三国杀概率问题

三国杀牌种分类，
三国杀一共有108张，其中30张杀（21张黑杀，9张红杀，70%黑）、15闪（全红）、8桃（全红）、6过河拆桥、5顺手牵羊、4无中生有、3南蛮入侵、3决斗、3乐不思蜀、3无懈可击、2闪电、2五谷丰登、2借刀杀人、1万箭齐发、1桃园结义；装备共20件（60%为黑色），其中+1/-1马各3匹，11把武器（诸葛连弩2把，其他各1）、3防具（2八卦阵、1仁王盾）
一些基本情况的概率判定：
1.仁王盾和八卦盾，选哪个比较好？这个问题是因人因形式而异的。

一般情况下，黑杀有70%，而八卦判定概率为50%（红黑牌各54张），所以仁王盾的防御力比八卦盾高一点，但有几种情况下要特殊对待的。

a) 如果你选择的人物是郭嘉，那就选择八卦盾吧，凡是判定的牌都归你所有，也就是说当你有了八卦盾，别人打你只是给你送牌。

这时候会有一种情况比较有意思，你的队友装备了连弩，然后让他攻击你，当你判定失败并且扣血摸牌后，你可以将杀再给队友，呵呵，有点**了……
b) 如果有司马懿在场，要考虑下他是否和你是队友，如果是的话，可以考虑用八卦，如果不是的话，八卦就变成**了。

c) 如果有关羽在场，并且不是队友的话，要注意了。

关羽有54张红色的牌作为杀，还有21张黑色的杀，对于这号人物，他有72%的红杀，你的仁王盾还是考虑换成八卦吧。

也要注意了。

赵云有45张杀（24张红杀，其中15张红闪），红色杀的概率为53.3%，仁王盾就不太好用了。

2.被闪电劈中的概率是多少？呵呵，碰到司马懿在场，要不就相当于你头上顶了避雷针，要不就相当于你就是避雷针，基本没有概率。

在一般情况下，黑桃2到黑桃9之间的牌，一共有17张（其中5张杀，4张武器，1张防具，1匹+1马，6条锦囊），几率为15.74%，从数学期望角度来说，也就是摸6张牌，其中有一张就是，换句话说，基本上6轮判定里面就会出现一个避雷针。

实际游戏时，考虑到武器、防具、马基本都会被装备掉，而不出现在牌堆里，所以其概率会进一步降低到10.2%。

3.被乐不思蜀的概率是多少？108张牌**有27张红桃，其中1张武器，1匹+1马，1匹-1马是红桃，逃脱乐不思蜀的概率是25%，但在实际游戏中，武器、马会被装备掉，所以逃脱的几率会降低到22.2%。

4.当手上有杀有闪的时候，应该留什么牌比较容易不掉血？这个也是要视场上情况而定的，各个人物的特色分析，爆发力角色篇，
1.黄月英，爆发力惊人的选手。

在讨论爆发力之前，这里先做一个申明，这里的爆发力都是开篇爆发力，后期的爆发力个人觉得意义不大，而且情况复杂，没法子做一个结论。

黄月英的爆发力是个人感觉最大的，还是用数字说话，锦囊一共有35条，其中3条可能是不能使用的（1桃园，2借刀），这里假设都能使用。

在这35条锦囊中，有 4个无中生有（可以换3张），5个顺手牵羊、2个五谷丰登（可以换2张），其余的锦囊可以换1张。

对于黄月英来说，1条锦囊牌就等效于4/35*3+7 /35*2+24/35*1=1.43张牌。

在开局后轮到黄月英的时候，手牌将有6张，用排列组合进行计算得到如下结论，
a) 0张锦囊的概率为8.9% ，b) 1张锦囊的概率为27.5% ，c) 2张锦囊的概率为33.8% ，d) 3张锦囊的概率为21.3% ，e) 4张锦囊的概率为7.2%
，f) 5张锦囊的概率为1.2% ，g) 6张锦囊的概率为0.85%
我们可以得到黄月英实际手牌数量增加的数学期望值，
1*0.275+2*0.338+3*0.213+4*0.072+5*0.012+6*0.0085=1.913
考虑到每张锦囊等效于1.43张牌，所以黄月英的手牌数应为1.913*1.43=2.74，将近3张牌。

这里我们可以定义黄月英的爆发力为 2.74++，这里的++蕴含了两个意思，1) 爆发力的瞬间最大值会很大，如果看到黄月英手里有将近20牌，那也别震惊，那个是完全有可能的。

1*0.5+1*0.52+1*0.53+1*0.54+1*0.55…+……，可以得到近似于1，同样的定义甄姬的爆发力为1+，这里+蕴含了一个意思，就是可能手牌会RP爆发得到很多，也可能被司马懿改判定后拿到更多。

