 的取值对函数图象的影响，进而总结出a 的绝对值越大张口越小.追问：对比抛物线y=x ²和y=-x ²它们的图象有什么关系？一般地，抛物线y=ax ²和y=-ax ²呢？【设计意图】经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数2222,21,x y x y x y -=-=-=y=ax²（a<0）的图象特征.问题5：你能说出二次函数y=ax²的图象特征和性质吗？师生共同归纳：侧二次函数y=ax2的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 的图象可以简称抛物线y = ax2【设计意图】概念的形成要注重引导学生感悟，学生是学习的中心和主体，教师要为学生创造用多样化的学习方式学习的机会给学生自主建构、自我完善的机会.（三）及时巩固，素养提升(1)抛物线 y=2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 , 在对称轴 侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方(除顶点外).(2)抛物线在x 轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x的 ；在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.【设计意图】通过问题正面强化、有效练习深化概念的理解和掌握，避免了对概念的简单、机械的记忆.（四）回顾梳理，归纳小结，学法指导：我们一起回顾今天的学习历程：（五）布置作业必做题：练习1、2、3 选做题：练习4、5232x y -=八、板书设计：九、教学设计理念：本节课从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.教后反思：本节课在设计理念上一直比较注重从学生已有经验出发，搭建自主探究平台，培养了学生由“学会”到“会学”，提高学生学习能力，通过类比一次函数研究过程和方法引导学生经历观察、比较、分析、归纳和说理的全过程思，在数学活动中感悟数学思想、积累数学活动经验.这一点是比较好的，但从实际操作上看，一方面由于学生的基础不是很强，未能对一次函数的图象性质研究有深刻的认识，所以不能够灵活的运用于二次函数的图象和性质的研究上，另一方面也是因为我过于注重放手让学生自己去利用知识的迁移，设置的问题有点大，让学生感觉无法回答，所以总感觉课堂气氛有些沉闷.如果在课堂中能够把问题细化些，小步骤的去引导学生思考，操作，课堂效果可能会更好一些.在二次函数的图象为什么是光滑的曲线的处理上，我采用几何画板加密点的形式展示给学生看，这种让学生先思考再直观的感受的做法是可取的，达到了预期的效果，同时在开口大小的归纳中，学生通过几何画板在a在-3到3之间的动态图象直观的感受到a的取值对函数图象的影响，进而总结出a的绝对值越大张口越小，这一点也是可取的，以后仍要坚持这种先让学生独立思考再借助教学技术辅助的做法.。
新沪科版九年级上册初中数学 21-2-1二次函数y=ax2的图象和性质 教案
第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度与价值观】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.会画y=ax2的图象，理解其性质.结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.多媒体课件.（课件展示问题）一次函数y=kx+b和反比例函数（k≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.一、思考探究，获取新知1.试着画出y=x2的图象.【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.2.观察二次函数y=x2的图象，回答下列问题.（1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？（3）当x＜0时，随着x的增大，函数y如何变化？当x＞0时呢？【归纳结论】二次函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2和y=2x2的图象.解：（1）列表.（2）描点、连线.4.探究.（1）观察二次函数y=21x 2和y=2x 2的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、何时下降？（2）你能根据函数y=21x 2和y=2x 2的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax 2(a ＞0)的性质吗？【归纳结论】二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象及性质为：5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x 2、y=-21x 2和y=-2x 2的图象.仿照上面的表格，总结出y=ax 2(a ＜0)的性质.6.对比函数y=x 2和y=-x 2、y=21x 2和y=-21x 2、y=2x 2和y=-2x 2的图象，指出它们的相同与不同之处.7.思考：（1）a ＞0与a ＜0时，函数y=ax 2的图象有什么不同？ （2）|a|的大小对函数y=ax 2的图象的开口大小有什么影响？ （3）二次函数的图象是什么形状？【归纳结论】1.抛物线y=ax 2(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点；2.a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；3.a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.二、典例精析，掌握新知【例1】画出二次函数y=x2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.解:分别填表,再画出它们的图象.x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …y=x2…8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …x …-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2…8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.1《二次函数y＝a2的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21章第2节第1课时的一节内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的性质以及平面直角坐标系的基础上，进一步研究二次函数的图象和性质。
教材从实际问题出发，引导学生探究二次函数的图象和性质，培养学生的抽象思维能力。
教材内容主要包括：二次函数的图象、顶点的坐标、开口方向、对称轴以及增减性等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数的性质和平面直角坐标系的基础知识。
他们对函数的概念和一次函数的图象和性质有一定的了解，具备了一定的探究能力。
但是，学生对二次函数的图象和性质的认识还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生探究二次函数的图象和性质，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极探究的精神和合作交流的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴以及增减性的理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等教学方法。
通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳二次函数的图象和性质；通过案例分析，让学生运用二次函数解决实际问题；通过合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作含有二次函数图象、性质等内容的教学PPT。
2.教学素材：准备一些与二次函数相关的实际问题作为教学素材。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如抛物线投篮问题，引导学生回顾一次函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计3
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计3一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
这部分教材主要介绍了二次函数的一般形式，以及二次函数的图象和性质。
内容主要包括：二次函数的图象是抛物线，开口方向、顶点坐标、对称轴等；二次函数的性质包括：顶点坐标、开口方向、对称性、增减性、最值等。