如果牌模型不是无限，而是108张来计算，期望是0.98112~
3.黄盖，前期爆发力选手。

这个就更容易计算了，上手手牌4张，摸2张，自损3点血摸6张，总共可以有12张牌，无中生有几率比较低，这里忽略了。

爆桃的几率是7.4%，爆桃的话相当于多一张牌，所以爆牌的数学期望是2*0.926+3*0.074=2.074，一共是3点血，所以总共为6.22。

因为黄盖的牌是基本确定的，总共也就12张，基本不会多，12张牌能做的事情就比较有限了，而且万一没有做成，下一个回合就基本上消失了。

根据1血换2牌的原则，这里可以定义黄盖的爆发力是0.22，但是因为爆发力比较稳定，可以用12张牌来爆连弩，所以也是受到玩家喜爱的角色。

这里也顺便说下主公碰到黄盖的打法，当然和处理黄月英是相反的，要尽量扣去黄盖的血量，使得黄盖失去爆发的能力。

本文计算了三国杀中一些有趣的概率结果，包括：甄姬洛神的期望为1，与周瑜确定的1张相等，如果只比较洛神和英姿两个技能，前者是占优的。

黄月英的期望值并不像想象的那么高，仅为0.798。

黄盖的初始平均手牌大约为15张，周泰可能性最大的死亡时间是第5次判定，计算平均值得，周泰的平均死亡时间是5.43。

1.甄姬与周瑜的比较
洛神：回合开始阶段,可进行主动判定,若判定结果为黑色花色,视为判定成功,则将该判定牌收归手牌,并可以继续判定;若结果为红色花色,视为判定失败,技能终止.可以不断的判定直到不愿意继续或判定的结果变为红色为止.
英姿：摸牌阶段摸三张牌
公瑾的技能一目了然，多摸一张牌，而甄姬就要罗嗦的多，概括起来就是除了本来那两张以外，还可以一直摸直到摸到红的为止。

我们见过一直被红牌憋死的甄姬，也见过黑牌如雨犹如神助的甄姬。

为了搞清楚甄姬的技能到底有多大价值，我们来计算一下甄姬额外摸牌数量的期望。

由概率论的知识可以知道，甄姬摸牌张数X是服从几何分布的离散随机变量，其中参数p为1/2。

用a表示甄姬额外摸牌数量的期望。

2. 更加招恨的月英姐
我们首先讨论无中生有对于一般玩家的影响。

用p*表示某次摸牌摸到无中生有的概率，有p*=a*/s, a*是无中生有的张数，s 是总张数，在某次无中生有摸到的两张牌中至少有一张无中生有的概率是
1-(1-p*)×(1-p*)，由于p*很小，尽似取为 2p*。

实际情况a*=4,s=109,p*=0.037. 定义n次无中生有的牌中还有无中生有的情况为n+1阶无中生有，于是从上面的推理中我们得到：
性质2. 高阶无中生有可以忽略。

下面我们开始计算黄月英附加摸牌张数的期望a。

在这里也要做一个假设，黄月
英会将所有能用掉的锦囊用掉，同时忽略所有五谷丰登的影响（太崩溃了）。

首先计算使用一张锦囊后集智带来的额外张数b。

用p表示黄月英下一张摸到非延时锦囊的概率（不包括无中生有）。

根据类似几何分布的性质，我们可以得到关系：
b=1+p×b+p*×(3+3b)
解出b得：
b=(1+3p*)/(1-p-3p*)
游戏中，p=18/109=0.165. 按计算器得b=1.53. 由此我们可以开始计算a.（这是一个综合考虑一般锦囊和无中生有的浩大工程...）
a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)
=0.798
计算结果令人惊讶，黄月英的期望值并不像想象的那么高，仅为0.798！相比之下，还不如周瑜和貂蝉的确定1张，甄姬的平均1张。

关于这个问题，我们可以通过性质1给出解释。

从b>1可以发现，黄月英一旦摸到一张锦囊，潜力是很足的，而且黄月英在第一轮六张手牌时是极其恐怖的。

黄月英用较低的平均值换取了更高的风险，也就是爆发力。

3. 在三国杀游戏中，总有一些恶趣味的人对于某暴力英雄有特别的喜爱。

苦肉：出牌阶段，可主动减一点体力，从牌堆两张牌。

在自己回合可以多次使用该技能。

有了之前的分析，有关黄盖的计算就简单多了。

先做如下假设：
假设2. （暴力黄盖假设）所考虑的黄盖会在任何有可能时将自己变成一滴血的状态。

推论1. 暴力黄盖的所有桃和桃园结义等价于无中生有。

此时摸到“无中生有”的概率p*=13/109=0.119. 忽略黄盖同时摸到三张“无中生有”的可能，忽略高阶“无中生有”，则暴力黄盖在第一回合未受打击的条件下可以获得的手牌平均数近似为：
a=4+2+(4-1)×2+12p*×(1-p*)^11×2+(12选2)p*^2×(1-p*)^10×4
=12+1.766
计算过程中发现，由于手中初始张数很多，p*也不是很小，高阶“无中生有”产生的影响并不能忽略，所以a只是黄盖手牌的一个下界，综合各方面因素给出估算，黄盖的初始平均手牌大约为15张！试想一下，这样的一个人坐在主公的下家高喊“苍天已死，黄天当立”，对于主公是多大的威胁。

（以后大家不要再鄙视暴力黄盖了...）。