这部分内容是初中数学的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的图象和性质，对于解决实际问题和提高数学素养都具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基础知识，对于函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质的深入理解和灵活运用还需要进一步的加强。
此外，学生的学习习惯、思维方式、数学素养等方面也存在一定的差异，因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象和性质。
2.能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式2.二次函数的图象和性质3.二次函数的图象和性质在实际问题中的应用五. 教学方法1.讲授法：对于二次函数的一般形式、图象和性质等基础知识，采用讲授法进行讲解。
2.案例分析法：通过具体的例子，让学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
3.讨论法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的合作能力和表达能力。
4.实践法：让学生通过实际问题，运用二次函数的图象和性质进行解决，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，辅助教学。
2.教学案例：准备一些具体的案例，用于讲解和分析。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解二次函数的一般形式，以及二次函数的图象和性质，通过PPT课件和具体案例，让学生理解和掌握。
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计5
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计5一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
这部分内容是在学生已经学习了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上进行的。
本节课主要让学生了解二次函数的图象和性质，掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的顶点、开口方向等概念，并能运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于一次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，其图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。
此外，学生对于数学知识在实际生活中的应用还不是很清楚，需要教师在教学过程中进行引导。
三. 教学目标1.了解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象和性质。
2.能够运用二次函数的知识解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力和实际应用能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象性质。
2.二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究、讨论来掌握二次函数的图象和性质。
2.使用多媒体辅助教学，通过动画、图像等直观手段，帮助学生理解二次函数的图象和性质。
3.结合实际例子，让学生感受数学在生活中的应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.实际的例子，用于讲解二次函数在生活中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数的概念。
例如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。
让学生思考，这个二次函数的一般形式是什么？2.呈现（10分钟）使用多媒体展示二次函数的一般形式，以及二次函数的图象和性质。
让学生观察和思考，总结二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个实际的例子，用二次函数的知识来解释和解决。
例如：一个二次函数的图象是一个抛物线，开口向上，顶点在坐标原点，求这个二次函数的一般形式。
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计6
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计6一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上进行学习的。
本节内容主要让学生了解二次函数的一般形式，学会用配方法求解二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质，并能运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于一次函数的图象和性质已经有了一定的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，其图象和性质更为复杂，需要学生通过实例去感受和理解。
同时，九年级的学生即将面临中考，对于数学的学习热情和积极性可能会有所下降，因此，在教学过程中，需要教师通过生动有趣的实例和丰富的教学手段，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.了解二次函数的一般形式，会用配方法求解二次函数的最值。
2.掌握二次函数的图象和性质，并能运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象和性质。
2.难点：二次函数的最值的求解，二次函数图象的变换。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生去探索和理解二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，通过动画和图片等形式，形象直观地展示二次函数的图象和性质。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作中思考，在思考中学习。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示二次函数的图象和性质，让学生直观地感受和理解。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者画图工具，自己动手绘制二次函数的图象，加深对二次函数图象和性质的理解。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的内容，检查学生的掌握情况。
最新沪科版九年级数学上册精品教案：21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质1
21．2 二次函数的图象和性质 1．二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y ＝ax 2的图象，概括出图象的特点；(重点)3．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】 画二次函数y ＝ax 2的图象在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y＝－12x 2；④y ＝－2x 2.根据图象回答下列问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O 为中心，对称地选取x 的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如图所示．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y ＝ax 2(a ≠0)的图象时，x 的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝ax 2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a 、b 的符号来确定．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上．∵ab >0，∴b >0.∴直线y ＝ax ＋b 过第一、二、三象限．当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下．∵ab >0，∴b <0.∴直线y ＝ax ＋b 过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax ＋b 和二次函数y ＝ax 2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a 的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y ＝ax 2的开口方向、大小与系数a 的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2，则a 、b 、c 、d 的大小关系为()A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．b >a >d >c 答案：A方法总结：抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |确定，|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标；(3)△AMB 的面积．解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S△BDM＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】 二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2；(2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】 二次函数y ＝ax 2的最值已知函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n ＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题【类型一】 利用二次函数y ＝ax2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm 2－m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：本题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】 二次函数y ＝ax2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，则D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2； (2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质错误!教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．。
九年级数学上册 21221 二次函数y=ax2k图象和性质教案 新版沪科版
例2. 在同一直角坐标系中 ,画出二次函数 y=x 2+1和y=x 2
－ 1的图像 解: 先列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
然后描点画 y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
图 ,得到 y= y=x 2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 …
x2＋ 1,y=x 2 －1的图像 .
y ? ? 1(x
2
? 1 x2 ?1
2
y?
?1)2 ?1
?
1
2
(x
-5 -4 -3
? 1)2 ?1
-2
1
-1-1 -2
-3
-4 -5
o
1
2
3
4
5
x
平移方法 2:
-6
y
?
?
1 2
向 左 平移 x2 1个单位 y
?
?
1
2
(x
?
1)2
向下 平移 1个单位
y?
? 1 (x ? 1)2 ?1
2
-7 -8 -9
练习1
? 在平面直角坐标系 xoy中画出 二次函数y= 1(x－6)2+3的图像；
? 此图象与 x轴、y2轴交点坐标各是多少？ ? 根据图像，说出 x取哪些值，函数值 y=0 ？y〉
0？y〈0？
x
6
y
3
例题2
? 已知抛物线
y ? 3x2 ，将这条抛物线平
移，当它的顶点移到点 M（2，4）的位置
时，所得新抛物线的表达式是什么？
y
y=x 2+1
10
(1) 抛物线 y=x 2+1,y=x 2－ 1的开
沪科版-数学-九年级上册-21.2.2.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质(1) 教案
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象；2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系．(难点)教学过程一、情境导入边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【类型一】确定y＝ax2＋k的图象与坐标轴的交点抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是________．解析：因为抛物线y＝x2－4与x轴的交点纵坐标是0，即y＝0，此时x2－4＝0，解得x＝±2，所以抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)．方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求抛物线的横坐标．【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( ) A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．故选D.【类型三】二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的综合若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A.B.D均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)．【类型四】在同一坐标系中确定y＝ax2＋k的图象与一次函数的图象在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.探究点二：二次函数y＝ax2＋k的平移【类型一】利用平移确定y＝ax2＋k的解析式已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.那么抛物线的解析式为____________．解析：因为抛物线y ＝ax2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x2＋2.所以a ＝－3，c －2＝2，所以c ＝4，所以抛物线的解析式为y ＝－3x2＋4.【类型二】 确定y ＝ax2与y ＝ax2＋k 的关系抛物线y ＝ax2＋c 与y ＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x2怎样得到的？解：抛物线y ＝ax2＋c 与y ＝－5x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5. 又∵其顶点坐标为(0，3)，∴c ＝3.∴y ＝－5x2＋3.它是由抛物线y ＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：对于二次函数y ＝ax2的图象来说，向上平移|c|个单位，就在ax2后面加|c|，向下平移|c|个单位，就在ax2后面减|c|.三、板书设计二次函数y ＝ax2＋k 的图象和性质⎩⎪⎨⎪⎧1.顶点坐标、对称轴、开口方向2.抛物线的增减性3.平移规律4.与一次函数、几何图形综合教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．。
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在同一个直角坐标系中画出二次函数y＝ x2和y＝2x2的图象，并观察图象有哪些特征．
师生活动：请同学们在同一直角坐标系中画出这两个二次函数的图象，完成后观察并讨论图象之间的异同点，总结出当a>0时，二次函数y＝ax2的图象特征．探究二次函数y＝－x2，y＝－ x2和y＝－2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
(3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.二次函数y＝x2的图象总结
师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导．
教师利用展台展示学生的优秀作品，并引导学生大胆说出图象的特征．
二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，这条曲线叫做抛物线．开口方向向上或向下，是轴对称图形，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2.描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描画出来．
3．连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状．
画二次函数y＝ax2的图象是本节课的重点与难点，因此，需要逐步引导，而列表是三个步骤中最为关键的环节，要分析透彻，鼓励学生发表自己的看法.
2.例2培养学生用数形结合思想解决问题的能力.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3已知a≠0，b<0，则一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象可能是图21－2－4中的(C)
图21－2－4
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.回忆二次函数的定义.
教师提出问题，学生进行回答. 定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.2.我们该如何研究一个函数呢？从哪些方面入手呢？探究结论：学习一次函数时，先研究正比例函数，同样在学习二次函数时，也是先从最简单的二次函数入手，研究b，c都等于0的情况，即最简单的二次函数y＝ax2的图象和性质．
通过让学生回忆学习函数的过程和方法，引导学生在学习过程中发现研究问题的一般规律.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】问题：如何画出二次函数y＝x2的图象呢？
师生活动：师生共同讨论，得到画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
1.列表：
问题：自变量该如何取值呢？
学生交流、讨论，得到结论.
二次函数y＝x2中自变量的取值范围是全体实数，而且当自变量互为相反数时，对应的函数值相等，因此，在原点的左右，以原点为中心，均匀地选取便于计算的x值即可.
例2已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在抛物线y＝－4x2上，下列说法中正确的是(D)
A.y1<y2<y3B．y2<y1<y3
C.y3<y1<y2D．y3<y2<y1
学生自主进行解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论.
1.例1复习了二次函数y＝ax2的图象及其特征.
师生活动：教师利用几何画板进行画图演示，学生观察三个函数图象，并比较异同，独自总结规律．教师进行个别提问，学生独立作答，师生共同确定规律．
3．总结归纳，形成规律
总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的特征．
学生独立归纳二次函数y＝ax2的图象特征，找出相同点和不同点，并完成下表：
二次函数
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝ax2
a>0
a<0
归纳：一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
1.在同一直角坐标系中画函数图象，使得对比更加强烈，小组讨论的学习方式可以使个人想法得到纠正和补充.
问题解决
经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想与方法．
情感态度
通过画函数图象，认识数形结合的数学方法，体会数学中的特殊与一般的辩证关系，体会数学的内在美．
教学重点
画出二次函数y＝ax2的图象，根据函数的图象分析其性质．
教学难点
用描点法准确画出二次函数的图象．
授课类型
新授课
课时
2.利用几何画板的动态演示完成了不可能完成的工作，所画抛物线准确，对比明显，结论易得，使学生感受深刻.
3.在分析总结过程中，把所得结论填进表格，对学生思路起到了引导作用，更直观易懂.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】例1在直角坐标系中画出二次函数y＝0.2x2的图象，并填空.
二次函数y＝0.2x2的图象是一条开口向__上__的抛物线，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__，当x＝__0__时，y有最__小__值为__0__.
第21章二次函数与反比例函数
21.2二次函数的图象和性质
1．二次函数y＝ax2的图象和性质
课题
1.二次函数y＝ax2的图象和性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，能根据图象理解其有关性质．
数学思考
通过类比的方式由一次函数的探究方式得到研究特殊的二次函数图象及其性质的探究方式，并根据数形结合的思想探究函数之间的联系和区别．
3．已知函数y＝mxm2＋1的图象是不经过第一、二象限的抛物线，则m＝__－1__．
4．二次函数y＝－ x2，当x1<x2<0时，y1与y4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
例3是一次函数与二次函数相结合的数形结合问题，让学生体会参数对图象的作用.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．函数y＝－x2的图象是一条__抛物__线，开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__．
2．已知抛物线y＝ax2(a≠0)和直线y＝kx(k≠0)的交点是P(－1，2)，则a＝__2__，k＝__－2__．